组合投资的收益和风险问题
姓名：王艳秀
班级：数学112
学号：3110801205
指导老师：周金明成绩：
完成日期：2013年7月3日
摘要
投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。而本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。
首先，根据题中表一给出的数据用线性规划的方法建立目标优化模型，然后用LINGO求其最优解，在不考虑投资风险的情况下，得到了五年内的最佳投资方案，并得第五年末所得最大利润为153254.4万元，问题一得到了解决。
对于问题二，是分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。
先根据表2数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。最后，对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。
问题三是建立在问题一的基础上，增加了约束条件（考虑项目间的影响）的组合投资问题，建立非线性规划模型，再次在LINGO中求解得第五年末的最大利润。
而问题四，主要应用了多目标非线性规划，对此规划解决时又应用了偏好系数加权法，最终在LINGO上针对此模型编程序，得到了不同权系数下的最优投资方案。问题五采用与问题四类似的方法解决。
关键词：线性规划非线性规划LINGO 到期利润率风险
最优解约数条件
一、问题重述
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
阅读完以上资料后，结合查询资料，请做出合理假设并完成以下要求：
一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。
试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？
二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目) 试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。
各投资项目的投资上限见表4。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？
四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。
如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？
五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?
二、问题的假设
问题1的分析，该问题是一个单目标的优化问题，该决策受到两个条件的限制：
1）各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间，公司对该项目的投资总额不能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资开始到回收本利的这段时间。例如：第一年对项目三投资了30000万元，由于项目三的投资上限是40000万元，运行周期为两年，则第二年，该公司对项目三的投资额不能超过10000万元；
2）每年的可用资金。每年的可用资金等于上年的可用资金减去上年的总投资额再加上上年末各项目回收的本利。每年8个项目的投资金额总数不能超过该年的可用资金。
问题二的分析，根据公司财务人员收集的8个项目近20年的投资额与到期利润数据，预测未来五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率。对于预测问题，首先我们可以运用回归模型来解决该问题，也就是进行回归预测。另外，在有些情况下，当模型具有时相关性的时候，用回归预测的方法就难以解决该问题，而且模型的效果也不理想，在这种情况下我们可以考虑另外的方法，运用时间序列的知识来解决该问题。建立一次滑动平均模型，即MA(1)模型。
问题3的分析，该题与问题一类似，也属于优化问题。其目标仍是在不考虑风险的情况下使第五年末所得总利润最大，要做的决策是5年内的投资计划。但它与问题一的不同之处在于：
1）各项目的预计到期利润率不同。各项目的投资上限也不同。
2）约束条件也不尽相同。
3）同时还要考虑问题二中的特定项目之间相互影响的问题，即当两个相互影响的项目同时在某年初投资时，这两个项目的预计到期利润率就应该按照相互影响下的利润率来算。
因此，该题仍可用数学规划的方法求解。
1：无交易费和投资费用等的费用开支；
2：在投资的5年时间内市场发展基本上是稳定的；
3：投资期间社会政策无较大变化；
4：公司的经济发展对投资无较大影响；
5：外界因素对投资的资产无较大影响。
三、符号的约定
z
第五年末的利润；
i m 第i 年初的可用总资金，也就是第1-i 年末的可用总资金； i w 第i 年获得捐赠的资金数目 i k 第i 年第五个项目重复投资的次数 i o 三个项目同时投资的利润率 i q
两个项目同时投资的利润率 σ
收益的标准差；
j l
第j 个项目的投资额上限； ij x 第i 年初对第j 个项目的投资额； j p 模型一中第j 个项目的预计到期利润率； ij c
模型三中第i 年第 j 个项目的利润率；
四、模型建立与求解
4.1 问题1模型的建立与求解
通过以上的分析，我们可以运用线性规划的方法建立模型1。 目标函数是第五年末的总利润:
∑∑===815
1
max j i j ij p x z
(1.0)
约束条件为：
项目1和2每年的投资金额的限制：
j ij l x ≤,)2,1,5,4,3,2,1(==j i
(1.1)
项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：
j j i ij l x x ≤+-,1,)4,3,5,4,3,2(==j i
(1.2)
项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：
j j i j i ij l x x x ≤++--,2,1,)6,5,5,4,3(==j i
(1.3)
项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次：
727l x ≤
(1.4)
项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：
838l x ≤
(1.5)
第i 年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：
i j ij
m x
≤∑=8
1
,)5,4,3,2,1(=i
(1.6)
第一年的投资金额上限：
2000001=m
（1.7)
第i 年的投资金上限i m 为第i-1初的资金1i m -减去第i-1年投资用去的资金，再加上第i-1年末回收的的资金, 第2年初至第6年初的投资资金依次如下：
)1()1(2121118
1112p x p x x m m j j ++++-=∑=
(1.8)
)1()1()1()1(4143132221218
1
223p x p x p x p x x m m j j ++++++++-=∑=
(1.9)
)
1()1()1()1()1()1(6165154243232321318
1
334p x p x p x p x p x p x x m m j j ++++++++++++-=∑=
(1.10)
)
1()1()1()1()1()1(6265254343332421418
1
445p x p x p x p x p x p x x m m j j ++++++++
++++-=∑= (1.11)
)
1()1()1()1()1()1()1()1(8387276365354443432521518
1
556p x p x p x p x p x p x p x p x x m m j j ++++++++++
++++++-=∑= (1.12)
用Lingo 编写程序，程序见附录1。解得最大利润为 153254.4（万元） ， 投资方案如表1所示
表错误！文档中没有指定样式的文字。:2 各年的可用金额(单位：万元)
表错误！文档中没有指定样式的文字。:3各年的投资金额总数（单位：万元)
问题1模型的检验
在该模型中，影响最终利润的因素有个：（1）预计到期列率；（2）可用投资总资金；（3）各投资项目的上限。我们可以通过分别独立改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度，从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。总之，通过改变各参数的值，又可以反映和检测所建模型的实际合理性。
4.1.1预计到期利润率灵敏度分析
本问题目标函数是总利润最大，而当投资总资金和各投资项目的上限一定时，总利润就是与各项目的到期利润率相关，但是作为投资，当利润率越大，获得的利润也相应的越大。所以利润率增大，对实际的投资就越有利。而当利润率减小时，相应的利润也会减小，当利润率减小到一定值的时候，就会出现投资的一个边缘利润，当利润小于这个边缘利润的时候，实际的投资价值就不高，所以投资的项目安排也应该考虑利润率的问题。总的来说，在不考虑风险的情况下，投资利润与投资利润率成正比的关系。
4.1.2可用投资总资金的灵敏度分析
利润为投资资金与到期利润率的乘积，所以总的可用投资资金直接影响着总利润。所以在实际投资当中，我们就要充分考虑可用投资总资金的改变对总的利
润的改变的显著性的大小。假设其他的条件不改变，通过改变投资总资金的大小来观测总收入的变化，具体结果如表4所示，对应曲线如图1所示：
图1利润与可用投资资金的曲线
由表格所得的数据及所对应的图象可以得出：
1）当可用投资总额小于208000万元时，总的利润与投资额呈现正比的关系，即投资资金小于208000万元时，投资资金越大，所获得的总利润也相应的越大；反之就越小。但是又由图象可以看出，投资资金在170000万元到208000万元之间，图象可以分为三个阶段（1.7-1.8，1.8-1.9，1.9-2.08），随着投资金额的增大，总利润的增加速率逐渐减小，说明投资资金对总利润的影响越来越小，但是在170000-208000之间，投资金额还是该模型的一个紧约束。
2）当可用投资总额大于208000万元时，由图象可以看出，可用投资总额与总利润没有关系，此时的总利润保持154700.0万元不变，所以当投资额大于208000万元时，大于208000万元的那部分对投资来说就是一种浪费，完全没有
利润所言，所以作为实际的投资决策者，应该保持可用的投资额接近208000万，不能超过208000万元，以便获得最大的总利润154700.0万元。
4.1.3投资上限的灵敏度分析
各个项目的投资上限也是影响总利润的重要因素，通过改变各个项目的投资上限来观测总利润的变化，从而进一步分析模型，表1.5列出了上限在-20000万元到20000之间变化的利润变化。
表5投资上限的变化与利润的变化
改变量
-20000 15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 项目
1 -8554.4 -6054.4 -3554.4 -1757.4 0 1757.5 3514.9 5272.3 6445.9
2 -9554.4 -6804.4 -4054.4 -2023.8 0 2023.9 4047.8 6071.7 7647.3
3 -8554.
