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2019届高三数学第79练离散型随机变量的均值与方差练习95

第79练 离散型随机变量的均值与方差

2019届高三数学第79练离散型随机变量的均值与方差练习95

从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列,均值和方差;

(2)若η=a ξ+b ,E η=1,D η=11,试求a ,b 的值.

2.(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目,假设甲闯关成功的概率是3

5,乙、丙两人同

时闯关成功的概率是310,甲、丙两人同时闯关失败的概率是6

25,且三人各自能否闯关成功相

互独立.

(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率;

(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数,求ξ的分布列和均值.

3.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验数据统计如下:

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据:

(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;

(2)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).

4.(2016·郑州模拟)某市公安局为加强安保工作,特举行安保项目的选拔比赛活动,其中A、B两个代表队进行对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1、A2、A3,B队队员是B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下表,现按表中对阵方式进行三场比赛,每场胜队得1分,负队得0分,设A队、B队最后所得总分分别为ξ,η,且ξ+η=3.

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(1)求A

(2)求ξ的分布列,并用统计学的知识说明哪个队实力较强.

答案精析

1.解 (1)ξ的分布列为

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∴E (ξ)=0×12+1×120+2×10+3×20+4×5=2

D (ξ)=(0-3

2)2×12+(1-32)2×120+(2-32)2×110+(3-32)2×320+(4-32)2×15=114

.

(2)由题意可知D (η)=a 2D (ξ)=a 2

×114=11,∴a =±2.

又E (η)=aE (ξ)+b ,

∴当a =2时,1=2×3

2+b ,得b =-2;

当a =-2时,1=-2×3

2+b ,得b =4.

∴???

?

?

a =2,

b =-2

或???

??

a =-2,

b =4.

2.解 (1)记甲,乙,丙各自闯关成功的事件分别为A 1,A 2,A 3, 由已知A 1,A 2,A 3相互独立,且满足

?????

P (A 1)=35

[1-P (A 1

)][1-P (A 3

)]=625

,P (A 2

)P (A 3

)=310

解得P (A 2)=34,P (A 3)=2

5

.

所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为34,2

5.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.

P (ξ=0)=?

????1-35?

?

???1-34?

?

???1-25

=25

×14×35=

6100=350, P (ξ=1)=35?

????1-34?

?

???1-25+34?

????1-35?

?

???

1-25+25?

????1-35?

?

???

1-34

31100

P (ξ=2)=35×3

4×?

????1-25+35×25×?

??

??

1-34+25

×34×?

??

??

1-35

45100=920

, P (ξ=3)=35×34

×25=

18100=9

50

. 所以随机变量ξ的分布列为

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所以随机变量ξ的均值E (ξ)=0×50+1×100+2×20+3×50=175100=7

4

.

3.解 (1)由人工降雨模拟实验的统计数据,用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,得到大雨、中雨、小雨的概率如下表:

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记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E ,则P (E )=P (A 2)P (B 2)P (C 2)=2×2×6=24.

(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p 1、p 2、p 3,

则p 1=P (A 2)=12,p 2=P (B 1)=14,p 3=P (C 2)+P (C 3)=5

6

,ξ的可能取值为0,1,2,3,

P (ξ=0)=(1-p 1)(1-p 2)(1-p 3)=12×34×16=348

P (ξ=1)=p 1(1-p 2)(1-p 3)+(1-p 1)p 2(1-p 3)+(1-p 1)(1-p 2)p 3

=12×34×16+12×14×16+12×34×56=19

48

; P (ξ=2)=p 1p 2(1-p 3)+(1-p 1)p 2p 3+p 1(1-p 2)p 3=12×14×16+12×14×56+12×34×56=2148

; P (ξ=3)=p 1p 2p 3=12

×14×56=548

.

所以随机变量ξ的分布列为

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E (ξ)=348×0+1948×1+2148×2+548×3=1912

.

4.解 (1)记“A 队最后所得总分为1”为事件A 0, ∴P (A 0)=23×35×47+13×25×47+13×35×37=41

105.

(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0,

P (ξ=3)=23×25×37=

12105=4

35, P (ξ=2)=23×25

×47+13×25×37

+23

×35×37=40105=8

21

P (ξ=1)=

41105, P (ξ=0)=13×35

×47=

12105=4

35

, ∴ξ的分布列为

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E (ξ)=0×435

+1×

41105+2×21+3×35=105

. ∵ξ+η=3,∴E (η)=-E (ξ)+3=158

105.

由于E (η)>E (ξ),故B 队的实力较强.