第一篇动量传输
第三章流体动力学
流体动力学（包括运动学）是研究流体在外力作用下的运动规律，内容包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随空间与时间的变化，以及研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。
流体动力学的基础：三个基本的物理定律，不论所考虑的流体性质如何，它们对每一种流体都是适用的。这三个定律所涉及的流体动力学的数学公式如下：
（1）质量守恒定律：其对应的数学表达式为连续性方程；
（2）牛顿第二运动定律：其对应的数学表达式为能量方程（包括纳维尔-斯托克斯方程、欧拉方程）；
（3）热力学第一定律（能量守恒定律）：能量方程（伯努利方程）。
对流体动力学的研究方法先从研究理想流体出发，推导其基本方程，然后根据实际流体的条件对基本方程的应用再加以简化或修正。
在研究流体运动之前，先熟悉一些基本概念。
第一节流体运动的描述
一、流场
流场：充满运动流体的空间称为流场。
在流场的任意点上，流体的质点以其本身的密度、产生的压力、与其它质点间的粘性力、质点本身流动速度、加速度等物理量表现质点的存在，这些物理量在流场的一切点上都是随时间、空间位置连续分布和连续变化的。
二、研究流体运动的方法
流体力学中常采用两种方法，拉格朗日（Lagrange）法及欧拉（Euler）法。两种方法的出发点不同。
拉格朗日法的出发点是流体质点，即研究流体各个质点的运动参数随时间的变化规律，综合所有流体质点运动参数的变化，便得到了整个流体的运动规律。在研究流体的波动和振荡问题时常采用此法。
欧拉法的出发点在于流场中的空间点，即研究流场质点通过空间固定点时的运动参数随时间的变化规律，综合流场中所有点的运动参数变化情况，就得到整个流体的运动规律。
由于研究流体运动时，常常希望了解整个流场的速度分布、压力分布及其变化规律，因此使用欧拉法来进行研究。
1、速度表示的方法：
（1）同一时刻流场内各空间点的流体质点速度是不相同的，速度是空间位置坐标（x，y，z）的函数；
（2）同一空间点的不同时刻，流体通过该点的速度也可以是不相同的，速度也是时间t的函数。
流体是连续介质，所以某点的速度应是x，y，z及t的连续函数。即
或
通过流场中某点流体质点加速度为速度对时间的导数，可表示为教材所示。
式（3-3）中等式右边第一项（如）表示通过空间固定点的流体质点速度随时间的变化率，称当地加速度；等式右边后三项反映了同一瞬间（即t
不变）流体质点从一个空间点转移到另一个空间点的速度变化率，称为迁移加速度。
质点的总加速度等于当地加速度与迁移加速度之和，即dv/dt称为全加速度。
三、稳定流与非稳定流
稳定流：流场中任一点处流体的运动参数及相关的物理量不随时间变化的流动。即流场的运动参数仅随位置改变而与时间无关的流动。
非稳定流：流场中有一个或几个运动参数或相关的物理量是随时间而变化的流动就是非稳定流。即流场的运动参数不仅随位置改变，而且随时间不同而变化，这种流动称为非稳定流。
对于非稳定流，流场中速度和压力分布可表示为
和
对于稳定流，流场中速度和压力分布可表示为
和
上述两种流动可用流体流过薄壁容器壁的小孔泄流来说明。如书P18图3-1、图3-2所示。
本书主要研究稳定流的基本规律。
四、迹线和流线
（1）迹线：流场中，一段时间内流体质点的运动轨迹。其特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，与时间无关。（是一个时间段内流体质点经过的路线。）
（2）流线：流线为某一时刻（某一瞬时）流场中由流体质点的速度向量构成的连线，即在这条线的每一点上的切线与该点处流体质点的速度方向重合。（是某个瞬时流场内各个质点速度向量的连线。）
设在某瞬时t1，流场中某点1处流体质点的流速为v1；沿v1矢量方向无穷小距离ds1取点2，点2处流体质点在同一瞬时t1的流速为v2；，沿v2矢量方向无穷小距离ds2取点3，点3处流体质点在同一瞬时t1的流速为v3；依此类推，可以找到点4，点5，…。这样，在t1瞬时可以得到一条空间折线1-2，2-3，3-4，…，当各折线ds趋近零时，该折线的极限为一条光滑的曲线S。曲线S就称为瞬时t1流场中经过点1的流线。
流线是流场中某一瞬间的一条空间曲线，在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。
流线有三个特征：
1）非稳定流时，由于流场中速度随时间改变，因此，非稳定流时，经过同一点的流线其空间方位和形状是随时间改变的。
2）稳定流时，由于流场中各点流速不随时间改变，所以同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合。而非稳定流时，流线与迹线不重合。
3）由于流场中每一点在每一瞬间只能有一个速度，因而流线不能相交，也不能转折，它是一条条光滑的曲线。
流线分布的疏密程度可表示流体运动的快慢程度，流线分布密集处流速大，在流线分布稀疏处流速小。
五、流管、流束、流量
（1）流管：在流场中作一封闭曲线，过该曲线的所有流线所构成的管状表面称为流管。（注意，流管是由封闭曲线内所有流线构成。）
