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第四讲 导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

函数的零点

【题型一】函数的零点个数

【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数,常通过研究函数的单调性、极值后,描绘出函数的图象,再借助图象加以判断。

【例1】已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间;

()II 若()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点,求m

的取值范围。

变式:已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程

()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则

1234_________.

x x x x +++=

【答案】 -8

【解析】因为定义在R 上的奇函数,满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0) 在区间

[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<,由对称性知

1212

x x +=-,

344

x x +=.

所以12341248

x x x x +++=-+=-.

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【题型二】复合函数的零点个数

复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的,在处理其零点个数问题时,应分清内层

6

和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =,则()()h x f d c =- 第一步:先判断()f d c =的零点个数情况 第二步:再判断()f x d =的零点个数情况

【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,,求函数()y h x =的零点个数

1.(江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试(数学)已知函数

322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两

个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点

【解题技巧】(1)要求证一个函数存在零点,只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即:

如果函数()f x 在区间[]a b ,上是一条连续不断曲线,并且()()0f a f b ?<,则函数

()f x 在区间()a b ,上至少有一个零点。即存在一点()0x a b ∈,,使得0()0f x =,

这个0x 也就是方程()0f x =的根.

(2)要求证一个函数“有且只有一个”零点,先要证明函数为单调函数,即存在零点;再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为:

如果函数()f x 在区间[]a b ,上是单调函数,并且()()0f a f b ?<,则函数()f x 在区间

()a b ,上至多有一个零点。

【例3】设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;

(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围.

变式:设函数()ln f x x =,()a

g x x

=

,()()()F x f x g x =+。若方程()f x mx =在区间2[1

,]e 上有唯一实数解,求实数m 的取值范围;

解析:方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解等价于

方程ln x m

x

=

在区间2

[1,]e 上有唯一实数解。 记2ln ()[1,]x h x x e x =

∈,则2

1ln ()x

h x x

-'=, 令()0h x '=,得:x e =, 当[1,]x e ∈时,()0h x '>,()h x 递增;

当2

[,]x e e ∈时,()0h x '<,()h x 递减。所以max 1

()()h x h e e

==

。 易求得:(1)

0h =,22

2()h e e =

为使方程ln x m x

=

在区间2

[1,]e 上有唯一实数解, 则直线y m =与函数ln ()x

y h x x

==的图象有唯一交点,

根据()h x 的图象可知:1

m

e

=

或 2

20m e ≤<。

故m 的取值范围是2210,e e ?

????????

???。

【例4】已知函数()x f x e mx =-在(1,)-+∞上没有零点,求m 的取值范围;

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例5】(2013·江苏卷)设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x

-=)(,其中a 为实数.若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.

基础练习:

1.己知()ln x

f x a x a =--e ,其中常数0a >. (1)当a =e 时,求函数()f x 的极值;

2.已知函数f (x )=1

2m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R .当m >0时,若曲线y =f (x )在

点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.

3.已知函数1

()1x f x x e

=-+

(a R ∈,e 为自然对数的底数).若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.

4.已知函数f (x )=13x 3+1-a 2x 2

-ax -a ,x ∈R,其中a >0.若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两

个零点,求a 的取值范围;

5.设1a >,函数a e x x f x

-+=)1()(2. (1) 求)(x f 的单调区间 ;

(2) 证明:)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点;

参考答案与解析

【例1】解析:(1)'

2

2

()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时,对x R ∈,有'

()0,f x > 当0a <时,()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时,由'

()0f x >解得x

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由'

()0f x <解得x <<

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当0a >时,()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞;()f x 的单调减区间为

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(。

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(2)因为()f x 在1x =-处取得极大值,

所以'2

(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以3

'

2

()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'

()0f x =解得121,1x x =-=。

由(1)中()f x 的单调性可知,()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=, 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点,又(3)193f -=-<-,

(3)171f =>,

结合()f x 的单调性可知,m 的取值范围是(3,1)-。 【例2】令3()3f x x x d =-=,则:

()(())()h x f f x c f d c =-=-

(1)先讨论关于d 的方程()=c f d 即33d d c -=根的情况:[]2, 2c ∈-

2()333(1)(1)f d d d d '=-=-+

∴()f d 在区间(),1-∞-上单调递增,在区间()1,1-单调递减,在区间()1,+∞单调递增。

()(1)2f d f =

=-极小值 ()(1)2f d f =-=极大值 描绘出函数的草图,并据草图可得:方程()=c f d 根的情况如下表所示:

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(2)下面考虑方程()f x d =即33x x d -=根的情况:

据上述表格及图形()f x d =和()=c f d 的根的情况如下表

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综上所述:

当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点; 当2c <时,函数()y h x =有9 个零点。

【例3】解:(1) '

2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 2

39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-

,即m 的最大值为34

- (2) 因为 当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或

52

a >

. 【例4】 方法一:当0n =,可得()()x

x

h x e mx e m ''=-=-,因为1x >-,所以1x

e e

>

①当1m e

时,()0x

h x e m '=->,函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增,而(0)1h =, 所以只需1

(1)0h m e

-=+≥,解得1m e ≥-,从而11m e e -≤≤.

