普通高中课程标准实验教科书
数 学 ③ 1 必 修111111111111
吉林省长春市实验中学 吴普林
□必修3集体备课
第三章 《概率》
一、课时分配及变化
3.1 随机事件的概率 3课时
3.2 古典概型 2课时
3.3 几何概型 2课时
小结 1课时——共约8课时 大纲(旧)
课程标准(新) 内容
课时 内容 课时 课时增减 概率(必修)
12 概率(必修3) 8 (必修)-4 (选修)+8
统计与概率
(选修Ⅱ) 14 统计与概率 (选修2－3) 22 二、地位及考情分析
知识点 考纲及考试说明 考情上线
随机事件 的概率 1.了解随机事件发生的不确定性
和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
重点考查互斥事件的概率求法，各种题型均有．
古典概型 与几何概型 1.理解古典概型及其概率计算公
式．
2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3.了解随机数的意义，能运用模拟
方法估计概率．
4.了解几何概型的意义.
几何概型多考查面积型问题． 选修2－3
离散型随机变量及其分布列、期望与方差 [理] 1.理解取有限值的离散型随机变
量及其分布列的概念，了解分
布列对于刻画随机现象的重要性． 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均
值、方差，并能解决一些实际
问题.
以实际问题为背景，结合常见的概率事件考查离散型随机变量的分布列求法，期望与方差的求法，多以解答题出现． 二项分布 及其应用 [理] 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 条件概率的考查应为
命题的新增点． 相互独立事件与独立重复试验事件的概率问题一直是高考的重点，多在解答题中以实际问
题为背景，结合离散型
随机变量的分布列的求法综合考查.同时也考查考生分析问题解决问题的能力及运算能力，具有一定的区分度.
正态分布[理]
利用实际问题的直方图，了解
正态分布曲线的特点及曲线所表
示的意义.
考查正态曲线特征及
正态分布的应用.
课程教学内容增加知识点删减知识点
必修3 概率几何概型无
三、教学问题及建议
（一）作好初高中知识的衔接，了解初中数学课程标准及教材.
（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。［参见例4和例5］（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。［参见例6］
（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
（二）整章“结构”作出重大调整.
大纲教材课标教材
1.随机事件的概率
⑴事件
⑵概率的频率定义
⑶等可能事件的概率(古典概型)
2.互斥事件有一个发生的概率1.随机事件的概率
⑴事件
⑵概率的频率定义
⑶概率意义——①概率的理解；②游戏公
平性；③决策中的概率思想；④天气预
报的概率解释；⑤孟德尔“豌豆试验”；
3.相互独立事件同时发生的概率选修II
4.离散型随机变量的分布列
5.离散型随机变量的期望与方差
⑥遗传中的统计规律.
2.概率基本性质
⑴事件的关系与运算：①包含；②相等；
③并(和)事件；④交(积)事件；
⑵互斥、对立
3.古典概型
⑴列举法
⑵随机模拟
4.几何概型（新增内容）
选修2－3：
5．分布列、期望、方差
6．二项分布
⑴条件概率（新增内容）
⑵相互独立
解读——
◇系统介绍概率知识体系，改变以往“点块式”的布局.
(与大学教材一致，为继续学习铺垫——贝叶斯公式，全概率公式)
⑴并（和）事件→互斥、对立
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
特别地，若A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
⑵条件概率→相互独立
P(AB)=P(B|A)〃P(A)
特别地，若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)〃P(B)
⑶推荐一本书《概率论与数理统计教程》茆诗松
茆诗松教授是我国著名的数理统计专家，华东师范大学终身教授、博士生导师，我国数理统计专业的开拓者之一。率先将数理统计引入质量管理，为上海乃至全国的质量事业做出重
要贡献.
◇强调对“概率定义”及“随机性”的理解.
◇突出“列举法”,强调对概率结果的解释.
（三）概率定义的理解、拓展.
1．三种定义的联系、区别
古典概型：有限个事件，等可能发生；
放宽条件后得到几何概型：无限个事件，等可能发生；当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.
再放宽条件得到概率的频率定义：无限个事件，不一定等可能发生.
2．四种定义的演变
古典概率：基本空间由有限个基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的.若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率P(A)＝m／n，这是拉普拉斯(法国－分析概率论的创始人)的古典概率定义，或称之为概率的古典定义.
几何概率：若对于一随机试验，每个样本点出现是等可能的，样本空间Ω所含的样本点个数为无穷多个，且具有非零的、有限的几何度量，即0＜m(Ω)＜≦，则称这一随机试验是一几何概型.
古典概型和几何概型的不足——
古典概型与几何概率都建立在“等可能性”的基础上，随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论.
概率的统计定义：随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个确定数的附近摆动，显示一定的稳定性.米泽斯（奥地利—概率的频率理论学派的代表人物）把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义.
概率的统计定义的缺点——
⑴不严密，通过实验得不到那个我们并不知道的“确定数值”(概率).
⑵不现实，有些试验不能进行大量重复地做.
概率的统计定义的价值——
提供了一种估计概率的方法，即用试验次数n较大的时候得到的频率作为概率的估计值.
概率的公理化定义：设Ω是随机试验E的样本空间.对于E的每一事件A，有一个实数P(A)与之对应，且(A)满足下列三条公理：
⑴(非负性) P(A)≥0；
⑵(完备性)P(Ω)=1；
⑶(可列可加性)设A1，A2，……彼此互斥，则
P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……
则称P(A)为事件A的概率.
柯尔莫哥洛夫（前苏联）于1933年给出了概率的公理化定义.既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处.
概率的公理化定义的不足——概率的公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质.