非稳定流时，流管形状随时间改变，稳定流时流管形状不随时间变化。
由于流线不能相交的性质，流管内外的流线均不能穿越流管表面。（即流体不能穿过流管流进或流出。）
（2）流束：流管内部的流体称为流束。
与流束中每一根流线都正交的断面叫做有效断面。
断面无限小的流束称为微小流束。由于微小流束的断面很小，可以认为微小流束断面上各点的运动参数相同，用积分的方法求出相应总有效断面的运动参数。
（3）流量：单位时间内流过流管某一截面的流体体积或质量称为体积流量或质量流量，常用Q表示。体积流量的单位为m3/s或L/min。
微小流束的有效断面中流速v相同，所在单位时间内流过此微小流束的流量dQ应等于vdA。
一个流管是由许多流束组成，这些流束的流动参数并不一定相同，所以流管的流量为
v——有效截面上各点的流体流速；
dA——有效截面的微元面积。
由于流体有粘性，任一有效断面上各点的速度大小不等，总有效断面上速度分布呈曲线，边界处v为零，管轴中心处v最大。
平均流速：根据流量相等的原则，单位时间内匀速流过有效断面的流体体积应与按实际流体通过同一断面的流体体积相等，即
或
工程实际中，平均流速才具有应用价值，工程中所指的管道中流体的流速，就是指管道断面的平均流速。
第二节连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。
流体为连续介质，在研究流体运动时，同样认为流体是连续地充满它所占据的空间。根据质量守恒定律，对于空间固定的封闭曲面，稳定流时流入的流体质量必然等于流出的流体质量；非稳定流时流入与流出的流体质量之差，应等于封闭曲面内流体质量的变化量。连续性方程就是反映这个原理的数学关系。
一、直角坐标系的连续性方程
在流场中取一平行六面体作为微元空间，其边长为dx，dy，dz，如书P21页图3-6所示。现在来考察该微元体内部流体的质量变化。
如果考虑流场中流体密度是逐点随时变化的，即密度ρ=f（x，y，z，t）。六面体点m（x，y，z）上流体质点的速度为v x，v y，v z，根据质量守恒定律有
单位时间输入微元体的质量－单位时间输出微元体的质量=单位时间微元体内累积的质量………（A）
（当然如果累积量为零，则为稳定流动，否则为非稳定流动。）
质量的流入、流出情况如图3-6箭头所示，在x轴方向上经x面流入微元空间的质量流量ρv x dydz，通过
x+dx面流出微元空间的质量流量应为，则dt时间内沿x向从六面体x处与x+dx 处输入与输出的质量差为
同理，沿y轴和z轴方向上流入和流出的质量流量差分别为
；
则dt时间内整个六面体内输入与输出的流体质量差应为：三个方向上质量差之和。
………………………………………………（B）
（现在算出了等式（A）的左边部分，再来看等式的右边部分。）
设dt时间开始时微元体空间内流体密度为ρ，经过dt时间后该微元空间内流体密度变为，在dt时间内微元空间由于密度变化而引起的总的质量变化（即累积的质量变化）为
……………………………………………………（C）
当微元空间无源无汇，且流体流动为连续的，则（B）、（C）两式应相等，即
即或
…………（D）
这就是不稳定可压缩流体流动时的流体质量平衡方程，即其连续性方程。
其物理意义是：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。这个方程是质量守恒定律在流体力学中的具体体现。
（可将方程简化写成或）
对于可压缩性流体稳定流动，流体密度不随时间变化，即，（但dρ/dt≠0）（为什么？因为密度不光是时间的函数，还是x，y，z坐标的函数，），则此时
的流体质量平衡方程应为或
此式为可压缩性流体稳定流动的三维连续性方程，它说明流体在单位时间内流经单位体积空间流出与流入的质量相等，或者说空间体内质量保持不变。
对于不可压缩流体，ρ为常数（ρ不光与时间t无关，与位置坐标均无关），则
或
此式为不可压缩流体流动的空间连续性方程，它说明单位时间单位空间内的流体体积保持不变。
二、一维总流的连续性方程
工程中常见一维流动，如管束中的流动，可视为一维流动，此时，v y=v z=0。
1．对可压缩流体稳定流动时，假设微小流束两个断面积分别为dA1和dA2，经端面流入和流出该流管的质量流量应相等，其连续性方程为
对此式积分，并取ρ1及ρ2为平均密度ρ1均ρ2均，可得一维总流的方程
积分后得…………………（E）
式中v1、v2——断面A1及A2处流体平均速度（m/s）；
A1、A2——有效断面面积（m2）；
ρ1均ρ2均——流管两端处的流体密度。
（E）式说明可压缩流体稳定流动时，沿流程的质量流量保持不变，为一常数。
2．对不可压缩流体，ρ1=ρ2=常数，则
………………………………………………………………………………（F）
（F）为一维总流不可压缩流体稳定流动的连续性方程。说明不可压缩流体稳定流流管的任意有效断面上流体流量都一样，也即流管任意有效断面处流体的流速与有效断面的面积成反比关系。即断面大流速小，断面小流速大。（注意生活中常见的江河，河道窄时流速大，河道宽时流速小。）