4 -6054.4 -3554.4 -1685.1 0 1685.2 3370.4 5055.6 6740.8
4 -9354.4 -6654.4 -3954.4 -1892.
5 0 1892.
6 3785.2 5677.8 7570.4
5 -7558 -5665.1 -3772.3 -1879.
6 0 1879.
7 3759.3 5638.9 7518.6
6 -8592.5 -6444.4 -4296.3 -2148.1 0 2148.2 4296.3 6442 8584.9
7 -14554.4 -10554.4 -6554.4 -3093.7 0 3092.6 6185.2 9277.8 12370.4
8 -9558 -7165.1 -4772.3 -2379.6 0 2379.7 4759.3 7138.9 9518.6
进一步用MatLab画出上表对应的曲线如图2所示
图2 投资上限变化量与利润变化的关系
上述表1.5和图1.2均反映了各项目上限变动后的总利润与不发生变动前的总利润的差值。由此可以看出，每个项目上限值均与总利润成正比，呈线性分布，即各项目上限的变动对总利润都有影响，但影响的程度各不相同。分析图2发现各项目上限的变动对总利润的影响大致可分为四组，每组中的各项目上限变动对总利润的影响大致持平。
分析各项目的预计到期利润率，发现各项目投资上限变动对总利润的影响的大小与其预计到期利润率的大小大致上呈正相关，即利润率越大，其上限变动对总利润的影响也越大。这符合现实中的经济投资理论，投资的目的是最大化总利
润，为了实现这个目的，应尽可能的把资金投资在利润大的项目上，所以，当利润大的项目的投资上限变大时，由于是尽可能的将资金投资在该项目上，则总利润也就相应的增大。
通过以上对公司的投资资金和各项目的投资上限的灵敏度分析，我们可以发现，这两个因素的变化对总利润的影响都符合现实的经济投资理论，故模型1具有一定的现实合理性。
4.2 问题2模型的建立与求解
运用时间序列分析的方法来建立模型，即利用一个时间序列在t时刻的有效观测值去预报在某个未来时刻t+l该序列的值。我们利用时间序列模型中的一次滑动平均模型（简称MA(1) ）来解决该问题，并用DPS数据处理系统软件和Excel软件处理数据和进行求解。
4.2.1独立投资时，对未来五年投资的到期利润率和风险损失率的预测。
1.到期利润率的预测
首先由表2的数据求出各个项目每年的到期利润率见附表[1]，MA (q)模型识别原则：如果随机序列的自相关函数截尾，即自q步以后有pk=0(k>q)，而它的偏自相关函数拖尾，则可断定该序列是滑动平均MA(q)序列。实际上，当k>q 以后，pk=0是理论上的，一般的情况下，样本自相关函数不会在q步以后全为0,而只是在0的上下波动。但可以证明k>q，样本自相关函数pk渐近服从正态分布N(0,1/n)。
为了更好的处理数据，我们首先计算得到20年每项目的平均利润率见附表[2]，平均利润率也即到期利润率的趋势值。
对样本数据零均值化：实际观测到到期利润率与趋势值之差,具体数据见附表[3]。
接着计算该序列标准自相关函数与偏相关函数，项目1的计算结果如表6所示
表6 项目1的相关函数
其他项目的相关函数求法与上面类似。分析上面的数据不难发现偏相关函数
逐渐趋向于零，可认为它是拖尾的。而自相关函数的变化有一定的起伏，但在一定的区间内我们可认为在以后是截尾的。根据MA模型判断准则，该时间序列是MA(1)序列。
用DPS数据处理软件中MA（1）模型可得项目一的2006年的到期利润率：0.142366。把预测到的到期利润率加入样本中，再用MA(1)预测下一年的到期利润率。依次类推，得到2006年接下来四年的到期利润率。各项目的利润率预期值如表7所示。
表7项目利润率的预测值
2.风险损失率的预测
风险是指投资中未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。由于投资的风险是在投资之后发生的，而投资者又希望投资前或投资时能够了解到投资的风险，因此，人们通常用投资后收益的各种可能情况及各种可能情况出现的概率来描述风险的程度，即用概率分布来测度风险的程度。
我们用收益的标准差σ来测度风险。标准差是方差的平方根，而方差是各种可能值相对于期望值离散程度的指标，收益率的方差σ2是各种可能收益率相对于期望收益率离散程度的指标。
由于各种可能收益的波动程度越大，方差的均值就越大，所以，方差和标准差可用来测度风险，方差和标准差越大，就意味着风险越大。
根据统计学原理，样本的个数越大，对变动率的预测就越准确。所以我们把上面预测出来的到期利润率放到样本中，再进行风险的预测与求解。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表8所示：
表8 各项目的风险损失率
项目的投资风险损失率与该项目的投资额的多少、项目的运行期的长短有着密切的关系，投资的资金越多，项目的运行期越长，相应承担的风险就越大。由表中的数据我们发现比较符合该事实，所以模型的建立比较成功。
4.2.2项目之间相互影响下的投资到期利润率和风险损失率
1.到期利润率的预测
到期利润率的求法与上面的模型基本相似，仍然采用滑动平均的模型对其进行预测。首先算出相互影响下的到期利润率，结果见附表[4]。
接着求出标准自相关函数与偏自相关函数，见附表[5]。
根据自相关函数和偏自相关函数的数据，我们确立运用ARMA(3,1)模型进行预测，运用DPS数据处理软件预测各项目的投资到期利润率结果如表9所示
表9项目利润率的预测值
表10 相互影响投资是的预测利润率
2 风险损失率的预测
与独立投资时一样，我们仍然用标准差来代替风险损失率。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表11所示：
表11 相互影响投资时的风险损失率
4.3 问题三模型的建立与求解
运用非线性规划的方法建立模型三 目标函数是第五年末的总利:
20z max 6-=m
（3.0）
约束条件为：
项目1和2每年的投资金额的限制：
j ij l x ≤，)2,1,5,4,3,2,1(==j i
(3.1)
项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：
j j i ij l x x ≤+-,1，)4,3,5,4,3,2(==j i
(3.2)
项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：
j j i j i ij l x x x ≤++--,2,1 ，)6,5,5,4,3(==j i
(3.3)
项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次：
7
27l x ≤ (3.4)
项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：
838l x ≤
(3.5)
第i 年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：
i j ij
m x
≤∑=8
1
，)5,4,3,2,1(=i
(3.6)
当01≠i x 时
1*0.01i i w x =
(3.7)
第一年的投资金额上限：
2000001=m
(3.8)
第i 年的投资金上限
i
m 为第i-1初的资金
1
i m -减去第i-1年投资用去的资金，
再加上第i-1年末回收的的资金, 第2年初至第6年初的投资资金依次如下：
8
2111111121221
(1)(1)j j m m x x c x c w ==-+++++∑
(3.9)
8
322212122221323142431
(1)(1)(1)(1)j j m m x x c x c x c x c w ==-+++++++++∑
(3.10)
8
4333131323223232424151516161
(1)(1)(1)(1)(1)(1)j j m m x x c x c x c x c x c x c w
==-+++++++++++++∑
(3.11)
8
5444141424233333434252526265
