2014年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试
数学试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．.
1.(2014江苏,1)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=.
答案:{-1,3}
解析:由题意,得A∩B={-1,3}.
2.(2014江苏,2)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.
答案:21
解析:由题意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其实部为21.
3.(2014江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.
答案:5
解析:本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解,2n>20的整数解为n≥5,因此输出的n=5.
4.(2014江苏,4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.
答案:1
3
解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其
中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=2
6=1
3
.
5.(2014江苏,5)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π的交点,则φ的值是.
答案:π
解析:由题意cosπ
3=sin2×π
3
+φ ,即sin2π
3
+φ =1
2
,2π
3
+φ=kπ+(-1)k·π
6
(k∈Z).
因为0≤φ<π,所以φ=π.
6.(2014江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.
答案:24
解析:由题意,在抽测的60株树木中,底部周长小于100cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.
7.(2014江苏,7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.
答案:4
解析:设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.
8.(2014江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1
S2=9
4
,则V1
V2
的
值是. 答案:3
2
解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2πr1h1=2πr2h2,?1
2=r2
1
.又S1
2
=πr12
2
2
=9,所以r1
2
=3,则
V1 2=πr12?1
2
2
2
=r12
2
2
·?1
2
=r1
2
=3.
9.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 答案:255
5
解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d=
1+2=
5
,
所求弦长l=2r2-d2=24-9
5=255
5
.
10.(2014江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.
答案:-2,0
解析:根据题意,得
f(m)=m2+m2-1<0,
f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,
解得-2
2
11.(2014江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+b x (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是. 答案:-3 解析:由曲线y=ax2+b过点P(2,-5),得4a+b=-5.① 又y'=2ax-b x2,所以当x=2时,4a-b 4 =-7 2 ,② 由①②得a=-1, b=-2, 所以a+b=-3. 12.(2014江苏,12)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是. 答案:22 解析:由题意知,AP=AD+DP=AD+1 4 AB, BP=BC+CP=BC+3 4CD=AD?3 4 AB, 所以AP·BP= AD+1AB· AD-3AB =AD2?1 2AD·AB?3 16 AB2, 即2=25-1AD·AB?3×64,解得AB·AD=22. 13.(2014江苏,13)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)= x2-2x+1 2 .若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是. 答案:0,1 2 解析:作出函数f(x)= x2-2x+1,x∈[0,3)的图象(如图),f(0)=1,当x=1时,f(x)极大值=1,f(3)=7,方程f(x)-a=0在[-3,4]上有10个根,即函数y=f(x)的图象和直线y=a在[-3,4]上有10个交点.由于函数f(x)的周期为3,则直线y=a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点,因此有a∈0,1. 14.(2014江苏,14)若△ABC 的内角满足sin A+ 2sin B=2sin C ,则cos C 的最小值是 . 答案: 6- 2 4 解析:由sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得a+ 2b=2c. 故cos C= a 2+ b 2- c 2 2ab = a 2+ b 2- a + 2b 2 2 2ab =3a 2+2b 2 -2 2ab ≥2 6ab -2 2ab = 6- 2, 当且仅当3a 2=2b 2,即a b = 2 3时等号成立. 所以cos C 的最小值为 6- 2 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)(2014江苏,15)已知α∈ π2 ,π ,sin α= 5 5 . (1)求sin π +α 的值; (2)求 cos 5π -2α 的值. 分析:(1)先结合范围,运用平方关系求出cos α,再用两角和的正弦公式求值; (2)由(1)运用二倍角公式求出sin 2α,cos 2α,再用两角差的余弦公式求值. 解:(1)因为α∈ π2 ,π ,sin α= 5 5 , 所以cos α=- 1-sin 2α=- 2 5 5 . 故sin π4+α =sin π4cos α+cos π4sin α= 22× -2 5 5 + 22× 55=- 1010 . (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 55× -2 55 =-4 5 , cos 2α=1-2sin 2α=1-2× 5 2=3 , 所以cos 5π6-2α =cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α= - 32 ×35+12× -45 =-4+3 3 10 . 