第二章 平面汇交力系与平面力偶系 §2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成 先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系1F ，2F ，3F 汇交于O （图1），由静力学公理3： 力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F =如图和图所示，其中321F F F F ++= F 2 F 3 F O F O 1 F 2 F 3 F 12F 讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力 大小和方向的方法称为合力多边形法则。 2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。 结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即： ∑=i F F 用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。 2．平面汇交力系的平衡 1 F 2 F i F 2 -n F 1-n F n F 设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F 先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F ，（∑-=-=11 1n i i N F F ）
0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F 由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F 等值，反向，共线， 即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F ，或0=∑i F 结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是 0=∑i F ，力多边形自行封闭。 例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F ，方向如图，求反力 F A B C 45F A F B A C α 45F F B F α 解：1。取研究对象AB 梁 2．受力分析如图 3．作自行封闭的力三角形如图 2 1=αtg 4．求解 ) 45sin(45sin )90sin(αα-==+ B A F F F αcos 45sin F F A = α αcos )45sin(-= F F B 例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20=， 不计杆自重。求：AC 和BC 杆所受的力。 A B C P 30 C 30AC F BC F P 30AC F BC 解：1。取研究对象销钉C 2．受力分析 3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形 60 sin 90sin 30sin BC AC F F P == §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法 1． 力在坐标轴上的投影
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。 （7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，
则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 （ ）1.平面汇交力系平衡时，力多边形中各力首尾相接，但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 （ ）2.平面汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。 （ ）3.用解析法求平面汇交力系平衡问题时，所选取的两个轴必须相互垂直。 （ ）4.当平面汇交力系平衡时，选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。 三、选择题 1.汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。即∑=0)(i A M F ，∑=0)(i B M F 但必须(＿＿)。 （A ）A 、B 两点中有一点与O 点重合； （B ）点O 不在A 、B 两点的连线上； （C ）点O 应在A 、B 两点的连线上； （D ）不存在二力矩形式。
平面汇交力系与平面力偶系 作业参考答案与解答 1．四力作用于一点，其方向如图所示。已知各力的大小为：F 1=50N ，F 2=80N ，F 3=60N ，F 4=100N 。求力系的合力。 答案: 0 ),( N 02.52R R ≈∠=i F F 2．一均质球重P =1000N ，放在两个相交的光滑斜面之间如图示。如斜面AB 的倾角? =45o，而斜面BC 的倾角θ =60o。求两斜面的约束力F D 和F E 的大小。 解：受力图如上右图所示，为避免解联立方程，取轴x 、y 分别与F D 、F E 垂直。 由 ∑=0x F ， 015cos 45sin =+?o o E F P 解得 N 73215 cos 45sin ==o o P F E 由 ∑=0y F ， 015cos 60sin =+?o o D F P 解得 N 89615 cos 60sin ==o o P F D
3．均质杆AB 长l ，置于销子C 与铅垂面间，如图所示。不计摩擦力，求平衡时杆与铅垂线间的夹角θ 。 解：由三力平衡汇交定理，杆AB 所受主动力和约束力的作用线汇交于点O ，如右上图所示。根据几何关系有 θθθ32sin sin sin 2a AC AO l AD = === 解得： 3 2arcsin l a =θ 4．三个相同的光滑圆柱放置如图示，求圆柱不至于倒塌时θ 角的最小值。 解：本题关键在于要清楚当θ 角取平衡时的最小值时，系统处于临界平衡状态，圆柱O 2与圆柱O 3之间的相互作用力为零。考虑临界状态，先取圆柱O 1为研究对象，受力图见图（b ）。 由 31213121 , 030sin 30sin , 0F F F F F x =?=?=∑o o 由 P F F P F F F y 33 , 030cos 30cos , 031213121==?=?+=∑o o 再取圆柱O 3为研究对象，受力图见图（c ）。 由 P F F P F F 3 3 , 0sin )30sin( , 0133113= ==??=∑注意θθξo 解上式得 3 31tan = θ， 即 3 31tan min = θ