1(1)(1)(1)(1)(1)(1)j j m m x x c x c x c x c x c x c w ==-+++++++++++++∑ (3.12) 8
6555151525243434444353536627738381
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
j j m m x x c x c x c x c x c x p x p x c ==-++++++++++++++++∑ (3.13)
当34*0i i x x ≠时，
334,4i i c q c q ==
(3.14)
当568**0i i i x x x ≠时
55,6688,i i i c o c o c o ===
(3.15)
否则当 56*0i i x x =
88i c p = (3.16)
5500*i i x k =
(3.17)
根据第二问的结果，上面的优化问题通过lingo 求解得出的结果如表12： 。 表12 投资的分配方式
4.4问题4模型的建立与求解
基于投资越分散，总的风险越小，故利润和风险共同影响公司投资决策，即投资的目标有两个：一是要求尽可能使得利润最大，一是尽可能使得总体风险最小。
根据上面的分析我们在问题三的基础上再加上一个目标函数：
min q=max 5
,...,18
,...,1==j i （ij q ），
另外加上约束条件：
ij q =ij x *ij b ；i=1,…,8 j=1,…,5 ij q <=q; i=1,…,8 j=1,…,5
此时的问题成了多目标非线性规划：max R=5y -0y min q=max 5
,...,18,...,1==j i （ij q ）
为了解决此问题利用偏好系数加权法，将多目标规划转化为单目标规划，即 目标函数转化为：max Q=（1-?）*（y5-y0）—?*q
约束条件为：∑=8
1i ij x ≤1-j y +1%*j x 1，j=1,…,
0≤i x 1≤60000, j=1,…5 0≤j x 2≤60000, j=1,…5 0≤j x 3≤35000, j=1,…5 0≤j x 4≤30000, j=1,…5 0≤j x 5≤30000 , j=1,…5 0≤j x 6≤40000 , j=1,…5 0≤j x 7≤30000, j=1,…5 0≤j x 8≤30000 , j=1,…5 ij q =ij x *ij b ；i=1,…,8 j=1,…,5 ij q <=q; i=1,…,8 j=1,…,5
其中，权重数1-?与?分别表示投资者对净收益大小和总体投资风险两者的重视程度。所以?的大小带有主观因素，主要由投资公司决定。?的取值范围为[0，1]。?越大，表示投资者越重视总体风险的大小，也即希望风险尽可能的小。
当?=1时，表示投资者极端厌恶风险，此时如有无风险的所供投资项目存在，则这时投资者会毫不犹豫地选取无风险项目进行投资，如，?=0时，则这种为无视风险，一味追求期望净收益。
运用参数规划技术得到有效投资方案，为此公司决策提供定量的依据。具体数据我们根据?的不同取值得到了相应的R值，利用MATLAB打散点图（见下图）单单位：亿元
由此图可以看出，当?取值属于[0.012,0.3]之间时，最大利润R的取值比较稳定，大致处于[43.47,43.8]之间。当?取值在0.5附近如0.51、0.55时R 的值出现了反常现象,有一个峰顶和特低谷,可能是因为在利润和风险的注重程度相当时不好做决策。从0.7之后R的取值与?大致成反比,开始下降。下面我们仅列出?=0.2时的最佳方案（参看表6）。
由表6可以看出，第一年项目3、4同时投资，项目5、6同时投资；第二年项目5、6同时投资；第三年，项目5、6、8同时投资；第四年项目3、4同时投资
j x 0的取值见表7
同时我们得到了j n 的值：1n =60；2n =60；3n =60，所以我们得到项目5在2006—2008年都进行了重复投资，且重复投资的次数为60次。 综上所述，问题四得到了解决。
4.5 问题5模型的建立与求解
考虑公司从银行贷款取决于公司资产总额，因向银行贷款需有贷款低压，但本文没有指明公司是否可通过其他渠道获得额外的资金作为低压贷款，故模型简化为公司每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金。 模型假设：
1. 设公司每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金。 2. 设每年年初贷款额为 j yy ,j=1, (5)
3. 设5年之中不管哪一年贷款均在第五年年末还。
4. 假设每年的银行存款都是在该年年末取回本金和利息。
5. 假设五年内银行存款率和贷款利率不变，分别为r=0.033,t=0.075
模型建立
由于本题考虑到将银行存款也作为一种投资方式,且无风险,所以将银行存款作为第9个投资项目且风险率为0.用j x 9表示第j 年存款金额，再加上考虑每年的贷款，在第四问所建模型的基础上建立模型五，如下：
1y =0y +1yy +1%*01x *11x -∑=8
1
1i i x +∑=+2
1
11)1(i i i x c +91x （1+r ）；
2
y =1y +2yy +1%*02x *12x -∑=81
2i i x +∑=+21
22)1(i i i x c +∑=+4
3
11)1(i i i i x c +92
x （1+r ）;
3y =2y +3yy +1%*03x *13x -
∑=8
1
3
i i x
+
∑=+2
1
33
)1(i i i x c
+
∑=+4
3
22
)1(i i i x c
+
∑=+6
5
11
)1(i i i x c
+93x （1+r ）;
4y =3y +4yy +1%*04x *14x -
∑=8
1
4
i i x
+
∑=+2
1
44
)1(i i i x c
+
∑=+4
3
33
)1(i i i x c
+
∑=+6
5
22
)1(i i i x c
+94x （1+r ）;
5y =4y +5yy +1%*05x *15x -
∑=8
1
5
i i x
+
∑=+2
1
55
)1(i i i x c
+
∑=+4
3
44
)1(i i i x c
+
∑=+6
5
33
)1(i i i x c
+(1+72
c ）72x +（1+83c ）83x +95x （1+r ）
目标函数：max Q=（1-?）*（y5-y0-155
1)1(+-=+∑j j j t yy ）—?*q
R= y5-y0-155
1
)1(+-=+∑j j j t yy ；
另外加上约束条件：
j yy <=1-j y ，j=1,…,5
∑=9
1
i ij
x
≤1-j y +1%*j x 1+j yy ,j=1,…,5
用与问题四类似的方法求解此模型，得结果如下： 当?=0.2时
表中元素为项目i 第j 年的投资额(其中i=1,…,9) R=516256万元
有表可以看出第一年用于存款的资金不多，后两年的存款大大增加，特别是最后一年用于存款的金额特别多。而贷款只有前两年贷了，后三年都没有贷款。
五、模型评价与改进
5.1 模型的优点
对于问题一，在建立模型时考虑的很全面，并且模型中对各方面都有很好的体现，所以此题的模型建立的很好，计算的结果也很符合实际。
对于问题二，前四个项目的利润率总体变化不是太大，但后四个项目的利润率变化则较为反常，这种现象也恰好反映了其风险性，所以用灰色预测法来处理所给数据，得出的结果也正好跟各自的实际风险情况相对应，虽然存在一定的误差，但大体上符合实际。
问题三是在问题一和问题二的基础上作的，只不过增加进去了项目1和5的特殊情况，并且不考虑风险。此题建立的模型只是对模型一的改进。
问题四是在考虑风险的情况下对模型三的改进，在实际中，公司在看待风险的方式上可能会有很大的主观因素，所以在处理风险时，加入了偏好系数，即给目标函数加上权值。
模型五是在模型四的基础之上又考虑到是否要从银行贷款或将公司的一部分款项存人银行，对此问题的处理是将向银行存款当作第九项投资，用各年年初现有资金来控制其贷款额，这也比较符合实际情况。
5.2模型的缺点
模型的建立过程中存在着过多的主观因素，不太具有说服力；而模型的求解过程中存在着不可避免的误差，这一点使得结果的准确性有待考虑。
