2012年北海市高中毕业班第一次质量检测
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分，考生首先阅读答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+
24πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
34π3
V R =
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)(01,2)k k n k
n n
P k C P P k n -=-=，，，
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项正确。）
1.箱子内有4个白球，3个黑球，5个红球，从中任取一个球，取到的是红球的概率为 A.
112
B.
14
C.
13
D.
512
2.已知条件p ：|x + 1|≤2，条件q ：－3≤x ≤2，则p 是q 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
3.函数||y x =的定义域为A ，值域为B ，若{1,0,1}A =-，则B A 为 A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,0,1}-
4.给定两个向量a =（3，4），b =（2，1），若（a +x b ）∥(a －b )，则x 的值等于 A.
2
3
B. －1
C.1
D.－
2
3 5.函数32
()22f x x x =-+，在点(1,(1))f 处的切线方程为
A.20x y +-=
B.0x y +=
C.20x y ++=
D.0x y -=
6.若(0,)
απ
∈，且2
1
sin cos
24
α
α
+=，则tanα的值等于
7.等差数列{}
n
a中，若
4681012
120
a a a a a
++++=，则
910
1
2
a a
-的值为
A.10
B.11
C.12
D.14
8.棱长为4的正四面体P ABC
-，M为PC的中点，则AM与平面ABC所成的角的正弦值为
A.
2
B.
3
C.
2
D.
3
9.设椭圆C：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的左、右焦点分别为
12
,
F F，上顶点为A，过点A
与
2
AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0
2
2
2
1
=
+Q
F
F
F，则椭圆C的离心率为A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
10.过正四棱柱的底面ABCD的顶点A，作与底面成0
30角的截面AB1C1D1，截得的多面体如图，已知AB=1，B1B=D1D，则这个多面体的体积为
A.
2
6
B.
3
6
C.
6
6
D.
4
6
11.现有四个函数①|sin|
y x
=②|sin|
y x x
=?③||cos
y x x
=?④2x
y x
=?的部分图
12.定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，若函数x
31f (x)(1,log x)(1,())5
=*，0x 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，则)(1x f 的值 A.恒为正值 B.等于0
C.恒为负值
D.不大于0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.双曲线
22
1169
x y -=上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为 . 14.9
1()x x
-
的展开式中3x 的系数是 . 15.若不等式|x+3|-|x+1|≤2
3a a -对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 16.定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意不等的实数12,x x 都有1212[()()]()0f x f x x x --<成立，若不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立．则当14x ≤≤时，
y
x
的取值范围为 . 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）记2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S
18.设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知ABC △的周长为3，且sin sin 2sin A B C +=. （Ⅰ）求边c 的长； （Ⅱ）若ABC △的面积为
3
sin 2
C ，求角C 的度数. 19.某企业招聘中，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A 科合格的概率均为23
，每次考B 科合格的概率均为12
。假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。 （Ⅰ）求甲恰好3次考试通过的概率； （Ⅱ）求甲招聘考试通过的概率。
20.如图(1)在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，∠ACB ＝120°现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --．(如图(2)) （Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E DF C --的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论．
图(1) 图(2)
21.已知函数3
2
()22f x x bx cx =++-的图像在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。 （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）设函数1
()()3
g x f x mx =+
，若()g x 存在极值，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.
22.如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点，
12,,EM MB EN NB λλ==证明：12λλ+为定值。
2012年北海市高中毕业班第一次质量检测
文科数学参考答案及评分标准
说明：
1、本参考答案提供一至两种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则；
2、解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分；
3、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。
13．13 14．84- 15. [1,2] 16．1
[,1]2
-
三、解答题：（共70分） 17．【解】（I ）设公差为d ，则2111(2)(8)a d a a d +=+即20d d -=
解得 1d =或0d =（舍
去）……………………………………………………………………4分
所以
1(1)n a n n =+-= …………………………………………………………………………5分 【解】（II ）22n
a n n
b ==，
12(12)
24822212
n n
n n S +-=+++???+==--………………………………………………………
10分
18．【解】（I ）由已知及正弦定理得3
2a b c a b c ++=??
+=?