16.(本小题满分14分)(2014江苏,16)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知PA ⊥AC ,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线PA ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC. 分析:(1)证明线面平行可由线线平行证得,由条件中中点较多,故可用中位线构造线线平行证明; (2)证明面面垂直可由线面垂直证得.利用中位线结合勾股定理证明DE ⊥EF ,再由(1)结合已知可证DE ⊥AC ,用线面垂直的判定定理证得DE ⊥平面ABC ,从而证明面面垂直. 证明:(1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点, 所以DE ∥PA. 又因为PA ?平面DEF ,DE ?平面DEF , 所以直线PA ∥平面DEF. (2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA=6,BC=8, 所以DE ∥PA ,DE=1PA=3,EF=1BC=4. 又因为DF=5,故DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠DEF=90°,即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ,DE ∥PA , 所以DE ⊥AC. 因为AC ∩EF=E ,AC ?平面ABC ,EF ?平面ABC , 所以DE ⊥平面ABC. 又DE ?平面BDE , 所以平面BDE ⊥平面ABC. 17.(本小题满分14分)(2014江苏,17) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连结 BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结F 1C. (1)若点C 的坐标为 4,1 ,且BF 2= 2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值. 分析:(1)利用椭圆的几何性质可得BF 2=a= 2,再把点C 的坐标代入即可求出椭圆方程; (2)写出B ,F 2的坐标,用b ,c 表示直线AB 的方程,联立椭圆方程表示出点A 的坐标,利用点A 与点C 的对称性,表示出点C 的坐标,利用直线F 1C 的斜率及k F 1C ·k AB =-1建立a ,b ,c 的关系,再结合平方关系求离心率. 解:设椭圆的焦距为2c ,则F 1(-c ,0),F 2(c ,0). (1)因为B (0,b ), 所以BF 2=2+c 2=a. 又BF 2= 2,故a= 2. 因为点C 4,1 在椭圆上, 所以 169 a 2 + 19 b 2=1.解得 b 2=1. 故所求椭圆的方程为x 2+y 2=1. (2)因为B (0,b ),F 2(c ,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c +y b =1. 解方程组 x c +y b =1,x 22+y 2 b 2=1,得 x 1=2a 2 c 22,y 1=b (c 2-a 2)a 2+c 2, x 2=0,y 2=b . 所以点A 的坐标为 2a 2c 22,b (c 2-a 2) 22 . 又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为 2a 2c 22,b (a 2-c 2) 22 . 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2-c 2) a 2+c 2 -02 a 2c a 2+c 2 -(-c )= b (a 2- c 2) 3a 2c+c 3 ,直线AB 的斜率为-b c , 且F 1C ⊥AB , 所以 b (a 2- c 2)3a 2c+c 3· -b c =-1. 又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2. 故e 2=15 . 因此e= 5 . 18.(本小题满分16分)(2014江苏,18) 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=4. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 分析:法一:(1)运用坐标法求BC的长,由已知建立以O为坐标原点,OC所在直线为x轴的直角坐标系.设出点B 坐标,利用A,C坐标分别表示出k AB,k BC,建立方程组求出点B坐标,利用两点间的距离公式求解即可; (2)求圆形保护区的最大面积,即求圆的最大半径.由条件知,可转化为求点M到直线BC距离的最大值. 由(1)可先求出直线BC的方程,设点M的坐标为(0,d),则半径r可用d表示,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值. 法二:(1)延长CB,OA交于点F,在△OCF中,利用条件求OF,CF. 利用AF=OF-OA求AF的长,再借助∠AFB+∠OCF=90°的关系,在△ABF中,求出BF的长,进而利用CB=CF-BF求值; (2)设MD=r m(半径),OM=d m,在△MDF中,利用sin∠CFO建立r,d的关系,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值. 解:解法一: (1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0), 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-4 3 . 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=3 4 . 设点B的坐标为(a,b), 则k BC=b-0=-4,k AB=b-60=3. 解得a=80,b=120. 所以BC=(170-80)2+(0-120)2=150. 因此新桥BC的长是150m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60). 由条件知,直线BC的方程为y=-4(x-170),即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r, 即r= 4+3680-3d 5 . 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m, 所以 r-d≥80, r-(60-d)≥80, 即 680-3d 5 -d ≥80,680-3d -(60-d )≥80. 解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r=680-3d 最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大. 解法二: (1)如图,延长OA ,CB 交于点F. 因为tan ∠FCO=4, 所以 sin ∠FCO=45,cos ∠FCO=3 5 . 