再者，由上面的数据分析可知，投资者能承受的最大风险度越大，所得的利润就越大。这使得结果存在着很大的局限性。
5.3 模型的改进与推广
还是存在一定的局限性，对此又提出以下方案：
（1）在投资者要求的最低利润条件下，来求风险的最小值。即给定一个最小利润，在以此为约束的条件下来求风险的最小值，这样也能在一定程度上将双目标函数优化为单目标函数。
（2）采用加权法，对风险和投资利润加于权重因子构造出目标函数，再以一定的约束条件以及权重因子的约束为条件，用LINGO软件编程求解相应的投资方案。
参考文献：
[1]赵静，但琦. 数学建模与数学实验（第三版）高等教育出版社
[2]韩中庚，数学建模方法及其应用北京：高等教育出版社
[3] 萧树铁等，大学数学北京：高等教育出版社
[4] 谢金星，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件北京：清华大学出版社，2006
附录：
表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限
表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）
投资的收益和风险问题线性规划分析 1问题的提出 市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i（i＝1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率为q i.考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量. 购买S i要付交易费，费率为p i，并且当购买额不超过给定值u i时，交易费按购买u i计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险. （r0＝5％） 已知n＝4 时的相关数据如下： n的相关数据
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2模型的建立 模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k ，即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) ≤k 则模型可转化为： () ()()max s.t.?,,0 R x Q x k F x M x ≤≥ ＝ 模型2. 假设投资的盈利水平是 h ，即要求净收益总额 R （x ）不少于 h ：R （x ） ≥h ，则模型可转化为： () ()()min s.t.0 Q x R x h F x M x ≥≥ ＝ 模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ（≥0），则模型可转化为： ()()() min ?1? s.t .0 Q x R x F x M x ρρ≥（）＝ 3. 模型的化简与求解 由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
投资收益和风险问题的分析 摘要 在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。 关键词：投资；收益；风险；数学建模 0问题提出 市场上有n种资产si (i = 1,2,··· ,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买的 si 平均收益率为ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的si中最大的一个
风险来度量。购买 si时要付交易费（费率pi），当购买额不超过给定值ui 时，交易费按购买ui计算。另外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易费又无风险。（r0 = 5%） Table:已知n=4时相关数据 Si ri(%) qi(%) pi(%) ui S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 1问题分析 这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，即所谓投资组合，要达到的目标有二，净收益最大和整体风险最小。一般来说这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然也大；反之亦然，所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓的完美决策，我们追求的只能是满足投资者本身要求的投资组合，即在一定风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。冒险性投资者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守型投资者则可从低风险下的决策中选取。 建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于本题决策变量是明确的，即对 (i=0,1，…，n)的投资份额（表示存入银行），目标函数之一是总风险最大，目标函数之二是总风险最小，而总风险用投资资产中的最大的一个风险衡量。约束条件应为总资金M的限制。 2 模型假设 1.投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1； 2.投资越分散，总的风险越小； 3.总体风险用投资项目si中最大的一个风险来度量； 4.n种资产si之间是相互独立的； 5.在投资的这一时期内，ri、pi、qi、r0为定值，不受意外因素影响； 6.净收益和总体风险只受ri、pi、qi影响，不受其他因素干扰。
投资组合规模风险和收益的关系研 究 投资组合规模风险和收益的关系研究2007-02-10 16:46:40 □ 作者：西北大学经济管理学院戴志辉赵守国 内容摘要：现代投资组合理论认为不同风险资产进行组合后，在保证投资收益的基础上可以有效地降低组合的风险。本文以沪市上市公司为例，根据上市公司2001-2005年近五年来的市场表现，分析投资组合规模、风险和收
益的关系。通过研究发现：投资组合存在适度组合规模，组合规模过大会出现过度组合的问题；组合规模的增加能够有效地降低非系统性风险，但在提高组合收益上效果并不明显。 关键词：投资组合投资风险投资收益实证研究 在证券市场上，无论是机构投资者还是个人投资者，都面临着如何提高证券投资收益和降低证券投资风险的问题。根据现代投资组合理论，投资者进行证券投资时，可以在两个层面上进行投资组合，第一个层面是对证券市场上已有的证券投资品种之间进行投资组合，第二个层面是对同一投资品种内部
的产品进行投资组合。 投资者通过两个层面上的投资组合可以在保证收益的基础上，大大降低证券投资的风险。对机构投资者而言，由于其资金实力比较雄厚，能够保证其在两个层面上都可以进行广泛地投资组合，从而达到提高收益和降低风险的目标。 由于目前能够在证券市场中进行交易的投资品种并不是很多，而且每一个进行交易的投资品种有其特殊的发行主体和交易主体，其市场功能和定位也完全不同，其在证券市场的存在是为了满足不同投资者不同的投资需求，其所表现出来的风险与收益的关系也比较匹
配，故在第一个层面中通常不存在投资组合规模问题。机构投资者通常会在第二个层面上面临投资组合的规模问题，虽然通过进行广泛的投资组合可以使投资风险降到很低的水平，但由于组合规模过大投资的对象过度分散也会降低投资组合的收益。这主要是因为维持数目众多的证券组合需要较高的交易费用、管理费用和信息搜寻费用，而且数目众多的证券组合中可能包含一些无法及时得到相关信息且收益较低的证券，从而无法及时有效地进行投资组合调整。对个人投资者而言，由于其资金和精力有限，在两个层面上都无法进行广泛地投资组合，只能选择较小的投资组合，通
《数学模型与数学软件综合训练》论文 训练题目：投资的收益与风险问题 学生学号：07500134 姓名：海莲 学院：计算机与通信学院 专业：信息与计算科学专业 指导教师：黄灿云（理学院） 日期:2010年春季学期