例1：一化铁炉的送风系统如书P24页图3-7所示。将风量Q=50m3/min的冷空气经风机送入冷风管=1.293kg/m3），再经密筋炉胆换热器被炉气加热，使空气预热至t=250℃。（0℃时空气密度为ρ1
均
然后，经热风管送至风箱中。若冷风管和热风管的内径相等，即d1=d2=300mm。试计算两管实际风速v1及v2。
解：冷空气加热后，其密度变小，如不考虑冷热风管中压力的不同，则利用
（kg/m3）
因此，本题便可成为可压缩流体的稳定流问题，即
现在ρ1、ρ2、A1、A2已知，v1，v2未知，先求v1：
v1=Q/A1=50/60/（3.14×0.3×0.3÷4）=11.8（m/s）
则v2=ρ1·v1/ρ2=1.293×11.8/0.674=22.6（m/s）
三、圆柱坐标系和球坐标系的连续性方程
与前面的推导方式相同，只是换了坐标系而已，自己看书推导一下，看能不能推导出来？
例2：已知空气流动速度场为v x=6（x+y2），v y=2y+z3，v z=x+y+4z，试分析这种流动状况是否连续？
解：因为，根据书P23页，式（3-19）可以说明空气的流动是不连续的。
第三节流体动量传输方程
连续性方程反映的是流体运动的速度场必须满足的条件，这是一个运动学方程。这节讨论流体动量平衡方程（即动量传输方程）。
一、动量平衡方程（动量传输方程）
由牛顿第二定律可知，一个体系的动量随时间的变化率等于该体系所表现出来的用来平衡外界作用在该体系上总合力F，而且是沿着外力合力的反方向变化
的，即
可知 [动量]=[质量]×[速度] [动量通量]=[动量]/([面积]×[时间])
[动量率]=[动量通量]×[面积]=[动量]/[时间]= [质量]×[速度] /[时间]=[质量]×[加速度]=[力]
1．对正在运动着的稳定流，这一规律也应成立。如在稳定流的流场中观察任一微元体，如该微元体处于稳定状态，即它上面的流体运动物理量都不随时间变化，则
输入微元体的动量率－输出微元体的动量率＋作用在微元体上的外力合力=0 …………………（A）
2．对非稳定流，流场微元体中的动量总是随时间发生变化的，因此在时间dt 的间隔，出现了微元体中蓄积动量的变化，此时有
输入微元体的动量率－输出微元体的动量率＋作用在微元体上的外力合力=微元体中动量率的蓄积量…（B）
微元体中动量率的蓄积量可为正值或负值。
（作用于某一流体块或微元体积的力可分为两大类：表面力、质量力或体积力。）
（A）（B）两式实际表明的是一种力的平衡，由动量率表现的力实际为对流动量率和粘性动量率，而作用在流体上的外力主要为质量力和表面力。表面力是指作用于流体块外界面的力，可为压力、固体表面施加的切应力、压力等。质量力是指直接作用在流体块中各质点上的非接触力，如重力、惯性力等。质量力与受力流体的质量成正比，也叫体积力。单位质量流体上承受的质量力称单位质量力。
二、纳维尔—斯托克斯方程（广义的不可压缩粘性流体动量平衡方程）（实际流体动量传输方程）
在流场中任取一微元体dxdydz（如教材P28页图3-11所示，微元六面体边长分别为dx；dy；dz）。通过微元体六个面上都有三个坐标轴方向上的流体流动，并在三个方向上都可能出现速度梯度。作用在每个正六面体上的力，除去法向力σ外，还由于流体的粘性而产生了切向力τ（剪切力）。
三方向流动和速度梯度都会共同影响一个方向上的动量平衡，先分析在x轴方向上的动量平衡，再分析其它方向。
1．X轴方向上的对流动量传输（对流动量通量：密度为ρ的流体沿x轴方向的运动速度为v x，则在时间t内通过面积A的沿x轴方向的对流动量通量为：(mv x)/(At)= (ρVv x)/(At)= ρv x(Δx/t)=ρv x·v x）
（1）通过左、右dydz面输入和输出的微元体质量流率差值在x轴方向上引起的对流动量率差值应为
（对流动量通量：单位时间内通过单位面积所传输的对流动量。）
（对流动量率：单位时间内通过某面积传输的对流动量，对流动量率=对流动量通量×传输面的面积）
式中 dydz——传输面面积；
ρv x·v x——dydz面x方向上对流动量通量。
（2）通过前后dxdz面输入和输出微元体的质量流率差值同样在x轴方向上会引起输入和输出微元体对流动量率的变化，其差值为
式中 dxdz——传输面面积；
ρv x·v y——dxdz面x方向上对流动量通量。
（3）同理，通过上、下dxdy面输入和输出微元体的对流动量率差值为
式中 dxdy——传输面面积；
ρv x·v z——dxdy面x方向上对流动量通量。
2．X轴方向上的粘性动量传输（即τ）
（1）在x轴方向上，通过流体流速v x在x轴方向上出现的速度梯度，经左右dydz 面输入和输出微元体的粘性动量率差值为
式中 dydz——传输面面积；
τxx——dydz面x 方向上粘性动量通量。
（2）在x轴方向上，通过流体流速v x在y轴方向上出现的速度梯度，经后前dxdz 面输入和输出微元体的粘性动量率差值为
式中 dxdz——传输面面积；
τyx——dxdz面x 方向上粘性动量通量。
（3）在x轴方向上，通过流体流速v x在z轴方向上出现的速度梯度，经上下dxdy 面输入和输出微元体的粘性动量率差值为
式中 dxdy——传输面面积；
τzx——dxdy面x 方向上粘性动量通量。
3．作用力
（1）x轴方向上作用在左、右dydz面上的压力差值
