过关检测(四) 立体几何 (时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知p :直线a 与平面α内无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直,则p 是q 的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析 p 推不出q ,因为当直线a 与平面α内无数条相互平行的直线垂直时,a 不一定垂直于平面α(可以与平面α斜交),而q 可以推得出p ,由线面垂直的定义可知,直线a 与平面α垂直,则直线a 与平面α内任意一条直线垂直,即a 与平面α内无数条直线垂直. 答案 B
2.如图,在下列四个正方体中,能得出AB ⊥CD 的是( ).
答案 A
3.如图,某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为
1的正方形,且它的体积为1
2
,则该几何体的俯视图可以是( ).
解析 选项A 对应的几何体为正方体,其体积为1;选项B 对应的几何体为圆柱体,其体积为π4;选项D 对应的几何体为14圆柱体,其体积为π
4;选项C 对应的几何体为三棱柱,体积
为12. 答案 C
4.(2011·金华模拟)有两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β,下列命题正确的是( ).
A .m ∥α,n ∥β,且α∥β,则m ∥n
B .m ⊥α,n ⊥β,且α⊥β,则m ∥n
C .m ∥α,n ⊥β,且α⊥β,则m ∥n
D .m ⊥α,n ∥β,且α∥β,则m ⊥n
解析 A 中,除m ∥n 外,还有相交、异面,A 不正确;B 中,只含m ⊥n ,B 不正确;C 中除m ∥n 外,还有相交或异面,C 不正确;故选D. 答案 D
5.如图,已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1,E 、F 分别 是平面A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心,则EF 和CD 所成的角是( ). A .60° B .45° C .30° D .90°
解析 连接B 1D 1,AB 1,则由题意知,A 1C 1∩B 1D 1=E , 因为E ,F 分别为B 1D 1,AD 1中点.∴EF ∥AB 1.又CD ∥AB , ∴∠B 1AB 为异面直线EF 和CD 所成角,在Rt △ABB 1中, ∠B 1AB =45°. 答案 B
6.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足A B →·AC →
=0,AC →·AD →=0,A B →·AD →
=0,
则△BCD 是( ).
A .钝角三角形
B .锐角三角形
C .直角三角形
D .不确定
解析 如图,依题意AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ⊥AD , 知AB ⊥CD ,AC ⊥BD ,AD ⊥BC .设点A 在底面BCD 内的 射影为O ,则BH ⊥CD ,DG ⊥BC ,即点O 为△BCD 的垂心, 故△BCD 为锐角三角形. 答案 B
7.在正方形ABCD 中,沿对角线AC 将正方形ABCD 折成一个直二面角BACD ,则AB 与平面BCD 所成角的正弦值为( ).
A.
63 B.3
3
C.
23 D.53
解析 设AC 中点为O ,连结BO ,DO ,则∠BOD 是二面角BACD 的平面角,设正方形的边长为2,则BO =DO =2,BD =2,则V BACD =13×12×2×2×2=223,设A 到平面BCD
的距离为d ,则223=13×34×22
·d ,d =263,设AB 与平面BCD 所成的角为θ,则sin θ=d AB
=
6
3
,故选A.(也可用空间向量来解) 答案 A
8.如图,已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形, PA ⊥平面ABC ,PA =2AB ,则下列结论正确的是( ). A .PB ⊥AD
B .平面PAB ⊥平面PB
C C .直线BC ∥平面PAE
D .直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 解析 由题意知,BD ⊥AB ,BD ⊥PA , 又AB ∩PA =A , ∴BD ⊥面P AB .
∴BD ⊥PB ,面PBD ⊥面P AB . 故A ,B 均不对.
又BC ∥AD ,∴BC ∥面PAD ,C 也不正确. ∵PA =2AB =AD ,而PA ⊥AD , ∴∠PDA =45°,
即PD 与平面ABC 所成的角为45°. 答案 D
9.在三棱锥PABC 中,P A ⊥平面ABC ,∠BAC =90°,D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点,AB =AC =1,P A =2,则直线P A 与平面DEF 所成角正弦值为( ). A.15 B.255 C.55 D.25
解析 以A 为原点,AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,由AB =AC =1, PA =2,得A (0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),D ????12,0,0, E ????12,12,0
,F ???
?0,12,1,
∴AP →=(0,0,2),DE →=????0,12,0,DF →
=????-12,1
2,1,
设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由?????
n ·DE →
=0,
n ·DF →
=0
得
?????
y =0,-x +y +2z =0,
取z =1,则n =(2,0,1),设P A 与平面DEF 所成角为θ,则sin θ=
|PA →
·n |
|PA →|·|n |
=
55,∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为5
5
,故选C. 答案 C
10.如图,直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的高为3,底面是边长为4 且∠DAB =60°的菱形,AC ∩BD =O ,A 1C 1∩B 1D 1=O 1, 则二面角O 1BCD 的大小为( ). A .60° B .90° C .120° D .150°
解析 如图,过O 作OF ⊥BC 交BC 于F ,连接O 1F , ∵OO 1⊥平面AC ,∴BC ⊥O 1F , OF ⊥BC ,OO 1⊥BC ,OO 1∩OF =O , ∴BC ⊥平面O 1OF ,又O 1F ?平面O 1OF . ∴∠O 1FO 是二面角O 1BCD 的平面角. ∵OB =2,∠OBF =60°, ∴OF = 3.在Rt △O 1OF 中, tan ∠O 1FO =
OO 1OF =3
3
=3, ∴∠O 1FO =60°,即二面角O 1BCD 的大小为60°. 答案 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
11.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).