因为OA=60,OC=170, 所以OF=OC tan ∠FCO=6803,CF=OC cos ∠FCO = 850 3 ,从而AF=OF-OA= 500 3 . 因为OA ⊥OC ,所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=4. 又因为AB ⊥BC ,所以 BF=AF cos ∠AFB=400 ,从而 BC=CF-BF=150. 因此新桥BC 的长是150 m . (2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ,连接MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO=cos ∠FCO. 故由(1)知sin ∠CFO= MD = MD OF -OM =r 6803 -d =3,所以r= 680-3d . 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以 r -d ≥80,r -(60-d )≥80, 即 680-3d -d ≥80,680-3d -(60-d )≥80. 解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r= 680-3d 5 最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大. 19.(本小题满分16分)(2014江苏,19)已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数; (2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围; (3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0) +3x 0)成立.试比较e a-1与a e -1的大小,并证明你的结论. 分析:(1)利用偶函数定义判断即可; (2)原不等式恒成立可分离参数转化为m ≤ e -x -1e x +e -x -1 恒成立,即求 e -x -1 e x +e -x -1 的最小值. 设t=e x >1,换元后利用基本不等式求最小值; (3)由条件构造函数g (x )=f (x )-a (-x 3+3x ),利用导数求出g (x )的最小值,利用g (x )min <0,求出a 的取值范围. 判断e a-1与a e -1的大小,即判断ln e a-1与ln a e -1的大小,即判断(a-1)-(e -1)ln a 的符号. 构造函数h (x )=x-1-(e -1)ln x ,利用导数求出h (x )在(0,+∞)上的单调区间和最小值. 利用h (1)=h (e)=0,对a 的值分三种情况讨论h (x )的符号,从而确定e a-1与a e -1的大小. (1)证明:因为对任意x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ), 所以f (x )是R 上的偶函数. (2)解:由条件知m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立. 令t=e x (x>0),则t>1,所以m ≤-t -1 t 2-t+1 =-1t -1+ 1t -1 +1对任意t>1成立. 因为t-1+ 1t -1+1≥2 (t -1)·t -1+1=3, 所以-1t -1+1 t -1 +1≥-1 3 , 当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立. 因此实数m 的取值范围是 -∞,-1 . (3)解:令函数g (x )=e x +1e x -a (-x 3+3x ),则g'(x )=e x -1e x +3a (x 2-1). 当x ≥1时,e x -1 x >0,x 2-1≥0. 又a>0,故g'(x )>0.所以g (x )是[1,+∞)上的单调增函数,因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是g (1)=e +e -1-2a. 由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 03 +3x 0)<0成立,当且仅当最小值g (1)<0, 故e +e -1-2a<0,即a> e+e -1 . 令函数h (x )=x-(e -1)ln x-1,则h'(x )=1- e -1. 令h'(x )=0,得x=e -1. 当x ∈(0,e -1)时,h'(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调减函数; 当x ∈(e -1,+∞)时,h'(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1). 注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)?(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x ) e+e -1 2 ,e ?(1,e)时,h (a )<0,即a-1<(e -1)ln a ,从而e a-1 ②当a=e 时,e a-1=a e -1; ③当a ∈(e,+∞)?(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a-1>(e -1)ln a ,故e a-1>a e -1. 综上所述,当a ∈ e+e -1 2 ,e 时,e a-1a e -1. 20.(本小题满分16分)(2014江苏,20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”. (1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n (n ∈N *),证明:{a n }是“H 数列”; (2)设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n (n ∈N *)成立. 分析:在第(1)问中,先利用a n 与S n 的关系求出a n ,再根据“H 数列”的定义即可证明结论;在第(2)问中,可采用由特殊到一般的方法,先取n=2,结合“H 数列”的定义求出d 的值,然后可求出a n 与S n ,再根据“H 数列”的定义验证结论对任意的n 成立;在第(3)问中,a n =a 1+(n-1)d ,考虑到非零常数列不是“H 数列”,因而应考虑将a n 分解改写为两个等差数列和的形式a n =na 1+(n-1)(d-a 1),然后再分别按“H 数列”的定义证明{na 1}和{(n-1)(d-a 1)}为“H 数列”,即可证得结论. (1)证明:由已知,当n ≥1时,a n+1=S n+1-S n =2n+1-2n =2n .于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=n+1,使得S n =2n =a m . 所以{a n }是“H 数列”. (2)解:由已知,得S 2=2a 1+d=2+d.因为{a n }是“H 数列”,所以存在正整数m ,使得S 2=a m ,即2+d=1+(m-1)d ,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1. 当d=-1时,a n =2-n ,S n = n (3-n ) 是小于2的整数,n ∈N *. 