（2）x轴方向上作用在微元体上由重力引起的质量力
4．考虑到流场为非稳定流，则x轴方向上蓄积在微元体中的动量率
根据牛顿第二定律，为d(mv)/dt，即
将上述四种动量率和力代入动量平衡方程，如下式：
输入微元体的动量率－输出微元体的动量率＋作用在微元体上的外力合力=微元体中动量率的蓄积量
整理得（除以dxdydz）
如考虑流体不可压缩，ρ=常数，根据连续性方程：，对上式进行运算后，得
………………（C）
同理，可得在y和z轴方向上的动量平衡方程：
…
……………（D）
…………………（E）
联立的式（C）、（D）、（E）即为直角坐标系中不可压缩牛顿流体的广义动量平衡方程——纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。
由上述三式中任一式可见：式之左边括号内的各项和为全加速度，右边第一项为粘性力。故这些式子的物理意义为
惯性力（质量乘以加速度）=粘性力+压力+重力
三、欧拉方程——（理想流体动量传输方程）
欧拉方程反映的是理想流体在运动中所受的力和动量与流动参量之间的关系，即理想流体动力学方程。
理想流体：无粘性的流体。（由于没有粘性，则可以不考虑由粘性产生的内摩擦力，作用在流体表面上的力只有垂直指向受压面的压力。η=0）
由于η=0，故纳维尔-斯托克斯方程便可直接变成欧拉方程
。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。（F）
上述各式即为理想流体的动量平衡方程（或动量传输方程），它是1755年由欧拉首先提出的。欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。它对可压缩或不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流都是适用的。在不可压缩流体中密度ρ为常数；在可压缩流体中密度是压力和温度的函数，即ρ=f（p，T）。上式是针对非稳定
流欧拉方程，对于稳定流，，欧拉方程的形式为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（G）
对欧拉方程，一般情况下，作用在流体上的单位质量力是已知的，对理想不可压缩流体，由于密度为常数，故上述方程中的未知数为三个速度分量v x，v y，v z和压力p，三个方程式再加一个连续性方程，共四个方程，四个未知数，方程组可解。
第四节稳定流的动量方程及其应用
工程中常需要了解运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如水在弯管中流动时对管壁的冲击等。可以使用动量方程来进行分析计算。
一、稳定流动的动量方程
由牛顿第二定律：F=ma=m·dv/dt=d(mv)/dt，可以看出，质点系动量对时间的全导数，等于作用在该质点系上各外力的合力（F）。
换一种说法如下：
稳定流的流场中观察任一微元体，如该微元体处于稳定状态，即它上面的流体运动物理量都不随时间变化，则
输入微元体的动量率－输出微元体的动量率＋作用在微元体上的外力合力=0
将此式改变形式：
输入微元体的动量率－输出微元体的动量率=作用在微元体上的外力合力
这个式子与F=d(mv)/dt是同一个意思，F即为外力合力，d(mv)/dt即为输入输出动量率的差值。
如教材P40，图3-18所示：
dt时间内， (V：流体体积，v：流体速度)
(V=v·dt·A，流体流量Q=Av)
推广到液体总流：
由于是稳定流，则
用平均流速来代替断面上不同的速度分布，即将
v1，v2看作平均流速，则
式中的v1，v2均为两处的平均流速
这里由于流动速度取平均流速，出现了动量修正系数β，取β2=β1=1，则
改变形式
则：外力
这就是不可压缩流体稳定流动总流的动量方程，F为作用在流体上的所有外力的合力，这些力包括流体自身重力G，流体两端压力P1A1，P2A2，及其它边界上的外力R W。
上式也可写成如教材P41式（3-59）分量形式。
二、动量方程的应用
1．液流对弯管壁的作用力
如教材42页图3-19所示。
例：如下图（a）所示，水管转弯处用支架固定以抵御管中水流转弯时由于动量率发生变化而产生的力。水管中流量Q=2.5m3/min，水管内径d=100mm，管中水的压力p=105Pa，试求支架的受力。（忽略管壁对水流的粘性阻力）
解：按（b）图，管壁对水流段的作用力为F，其与x轴夹角为θ，则作用在此水流段上的外力在x轴方向上的分力应为
x轴方向上输出，输入动量率之差应为ρQv1，而v1=4Q/(πd2)，所以x轴方向上的动量平衡方程应为
(1)
同理：y轴方向上的动量平衡方程应为：
(2)
由这两式可得 tanθ=1，即θ=45°。
由x轴的动量平衡方程，得
支架受力：大小与F相同，方向相反。
2．射流对固体壁的冲击力
液体从管嘴喷出形成射流。液流处在同一大气压强之下，如略去重力的影响，则作用在流体上的力，只有固体壁对射流的阻力，其反作用力则为射流对固体壁的冲击力。
如教材42页图3-20所示。
例：砂型铸造时常用从高压水枪喷嘴喷出的高压水流柱冲击铸件上的粘砂和芯砂。设已知喷嘴出口处，水的流量Q=0.16m3/min，由此喷出水的流速为