①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.
解析 三棱锥、四棱锥和圆锥的正(主)视图都是三角形,当三棱柱的一个侧面平行于水平面,底面对着观察者时其正(主)视图是三角形,其余的正(
主
)视图均不是三角形. 答案 ①②③⑤
12.已知一正方体的棱长为m ,表面积为n ;一球的半径为p ,表面积为q ,若m p =2,则n
q =
________.
解析 ∵n =6m 2
,q =4πp 2
,∴n q =6m 2
4πp 2=6
π
答案
6π
13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
解析 依题意可知,该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合体,因此该几何体的表面积等于22+4×2×3+1
2·4π·22+π·22-22=24+12π.
答案 24+12π
14.如图,ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体, 下面结论中正确的是________ (把你认为正确的结论序号都填上). ①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥平面CB 1D 1;
③AC 1与底面ABCD 所成的角的正切值是2; ④二面角CB 1D 1C 1的正切值是2;
⑤过点A 1与异面直线AD 和CB 1成70°角的直线有2条.
解析 ①由BD ∥B 1D 1,且BD ?平面CB 1D 1,且B 1D 1?平面CB 1D 1,得BD ∥平面CB 1D 1,故①正确;
②易得:AC 1⊥平面CB 1D 1,故②正确; ③直线与底面所成角的正切值应为
2
2
,故③错; ④取B 1D 1的中点E ,连接CE 与C 1E , 则易知∠CEC 1即为二面角的平面角, 易求得tan ∠CEC 1=2,命题成立;
⑤由于两异面直线AD 与CB 1所成的角为π
4
,故过A 1与两异面直线成70°的直线共有4条,
故⑤错. 答案 ①②④
三、解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(2011·揭阳模拟)如图,AA 1、BB 1为圆柱OO 1的母线,BC 是底面圆O 的直径,D 、E 分别是AA 1、CB 1的中点,DE ⊥面CBB 1.
(1)证明:DE ∥面ABC ;
(2)求四棱锥CABB 1A 1与圆柱OO 1的体积比; (3)若BB 1=BC ,求CA 1与面BB 1C 所成角的正弦值. (1)证明 连接EO ,OA .
∵E ,O 分别为B 1C ,BC 的中点, ∴EO ∥BB 1,
又DA ∥BB 1,且DA =EO =1
2BB 1.
∴四边形AOED 是平行四边形, 即DE ∥OA ,DE ?面ABC . ∴DE ∥面ABC .
(2)解 由题DE ⊥面CBB 1,且由(1)知DE ∥OA . ∴AO ⊥面CBB 1,∴AO ⊥BC , ∴AC =AB .
因BC 是底面圆O 的直径,得CA ⊥AB ,且AA 1⊥CA , ∴CA ⊥面AA 1B 1B ,即CA 为四棱锥CABB 1A 1的高.
设圆柱高为h ,底半径为r ,则V 柱=πr 2h ,V 锥=13h (2r )·(2r )=2
32,
∴V 锥∶V 柱=
2
3π
. (3)由(1)(2)可知,可分别以AB ,AC ,AA 1为坐标轴建 立空间直角坐标系,如图设BB 1=BC =2,则 A 1(0,0,2),C (0,2,0),
O
????22,22
,0,从而AO →=????22,22,0,CA 1→
=(0,-2,2),
由(2)知,AO →
是面CBB 1的法向量,设所求的角为θ.
则sin θ=|cos 〈AO →
,CA 1→
〉|=
|AO →·CA 1→||AO →||CA 1→|
=6
6.
16.(2011·广东)如图,在锥体P ABCD 中,ABCD 是边长 为1的菱形,且∠DAB =60°,P A =PD =2,PB =2, E ,F 分别是BC ,PC 的中点. (1)证明:AD ⊥平面DEF ; (2)求二面角P ADB 的余弦值.
(1)证明 取AD 的中点O ,连结OP ,OB .
∵四边形ABCD 是边长为1的菱形,且∠DAB =60°, ∴△ABD 是边长为1的正三角形,得OB ⊥AD ,且OB =32
. ∵PA =PD =2, ∴PO ⊥AD ,且OP =72
, 又PO ∩OB =O , ∴AD ⊥面POB ,
∵E ,F 分别是BC ,PC 的中点,
∴EF ∥PB ,BE 綉DO ,即四边形DEBO 为平行四边形,得DE ∥BO , ∴面DEF ∥面POB ,∴AD ⊥面DEF .
