沈丘三高高二数学学案
编制王立
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】
1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;
2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;
3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
【自主检测】
1.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .
(1)求AB 的值;(2)求sin ?
????2A -π4的值.
2.在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且3a =2c sin A .(1)确定角C 的大小;
(2)若c =7,且△ABC 的面积为
332,求a +b 的值.
【典型例题】
例1.在四边形ABCD 中,已知AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,求BC 的长.
例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、
b 、
c ,cos(A -C )+cos B =32
,b 2=ac ,
求B .
【目标检测】
1.在△ABC 中,已知b =a sin B ,且cos B =cos C ,则△ABC 的形状是( )
A .等边三角
B .等腰三角形
C .直角三角形
D .等腰直角三角形
2.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )
A .a =8 b =16 A =30°有两解
B .b =18 c =20 B =60°有一解
C.a=5 b=2 A=90°无解 D.a=30 b=25 A=120°有一解
3.已知△ABC中,AB=3,AC=1,且B=30°,则△ABC的面积等于( )
A.
3
2
B.
3
4
C.
3
2
或 3 D.
3
4
或
3
2
4*.在△ABC中,若tan A-tan B
tan A+tan B
=
c-b
c
,求角A
【总结提升】
1.在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;
2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形. 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,, 等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511 正弦定理与余弦定理 1.已知△ABC 中,a=4,ο 30,34==A b ,则B 等于( ) A .30° B.30° 或150° C.60° D.60°或120° 2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3,则角C 的大小为( ) A .75° B.60° C.45° D.30° 3.已知ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边,若0cos cos )2(=++C b B c a ,则角B 的大小为( ) A . 6 π B . 3 π C . 32π D .6 5π 4.在?ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2,ac a b 322=-,则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知a=5,c=10,A=30°,则B 等于( ) A .105° B.60° C.15° D.105° 或 15° 6.已知ABC ?中,75 6,8,cos 96 BC AC C ===,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形 7.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则角A 的大小为( ) A . 2π B .3π C .4π D .6 π 8.在△ABC 中,若sin 2 A +sin 2 B <sin 2 C ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.在ABC ?中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C =( ) A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10.在ABC ?中,a b c ,,分别为角A B C ,,所对边,若2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos 2 =,则△ABC 为( )三角形. A .正 B .直角 C .等腰直角 D .等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4,b=4 ,则B 等于( ) A .B=45°或135° B .B=135° C .B=45° D .以上答案都不对 13.在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=( ) 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-b23bc,sin C3B,则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b,代入a2-b23得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a7b, 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ,所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B,则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=2 , 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???, 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半 径),并可由此计算R 、r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a =b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ;在锐角三角形中,cos A 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB =120°,在△ACB 中,由余弦 定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120°=2a 2-2a 2×? ?? ??-12=3a 2, ∴AB =3a . 答案B 2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A .2 2 km B .3 2 km C .3 3 km D .2 3 km 解析 如图,由条件知AB =24×15 60=6,在△ABS 中,∠BAS =30°,AB =6,∠ABS =180°-75°=105°,所以∠ASB =45°.由正弦定理知BS sin30°=AB sin45°,所以BS =AB sin45°sin30°=3 2. 答案B 3.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A 的航行速度是25海里/小时,轮船B 的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( ) A .35海里 B .352海里 C .353海里 D .70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ,F ,则依题意有CE =25×2=50,CF =15×2=30,且∠ECF =120°, EF =CE 2+CF 2-2CE ·CF cos120° = 502+302-2×50×30cos120°=70. 答案D 4.