v=69.5m/s，求当水流直冲铸件清理砂子时力的大小。
解：观察由水枪出口处至带砂铸件处的射流水段，为稳定流。
水枪出口处动量率为ρQv，速度方向为水平。
而在铸件处，水平速度为零，即水平方向输出的动量率为零：
根据 m1v1－m2v2=F
则F=ρQv=1000×0.16×69.5/60=175.6（N）
第五节理想流体和实际流体的伯努利方程
前面讲了流体流动的质量守恒定律的数学表现形式——连续性方程；动量守恒定律的数学表现形式——动量平衡方程（或动量传输方程）；下面讲解流体流动时遵循的能量守恒定律的数学表现形式——伯努利方程。
一、理想流体的伯努利方程
流体质点在沿流线流动时，具有流线运动方向上的一维流动特征。观察理想、不可压缩流体沿流线的稳定流动：
按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分应为
故
相应地速度分量v x、v y和v z对时间t的导数可写成
又可写为：
对理想、不可压缩流体的稳定流动，其欧拉方程为
可写为
如果坐标系统的z轴垂直地面，则g x=g y=0，g z=g，再对上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则
将此三式相加，得：
。。。。。。
。。。。。。。。。。。。（A）
流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速度分量的关系为
即
则
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（B）
又知压力的全微分，故式（B）成为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（C）
此式即为流体质点在微元空间（dx dy dz）内沿任意方向流线运动时的伯努利方程——能量平衡关系式。
考虑到密度ρ为常数，将此式沿流线进行积分，得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（D）
式中C为常数，这就是理想流体运动微分方程的伯努利积分。是伯努利在1738年提出来的，这种形式的方程也称伯努利方程，它表示同一流线上不同点处的能量和总保持为一个不变的常数，即为能量守恒。
将式（D）各项都乘以ρ，则此式成为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（E）
此式中各项的量纲都是（kg·m/s2）/m2或N·m/m3，可把式（E）中各项视为能量的表现形式就在于此。式（E）中ρgz、p和ρv2/2可相应地视为单位体积流体所具有的位能、压力能和动能。
将式（E）各项除以常数值ρg，则可得伯努利方程的常用形式
，考虑到γ=ρg，得
。。。。。。。。。。。。。（F）
对处在同一流线上的任意两点1和2来说，也可将式（F）改写成
说明在只有重力场作用下、理想的不可压缩流体沿流线的的稳定流动时，任何点的为常量。
二、实际流体的伯努利方程
理想流体的伯努利方程是由欧拉方程积分而来的；对实际流体，可对纳维尔-斯托克斯方程积分得到伯努利方程。
纳维尔-斯托克斯方程：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（G）
如果实际流体为定常流动，流体质点沿流线运动的微元长度d l在各轴上的投影分别是dx、dy、dz，而且dx=v x dt，dy=v y dt，dz=v z dt，则可将式（G）中各个方程分别对应地乘以dx、dy、dz，然后相加，得出
前面已知：
则上式成为：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
（H）
其中、、项为单位质量粘性流体所受切向应力在相应轴上的
投影。所以式（H）中的第二项即为这些切向应力在流线微元长度d l上所作的功。又因为由于粘性而产生的这些切向应力的合力总是与流体运动方向相反的，故所作的功应为负功。因此
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。
第三章流体动力学基础复习题 一、概念部分 1、描述流体运动的方法有和；前者以为研究对象，而后者以为研究对象。 2、流体运动的几何描述有：，，和。 3、流线有什么特点？流线、脉线和迹线有什么区别和联系？ 4、流体微团基本运动形式有，和变形运动等， 而变形运动又包括和两种。 5、描述有旋运动几何要素有、和。 6、判断正误：理想流体不存在有旋运动是否正确？为什么？试举例说明。 7、表征涡流的强弱的参数有和。 8、在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量为。 9、简述汤姆孙定理的内容 10、速度势函数?存在的条件是什么？流函数存在的条件是什么？ 11、简述流函数的物理意义的内容，并证明。 12、流网存在的条件是什么？简述流网的性质所包含的内容？ 13、无环量圆柱绕流运动由流、流和流叠加而成，有环量的圆柱绕流运动是无环量的圆柱绕流运动与流叠加而成。 14、是驻点。