2014—2015学年度第一学期终结性检测试题
九年级数学
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．
1. 抛物线()2
25=--+y x 的顶点坐标是 A ．()2，5-
B ．()2，5
C ．()25，--
D ．()52，- 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB=OA=OB ，则∠C 等于
A ．30°
B ．40°
C ．60°
D ．80° 3．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于
A ． 34
B ．
4
3
C ．35
D ．45
4. 已知点P (-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为
A.x
y
3
=
B.5y x =
- C. 6y x = D.6
y x =-
5. 已知△
ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为 A ．1：2 B ． 2：1 C ． 1：4 D ． 4：1
6.
如图，弦AB ⊥ OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC
=2，AB =4，则OA 等于 A ．．．．7. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m
，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么
这根旗杆的高度为
A ． 10m
B ． 12m
C ． 15m
D ．40m
8. 如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN =60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B . 设OP =x ，△P AB 的面积为 y ，则下列图象中， 能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ， 若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于 ．
10．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥
连结AC ， 则图中阴影部分的面积为 ．
11. 如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，∠BCD =15°，
⊙O 的半径为10，则AB = ．
12. 抛物线()()
2211
-11n y x x n n n n +
=+
++
（其中
n 是
正整数）与x 轴交于A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则
A B _________=11; A B A B __________+=11
22； n n A B A B A B A B ____________.+++???+=112233(用含n 的代数式表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 0
1
11)2cos30()8
--?-+解：
A E D x
D
C B A
D
C
14.如图，C 为线段BD 上一点，AC CE ⊥，AB BD ⊥，ED BD ⊥．求证：AB BC CD
DE
=
．
解:
15.已知二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围． 解:
16. 如图，在ABC ?中，90C ?∠=，5
2
sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ?∠=，6=DC ，求AD 的长. 解:
17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：
41.12≈，73.13≈，24.25≈
解:
E
D
C
B
A
C
B
A
β
α
G F E D
C
B
A
18. 如图，直线y =3x 与双曲线k
y x
=
的两个交点分别为A (1 , m )和B ． （1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线k
y x
=的表达式； （2）若点P 为双曲线k
y x
=上的点（点P 不与A 、B 重合），且满足PO=OB ，直接写出点P 坐标． 解:
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19. 抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴的交点C 坐标为(0,－3)． （1）求抛物线的表达式；
（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA +DC 的值最小，求点D 的坐标. 解:
20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD ⊥AB 交外圆于点C ．测得CD =10cm ，AB =60cm ，求这个车轮的外圆半径长．
解:
21.如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过 点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长. 解:
22. 阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
()()()0210.a
b b
a a
b b
b ?????-??=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.
小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 1
2
.
请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；
(2) 若5※m =5
6
，则m = .
(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）
五、解答题（本题共
22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）
23. 直线y =﹣3x +3与x 轴交于点A , 与y 轴交于点B ，抛物线y =a （x ﹣2）2+k 经过点A 、B ，与x 轴的另一交点为C ． （1）求a ，k 的值；
（2）若点M 、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A ，C ，M ，
N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．
y x O
y
x
O
A B C D
D
A
B
24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ． （1）若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；（结果保留π） （2）求证：OD =OE ；
（3）求证：PF 是⊙O 的切线． 解:
25. 已知抛物线2154(3)22
m
y x m x -=
--+． （1） 求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；
（2） 若A 2
(3,2)n n -+、B 2
(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式
和n 的值； （3） 若反比例函数(0,0)k
y k x x
=
>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.
解:
F
房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题
九年级数学参考答案和评分参考
一、选择题（每题4分，共32分）
二、填空题（每题4分）
9. 325 10. 2
3π 11. 10 12. 12231
n ;;n +(前
两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×
3
2
-8+2 3 …………………………4分 = 3 -7 ………………………………………5分 14. 证明：
∵90B ∠=，
∴90A ACB ∠+∠=．
∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥，
∴90ACB ECD ∠+∠=． ∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分
∵B D ∠=∠=90， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分
∴AB BC CD
DE
=．………………………………………………………………………5分
15. 由题意可知：30
k -≠??
??≥ ……………………2分
即()23
2430k k ≠???--??
≥…………………………3分
解得3
4
k k ≠??
?≤……………………………………4分
∴ k 的取值范围是：k ≤4且k≠3……………5分
16. 解：在BDC ?中，090=∠C ， 0
45=∠BDC ，6=DC
∴tan 451BC
DC
?=
= E
D
C
B A
∴6BC = …………………………………1分 在ABC ?中，52
sin =
A ，∴
25
BC AB =，……2分 ∴15AB =……………………………………3分
∴AC ==…………………4分
∴6AD =……………………………5分
17. ∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .
在Rt △CFG 中，.35cos =?=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米.
