全等三角形判定方法4(SSS)
1．如图2－5－61，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的方法是()
图2－5－61
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
2．如图2－5－62所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定
( )
图2－5－62
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
3．[2012·茂名]如图2－5－63所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部
1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
初中数学试卷 灿若寒星整理制作 2015年全等三角形测试题 （考试时间为90分钟，满分100分） 一.填空题：(每题3分,共30分) 1.如图1，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，则△ABD ≌_________. 2.如图2，若AB ＝DE ，BE ＝CF ，要证△ABF ≌△DEC ，需补充条件_______或_______. 3.如图3，AB=DC ，AD=BC ，E.F 是DB 上两点且BE=DF ，若∠AEB=100°，∠ADB=?30，则∠BCF= . 图3 图4 4. 如图4，△ABC ≌△AED ，若AE AB =，?=∠271，则=∠2 . 5.如图5，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E.F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有 对全等三角形. 6.如图6，四边形ABCD 的对角线相交于O 点，且有AB ∥DC ，AD ∥BC ，则图中有＿＿＿对全等三角形. 7．下列命题中，真命题的个数有 ( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等． A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个 8.已知∠A ：∠B ：∠C=1:2:2，则△AB C 三个角度数分别是（ ） A ．40o、 80o、 80o B ．35o 、70o 、70o C ．30o、 60o、 60o D ．36o、 72o、 72o A B C D 图1 A D B E F C 图2 A D B C E F 图5 A B C D O 图6 A B C D E F A B C E D 1 2
A B C D E 9．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45o”，应先假设（ ） A.两个锐角都小于45 o B.两个锐角都大于45 o C.一个锐角小于45 o D.一个锐角小于或等于45 o 10．满足下列哪种条件时，能判定△ABC 与△DEF 全等的是( ) A ．∠A=∠E ，A B = EF ，∠B =∠D ； B ．AB=DE ，B C = EF ，∠C=∠F ； C ．AB=DE ，BC = EF ，∠A=∠E ； D ．∠A =∠D ，AB = D E ，∠B=∠E 二.选择题：(每题3分,共24分) 11.如图9，△ABC ≌△BAD ，A 和B.C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为 （ ） A.4cm B.5cm C.6cm D.以上都不对 12.下列说法正确的是 （ ） A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 13.在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是 （ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B 或∠C 14.下列条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A.AB ＝DE ，BC ＝ED ，∠A ＝∠D B.∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F ，AC ＝EF C.∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，AC ＝EF D.∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，AB ＝DE 15.AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝4，AC ＝6，则AD 的取值范围是（ ） A.AD ＞1 B.AD ＜5 C.1＜AD ＜5 D.2＜AD ＜10 15. 把命题“同旁内角互补”，改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 16．撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为三角形具有______________性． 17．命题： “如果 ，那么”的逆命题是________________________________，该命题是________命题（填真或假）． 18．如图，已知，DAB CAE ∠=∠， AC=AD. 给出下列条件: ① AB=AE ；② BC=ED ；③ D C ∠=∠；④ E B ∠=∠.其中能使△ABC ≌△AED 的条件为 ______ ． （注：把你认为正确的答案序号都填上）. 三．解答题(共46分) 19. (8分)如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其 他对应边和对应角.
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE ＝23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝12 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便. 2．5 全等三角形 第1课时全等三角形及其性质 1．了解全等图形的概念； 2．理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的对应元素；(重点) 3．掌握全等三角形的性质．(难点) 一、情境导入 请欣赏下列图片，如果把每组中的两幅图片放到一起，它们能完全重合吗？ 二、合作探究 探究点一：全等图形 下列四个图形是全等图形的是( ) A．(1)和(3) B．(2)和(3) C．(2)和(4) D．(3)和(4) 解析：由图可知，(2)、(3)、(4)图中的圆在等腰三角形中，(1)图中的圆在直角三角形中，所以排除(1)；考虑(2)、(3)、(4)图中的圆，很明显(3)图中的圆小于(2)、(4)中的圆；所以能够完全重合的两个图形是(2)、(4)．故选C. 方法总结：本题考查全等形的判断，要明确全等形的意义，即完全重合的图形，做题时要紧扣此点． 探究点二：找全等三角形的对应角、对应边 如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角． 解析：全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可． 解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边， ∴对应边：AN与AM，BN与CM； 对应角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC. 方法总结：确定全等三角形的对应边和对应角的方法：①重叠法：将两个三角形重叠，能够重合的点就是对应点，能够重合的边就是对应边，能够重合的角就是对应角．②对应法：根据具体的表达式确定对应关系．③推理法：通过说理证明线段相等、角相等，从而得到对应边、对应角． 探究点三：全等三角形的性质 【类型一】根据全等三角形的性质求线段的长 如图，△ABC≌△DEF，BF＝3，EF＝2.求FC的长． 解析：根据全等三角形的对应边相等，可知EF＝BC，又FC＝BF－BC，代入计算即可．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝2. 又∵FC＝BF－BC，BF＝3，∴FC＝3－2＝1. 方法总结：本题主要考查全等三角形的性质，观察图形，找出已知与要求的线段之间的关系是解题的关键． 【类型二】根据全等三角形的性质求角的度数 如图，△ABC≌△DEC，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10， (1)求∠D的度数； (2)求∠EBC的度数． 解析：(1)根据三角形内角和等于180°，再根据比值求出△ABC的各内角的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠D的度数； (2)先根据全等三角形对应角相等求出∠E＝∠ABC＝50°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解． 解：(1)∵∠A＋∠ABC＋∠BCA＝180°，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10， ∴∠A＝180°× 3 3＋5＋10 ＝30°，∠ABC＝180°× 5 3＋5＋10 ＝50°，∠BCA＝180°× 10 3＋5＋10 ＝100°. 又∵△ABC≌△DEC，∴∠D＝∠A＝30°. 全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF === ，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠= ，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠ ，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠ ，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（） A．1组B．2组C．3组D．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC，BC边的中点，将此三 角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若48 CDE ∠=°， 则APD ∠等于（） A．42° B．48° C ．52° D．58° 3.如图（四），点P是AB上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补 充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充 一个条件，不一定能 ．．．．推出APC APD △≌△的是（） A．BC BD = B.AC AD = C.ACB ADB ∠=∠ D.CAB DAB ∠=∠ 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两 个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF C A D P B 图（四） 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长约等于( ) A ．14cm B ．10cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中 转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去 8．如图，在Rt ABC △中，ο 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于 点D ，交BC 于点E ．已知ο 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．ο 30 B ．ο 40 C ．ο 50 D ．ο 60 9．如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 10．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．A B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB 11.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为（ ） A D C E B E D C B A ④ ①② ③ A B C D C A B B ' A ' 腾大教育教师辅导教案 授课时间：2014年2月10日学员姓名年级八年级辅导课目数学 学科教师班主任课时数 3 教学课题解全等三角形问题的题型总结 教 学目标1.总结、讲解全等三角形题型 2.练习 教 学 重 难 点 1.掌握解全等三角形的各类问题 教学内容课堂收获 一、三角形全等的性质和判定方法 二、全等三角形的题型 （一）注意三角形全等的判定方法。特别留意的是有两边和一角对应相等的两个三角 形不一定全等，当相等的角为相等的两边中的一边的对角时，这两个三角形不一定相 等。 例1.下面有四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等。 其中真命题是：（） A. ②③ B.①③ C.③④ D.②④ 练习： 1.下列说法：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； ②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； ③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； ④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。 其中正确的有（） A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个 （二）注意角度在三角形全等中的应用。特别是在特殊三角形，如等腰三角形、直角 三角形中角度数的作用。 例2.两个全等的含? 30、? 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC。试判断△EMC的形状， 并说明理由。 全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定 全等三角形及其性质 教学目标 1．了解全等图形的概念； 2．理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的对应元素；(重点) 3．掌握全等三角形的性质．(难点) 教学过程 一、情境导入 请欣赏下列图片，如果把每组中的两幅图片放到一起，它们能完全重合吗？ 二、合作探究 探究点一：全等图形 下列四个图形是全等图形的是( ) A．(1)和(3) B．(2)和(3) C．(2)和(4) D．(3)和(4) 解析：由图可知，(2)、(3)、(4)图中的圆在等腰三角形中，(1)图中的圆在直角三角形中，所以排除(1)；考虑(2)、(3)、(4)图中的圆，很明显(3)图中的圆小于(2)、(4)中的圆；所以能够完全重合的两个图形是(2)、(4)．故选C. 方法总结：本题考查全等形的判断，要明确全等形的意义，即完全重合的图形，做题时要紧扣此点． 探究点二：找全等三角形的对应角、对应边 如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角． 解析：全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可． 解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边， ∴对应边：AN与AM，BN与CM； 对应角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC. 方法总结：确定全等三角形的对应边和对应角的方法：①重叠法：将两个三角形重叠，能够重合的点就是对应点，能够重合的边就是对应边，能够重合的角就是对应角．②对应法：根据具体的表达式确定对应关系．③推理法：通过说理证明线段相等、角相等，从而得到对应边、对应角． 探究点三：全等三角形的性质 【类型一】根据全等三角形的性质求线段的长 如图，△ABC≌△DEF，BF＝3，EF＝2.求FC的长． 解析：根据全等三角形的对应边相等，可知EF＝BC，又FC＝BF－BC，代入计算即可．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝2. 又∵FC＝BF－BC，BF＝3，∴FC＝3－2＝1. 方法总结：本题主要考查全等三角形的性质，观察图形，找出已知与要求的线段之间的关系是解题的关键． 【类型二】根据全等三角形的性质求角的度数 如图，△ABC≌△DEC，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10， (1)求∠D的度数； (2)求∠EBC的度数． 2016年开学“安全第一课”专题活动方 案 2016年开学“安全第一课”专题活动方案 各学校幼儿园： 为切实提高师生安全防范意识和技能，增强家长安全监管意识和能力，2016年9月1日起，在全市中小学（幼儿园）继续组织开展新学年开学“安全第一课”专题活动。活动方案如下： 一、总体要求 围绕“强化防范意识，构建和谐校园”主题，不断强化安全教育必要性和重要性的认识，认真履行学校安全教育职责，不断提高师生安全防范意识和技能，不断增强家长安全监管意识和能力，共同营造关爱生命的校园文化和大环境。 二、活动时间 2016年9月1日-30日 三、参与对象 全市所有（公、民办）普通中小学（幼儿园）全体学生、教师，并动员鼓励家长积极参与。 四、活动主题 强化防范意识，构建和谐校园。 五、活动内容 （一）组织全体学生、教师观看《安全第一课》（学校版）视频短片。短片内容包括: 围绕“校园欺凌”的新特点及预防策略展开讲授，同时兼顾交通安全、课间活动、食品安全等和学生相关的安全事项。 学校参与流程（附件1）：由学校统一组织或班主任在课堂上播放，登录“苏州市学校安全教育平台”（平台网址：suzhou.safetree），进入“安全第一课”专题入口，播放视频给学生观看和学习，即完成授课。 （二）动员鼓励学生家长观看《安全第一课》（家长版）视频短片。短片内容包括：围绕孩子安全感与家庭教育的关系进行讲授，深度剖析儿童缺乏安全感的底层原因，引导家长以良好的心态教育孩子，提高家长对家庭教育的认识，促进孩子安全健康快乐成长。 家长参与流程（附件2）：学校布置家庭作业并告知家长参与活动的流程和方法，登录“苏州市学校安全教育平台”（平台网址：suzhou.safetree），在“我的作业”中点击“安全第一课”专题，观看“家庭版”视频即完成。家长可以通过电脑或手机进行观看。 北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题集 1．