通过驻点的流线一定是零流线，是否正确？为什么？零流线是。轮廓线是。 15、描述流体运动的微分方程有、和。 写出它们的表达式。 16、纳维-斯托克斯方程中的速度只能是平均速度，是否正确？为什么？ 17、写出总水头和测压管水头的表达式，并说明各项的物理意义。 18、写出总压、全压和势压得表达式，并说明各项的物理意义。 19、简述系统和控制体的定义和特点 二、计算部分 1、已知拉格朗日描述：求速度与加速度的欧拉描述 2、试判断下列流场的描述方式：并转换成另一种描述方式 3、已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为： 试求在t=0时刻位于点（a,b)的流体质点的运动轨迹及拉格朗日法表示的速度场 4、粘性流体在半径为R 的直圆管内做定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的平面截面）上?????==-t t be y ae x ()()?????+-=+-=-t y t x e b u e a u 1111???+=+=t y u t x u y x
第三章 流体动力学基础 习 题 一、单选题 1、在稳定流动中，在任一点处速度矢量是恒定不变的，那么流体质点是 （ ） A ．加速运动 B ．减速运动 C ．匀速运动 D ．不能确定 2、血管中血液流动的流量受血管内径影响很大。如果血管内径减少一半，其血液的流量将变为原来的（ ）倍。 A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3、人在静息状态时，整个心动周期内主动脉血流平均速度为0.2 m/s ，其内径d =2×10-2m ，已知血液的粘度η =×10-3 Pa·S ，密度ρ=×103 kg/m 3，则此时主动脉中血液的流动形态处于（ ）状态。 A ．层流 B ．湍流 C ．层流或湍流 D ．无法确定 4、正常情况下，人的小动脉半径约为3mm ，血液的平均速度为20cm/s ，若小动脉某部分被一硬斑阻塞使之变窄，半径变为2mm ，则此段的平均流速为（ ）m/s 。 A ．30 B ．40 C ．45 D ．60 5、有水在同一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强差为1500Pa ，则A 处的流速为（ ）。 A ．1m/s B ．2m/s C ．3 m/s D ．4 m/s 6、有水在一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强之差为1500Pa ，则管道中的体积流量为（ ）。 A ．1×10-3 m 3/s B ．2×10-3 m 3/s C ．1×10-4 m 3/s D ．2×10-4 m 3/s 7、通常情况下，人的小动脉内径约为6mm ，血流的平均流速为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，测得此处血流的平均流速为80cm/s ，则小动脉此处的内径应为（ ）mm 。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8、正常情况下，人的血液密度为×103kg/m 3 ，血液在内径为6mm 的小动脉中流动的平均速度为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，此处内径为4mm ，则小动脉宽处与窄处压强之差（ ）Pa 。 二、判断题 1、有水在同一水平管道中作稳定流动，管道横截面积越大，流速越小，压强就越小。（ ） 2、由直径为15cm 的水平光滑的管子，把20℃的水抽运到空气中去。如果抽水保持水的流速为30cm/s ，已知20℃水的粘度η＝×10-3 Pa/S ，则水在管子中的流动形态属于湍流。（ ） 3、烟囱越高，通风效能越好，即把烟从炉中排出来的本领就越大。（ ） 4、在深海中下落的一个铝球，整个过程始终是加速运动的。（ ） 5、飞机机翼的升力来自机翼上下表面压强之差，这个压强之差主要由于机翼上表面流速大于下表面流速所致。（ ） 6、流体的内摩擦力与固体间接触表面的摩擦力共同的特点都是阻碍相对运动，但流体的内摩擦力不存在最大的静摩擦力。（ ） 三、填空题 1、流管的作用相当于管道，流体只能从流管一端____，从另一端______。 2、液体的粘度与液体的______、温度、_______因素有关，且随着温度的升高而_______。 3、理想流体是指 的流体，是一理想的模型，它是实际流体的近似。 4、稳定流动是实际流体流动的一种特殊情况， ，称为稳定流动。 5、为形象地描绘流速场的分布情况，可在其中描绘一些曲线，使
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为 54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。 解：（1）由题设得测点到管心的距离依次为1r ……5r