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
·12· 理论力系 ·12· 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为 θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终点。
·13· A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由 0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面 5．一个不平衡的平面汇交力系，若满足 0x F =∑ 的条件，则其合力的方位应是( A )。 (A) 与x 轴垂直 (B) 与x 轴平行 (C) 与y 轴正向的夹角为锐角 (D) 与y 轴正向的夹角为钝角 图2.24
作业A 一、填空题 1、平面汇交力系就是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2、平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是＿＿＿＿＿＿＿,此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3、沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿,两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影,力的投影就是＿＿＿＿量,有正负之分。 4、力沿直角坐标轴方向分解,通常,过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形,力F 就是矩形的＿＿＿,矩形的＿＿＿＿就是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5、已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿,方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6、平面汇交力系的力多边形如图(a),(b),(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、如图所示,不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接,若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿,方向＿＿＿＿＿＿。 (7题图) (8题图)
8、如图所示,力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9、平面刚架在B 处受一水平力F 作用,如图所示,刚架自重不计,设F =20kN ,L =8m ,h =4m ,则求 A 、D 处的约束反力,可以按以下步骤进行: (1)以刚架为研究对象,进行受力分析:请画出刚架的受力分析图 (2)作用在刚架上的力(主动力与约束力)构成的力系属＿＿＿＿＿力系 (3)列出刚架的平衡方程(坐标如图) ∑=0x F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0y F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (4)解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿;D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 ( )1、平面汇交力系平衡时,力多边形中各力首尾相接,但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 ( )2、平面汇交力系平衡的几何条件就是力的多边形自行封闭。 ( )3、用解析法求平面汇交力系平衡问题时,所选取的两个轴必须相互垂直。 ( )4、当平面汇交力系平衡时,选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。
一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线__________________ ，且 _________________ 一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是____________ ，此时力多边形 _____________ 。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作______ ，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴 上的投影，力的投影是_______ 量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F是 矩形的_____ ，矩形的_______ 是力F矢量的两个正交分力F x、F y。 向角___________ 。(角为F力作用线与x轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a) , (b) , (c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式___________________________________ F作用, 则支座C处的约束力大小____________ ，方向 (7题图) (8题图) 8.如图所示，力F在x、y轴上投影F x = ___________ 、F y = __________ 。 作业A 5.已知一个力F沿直角坐标轴的两个投影为F x、F y，那么这个力的大小 F _______ ，方图(b)中四个力关系的矢量表达式____________________________________ 7.如图所示，不计重量的直杆AB与折杆CD在B处用光滑铰链连接，若结构受力
9.平面刚架在B处受一水平力F作用，如图所示，刚架自重不计，设F=20kN, L=8m, h=4m.