如图1,已知在等边△ABC 中，BD=CE,ＡD 与ＢE 相交于P ，则∠ＡPE 的度数是 。 图1 图2 B A 图 3 2．如图２，点E 在A Ｂ上，AC=ＡD,ＢC ＝BD ，图中有 对全等三角形。 3．如图3，OA=OB,OC ＝ＯＤ,∠O ＝60°，∠Ｃ=25°,则∠BED 等于 度。 ４．如图４所示的２×2方格中，连接ＡB 、A Ｃ，则∠1+∠２＝ 度。 图4 B 图5 A B D 图6 C 5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论，推出一个正确的命题。( ) ①ＡE=AD;②AB ＝ＡＣ；③OB=ＯＣ;④∠B=∠C 。 ６.如图6，在△ＡBC 中，∠BAC=90°,延长BA 到点Ｄ,使A Ｄ= 2 1 AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 (1)求证:D Ｆ＝BE ； （２）过点A 作A Ｇ∥B Ｃ,交ＤF 于点G,求证:AG ＝DG 。 7．如图７,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠B ＡD ，ＡB>ＡD,下列结论正确的是( ) A ． AB-ＡD ＞CB-ＣＤ B. AB －AD=CB-ＣD C. AB-AD 初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。 例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形 《全等三角形》教案 教学目标 1、了解全等形及全等三角形的概念； 2、理解全等三角形的性质； 3、在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉； 4、学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣． 教学重难点 探究全等三角形的性质． 教学过程 一、新课导入 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形． 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 探究：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形． 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 二、传授新知 在图（1）中，把△ABC 沿直线BC 平移，得到△DEF ． 在图（2）中，把△ABC 沿直线BC 翻折180°，得到△DBC ． 在图（3）中，把△ABC 旋转后得到△ADE ． 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即两图形全等． “全等”用“≌”表示，读作“全等于”． 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ???． 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 观察下图， 可以得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 三、课堂小结 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素，这也是这节课大家要重点掌握的． 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 新秋季开学安全教育第一课工作总结 开学时陪着孩子一起收看《开学第一课》三个视频，下午班会时间，召开了专门的安全教育班会。从学习效果来看，是比较好的，每个学生都不同程度的提高了防范意识与应急处理能力。看到孩子们认真观看的神情，感觉这样的《开学第一课》太有必要了。 要做好学生的安全教育工作，安全管理工作，我觉得应做好以下几点： 一、充分利用班会课。 组织学生认真学习学校安全规章制度，规范安全管理，强化安全措施，提高学生的安全意识。 二、抓好平时的安全教育。 在小事中渗透安全意识，养成注重安全的习惯。每次下课的时候，教育学生不要跑出教室，避免与其他同学相撞;上下台阶要慢行，不要拥挤。每次参加学校的集会活动，教育指导学生列队安全有序的走到操场集合。让学生养成守秩序的良好习惯。 三、以学校活动为依托，开展安全教育。 学校安全宣传活动是学生获取安全知识的主阵地，有着得天独厚的教育条件，可以进行正规化、系统化、经常化的安全教育。在活动中，结合学生实际，将校园安全、校外活动、交通安全、饮食安全、紧急避险等内容纳入其中。在学习方式上，利用黑板报、知识竞赛等各种形式生动活泼地开展教育。学生的学习兴趣浓厚，态度积极，在 不知不觉中就掌握了大量的安全知识。活动不光让学生掌握了安全知识，还提高了学生的安全意识。 四、制定班规，严肃班纪。 良好的习惯都是从强迫开始的。为尽快培养学生良好的安全习惯，我制定了班级规定，提出了“六不准”的行为准则，即：不玩危险物品，不私自下河游泳，不追逐打闹，不和陌生人随意接触，不随意攀爬，不准在楼道里做游戏。这样安全教育工作就与学生的日常行为规有机地结合起来。 五、参加学校常规活动，文明守纪，安全第一。 参加学校的集体活动，要求学生进场和退场做到快、齐、静，上下楼梯靠右行走;禁止拉扯打闹，禁止有意在楼梯走道制造堵塞和拥挤。发现有摔倒挤压现象时，后面同学必须奋力向后退，并积极救助压倒在最下层同学。严格路队秩序，整理队伍，清点人数，做到迅速、整齐。同时，叮嘱自己回家的学生注意途中个人安全，不在外逗留。 六、学会自护。 教育学生学会保护自己，有效的方式是在小事中提高学生自我保护能力。利用各种机会丰富学生的自我保护体验，创设各种情境培养学生自我保护的能力，教会学生自我保护的方法，培养学生自我保护的能力，使之有足够的能力和勇气沉着对付突发事件，一次班会上，有学生说起了着火的情景。同学们顿时被吸引住了。看到这种情形，我便因势利导，问同学们，要是现在着火了，你会怎么办呢?同学们便七嘴八舌滴说起来，有的还加上了表演。我干脆说，现在就着火了，赶快疏散。同学们立刻行动起来。有的拿手绢捂住口鼻，有的弯下 八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD =BD =CD ， ∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ， ∴∠BAD +∠CAD = 12 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)
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