第三章流体动力学基础 描述流体运动的两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。 拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。 欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。 恒定流：各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动。 非恒定流：各空间点上的运动参数随时间变化的流动。 一（二、三）元流：流体流动时各空间点上的运动参数是一（二、三）个空间坐标和时间变量的连续函数。 均匀流：流线是平行直线的流动。 非均匀流：流线不是平行直线的流动。 流线：表示某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。 流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。 流束：充满流体的流管。 过流断面：与所有流线正交的横断面。 元流：过流断面无限小的流束，断面上各点的运动参数均相同。
总流：过流断面为有限大小的流束，断面上各点的运动参数不相同。流量：单位时间内通过某一过流断面的流体量。以体积计为体积流量，简称流量；以质量计为质量流量；以重量计为重量流量 非均匀渐变流：在非均匀流中流线近似于平行直线的流动。 水头线：总流或元流沿程能量变化的几何图示。 水力坡度：单位流程内的水头损失。 （简答）流线有哪些主要性质？流线和迹线有无重合的情况？答：流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。 试述流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。 不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体运动必须满足该方程。
第三章流体动力学基础 本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。 第一节流体流动的基本概念 1.流线 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。 （2）流线的作法： 在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。 图3-1 图3-2 （3）流线的性质（图3-3） a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 （4）流线的方程（图3-4） 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4
设d s为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。 所以即 展开后得到：——流线方程（3-1） （或用它们余弦相等推得) 2.迹线 (1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 图3-5中烟火的轨迹为迹线。 (2)迹线的微分方程 （3-2） 式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点。 ——流线方程 3.色线（colouring line) 又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。 例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。 流线、迹线、色线的比较： 概念名 流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。
第3章流体运动学 选择题： 【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22 d d t r ；（b ）v t ??；（c ）()v v ??； （d ）()t ?+???v v v 。 解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 () d d t t ?= =+??v v a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（ b ）各空间点上的运动要 素不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。 解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动. （b ） 【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运 动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。 解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 （c ） 【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加 速度为零；（d ）合加速度为零。 解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ） 【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ） 微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。 解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。 （d ） 【3.6】 变直径管，直径1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。2V 为：（a ） 3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。 解：按连续性方程， 22 1 12 2 4 4 V d V d π π =，故
第3章流体动力学基础 3.1 解： z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 34 2 2 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + = + - + + + + = + + = z y x t z y t y x t u u y x z u u y u u x u u t u a y z y y y x y y? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 3 2 1 1 1 = - + + = - + + + - - = + - = z y x z x t z y t u u x y z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 11 2 1 2 2 2 1 1 = + + + + = - + - + + + = - + = z y x t z y t y x t u u z x 2 2 2 286 . 35s m a a a a z y x = + + = 3.2 解： （1）32 35 6 2 3= - = + =xy xy u xy y u a y x x 2 2 2 5 2 7310 . 33 3 32 3 1 s m a a a y u y a y x y y = + = = = - = （2）二元流动 （3）恒定流 （4）非均匀流 3.3 解： bh u y h u bdy h y u udA Q h h A max 7 8 7 1 max 7 1 max8 7 8 7 = = ? ? ? ? ? = =? ?
第三章水动力学基础 1、渐变流与急变流均属非均匀流。( ) 2、急变流不可能是恒定流。( ) 3、总水头线沿流向可以上升，也可以下降。( ) 4、水力坡度就是单位长度流程上的水头损失。( ) 5、扩散管道中的水流一定是非恒定流。( ) 6、恒定流一定是均匀流，非恒定流一定是非均匀流。( ) 7、均匀流流场内的压强分布规律与静水压强分布规律相同。( ) 8、测管水头线沿程可以上升、可以下降也可不变。( ) 9、总流连续方程v1A1 = v2A2对恒定流和非恒定流均适用。( ) 10、渐变流过水断面上动水压强随水深的变化呈线性关系。( ) 11、水流总是从单位机械能大的断面流向单位机械能小的断面。( ) 12、恒定流中总水头线总是沿流程下降的，测压管水头线沿流程则可以上升、下降或水平。( ) 13、液流流线和迹线总是重合的。( ) 14、用毕托管测得的点流速是时均流速。( ) 15、测压管水头线可高于总水头线。( ) 16、管轴高程沿流向增大的等直径管道中的有压管流，其管轴压强沿流向增大。( ) 17、理想液体动中，任意点处各个方向的动水压强相等。( ) 18、恒定总流的能量方程z1 + p1／g + v12 ／2g = z2 +p2／g + v22／2g +h w1- 2 ，式中各项代表( ) (1) 单位体积液体所具有的能量；(2) 单位质量液体所具有的能量； (3) 单位重量液体所具有的能量；(4) 以上答案都不对。 19、图示抽水机吸水管断面A─A动水压强随抽水机安装高度h的增大而( ) (3) 不变(4) 不定 h1与h2的关系为( ) (1) h＞h(2) h＜h(3) h1 = h2(4) 无法确定 ( ) (1) 测压管水头线可以上升也可以下降(2) 测压管水头线总是与总水头线相平行 (3) 测压管水头线沿程永远不会上升(4) 测压管水头线不可能低于管轴线 22、图示水流通过渐缩管流出，若容器水位保持不变，则管内水流属( ) (3) 恒定非均匀流(4) 非恒定非均匀流 ( ) (1) 逐渐升高(2) 逐渐降低(3) 与管轴线平行(4) 无法确定 24、均匀流的总水头线与测压管水头线的关系是( ) (1) 互相平行的直线；(2) 互相平行的曲线；(3) 互不平行的直线；(4) 互不平行的曲线。