，解得
1c =………………………………………… 5分
【
解
】
（
II
）
ABC
△的面积
为
2
s i n 5
C 即
124
sin sin 255
ab C c ab =?=…………………………… 7分 由（I ）得2a b +=
由
余
弦
定
理
得
22222cos ()2(1cos )c a b ab C a b ab C =+-=+-+………………………… 9分
即
8
14(1cos )5
C =-+ …………………………………………………………………………
10分
所
以
7
c
o 8
C =
(12)
分
19．设甲“第一次考A 科成绩合格”为事件1A ，
“ A 科补考后成绩合格”为事件2A ， “第一次考B 科成绩合格”为事件1B ，“B 科补考后成绩合格”为事件
2B 。…………………… 1分
【解】（Ⅰ）甲恰好3次考试通过的概率为：
1121212111215
()()32233218
P P A B B P A A B =+=
??+??=……………6分 【解】（Ⅱ）由题意知，甲招聘考试通过，考试的次数为2，3，4
1112111212122112121112112
()()()().3233232233223
P P A B P A A B P A B B P A A B B =+++=
?+??+??+???=…………………12分
20．【解法一】（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，
又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分
【解】（II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角，
∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的点M ，使EM ∥AD ，∴EM ⊥平
面BCD ，
过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，
∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角. (6)
分
设CD ＝a,则AC ＝BC ＝2a , AD ＝DB , △DFC 中,设底边DF 上的
高为h 由
x
DFC 11
1122222S a a h ?=
??
=???， ∴h ＝2
a
在Rt △EMN 中，EM =
122AD a =
，MN =12 h ＝4
a ，∴
tan ∠MNE =2 从而cos ∠MNE 8分 【解】（Ⅲ）在线段BC 上不存在点P ，使AP ⊥DE ，……………………… 9分
证明如下：在图2中, 作AG ⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由已知得 ∠AED ＝120°，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线 上，过Q 作PQ ⊥CD 交BC 于P ∴PQ ⊥平面ACD ∴PQ ⊥DE
∴DE ⊥平面APQ ∴AP ⊥DE.但P 在BC 的延长线上。 (12)
分
【法二】（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y
轴，建立空间直角坐标系，
设CD ＝a ，则AC ＝BC
＝2a , AD ＝DB 则A （0，0
），
B ，0，0），
C （0，,0,),(0,
),,,0)22
a a
a E F .……………………… 5分 取平面CDF 的法向量为(0,0,1)m =设平面EDF 的法向量为),,
(z y x =
则??
???=?=?0
n DF 得0(3,0y n y +==-+=?? 取，…………6分 5
cos ,|||
|
m n m n m n ?<>=
=，……………………………………… 7分 所以二面角E —DF —C 8分
【解】（Ⅲ）设23
(,,0),0322
a P x y AP DE y a y a ?=-=∴=则，
又(3,,0),(,,0)BP x a y PC x a y =-=--， ……………………………………… 9分
//,()(),BP PC x a y xy x ∴-=-∴=
………………………11分
把3y a x ==-代入上式得，可知点P 在BC 的延长线上
所
以
在
线
段
BC
上
不
存
在
点
P
使
AP ⊥DE. ……………………………………………… 12分
21．【解】（Ⅰ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① ……………… 2分
又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=…
②… 4分
联
立
①
②
，
解
得
1,1b c =-=.…………………………………………………………5分
所
以
函
数
的
解
析
式
为
32()22f x x x x =-+- ……………………………………… 6分
【解】（Ⅱ）因为32
1
()223
g x x x x mx =-+-+
令
21
()34103
g x x x m '=-++=………………………………………………………7分
当函数有极值时，方程2
134103
x x m -++=有实数解，则0?≥………………
8分
由
4(1)0
m ?=-≥，得
1m ≤. ……………………………………………………… 9分
当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在2
3
x =两侧均有()0g x '>，
故
函
数
()g x 无极值，舍
去； ………………………………………………………… 10分 当1m <时，方程21
()34103
g x x x m '=-++
=有两个不等的实根，即有极值。
故，当1m <时，函数()y g x =有极值。…………………………………………… 12分
22．【解】（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变．且点Q 在曲线C 上,
∴|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2
5
21222=+＞
|AB |=4．………………………………… 3分
∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆． 设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则
2a =25,∴a =5,c =2,b =1 …………… 4分
∴
曲
线
C
的
方
程
为
5
2x +y 2
=1 ……………………………………………………………5分 【证法1】（Ⅱ）：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，
易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相
交． ∵1EM MB λ=，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．
∴ 11
112λλ+=
x ，1
011λ+=y y ………………………………………………………… 7分 将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(
5121
02
11=+++λλλy ，
去分母整理，得055102
012
1=-++y λλ…………………………………………
9分
同理，由2EN NB λ=可得：055102
022
2=-++y λλ…………………………
10分
∴
1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根 ……………………………
11分
∴
1021-=+λλ……………………………………………………………………
12分
【证法2】（Ⅱ）：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，
易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相
交． 显然直线 l 的斜率存在，设直线l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是
)2(-=x k y …6分
将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得
052020)51(2222=-+-+k x k x k ．
∴ 22215120k k x x +=+，2
221515
20k
k x x +-=…………………………………………… 8分 又 ∵1EM MB λ=， 则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1
1
12x x -=λ，
同理，由2EN NB λ=，∴2
2
22x x -=
λ………………………………………………10分
∴10)(242)(2222
1212
121221121-==++--+=-+-=
+ x x x x x x x x x x x x λλ
……………………12分