(2)解 由(1)知:∠POB 为二面角P ADB 的平面角, 又PB =2,
∴cos ∠POB =OP 2+OB 2-PB 22OP ·OB =
74+3
4-42×
72×32
=-
21
7
,
即二面角
PADB
的余弦值为-217
.
17.(2011·北京)如图,在四棱锥P ABCD 中,PA ⊥平面
ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB =2,∠BAD =60°. (1)求证:BD ⊥平面PAC ;
(2)若P A =AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值; (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求P A 的长. (1)证明 因为四边形ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD . 又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD . 所以PA ⊥BD . ∵PA ∩AC =A , 所以BD ⊥平面PAC . (2)解 设AC ∩BD =O .
因为∠BAD =60°,P A =AB =2, 所以BO =1,AO =CO = 3.
如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz , 则P (0,-3,2),A (0,-3,0),B (1,0,0),C (0,3,0).
所以PB →
=(1,3,-2),
A C →
=(0,23,0). 设PB 与AC 所成角为θ,则
cos θ=????
??P B →·AC
→
|P B →||AC →|=
622×23
=
64
. (3)解 由(2)知BC →
=(-1,3,0).
设P (0,-3,t )(t >0),则B P →
=(-1,-3,t ). 设平面PBC 的法向量m =(x ,y ,z ),
则BC →·m =0,BP →
·m =0.
所以???
-x +3y =0,-x -3y +tz =0.
令y =3,则x =3,z =6
t .
所以m =
???
?3,3,6
t .
同理,平面PDC 的法向量n =???
?
-3,3,6t . 因为平面PBC ⊥平面PDC ,所以m ·n =0,即-6+36t 2=0.
解得t = 6.所以PA = 6.
18.(2011·湖南)如图,在圆锥PO 中,已知PO =2, ⊙O 的直径AB =2,C 是A B 的中点,D 为AC 的中点. (1)证明:平面POD ⊥平面P AC ; (2)求二面角BPAC 的余弦值.
(1)证明 如图所示,以O 为坐标原点,OB ,OC ,OP 所
在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则O
(0,0,0),A (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),D ????-
12,12,0. 设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面POD 的一个法向量,
则由n 1·OD →=0,n 1·OP →
=0, 得?????
-12x 1+121=0,2z 1=0.
所以z 1=0,x 1=y 1.取y 1=1,得n 1=(1,1,0). 设n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面P AC 的一个法向量,
则由n 2·PA →=0,n 2·PC →
=0,
得???
-x 2-2z 2=0,y 2-2z 2=0.
所以x 2=-2z 2,y 2=2z 2. 取z 2=1,得n 2=(-2,2,1). 因为n 1·n 2=(1,1,0)·(-2,2,1)=0. 所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面PAC .
(2)解 因为y 轴⊥平面PAB ,所以平面PAB 的一个法向量为n 3=(0,1,0).由(1)知平面PAC 的一个法向量为n 2= (-2,2,1).
设向量n 2和n 3的夹角为θ, 则cos θ=
n 2·n 3|n 2||n 3|=25
=10
5.
由图可知,二面角BP AC 的平面角与θ相等,所以二面角BPAC 的余弦值为10
5
.
19.(2011·浙江)如图,在三棱锥P ABC 中,AB =AC , D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上, 已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2. (1)证明:AP ⊥BC ;
(2)在线段AP 上是否存在点M ,使得二面角AMCB 为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明 如图,以O 为原点,以射线OP 为z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0),A (0,-3,0),B (4,2,0),
C (-4,2,0),P (0,0,4),AP →
=(0,3,4),BC →
=(-8,0,0),
由此可得AP →·BC →
=0,
所以AP →⊥B C →,即AP ⊥BC .
(2)解 设PM →
=λP A →,λ≠1,则PM →
=λ(0,-3,-4).
BM →=BP →+PM →
=BP →
+λP A →
=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4) =(-4,-2-3λ,4-4λ),
A C →=(-4,5,0),BC →
=(-8,0,0).
设平面BMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面APC 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).
由?????
BM →·n 1=0,B C →·n 1
=0,
得?
????
-4x 1-(2+3λ)y 1+(4-4λ)z 1=0,
-8x 1=0, 即?
????
x 1=0,z 1=2+3λ
4-4λy 1,可取n 1=????
0,1,2+3λ4-4
λ.
由?????
A P →·n 2=0,A C →·n 2
=0,
即?
????
3y 2+4z 2=0,
-4x 2+5y 2=0, 得???
x 2=54
2,
z 2
=-3
4
y 2
,可取n 2=(5,4,-3).
由n 1·n 2=0,得4-3·2+3λ
4-4λ=0,
解得λ=2
5
,故AM =3.
综上所述,存在点M 符合题意,AM =3.
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )