第79练 离散型随机变量的均值与方差
从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列，均值和方差；
(2)若η＝a ξ＋b ，E η＝1，D η＝11，试求a ，b 的值．
2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是3
5，乙、丙两人同
时闯关成功的概率是310，甲、丙两人同时闯关失败的概率是6
25，且三人各自能否闯关成功相
互独立．
(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；
(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的分布列和均值．
3.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：
据：
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．
4．(2016·郑州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
(1)求A
(2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
答案精析
1．解 (1)ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝2
，
D (ξ)＝(0－3
2)2×12＋(1－32)2×120＋(2－32)2×110＋(3－32)2×320＋(4－32)2×15＝114
.
(2)由题意可知D (η)＝a 2D (ξ)＝a 2
×114＝11，∴a ＝±2.
又E (η)＝aE (ξ)＋b ，
∴当a ＝2时，1＝2×3
2＋b ，得b ＝－2；
当a ＝－2时，1＝－2×3
2＋b ，得b ＝4.
∴???
?
?
a ＝2，
b ＝－2
或???
??
a ＝－2，
b ＝4.
2．解 (1)记甲，乙，丙各自闯关成功的事件分别为A 1，A 2，A 3， 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，且满足
?????
P (A 1)＝35
，
[1－P (A 1
)][1－P (A 3
)]＝625
，P (A 2
)P (A 3
)＝310
，
解得P (A 2)＝34，P (A 3)＝2
5
.
所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为34，2
5.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝?
????1－35?
?
???1－34?
?
???1－25
＝25
×14×35＝
6100＝350， P (ξ＝1)＝35?
????1－34?
?
???1－25＋34?
????1－35?
?
???
1－25＋25?
????1－35?
?
???
1－34
＝
31100
，
P (ξ＝2)＝35×3
4×?
????1－25＋35×25×?
??
??
1－34＋25
×34×?
??
??
1－35
＝
45100＝920
， P (ξ＝3)＝35×34
×25＝
18100＝9
50
. 所以随机变量ξ的分布列为
所以随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×50＋1×100＋2×20＋3×50＝175100＝7
4
.
3．解 (1)由人工降雨模拟实验的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：
记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E ，则P (E )＝P (A 2)P (B 2)P (C 2)＝2×2×6＝24.
(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p 1、p 2、p 3，
则p 1＝P (A 2)＝12，p 2＝P (B 1)＝14，p 3＝P (C 2)＋P (C 3)＝5
6
，ξ的可能取值为0,1,2,3，
P (ξ＝0)＝(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)＝12×34×16＝348
；
P (ξ＝1)＝p 1(1－p 2)(1－p 3)＋(1－p 1)p 2(1－p 3)＋(1－p 1)(1－p 2)p 3
＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝19
48
； P (ξ＝2)＝p 1p 2(1－p 3)＋(1－p 1)p 2p 3＋p 1(1－p 2)p 3＝12×14×16＋12×14×56＋12×34×56＝2148
； P (ξ＝3)＝p 1p 2p 3＝12
×14×56＝548
.
所以随机变量ξ的分布列为
E (ξ)＝348×0＋1948×1＋2148×2＋548×3＝1912
.
4．解 (1)记“A 队最后所得总分为1”为事件A 0， ∴P (A 0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41
105.
(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，
P (ξ＝3)＝23×25×37＝
12105＝4
35， P (ξ＝2)＝23×25
×47＋13×25×37
＋23
×35×37＝40105＝8
21
，
P (ξ＝1)＝
41105， P (ξ＝0)＝13×35
×47＝
12105＝4
35
， ∴ξ的分布列为
E (ξ)＝0×435
＋1×
41105＋2×21＋3×35＝105
. ∵ξ＋η＝3，∴E (η)＝－E (ξ)＋3＝158
105.
由于E (η)>E (ξ)，故B 队的实力较强．