于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=2-S n =2-n (3-n ) ,使得S n =2-m=a m . 所以{a n }是“H 数列”. 因此d 的值为-1. (3)证明:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令b n=na1,c n=(n-1)(d-a1),则a n=b n+c n(n∈N*). 下证{b n}是“H数列”. 设{b n}的前n项和为T n,则T n=n(n+1)a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n(n+1),使得T n=b m. 所以{b n}是“H数列”. 同理可证{c n}也是“H数列”. 所以,对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n(n∈N*)成立. 数学Ⅱ(附加题) 21.(2014江苏,21)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答 ．．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D. 分析:要证明∠OCB=∠D,因∠OCB=∠B,只需证∠B=∠D,而同弧所对的圆周角相等,即∠B=∠D成立,因此得证. 证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点, 故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D. B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=-12 1x ,B= 11 2-1,向量α= 2 y,x,y为实数.若 Aα=Bα,求x+y的值. 分析:要求x+y的值,只需分别求出x,y的值,而根据等式Aα=Bα,结合矩阵的乘法可得到关于x,y的一个方程组,解出即可. 解:由已知,得Aα=-12 1x 2 y= -2+2y 2+xy ,Bα= 11 2-1 2 y= 2+y 4-y . 因为Aα=Bα,所以-2+2y 2+xy = 2+y 4-y .故-2+2y=2+y, 2+xy=4-y. 解得 x=-1, y=4. 所以x+y=7 2 . C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 x=1-2 2 t, y=2+2 2t (t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长. 分析:求直线被抛物线所截弦长,可利用直线参数方程的几何意义解决.将直线的参数方程与抛物线方程联立可解得参数的值,代入即可. 解:将直线l的参数方程x=1-2 2 t, y=2+2 2 t 代入抛物线方程y2=4x, 得2+2t 2 =41-2t.解得t1=0,t2=-82. 所以AB=|t1-t2|=82. D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 分析:可利用算术几何平均不等式:a+b+c≥3abc 3(a,b,c>0),将左边因式中的和化为积,实现不等式的证明.证明:因为x>0,y>0, 所以1+x+y 2≥3 xy 23 >0, 1+x 2+y ≥3 x 2y 3 >0, 故(1+x+y 2)(1+x 2+y )≥3 xy 23 ·3 x 2y 3 =9xy. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)(2014江苏,22)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E (X ). 分析:在第(1)问中,考虑到“2个球颜色相同”可分为3种情况:“同为红球”“同为黄球”“同为绿球”,故可用互斥事件的概率公式,结合排列组合及古典概型求得结果;在第(2)问中,先分析4个球中各类球的个数情况,确定X 的所有可能的取值,然后利用超几何分布求出各个概率值,列出表格即得X 的概率分布,最后根据数学期望的定义计算求得结果. 解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P= C 42+C 32+C 2 2C 9 2= 6+3+1 = 5. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4. {X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P (X=4)= C 44C 9 4= 1 126 ; {X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P (X=3)= C 43C 51+C 33C 6 1C 9 4= 20+6 126 = 1363 ; 于是P (X=2)=1-P (X=3)-P (X=4)=1-1363?1126 = 1114 . 所以随机变量X 的概率分布如下表: 因此随机变量X 的数学期望E (X )=2×1114 +3×1363 +4×1126=209. 23.(本小题满分10分)(2014江苏,23)已知函数f 0(x )=sin x (x>0),设f n (x )为 f n-1(x )的导数,n ∈N *. (1)求2f 1 π +πf 2 π 的值; (2)证明:对任意的n ∈N *,等式 nf n -1 π +πf n π = 2 都成立. 分析:在第(1)问中,先由已知条件通过求导数得到f 1(x )和f 2(x )的解析式,然后代入自变量的值即可求得结果;在第 (2)问中,先将f 0(x )= sin x x 改写为xf 0(x )=sin x ,然后对该式两边求导,整理后再继续对所得的式子两边求导,依次下去, 可归纳猜想得到nf n-1(x )+xf n (x )=sin x +nπ 对所有的n ∈N *都成立,再用数学归纳法证明其正确性.最后将该式中 的变量x 换为π 4 ,结合三角函数的诱导公式即可证得结论成立. (1)解:由已知,得f 1(x )=f'0(x )= sin x '=cos x ?sin x 2, 于是f 2(x )=f'1(x )= cos x '- sin x 2 '=-sin x ?2cos x 2+2sin x 3, 所以f 1 π2 =-4π2,f 2 π2 =-2π+16 π3. 故2f 1 π2 +π2f 2 π 2 =-1. (2)证明:由已知,得xf 0(x )=sin x ,等式两边分别对x 求导,得f 0(x )+xf'0(x )=cos x , 即f 0(x )+xf 1(x )=cos x=sin x +π2 ,类似可得 2f 1(x )+xf 2(x )=-sin x=sin x +π , 3f 2(x )+xf 3(x )=-cos x=sin x +3π 2 , 4f 3(x )+xf 4(x )=sin x=sin(x+2π). 下面用数学归纳法证明等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ对所有的n∈N*都成立. ①当n=1时,由上可知等式成立. ②假设当n=k时等式成立,即kf k-1(x)+xf k(x)=sin x+kπ. 