概率的公理化定义与古典定义、几何定义、统计定义关系—历史上在公理化定义出现之前的概率的古典定义、几何定
义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的.
3．尚待解决的问题
概率论公理化体系的构造并没有解决所有的概率论原则问题.概率论公理体系只是结合直观,将概率的某些性质进行了公理化.关于随机性的本质这个基本问题仍未解决.随机性与确定性的界限在什么地方,是否存在? 这个问题带有哲学性质值得关注.后柯尔莫戈罗夫为此付出了许多努力,试图从复杂性、信息和其它概念等方面来解决这个问题.晚年,他提出了一个平行地研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的庞大计划,其基本思想是:有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正的边界,数学世界原则上是一个不可分割的整体. （四）“基本事件”的相对性与“概型多样化”.
例已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．
化验方案——先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求所需化验次数X的分布列.
分析 A：―――＋―2次
B：――――＋2次
C：＋――――2次
D ：― ＋ ― ― ― 3次
E ：― ― ＋ ― ― 3次
解： X ＝2,3.
模型1：自然过程(无序)
35
=112424
31315253P(X =2)=P(A) + P(B) +P(C)
C C C = +C C C C 25=211422321532P(X=3)=P(D) + P(E) C C C =C C C
模型2：考虑“5次”的全排列(有序)
35
?=4455A P(X=2)=P(A) + P(B) +P(C)=3A
25?=4455A P(X=3)=P(D) + P(E) =2A 模型3：只考虑“1次（当前）”的排列
35?=1P(X =2)=P(A) + P(B) +P(C) =35 25
?=1P(X =3)=P(D) + P(E) =25 （五）几何概型中的悖论及“伪等可能性”辨析. 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：
P(A)＝
例1若在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?( “贝特朗悖论问题”)
解答一：
取单位圆O，圆O的内接等边三角形
的边长等于3．取圆O的任一弦AB，记
“AB>3”的事件为A．
如图，作垂直于AB的直径PQ，分别
以．P、Q为一个顶点作圆的内接等边三
角形，这两个三角形的边与PQ交于M、N．
当AB与PQ 的交点H位于MN上时，AB>3；否则AB<3，
由于MN=1
2PQ，故P(A)=1
2
．
解答二：
如图，连结AO，在AO两侧作∠MAO=
∠NAO=30°，交圆O于M、N．当点B落在MAN 所夹MN上时，AB>3；否则AB<3．但MN的长是圆周长的13，故
P(A)=1 3．
解答三：
在圆O内任取一点M，若OM<1
2，则以M
为中点的弦AB>3；否则AB＜3．故点
M在以O为圆心，1
2为半径的圆内，而小圆
面积等于大圆面积的1
4，故P(A)＝
1
4.
辨析——
⑴弦的定义：“连接圆周上任意两点的线段叫做弦”.
⑵“任作一弦”只能视在圆周上取点是
等可能的.
解答一：
取单位圆O，圆O的内接等边三角形
的边长等于3．取圆O的任一弦AB，记
“AB>3”的事件为A．
如图，作垂直于AB的直径PQ，分别
以．P、Q为一个顶点作圆的内接等边三角形，这两个三角形的边与PQ交于M、N．
当AB与PQ 的交点H位于MN上时，AB>3；否则AB<3，由于MN=12PQ，故P(A)=1
2
．
错因解析——在圆周上取点是等可能的/ 直径PQ上取点等可能．实际上，当弦AB的两个端点分别落在弧CE与弧FD上时，有AB>3．弧CE＝13弧PQ，所以P(A)=13.
解答二：
如图，连结AO ，在AO 两侧作∠MAO=
∠NAO=30°，交圆O 于M 、N ．当点B 落
在MAN 所夹MN 上时，AB>3；否则AB<3．但MN 的长是圆周长的13，故P(A)=13．
解法正确——用一组过某一定点的弦来代替整体，进而用弦的另一顶点作为样本空间．这时顶点B 在圆周上是等可能分布的，也符合弦的定义，故概率是正确的．
解答三：
在圆O 内任取一点M ，若OM<1
2，则以M
为中点的弦AB>3；否则AB ＜3．故点
M 在以O 为圆心，12为半径的圆内，而小圆面积等于大圆面积的14，故P(A)＝14.
错因解析——用任一弦的中点代替弦，进而用中点在圆内的分布作为样本空间．这时，除圆心外，每一个点都对应着一条弦，但以圆心为中点的弦却有无数多条，故样本空间中的基本事件不是等可能的，其概率也是错误的．
更具一般性的解法：
在平面直角坐标系内，A 、B 在单位圆上，故可设A(cos α，sin α)，B(cos β，sin
β)
，其中α
，β∈[0，2π)，则
例2 在长为1的线段AB 上任取两点P 、Q ，则这两点之
间的距离小于12
的概率为 ( ) A.14 B.12 C. 34 D.78
解答一（错误）
让A 点就是P 点，则Q 取AB 上任一点是等可能的.又PQ O x
y 2π34π32π2π34π32πM P
N
的长度小于12
，所以Q 可取AB 中点至右端点中的任一点.∴所求概率为P ＝12/1＝12
. 解答二（正确）
设P 、Q 两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.
由题意知|x-y|＜12，所以所求概率为
111123222.14
P -???== 辨析——
给段PQ 的任意性是由端点P 、Q 的任意性来保证的.探究一
的错误在于P 点固定在A 点后，限制了｜PQ ｜＜12
时Q 的任意性，固不是等可能的；而探究二恰好保证了P 、Q 双方在AB 上取值的等可能性，所以是正确的.
例1、例2的比较——
A (P )
B 中点Q
例1 例
2
A (P )
B 中点Q