②当1m e

>时,由()0x

h x e m '=-=,解得ln (1,)x m =∈-+∞,

当(1,ln )x m ∈-时,()0h x '<,()h x 单调递减;当(ln ,)x m ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增.

所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-, 令ln 0m m m ->,解得m e <,所以

1

m e e

<<. 综上所述,1

[,)m e e

∈-. 方法二:当0n =,x

e mx = ①当0x =时,显然不成立;

②当1x >-且0x ≠时,x e m x =,令x

e y x

=,则()22

1x

x x e x e x e y x x --'==,当10x -<<时,0y '<,函数x e y x =单调递减,01x <<时,0y '<,函数x

e y x =单调递减,当1

x >时,0y '>,函数x e y x =单调递增,又11x e y =-=-,1x y e ==,由题意知1

[,)m e e

∈-.

【例5】a x g x

-='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立,则a ≤e x ,故:a ≤1e

)0(11)(>-=-=

'x x

ax a x x f . (ⅰ)若0<a ≤1e ,令)(x f '>0得增区间为(0,1

a );

令)(x f '<0得减区间为(1

a

,﹢∞).

当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹣∞; 当x =1a 时,f (1a )=﹣ln a -1≥0,当且仅当a =1

e

时取等号.

故:当a =1e 时,f (x )有1个零点;当0<a <1

e 时,

f (x )有2个零点.

(ⅱ)若a =0,则f (x )=﹣ln x ,易得f (x )有1个零点.

(ⅲ)若a <0,则01

)(>-=

'a x

x f 在)0(∞+,上恒成立, 即:ax x x f -=ln )(在)0(∞+,上是单调增函数, 当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹢∞. 此时,f (x )有1个零点.

综上所述:当a =1e 或a <0时,f (x )有1个零点;当0<a <1

e 时,

f (x )有2个零点.

练习1、【答案】(1)()f x 有极小值0,没有极大值 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞,

(1)当e a =时,()e eln e x f x x =--,e ()e x

f x x

'=-

, 而e

()e x

f x x

'=-

在(0,)+∞上单调递增,又(1)0f '=, 当01x <<时,()(1)0f x f ''<=,则()f x 在(0,1)上单调递减;

当1x >时,()(1)0

f x f ''>=,则()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()f x 有极小值(1)0f =,没有极大值.

2、【解析】由f′(x )=mx -m -2+1x

,得f′(1)=-1,

所以曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 的方程为y =-x +2. 由题意得,关于x 的方程f (x )=-x +2有且只有一个解, 即关于x 的方程1

2m (x -1)2-x +1+ln x =0有且只有一个解.

令g (x )=1

2

m (x -1)2-x +1+ln x (x >0).

则g′(x )=m (x -1)-1+1x =mx 2

-(m +1)x +1x =(x -1)(mx -1)

x

(x >0).

①当0<m <1时,由g′(x )>0得0<x <1或x >1m ,由g′(x )<0得1<x <1

m ,

所以函数g (x )在(0,1)为增函数,在(1,1m )上为减函数,在(1

m ,+∞)上为增函

数.

又g (1)=0,且当x →∞时,g (x )→∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故0<m <1不合题意.

②当m =1时,g′(x )≥0,g (x )在(0,+∞)上为增函数,且g (1)=0,故m =1符

合题意.

③当m >1时,由g′(x )>0得0<x <1m 或x >1,由g′(x )<0得1

m

<x <1,

所以函数g (x )在(0,1m ) 为增函数,在(1

m ,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函

数.

又g (1)=0,且当x →0时,g (x )→-∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故m >1不合题意.

综上,实数m 的值为m =1. 3、【答案】解: 当1a =时,()1

1x

f x x e =-+ 令()()()()111x

g x f x kx k x e =--=-+

, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1

1

11101k g k e -??

=-+<

?-??

, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程

()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.

又1k =时,()1

0x

g x e =

>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二:

(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)当1a =时,()11x

f x x e =-+

. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程1

11x kx x e

-=-+

在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x

k x e -=

(*)

在R 上没有实数解. ①当1k =时,方程(*)可化为

1

0x e

=,在R 上没有实数解.

②当1k ≠时,方程(*)化为

1

1

x xe k =-. 令()x

g x xe =,则有()()1x

g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,

当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:

第四讲 导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

当1x =-时,()min g x e

=-

,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ??-+∞????

.

所以当

11,1k e ?

?∈-∞- ?-??

时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.

5、【答案】(1)(),-∞+∞;(2)见解析; 【解析】(1)依题()()()()()

2

22'1'1'10x x

x f x x e x e x e =+++=+≥,

∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数; (2)∵ 1a >,

∴ ()010f a =-<且()()

22110a f a a e a a a =+->+->, ∴ ()f x 在()0,a 上有零点,

又由(1)知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数,

()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点;

【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式,导数的几何意义等知识.

【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立,导数的几何意义等基

础知识,属于中高档题,解答此题关键在于第(1)问要准确求出()f x 的导数,第(2)问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论,第(3)问由导数的几何意义易得()2

2

1m m e a e

+=-

对比要证明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并

第四讲 导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

利用导数证明1m e m ≥+成立,则易证1m ≤-.