(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距20 m 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有 时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________. 解析 记三角形三边长为a -4,a ,a +4,则(a +4)2=(a -4)2+a 2-2a (a -4)cos 120°,解得a =10,故S =12×10×6×sin 120°=15 3. 答案 15 3 2.若海上有A ,B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC =75°,则B ,C 间的距离是________海里. 解析 由正弦定理,知BC sin 60°=AB sin (180°-60°-75°) .解得BC =56(海里). 答案 5 6 3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为________海里/时. 解析 由正弦定理,得MN =68sin 120°sin 45°=346(海里),船的航行速度为3464= 176 2(海里/时). 答案 176 2 4.在△ABC 中,若23ab sin C =a 2+b 2+c 2,则△ABC 的形状是________. 解析 由23ab sin C =a 2+b 2+c 2,a 2+b 2-c 2=2ab cos C 相加,得a 2+b 2= 2ab sin ? ????C +π6.又a 2+b 2≥2ab ,所以 sin ? ????C +π6≥1,从而sin ? ????C +π6=1,且a =b ,C =π3时等号成立,所以△ABC 是等边三角形. 答案 等边三角形 习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( ). A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 解析 ∵2cos B sin A =sin C =sin(A +B ), ∴sin A cos B -cos A sin B =0, 即sin(A -B )=0,∴A =B . 答案 C 2.在△ABC 中,若a 2=bc ,则角A 是 ( ). A .锐角 B .钝角 C .直角 D .60° 解析 cos A =b 2+c 2-a 2 2bc = b 2+ c 2 -bc 2bc = ????b -c 22+3c 2 4 2bc >0,∴0°<A <90°. 答案 A 3.在△ABC 中,AB =7,AC =6,M 是BC 的中点,AM =4,则BC 等于 ( ). A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC =a ,则BM =MC =a 2. 在△ABM 中, AB 2=BM 2+AM 2-2BM ·AM cos ∠AMB , 即72=14a 2+42-2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中, AC 2=AM 2+CM 2-2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62=42+14a 2+2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①+②得:72+62=42+42+1 2 a 2, ∴a =106. 答案 B 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则角B 的值为________. 解析 ∵a 2+c 2-b 2=3ac , ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =3ac 2ac =32,∴B =π 6. 答案 π 6 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 解析 由sin B +cos B =2sin ????B +π 4=2得 sin ????B +π4=1,∴B =π 4. 由正弦定理a sin A =b sin B 得 sin A =a sin B b = 2sin π 4 2 =12 , ∴A =π6或56 π. ∵a <b ,∴A <B ,A =π 6. 答案 π6 6.在△ABC 中,内角A 、B 、C 成等差数列,其对边a ,b ,c 满足2b 2=3ac ,求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A +B +C =180°得B =60°,A +C =120°. 由2b 2=3ac 及正弦定理得 2sin 2B =3sin A sin C , 故sin A sin C =12 . cos(A +C )=cos A cos C -sin A sin C =cos A cos C -1 2, 即cos A cos C -12=-1 2, cos A cos C =0, cos A =0或cos C =0, 课时作业3应用举例 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 1.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是() A.103海里B.106海里 C.52海里D.56海里 【答案】 D 【解析】如图,∠A=60°,∠B=75°, 则∠C=45°, 由正弦定理得: BC=AB·sin A sin C =10×sin60° sin45° =5 6. 2.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为() A .502m B .503m C .252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB =45°,∠CAB =105°,所以∠ABC =30°,根 据正弦定理可知,AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB ,即50sin30°=AB sin45°,解得AB =502m ,选A. 3.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A ,B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示,塔高为OC ,则∠OAC =60°,∠AOB =180°-30°=150°,∠CBO =45°,AB =35, 设电视塔高度为h m,则OA=3 3h,OB=h,在△AOB中由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即352=(3 2+h2-2×33h×h×(-32) 3h) 解得h=521. 4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险? 【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可. 第28讲 正弦定理与余弦定理 1.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则角A 等于(C) A .60° B .45° C .120° D .30° 因为cos A =b 2+c 2-a 22bc =-12, 又因为0° 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题. ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点. 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题. 3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2:sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3:∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意:(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理地综合应用
正弦定理和余弦定理详细讲解
正弦定理余弦定理
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
正弦定理与余弦定理
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