18.（1）点B 坐标为（-1，-3）……………………………………1分
∵直线y=3x 过点A(1，m ) ∴m=3×1=3
∴A(1,3) ……………………………………………………2分 将A(1,3)代入y=k
x
中，得 k =xy =1×3=3
∴y=3
x …………………………………………………………3分
(2) P 1(-3,-1), P 2(3,1)………………………………………………5分
四、解答题
19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线2
y x bx c =++ 中
得： 103b c c -+=??=-? ， 解得：2
3b c =-??=-?
(1)
∴抛物线的解析式为2
23y x x =-- (2)由2
23y x x =--=()()()2
1413x x x --=+-
知抛物线的对称轴为直线x =1，点B (3,0) 连接BC ，交对称轴x =1于点D 可求得直线BC :y =x -3 当x =1时，y =-2
∴点D (1,-2)……………………………………………5分 20. 如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC ，……1分
∵CD=10cm ，AB=60cm ，
∴设半径为r ，则OD=r ﹣10，…………………………2分
根据题意得：r 2=（r ﹣10）2+302
，…………………3分 解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50．
21. （1）证明：∵CE AB ⊥, ∴ 90CEB ∠=.
∵ CD 平分ECB ∠, BC =BD , ∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.
∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD .
∴ 90DBA CEB ∠=∠=.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分 （2）连接AC ，
∵ AB 是⊙O 直径，
∴ 90ACB ∠=. ∵CE AB ⊥, 可得 2CE AE EB =?.
∴ .162
==AE
CE EB ………………………………………………………3分 在Rt △CEB 中，∠CEB =90?, 由勾股定理得
20.BC = ……………4分 ∴ 20BD BC ==.
∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD ,
∴ △EFC ∽△B FD. ………………………………………………………5分 ∴ BF
EF
BD EC =
. ∴
121620BF
BF
-=
. ∴ BF =10. ………………………………………………………………………6分
22. 解：（1）
2
3
…………………1分 (2) ±6 ……………………3分 （3）D ………………………5分
五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）
23. (1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，
∴(1,0)A ，(0,3)B . ……………………………………2分 又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B
∴0,43;a k a k +=??+=?解得1,1.a k =??=-?
即a ，k 的值分别为1，1-. ……………………………4分 （2）()()()1230,3,4,3,2,1M M M - …………………………………7分 24. （1）解：∵AC =12，
∴CO =6， ∴
=
=2π；
（2）证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，
∠PEA =90°，∠ADO =90° 在△ADO 和△PEO 中，
，
∴△POE ≌△AOD （AAS ）， ∴OD =EO ；
（3）证明：如图，连接AP ，PC ，
∵OA =OP ， ∴∠OAP =∠OP A ， 由（1）得OD =EO ， ∴∠ODE =∠OED ， 又∵∠AOP =∠EOD ， ∴∠OP A =∠ODE ， ∴AP ∥DF ， ∵AC 是直径， ∴∠APC =90°， ∴∠PQE =90° ∴PC ⊥EF ， 又∵DP ∥BF ， ∴∠ODE =∠EFC ， ∵∠OED =∠CEF ， ∴∠CEF =∠EFC ，
∴CE =CF ，
∴PC 为EF 的中垂线， ∴∠EPQ =∠QPF ， ∵△CEP ∽△CAP ∴∠EPQ =∠E AP ， ∴∠QPF =∠EAP ， ∴∠QPF =∠OP A ， ∵∠OP A +∠OPC =90°， ∴∠QPF +∠OPC =90°， ∴OP ⊥PF ， ∴PF 是⊙O 的切线．
25．（1）证明：令
2154(3)022
m
x m x ---+=. 得[]2
154(3)422
m m -?=---??
224m m =-+2(1)3m =-+. 不论m 为任何实数，都有(m －1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分 ∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点. ……………… 2分
（2）解：抛物线2154(3)22m
y x m x -=
--+
的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 2(3,2)n n -+、B 2
(1,2)n n -++的纵坐标相同，∴点A
和点B 关于抛物线的对称轴对称，则(3)(1)
312
n n m -+-+-=
=-．
∴2m =. ……………………………………………………… 3分
∴抛物线的解析式为213
22
y x x =
+-． ………………… 4分 ∵A 2
(3,2)n n -+在抛物线21322
y x x =+-上，
∴22
13(3)(3)222
n n n -+--=+. 化简，得2
440n n ++=.
∴ 2n =-． ……………………………………………… 5分
（3） 当2 对于213 22 y x x =+-，y 随着x 的增大而增大， 对于(0,0)k y k x x = >>，y 随着x 的增大而减小. (3) 3.122m x m --=-=-? 所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方， 得 2k ＞213222 2?+-， 解得k ＞5. …………………………………6分 当03x =时，由二次函数图象在反比例函数图象上方， 得213 3322?+-＞3 k ， 解得k ＜18. ……………………………………7分 所以k 的取值范围为5＜k ＜18. ……………………………8分
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