因为[kf k-1(x)+xf k(x)]'=kf'k-1(x)+f k(x)+xf'k(x)=(k+1)f k(x)+xf k+1(x),sin x+kπ'=cos x+kπ· x+kπ'=sin x+ (k+1)π, 所以(k+1)f k(x)+xf k+1(x)=sin x+(k+1)π 2 . 因此当n=k+1时,等式也成立. 综合①,②可知等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ 2 对所有的n∈N*都成立. 令x=π 4,可得nf n-1π 4 +π 4 f nπ 4 =sinπ+nπ(n∈N*). 所以 nf n-1π+πf nπ=2(n∈N*). 年南京外国语学校高中招生考试数学冲刺试题（一） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某种生物孢子的直径为0.000 63 m ，用科学记数法表示为（ ）． A ．0.63×10－3 m B ．6.3×10－4 m C ．6.3×10－3 m D ．6.3×10－5 m 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（ ）． A ．a 2 + b 2 B ．－a 2－b 2 C ．（－a 2）+（－b ）2 D ．（－a ）2 +（－b ）2 3．P 是反比例函数图象上的一点，P A ⊥y 轴于A ，则⊥POA 的面积等于（ ）． A ．4 B ．2 C ．1 D ． 4．在⊥ABC 中，⊥C = 90?，AC = 4，BC = 3，则⊥ABC 外接圆的半径为（ ）． A ． B ．2 C ． D ．3 5．若关于x ，y 的方程组有无数组解，则a ，b 的值为（ ）． A ．a = 0，b = 0 B ． a =－2，b = 1 C ． a = 2，b =－1 D ． a = 2，b = 1 6．汽车由绵阳驶往相距280千米的乐山，如果汽车的平均速度是70千米／小时，那么汽车距乐山的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图象表示应为（ ）． A ． B ． C ． D ． 7．已知弓形的弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）． A ． B ． C ．3 D ．4 8．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该 几何体的表面积是（球的表面积公式为4πR 2）（ ）． x y 2 = 2 1232 5 ?? ?=+-=++0 12, 01y bx ay x 32 5 t /小 O s /千米 4 280 t /小 O s /千米 4 280 t /小 O s /千米 4 280 t /小 O s /千米 4 280 俯视 主视图 左视图 2 3 2 2 数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0 A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1) （tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2） 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--，， ，， 2．设1i 2i 1i z -= ++，则z = A ．0 B ．12 C ．1 D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C ． 2 D ． 22 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 8．已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 2018年河南省普通高中招生考试试卷 数 学 注意事项： 1. 本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。 2. 本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1.5 2 - 的相反数是（ ） A.52- B. 52 C.25- D.2 5 2.今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进口总额达亿元。数据“亿”用科学计数法表示为 A ．2 10147.2× B ．3 102147.0× C ．10 10147.2× D ．11 102147.0× 3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉子是（ ） A.厉 B.害 C.了 D.我 4.下列运算正确的是（ ） A.() 5 3 2--x x = B.532x x x =+ C.743 x x x = D.1-233=x x 5.河南省旅游资源丰富，2013~2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为%，%，%，%，%。关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是% B ．众数是% B ． C.平均数是% D ．方差是0 6.《九章算术》中记载：‘今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？’其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱。问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ） A 、?? ?+=+=37455x y x y B 、???+==3745-5x y x y C 、???=+=3-7455x y x y D 、???==3 -745 -5x y x y 7.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根是（ ） A 、0962=++x x B 、x x =2 C 、x x 232 =+ D 、()011-2 =+x 8.现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正面上的图案是“”， 它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ） A. 169 B.43 C.83 D.2 1 9.如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O （0,0），A （-1,2），点B 在x 轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D,E ；②分别以点D,E 为圆心，大于 2 1 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（ ） A. ( )215，- B. ( )2,5 C.()2,53- D. ( ) 225，- 10.如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿 B D A →→以1cm/s 的速度匀速运动到点B.图2 是点F 运动时，△FBC 的面积() 2 cm y 随时间()s x 变 化的关系图像，则a 的值为（ ） A. 5 C. 2 5 D.52 二、填空题（每小题3分，共15分） 2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c② 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两 点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环 全国普通高等学校统一招生考试 (文科数学试卷) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若312z i i =++，则z = A.0 B.1 C.2 D. 2 2.已知合集{} 2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B.{}1,5 C.{}3,5 D.{}1,3 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A. 51 - B. 51 2- C. 51 + D. 51 + 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概 率为 A. 15 B. 25 C. 12 D. 45 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的 关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据 ,)(i i y i =（x 1,2,…,20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. x y a be =+ D. ln y a b x =+ D. 1 2 6.设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A. 15 B. 25 2019年高中提前招生数学考试试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1、﹣5的相反数是 A、﹣5 B、5 C、﹣1 5 D、 1 5 2、四边形的内角和为 A、180° B、360° C、540° D、720° 3、数据1，2，4，4，3的众数是 A、1 B、2 C、3 D、4 4、下面四个几何体中，主视图是四边形的几何体共有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、第六次人口普查显示，湛江市常住人口数约为6990000人，数据6990000用科学记数法表示为 A、69.9×105 B、0.699×107 C、6.99×106 D、6.99×107 6、在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A、直角三角形 B、正五边形 C、正方形 D、等腰梯形 7、下列计算正确的是 A、a2?a3=a5 B、a＋a=a2 C、（a2）3=a5 D、a2（a+1）=a3+1 8、不等式的解集x≤2在数轴上表示为 A、B、 C、D、 9、甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是 A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 10、如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC=100°，则 ∠D 等于 A 、70° B 、80° C 、90° D 、100° 11、化简22a b a b a b - --的结果是 22A C C D 1a b a b a b +-- 、、、、 12、在同一坐标系中，正比例函数=y x 与反比例函数2 =y x 的图象大致是 A 、 B 、 C 、 D 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，其中17～20小题每空2分，共32分） 13、分解因式：x 2+3x = ▲ ． 14、已知∠1=30°，则∠1的补角的度数为 ▲ 度． 15、若x =2是关于x 的方程2x ＋3m －1=0的解，则m 的值等于 ▲ ． 16、如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC= ▲ 度． 17、多项式2x 2﹣3x +5是 ▲ 次 ▲ 项式． 18、函数y 中自变量x 的取值范围是 ▲ ，若x =4，则函数值y = ▲ ． 19、如图，点B ，C ，F ，E 在同直线上，∠1=∠2，BC=EF ，∠1 ▲ （填 “是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 ▲ （只需写出一个） 20、若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60，A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A 73= ▲ （直接写出计算结果），并比较A 103 ▲ A 104（填“＞”或“＜”或“=”） 三、解答题（本大题共8小题，其中21～22每小题7分，23～24每小题10分，25～28每小题12分，共82分） 21()0 20112π-+-． 2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 2017级高中入学考试数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分） 1．若不等式组? ??<≥m x x 3 无解，则m 的取值范围是（ ） （A ）3≥m （B ）3≤m （C ）3>m （D ）3 m n 8．如图，已知ABC ?为直角三角形，分别以直角边,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ， 以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ?的面积为 2S ，则1S 与2S 的大小关系为（ ） （A ）12S S > （B ）12S S < （C ）12S S = （D ）不能确定 9．已知12(,2016),(,2016)A x B x 是二次函数)0(82 ≠++=a bx ax y 的图象上两点， 则当12x x x =+时，二次函数的值为（ ） （A ）822 +a b （B ）2016 （C ）8 （D ）无法确定 10. 关于x 的分式方程121k x -=-的解为非负数，且使关于x 的不等式组6112 x x k x <-?? ?+-≥??有 解的所有整数k 的和为（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 11．已知梯形的两对角线分别为a 和b ，且它们的夹角为60°，则梯形的面积为（ ） （A ） ab 23 （B ）ab 43 （C ）ab 8 3 （D ）ab 3 （提示：面积公式1 sin 2 ABC S ab C ?=?） 12．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放， 从上往下依次为第一层、第二层、第三层……， 则第2004层正方体的个数是（ ） （A ）2009010 （B ）2005000 （C ）2007005 （D ）2004 二． 填空题（每小题5分，共20分） 13．分解因式：4244x x x -+-= 14．右图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都 有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等， 若13,9,3的对面的数分别是,,a b c ， 则bc ac ab c b a ---++2 22的值为 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 2016普通高等学校招生全国统一考试 11月调研卷英语 第二部分阅读理解（共20小题，每题2分，满分40分） 第一节（共15小题；每小题2分，满分30分） 阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 A My newlywed husband said the same thing every morning. "You're beautiful today." One glance in the mirror revealed that it was far from the truth. A skinny girl with mashed hair on one side of her head and no makeup smiled back at me. I could feel my sticky morning breath. "Liar," I shot back with a grin. It was my usual response. My mother's first husband was not a kind man and the harsh words we heard growing up took root. I had trouble seeing myself as someone of value. I had been married two years when I surprised myself. My husband wrapped his arms around me and told me I was beautiful. "Thank you," I said. The same thin girl with the mousy brown hair still stared back at me in the mirror, but somehow the words had finally blossomed in my heart. A lot of years have passed. My husband has grey in his hair. I'm no longer skinny. Last week I woke up and my husband's face was inches from mine. "What are you doing?" I asked. I covered my mouth, trying to hide my morning breath. He reached down and kissed my face. "What I do every morning," he said. He leaves in the early hours of the morning while I sleep. When he left, I rolled over and hugged my pillow. I envisioned the picture of me lightly snoring with my mouth open and giggled. What a man! My husband understands my past. He's been beside me as I've grown from an unsure young girl to a confident woman, mother, speaker and author. But I'm not sure that he understands the part he played in that transition. The words I 杭州市各类高中招生考试数学试题 一、选择题（本题有15个小题，每小题3分，共45分）下面每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内。 1. 下列算式是一次式的是 （A ）8 （B ）t s 34+ （C ）ah 2 1 （D ）x 5 2. 如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则 （A ）只能求出其余3个角的度数 （B ）只能求出其余5个角的度数 （C ）只能求出其余6个角的度数 （D ）只能求出其余7个角的度数 3. 在右图所示的长方体中，和平面A 1C 1垂直的平面有 （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 4. 蜗牛前进的速度每秒只有1.5毫米，恰好是某人步行速度的1000分 之一，那么此人步行的速度大约是每小时 （A ）9公里 （B ）5.4公里 （C ）900米 （D ）540米 5. 以下不能构成三角形三边长的数组是 （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数 没有立方根；④17-是17的平方根。其中正确的有 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 7. 若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简23x x +的结果是 （A ）-4x （B ）4x （C ）-2x （D ）2x 8. 右图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图（由图中粗实线表示），它的 宽度为5.18米，那么它的长大约在 （A ）12米至13米之间 （B ）13米至14米之间 （C ）14米至15米之间 （D ）15米至16米之间 9. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若 同向而行，则b 小时甲追上乙。那么甲的速度是乙的速度的 （A ）b b a +倍 （B ）b a b +倍 （C ）a b a b -+倍 （D ）a b a b +-倍 10. 如图，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边的中点，要使中间阴 影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是 （A ）52 （B ）53 （C ）5 （D ）5 11. 如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC 的每一边都与其 中的两个圆相切，那么ΔABC 的周长是 （A ）12+63 （B ）18+63 （C ）18+123 （D ）12+123 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:高中招生考试数学冲刺试题(1)及答案
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