目录 一前言 (3) 二投资与风险问题 (4) 1.论文摘要 (4) 2.问题重述与分析 (4) 3.假设与模型 (6) 3.1模型a (6) 3.2模型b (6) 3.3模型c (6) 3.4 模型求解及分析 (6) 四模型评价与推广 (12) 五总结 (13) 六参考文献 (13) 七附录 (13)
一前言 投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。
二投资与风险问题 1.论文摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好 2.问题重述与分析 市场上有种资产（如股票、债券、…）(供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
作业2 试述证券投资风险和收益的关系 在证券投资中，收益和风险形影相随，收益以风险为代价，风险用收益来补偿。投资者投资的目的是为了得到收益，与此同时，又不可避免地面临着风险，证券投资的理论和实战技巧都围绕着如何处理这两者的关系而展开。 收益与风险的基本关系是：收益与风险相对应。也就是说，风险较大的证券，其要求的收益率相对较高；反之，收益率较低的投资对象，风险相对较小。但是，绝不能因为风险与收益有着这样的基本关系，就盲目地认为风险越大，收益就一定越高。风险与收益相对应的原理只是揭示风险与收益的这种内在本质关系：风险与收益共生共存，承担风险是获取收益的前提；收益是风险的成本和报酬。风险和收益的上述本质联系可以表述为下面的公式：预期收益率=无风险利率+风险补偿 预期收益率是投资者承受各种风险应得的补偿。无风险收益率是指把资金投资于某一没有任何风险的投资对象而能得到的收益率，这是一种理想的投资收益，我们把这种收益率作为一种基本收益，再考虑各种可能出现的风险，使投资者得到应有的补偿。现实生活中不可能存在没有任何风险的理想证券，但可以找到某种收益变动小的证券来代替。美国一般将联邦政府发行的短期国库券视为无风险证券，把短期国库券利率视为无风险利率。短期国库券的利率很低，其利息可以视为投资者牺牲目前消费，让渡货币使用权的补偿。在短期国库券
无风险利率的基础上，我们可以发现以下几个规律： (一)同一种类型的债券，长期债券利率比短期债券高，这是对利率风险的补偿 (二)不同债券的利率不同，这是对信用风险的补偿 (三)在通货膨胀严重的情况下，债券的票面利率会提高或是会发行浮动利率债券这种情况是对购买力风险的补偿。 (四)股票的收益率一般高于债券，这是因为股票面临的经营风险、财务风险和经济周期波动风险比债券大得多，必须给投资者相应的补偿。 当然，风险与收益的关系并非如此简单。证券投资除以上几种主要风险以外，还有其他次要风险，引起风险的因素以及风险的大小程度也在不断变化之中；影响证券投资收益的因素也很多。所以这种收益率对风险的替代只能粗略地、近似地反映两者之间的关系，更进一步说，只有加上证券价格的变化才能更好地反映两者的动态替代关系。
《投资学》习题 第三章资产风险与收益分析（1） 计算题（必须有计算过程） 1．去年，你收到了9%的名义利率，而同期通货膨胀率是1．2%，那么你的购买力的实际增长率是多少？ 2．一年前，你在储蓄账户中存入了5000美元,年利率是3%。如果这一年的通货膨胀率是 1.5%,那么真实收益率大概是多少? 3．如果你以27美元购买了股票,一年以后获得了1.5美元分的分红并以28美元出售了该股票,那么你在持有期的收益率是多少? 4．利用下表回答以下问题,信息空间股票的持有期收益(HPR)的概率分布如下: （1）信息空间股票的预期持有期收益率是多少？ （2）信息空间股票的预期方差是多少？ （3）信息空间股票的预期标准差是多少？ （4）如果无风险利率是3%，那么该股票的风险溢价是多少？ 5．如果AMAT股票的风险溢价是29%，那么无风险利率是多少？ 6．你是新点子共同基金的经理。下表反映了基金在上一季度的表现。该季度从1月1日开始，基金的余额为1亿美元。 (1)计算该基金上半年算术平均收益率; (2)计算该基金上半年几何平均收益率;
(3)对于该基金预期收益的无偏估计是多少? (4)如果你在1月份投资1000美元在该基金上,那么在6月末,你的账户中能有多少钱? 7.假设你正在研究一项预期收益是12.4%,标准差是30.6%的投资。假设收益是正态分布的，计算以下敬意的上下边界。 （1）包含68.26%预期结果的区间。 (2)包含95.44%预期结果的区间。 (3)包含99.74%预期结果的区间。 8.你正在考虑是否投资于A公司，你估计的该公司股票收益率的概率分布如下表所示： A公司股票收益率的概率分布 基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。 9.你估计的证券A和B的投资收益率与联合概率分布如下表所示。 证券A和B的投资收益率与联合概率分布 基于你的估计，计算两种证券的协方差和相关系数。
安徽工程大学数学建模课程设计论文 风险投资问题 班级：数学112 学号： 3110801226 姓名：杨植 指导老师：周金明 成绩： 完成日期：2013年7月3日
摘要 本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。 问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。 问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。 首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。 1问题重述 某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。 试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
市场上有n 种资产i s （i=1,2……n ）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这n 种资产在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，风险损失率为i q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的i s 中最大的一个风险来度量。 购买i s 时要付交易费，(费率 i p )，当购买额不超过给定值i u 时，交易费按 购买i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n=4 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。 1. 假设：投资数额M 相当大,为了便于计算，假设M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目i s 中最大的一个风险来度量； 4．n 种资产S i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, r i ,p i ,q i ，r 0为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 r i ,p i ,q i 影响，不受其他因素干扰。 解答 1、符号规定： S i ——第i 种投资项目，如股票，债券 r i ,p i ,q i ----分别为S i 的平均收益率,风险损失率，交易费率 u i ----S i 的交易定额 0r -------同期银行利率 x i -------投资项目S i 的资金 a -----投资风险度 Q ----总体收益 ΔQ ----总体收益的增量 2、模型的建立与分析 (1).总体风险用所投资的Si 中最大的一个风险来衡量,即max{ pixi|i=1，2,…n}
投资收益和风险的优化 模型
投资收益和风险的优化模型 摘要 如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。 但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。怎样分配资金才能做到统筹兼顾？ 在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。 为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。 当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。 这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。 不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。 针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ?%61.0, 总收益可以达到 M ?%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ?%2.10, 总收益可以达到M ?%70.34。 在模型评价中，我们通过分析在考虑i u 后,模型以及解的改变程度,验证了i u 对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。 关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解
个人投资风险与收益的权衡经济 收益是指在一定时间对外投资所获得的报酬,风险是指未来收益的不确定性,而且这种不确定性是可以用概率来描述的。风险在经济生活特别是投资活动中无处不在,主要包括系统风险与非系统风险。系统风险与市场的整体运动相关联,通常表现为某个领域、某个金融市场或者某个行业部门的整体变化,它断裂层大,涉及面广,往往使整个一类资产产生价格波动。这类风险因其来源于宏观经济因素变化对市场整体的影响,亦称为宏观风险。系统风险强调的是对整个市场所有项目及资产的影响,而且这种风险通常难以回避和消除,因而又称为不可分散风险。它的来源主要包括市场风险、利率风险和通货膨胀风险。非系统风险只同某项具体的资产相关联,而与其他的资产和整个市场无关,因而也称为独特风险或特定公司风险。非系统风险强调的是对某项资产的个别影响,人们一般可以通过分散化投资策略回避或者消除这种风险,因而也称为可分散风险。它的来源主要包括违约风险、经营风险、财务风险、破产风险等。[1](p40—42) 个人投资风险主要指投资者个人因自身和环境条件等各种因素的不确定性,引起投资风险收益与非收益间发生偏离的可能性。影响个人投资组合的非系统风险主要来自:投资者分散组合投资预期收益,即单项资产的预期收益,占用资金的权重,取得预期收益的概率。如果没有很好的协调和控制,投资者必然会承担很多不必要的风险;投资者投资组合分散风险的条件,即当新增投资项目风险大于原有项目风险时,只有选择不相关甚至负相关项目时,才能达到降低风险的目的;投资组合的主要目的,即获得预期的报酬率,投资者不能为了降低风险,而使非相关程度过大,不
能进行有效控制风险。[2](p71—75)既然投资组合不能无限地降低风险,那么投资者就需要有选择地购买若干种资产或存银行生息,使自身获得的净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。如何从一般的传统投资理论和模型研究中被忽略的交易费用中,推导出一个比较实用的投资目标函数呢?假设市场上有n种资产供投资者选择,某个体投资者有数额为M的一笔相对较大的资金可用做一个时期的投资。 投资者通过分析对这n种资产进行评估,估算出在这一时期内购买某资产的平均收益率和风险损失率。购买资产要付交易费,费率已知,并且当购买金额不超过给定值时,交易费按给定值计算(不买无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是r0(r0=5%),且既无交易费又无风险。试确定一种投资组合方案,即用给定的资金,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。 在处理此问题时,如何在投资因素中确定投资项目的投资金额是关键。收益、风险和投资者本身都是影响投资决策的因素,只有通过一种线性关系建立三者的联系,才能解决投资的收益和风险这个问题。同时,以投资者看待净收益和风险同等地位为分界点,讨论投资资产的变化。假使从投资开始到投资收益的一段时间,影响投资的经济因素保持不变,用资金投资单项资产时,风险率由其风险损失率来度量,否则,总体的风险率可用所投资的资产中最大的一个风险度量。单项资产的收益用其平均收益率ri 来衡量,若干项资产所组成的资产组合的收益用构成该资产的组合的平均收益率的权重平均来表示,投资的资金是相对较大的一笔资金。引入记号:M(投资者拥有的全部资金);si(供投资者选择的资产);ai(投资si项资产所用资金占总资产的比例);r0(银行存款利
投资组合规模风险和收益的关系研究 □作者：西北大学经济管理学院戴志辉赵守国内容摘要：现代投资组合理论认为不同风险资产进行组合后，在保证投资收益的基础上可以有效地降低组合的风险。本文以沪市上市公司为例，根据上市公司2001-2005年近五年来的市场表现，分析投资组合规模、风险和收益的关系。通过研究发现：投资组合存在适度组合规模，组合规模过大会出现过度组合的问题；组合规模的增加能够有效地降低非系统性风险，但在提高组合收益上效果并不明显。关键词：投资组合投资风险投资收益实证研究在证券市场上，无论是机构投资者还是个人投资者，都面临着如何提高证券投资收益和降低证券投资风险的问题。根据现代投资组合理论，投资者进行证券投资时，可以在两个层面上进行投资组合，第一个层面是对证券市场上已有的证券投资品种之间进行投资组合，第二个层面是对同一投资品种内部的产品进行投资组合。投资者通过两个层面上的投资组合可以在保证收益的基础上，大大降低证券投资的风险。对机构投资者而言，由于其资金实力比较雄厚，能够保证其在两个层面上都可以进行广泛地投资组合，从而达到提高收益和降低风险的目标。由于目前能够在证券市场中进行交易的投资品种并不是很多，而且每一个进行交易的投资品种有其特殊的发行主体和交易主体，其市场功能和定位也完全不同，其在证券市场的存在是为了满足不同投资者不同的投资需求，其所表现出来的风险与收益的关系也比较匹配，故在第一个层面中通常不存在投资组合规模问题。机构投资者通常会在第二个层面上面临投资组合的规模问题，虽然通过进行广泛的投资组合可以使投资风险降到很低的水平，但由于组合规模过大投资的对象过度分散也会降低投资组合的收益。这主要是因为维持数目众多的证券组合需要较高的交易费用、管理费用和信息搜寻费用，而且数目众多的证券组合中可能包含一些无法及时得到相关信息且收益较低的证券，从而无法及时有效地进行投资组合调整。对个人投资者而言，由于其资金和精力有限，在两个层面上都无法进行广泛地投资组合，只能选择较小的投资组合，通常把资金集中投资于某一投资品种，由于投资组合的过度集中又使其面临巨大的投资风险。个人投资者也需要在有限的条件下进行适当的投资组合以规避投资风险。因此，证券投资组合的规模既不能过度分散也不能过度集中。投资组合规模、风险和收益之间存在最优化配置问题，即一个合理的组合规模可以降低投资风险，保证稳定的投资收益。根据中国证券市场的不同交易品种的实际交易情况，证券投资组合的规模问题一般只表现在股票投资上，证券投资组合的规模问题基本上可以用股票投资组合的规模问题来反映。投资组合规模与风险关系研究综述从20世纪60年代中后期开始出现了一批对投资组合规模与风险关系研究的经典文章，成为当时投资组合理论研究的一个热点，这些研究主要是围绕简单分散化所构造的组合即简单随机等权组合来展开的，但都有其各自不同的侧重点。具体来说，这些研究主要集中在以下三个方面：一是研究一国证券投资组合规模与风险的关系；二是从数理角度来推导组合规模和风险之间的模型；三是研究跨国证券投资组合的规模与风险的关系。相对来讲，研究一国证券投资组合规模与风险的关系更具有现实意义，大多数的研究也主要围绕一国投资组合规模与风险的实际情况进行研究，从中找出投资组合规模与风险的相互关系。国外学者研究综述埃文斯和阿彻第一次从实证角度验证了组合规模和风险之间的关系。他们以1958-1967年标
（三）投资组合理论的相关结论 1.投资机会集 （1）投资机会集的含义：投资机会集描述不同投资比例组合的风险和报酬之间的权衡关系。 【教材例3-13】假设A证券的期望报酬率为10%，标准差是12%。B证券的期望报酬率是18%，标准差是20%。 表3-5 不同投资比例的组合
=
股票投资组合（M）国债 比重Q1-Q 标准差σM0 相关系数r=0 σ组=（a2+b2+2abr）1/2=（a2）1/2=a= Q×σM 其中：Q代表投资者投资于风险组合M的资金占自有资金总额的比例，1-Q代表投资于无风险资产的比例。 【提示】如果贷出资金，Q将小于1；如果是借入资金，Q会大于1。 【例题?单选题】已知某风险组合的期望报酬率和标准差分别为15%和20%，无风险报酬率为8%，假设某投资者可以按无风险报酬率取得资金，将其自有资金200万元和借入资金50万元均投资于风险组合，则投资人总期望报酬率和总标准差分别为（）。 A.16.75%和25% B.13.65%和16.24% C.16.75%和12.5%
【提示2】在风险分散过程中，不应当过分夸大资产多样性和资产个数作用。一般来讲，随着资产组合中资产个数的增加，资产组合的风险会逐渐降低，当资产的个数增加到一定程度时，资产组合风险的降低将非常缓慢直到不再降低。 【例题?单选题】关于证券投资组合理论的以下表述中，正确的是（）。（2004年） A.证券投资组合能消除大部分系统风险 B.证券投资组合的总规模越大，承担的风险越大 C.最小方差组合是所有组合中风险最小的组合，所以报酬最大 D.一般情况下，随着更多的证券加入到投资组合中，整体风险降低的速度会越来越慢 【答案】D 【解析】系统风险是不可分散风险，所以选项A错误；证券投资组合得越充分，能够分散的风险越多，所以选项B错误；最小方差组合是所有组合中风险最小的组合，但其收益不是最大的，所以C错误。在投资组合中投资项目增加的初期，风险分散的效应比较明显，但增加到一定程度，风险分散的效应就会减弱。有经验数据显示，当投资组合中的资产数量达到三十个左右时，绝大多数非系统风险均已被消除，此时，如果继续增加投资项目，对分散风险已没有多大实际意义，所以选项D正确。 6.投资组合理论重点把握的结论 （1）证券组合的风险不仅与组合中每个证券报酬率的标准差有关，而且与各证券报酬率之间的协方差有关。 （2）对于一个含有两种证券的组合，投资机会集曲线描述了不同投资比例组合的风险和报酬之间的权衡关系。 （3）风险分散化效应有时使得机会集曲线向左凸出，并产生比最低风险证券标准差还低的最小方差组合。 （4）有效边界就是机会集曲线上从最小方差组合点到最高期望报酬率的那段曲线。 （5）持有多种彼此不完全正相关的证券可以降低风险。 （6）如果存在无风险证券，新的有效边界是从无风险资产的报酬率开始并和机会集相切的直线，该直线称为资本市场线，该切点被称为市场组合，其他各点为市场组合与无风险投资的有效搭配。 （7）资本市场线横坐标是标准差，纵坐标是期望报酬率。该直线反映两者的关系即风险价格。 【例题?多选题】下列有关证券组合投资风险的表述中，正确的有（）。（2010年） A.证券组合的风险不仅与组合中每个证券的报酬率标准差有关，而且与各证券之间报酬率的协方差有关 B.持有多种彼此不完全正相关的证券可以降低风险 C.资本市场线反映了持有不同比例无风险资产与市场组合情况下风险和报酬的权衡关系 D.投资机会集曲线描述了不同投资比例组合的风险和报酬之间的权衡关系 【答案】ABCD 【解析】根据投资组合报酬率的标准差计算公式可知，选项A、B的说法正确；根据教材的图3-11可知，选项C的说法正确；机会集曲线的横坐标是标准差，纵坐标是期望报酬率，所以，选项D的说法正确。 【总结】
财富管理系列课程之三:投资组合风险介绍100分返回上一级 单选题（共5题，每题10分） 1 . 下面各项中通常属于风险最高资产类别的是（） ? A.对冲基金 ? B.优先股 ? C.长期债券 ? D.高收益公司债券 2 . 除下列哪项外，都是抵消资产的例子？（） ? A.债券和股票 ? B.实物资产和金融资产 ? C.小盘股和成长股 ? D.国外资产和国内资产 3 . 最优组合指的是（）。 ? A.包括单一资产类型的投资组合 ? B.只包括低风险投资产品的组合 ? C.可以为客户带来最高利润和最大风险的组合 ? D.可以为客户带来最高利润和最小风险的组合 4 . 一个真正分散化的投资组合主要取决于有意地（）。 ? A.为客户投资在互不相关的资产中 ? B.选择一项或两项高风险的投资 ? C.选择30%－40%高增长的股票 ? D.为客户投资在表现相同的资产中 5 . 一位选择了包括80%成长型，20%收益型投资组合的投资者可以被称为（）。? A.防御型投资者 ? B.积极型投资者 ? C.保守型投资者 ? D.风险规避型投资者
判断题（共5题，每题10分） 1 . 非系统性风险是指某一项特定的投资碰巧发生意外的风险，因此非系统性风险是无法回避的风险。（）对错 2 . 一位客户在选择投资商业不动产后了解到该建筑商破产，他经历的这种风险属于非系统性风险。（）对错 3 . 资产配置主要涉及所购买资产的类型以及投入每一类资产的金额比例。（） 对错 4 . 系统性风险是由于不可抗拒的市场力量致使某一项投资遭受损失的风险。（） 对错 5 . 抵消资产是指可以“相互抵消”的资产。包含抵消资产的投资组合会为你的客户带来最大收益的同时将风险最小化。（） 对错
浅谈证券投资组合的风险与收益关系 伴随着资本市场的日益发展和有效资本市场的日趋形成，投资者的决策也将越来越理性化，风险投资决策的基本理论和方法也将在现实的经济生活中得到更好的应用。证券投资组合决策的任务是在寻求风险和收益平衡的基础上获取最高的投资报酬率，资本市场线是获取最大风险报酬的唯一有效机会线，资本资产定价模型是权衡市场风险与期望报酬率的重要工具。 投资的目的是为了获取收益，或者说是为了获取最大化的收益，而这里面同时也存在着一个不容忽视的事实：要获取较大的收益，就要冒较大的风险；而冒较小的风险，获取的只能是较小的收益。在现实经济生活中，随着资本市场的不断发展和完善，为投资者提供了越来越多的获利机会，进行证券投资是主要的投资方式之一。风险和收益是一对矛盾，这是自利行为原则和双方交易原则下投资者市场博弈的结果，任何投资者都必须充分树立风险意识，即怎样解决风险和收益之间的矛盾。其最终的决策结果应该是寻求风险和收益的平衡。 风险是指未来经济活动结果的不确定性，我们可以将风险总体上划分为两大类：非系统风险和系统风险。非系统风险只对某些行业或个别企业产生影响，系统风险亦称市场风险，它对整个市场所有企业都产生影响，如经济周期的波动、利率的调整、通货膨胀的发生等。针对这两种风险，投资者应该如何应对呢？基本的做法就是通过投资组合来分散非系统风险，通过提高风险报酬来弥补系统风险带来的损失从而达到期望的报酬率。笔者将从这两个方面来论述证券投资组合中风险与收益的权衡问题。 一、系统风险 我们假设投资者已经通过足够的投资组合将非系统风险分散掉了，面对市场风险，投资者会通过得到系统风险溢价来达到预期的报酬率。资本资产定价模型在不需要确定单个证券期望报酬率的情况下能够确定风险资产的有效投资组合，这无疑为持有多项风险资产投资的决策者提供了决策的方法，并使决策变得相对简单。在公式E（R）=Rf+€%[（Rm-Rf）中（Rm为市场投资组合的平均报酬率），在无风险利率Rf和市场投资组合的平均报酬率Rm确定的情况下，€%[作为衡量风险投资组合市场风险的指标成为决策的关键。€%[的确定对于投资者绝非易事，通常证券市场基于历史数据来估计€%[，在宏微观经济环境相对稳定的情况下，€%[在一定时期内应该是合理的。 资本资产定价模型对于投资者的决策究竟有多大的现实意义，对此理论界和实务界莫衷一是。因为模型的建立本身是基于一些假设的：（一）投资者可以按照竞争性市场价格买入或卖出所有证券，并且不考虑税收因素；（二）投资者可以按无风险利率借入和贷出资金；（三）在确定风险的情况下，投资者会按资本市场线投资选择报酬最高的投资组合；（四）对于证券的风险、相关系数和期望报酬率，投资者具有同质的预期。
第4章 風險、報酬與投資組合 一、選擇題 （E ）1. 你投資10萬元買入台塑公司的股票，其中7萬5,000元是向銀行借款，年利 率10%，你要求此投資報酬率為20%，在不考慮稅的情況下，且在不使用負債時，則要求的報酬率為多少？ (A)10% (B)12.5% (C)20% (D)30%。 Ans ： 令該投資回收X ： 報酬率=--收入利息成本原始成本自有資金 20%=X 75,00010%100,00025,000 -?-；X=112,500（元） 新報酬率= 112,5000100,000100,000--=12.5% （C ）2. 假設你今日以30元買了源興股票，並欲於1年後以32元賣出，若你要求年報 酬率為12%，則於1年後你應收到多少現金股利？ (A)2.25元 (B)1.00元 (C)1.60元 (D)3.00元 (E)1.95元。 Ans ： P 0=111 D P (1k)++ 30=11D 32 (112%)++1D =1.6 （B ）3. 下列何者非公司所會遭遇的市場風險？ (A)經濟成長的衰退 (B)取消與政府之間的合約 (C)通貨膨脹 (D)戰
爭。
（A ）4. 股票A 的投資報酬率變異數0.09，市場報酬率變異數是0.16，股票A 和市場 共變數是0.108，則其相關係數是多少？ 【台大財金】 (A)0.9 (B)9 (C)7.5 (D)以上皆非。 （B ）5. 股票報酬的變異數是下列何值？ (A)均數離差的平均值 (B)均數離差平方的平均值 (C)均數離差的平均值開根號 (D)均數離差的加總。 （D ）6. 欲比較兩項不同預期報酬的投資方案，用何種方式較適當？ (A)共變數 (B)相關係數 (C)平均數 (D)變異係數。 （D ）7. 有人說股票是一種高風險的投資工具，但是它所隱含的高報酬率卻可補償 投資人，而此補償稱為︰ (A)β值 (B)投資組合 (C)實質風險 (D)風險溢酬。 （B ）8. 如果你是一位風險規避者，並以變異係數作為衡量指標，你會將錢存入下列表中的哪一家銀行？ 公司 上海商銀 台北銀行 玉山銀行 預期報酬 13% 17% 15% 標準差 0.05711 0.07 0.07 變異係數 30.58% 23.36% 48.67% (A)上海商銀 (B)台北銀行 (C)玉山銀行 (D)資料顯示不出其答案。 （D ）9. 倫飛電腦目前股價40元，且倫飛使用零股利政策。目前無風險利率為5%， 市場投資組合報酬率為10%。若投資人希望明年倫飛股價可達42元，試問倫飛股票β值應為多少，才可使倫飛股票落於證券市場線上？ (A)0.22 (B)-0.90 (C)4.5 (D)0 (E)以上皆非。 Ans ： E(R i )=100P P P -=424040 -=5% E(R i )=R f ＋(R m – R f )× i 5%=5%＋(10% – 5%)×i ?i =0 （D ）10. 關於資本資產訂價模式中，所有的投資組合皆會： (A)提供相同的報酬率。 (B)和效率投資組合落在同一條線上。 (C)提供相同的市場風險。
投资得收益与风险问题 市场上有种资产(如股票、债券、…)()供投资者选择,某公司有数额为得一 笔相当大得资金可用作一个时期得投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买得平均收益率为,并预测出购买得风险损失率为。考虑到投资越分散,总得风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资得中最大得一个风险来度量。 购买要付交易费,费率为,并且当购买额不超过给定值时,交易费按购买计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率就是, 且既无交易费又无风险。( ) 已知 时得相关数据如下: 试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定得资金,有选择地购买若干种资产或存银行生 息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。 模型分析 本题需要我们设计一种投资组合方案,使收益尽可能大,而风险尽可能小。并给出对应得盈亏数据,以及一般情况得讨论。 这就是一个优化问题,要决策得就是每种资产得投资额,要达到目标包括两方面得要求:净收益最大与总风险最低,即本题就是一个双优化得问题,一般情况下,这两个目标就是矛盾得,因为净收益越大则风险也会随着增加,反之也就是一样得,所以,我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标得决策方案,我们只能做到得就是:在收益一定得情况下,使得风险最小得决策,或者在风险一定得情况下,使得净收益最大,或者在收益与风险按确定好得偏好比例得情况下设计出最好得决策方案,这样得话,我们得到得不再就是一个方案,而就是一个方案得组合,简称组合方案。 设购买S i (i=0,1……、n;S 0表示存入银行,)得金额为x i ;所支付得交易费为c i (x i ),则: 对S i 投资得净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= (i ＝0,1,…,n ) 对S i 投资得风险为: i i i i x q x Q =)( (i ＝0,1,…,n ),q 0=0 对S i 投资所需资金(即购买金额 x i 与所需得手续费 c i (x i ) 之与)就是 )()(i i i i i x c x x f += (i ＝0,1,…,n ) 投资方案用 x =(x 0,x 1,…,x n )表示,那么, 净收益总额为: 总风险为: )(x Q =)(min 0i i n i x Q ≤≤ 所需资金为: 所以,总收益最大,总风险最小得双目标优化模型表示为: 但就是像这样得双目标模型用一般得方法很难求解出来得,所以经过分析把次模型转化为三种较简单得单目标模型。
风险投资决策概述 所谓风险投资决策,是指项目实施之后出现的后果随机变量的投资决策。 不同的投资项目往往具有不同程度的风险，风险的高低会影响到收益实现的可能性。一般情况下，预期高收益的项目，风险相对较高。 [编辑] 风险投资决策的内容 风险投资决策是一个动态多阶段多层面的过程，由多方面的决策组成的一个有机的系统，只有在风险投资的各个阶段、各个层面都做到科学合理的决策风险投资才能实现高收益高回报的初始目的。 一、风险投资项目选择决策 风险投资的首要特点就是高风险，高收益。因此，选择一个良好的投资项目对投资成功至关重要。一般来说，风险投资项目要科技含量高，技术领先市场前景看好，因此各国风险资本在进行项目选择决策时都将高新技术与产品作为投资目标，因为高薪技术产业是具有高附加值的战略性产业，具有开拓性、创新性，带动性和渗透性，代表着一个国家的科技先进水平、综合国力和国际竞争力其高速发展能够带来高额的投资收益。但是．高新技术产业的探索性决定了其巨大的投资风险性。因为高薪技术产业投资数量大，利润回收周期长，产业成功化率低所以高新技术产业的风险投资决策风险存在很大的风险性，风险投资公司对高新技术企业的选择是相当谨慎的它们对项目的审批都按照严格的程序进行，以确保风险投资的稳健性目前，计算机、网络、生物医药、环国际风险投资公司在中国投资主要集中在信息产业境保护和保健产品等领域。《商场现代化 2007年12月(中旬刊)总第524期此外随着高新技术产业领域如Ic(集成电路)设计、软件设计、现代生物技术，以及以现代中药为代表的药物研发各领域在吸引风险投资时纷纷将自有知识产权作为主要卖点，知识产权已经日渐成为风险投资的新要素。在投资高新技术产业领域时如果忽视知识产权将可能会加大风险投资的风险而将要出台的《职务发明条例》和相关法规将从国家层面上明确专利技术参股以及专利质押的方式获得银行贷款的合法性，使风险投资股权结构优化，有利于降低投资风险，同时也将会使得知识产权在风险投资中的地位更进一步提升。在选择了某一具体投资项目后，风险投资机构还要对该项目进行综合的评价和分析，从而准确评价该项目的价值，保证投资决策的正确性。对风险投资项目的评价包括外部环境评价和项目所属企业内部环境评价。外部环境评价主要包括当前的宏观经济环境分析、该项目所处的行业分析、社会文化背景分析及竞争对手分析，对项目所属企业内部环境分析主要包括企业的概况员工概况、企业的生产能力营销能力管理能力以及财务状况等在对项目的内外环境以及项目本身的价值和风险进行综合考察分析和评估后风险投资机构才能做出正确的投资决策。