第二章平面汇交力系与平面力偶系 2-1铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。F1=100N,沿铅直方向；F2=50N，方向如图；F3=50N，沿水平方向，并通过点A，尺寸如图。求此力系的合力。（答案:F R =161.2N ） 2-2、物体重W=20KN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB与CD杆自重及摩擦略去不计，A、B、C三处均为铰链连接。当物体 处于平衡状态时，拉杆AB和支杆CB所受的力。（答案: F AB=54.64KN( 拉), F CB=74.64KN）__ 2-3、在图示刚架的点B作用一水平力F,刚架重量不计。求支座A、D的反力F A和F D。 （答案:F A= 1.118 F F D=0.5F）
2-4电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的交角为300。不计撑杆重，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。 答案:F BC=5000N, F A=5000N 2-5铰链四连杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1、F2作用，如图示。机构平衡，不计杆重。求力F1、F2的关系。答案:F1/F2 =0.6124 2-6三铰门式刚架受集中载荷Ｐ作用，不计架重；求图示情况下支座Ａ．Ｂ的约束反力。 （答案：R A =R B =0.707F ）
2-7在杆AB的两端用光滑铰与两轮中心A、B连接，并将它们置于互相垂直的两光滑斜面上。两轮重均为P，杆AB重量不计，试求平衡时角θ之值。若轮A的重量PA=300N，欲使平衡时杆AB在水平位置，轮B的重量P B应为多少。答案：θ=300 P B=100N 2-8锻锤工作时，作用的力如图，F=F'=1000N，偏心距e=20mm，锤头高度h=200mm，求锤头加给两侧导轨的压力。答案：F=100 KN 2-9 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计。求支座A、B的约束力。 答案：F A =F B =M / Lcosα
第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为。 ①0； ②50N； ③70.7N； ④86.6N； ⑤100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力 的大小为N。 ①86.6； ②70.0； ③136.6； ④25.9； ⑤96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ①图（a）所示的力系；
第二章 汇交力系 2.1解 0 14 2 3c o s 30c o s 45 c o s 60 c o s 451.29 Rx F X F F F F KN ==+--=∑ 0 1423sin 30cos 45sin 60cos 45 2.54Ry F Y F F F F KN = =-+-=∑ 2.85R F K N = = (,)tan 63.07Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.2 2 3 解：2.2图示可简化为如右图所示 2 3 cos 60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 0 1 3 sin 600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑ 2.77R F K N == (,)tan 6.2 Ry R Rx F F X arc F ∠==- 2.3 F 3 2 F 1 解：2.3图示可简化为如右图所示 80arctan 5360 B A C θ∠=== 32 cos 80Rx F X F F KN θ==-=∑ 1 2 sin 140Ry F Y F F KN θ==+=∑ 161.25R F K N ==
(,)tan 60.25 Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.4 解：2.4图示可简化为如右图所示 sin 0X F F α=-=∑拉推 cos W 0Y F α=-=∑拉 115.47N 57.74N F F ∴==拉推， ∴ 墙所受的压力F=57.74N 2.5 解：取 AB 杆为研究对象，受力如图所示 由于杆件再三力作用下保持平衡，故三力应汇交于C 点。 AB 杆为均质杆，重力作用在杆的中点，则W 作用线为矩形ACBO 的对角线。由几何关系得 C O B C AB α∠=∠= 所以 902?α=- 又因为 A B l = 所以 s i n O A l α= 2.6
《汽车机械基础》课程项目教学设计《汽车机械基础》课程项目（单元、章节）授课一览表
学习平面汇交力系的合成方法1合成方法 几何法和解析法 力的平行四边形法：作 用于物体上同一点的两 个力的合力也作用于该 点，且合力的大小和方 向可用以这两个力作用 线为邻边所作的平行四 边形的对角线来确定。 力的三角形法则：取平 行四边形的一半 解析法 力在坐标轴上的投影 ? ? ? = = α α sin cos F Y F X b、合力投影定理 ? ? ? ? ? = + = X Y tg Y X F α 2 2 教师：一个力系的作用效果是什么样呢 学生：思考并回答 教师：在我们研究的力系中，也把它分 为两类：空间力系和平面力系。工程中 许多结构所受的作用力虽是空间力系， 但在一定条件下可以简化为平面力系， 比如水坝、挡土墙的受力等。平面力系 是工程中最常见的力系，本章讨论的便 是平面力系的合成和平衡问题，随之引 出平面汇交力系的概念及其求解平面 汇交力系的两种方法：几何法和解析 法。 教师：绘制图形讲解，并引出力的三角 形法则 教师：平面汇交力系的几何法简捷而且 直观，但其精确度较差。在力学计算中 用得较多的还是解析法。其中就要用到 力在坐标轴上投影的概念。 教师：绘制下图，利用图形讲解。 教师：强调从投影的起点a到终点b与 坐标轴的正向一致时，该投影取正号； 与坐标轴的正向相反时取负号。 学生：思考当力与坐标轴垂直时，力在 该轴上的投影为多少当力与坐标轴平 行时，力在该轴上的投影有什么特征 教师：设问如果已知合力在直角坐标轴 x、y轴上的投影，则合力的大小和方向 都可以确定，那么合力和它的分力在同 一坐标轴上投影的关系又如何呢 学生：讨论以一平面汇交力系为例展开 讨论。 30
第二章习题解答 2—1如图所示，固定在墙壁上的圆环首三条绳索的拉力作用，力F1沿水平方向，力F3沿铅直方向，力F2与水平线成40度角。三力的大小分别为F1=2000N,F2=2500N,F3=1500N.求三力的合力。 解：图解法解题时，首先要确定比例尺，即每单位长度代表多大的力，这里我们用单位代表500N，三力在圆环的圆心处相交。如图（b），力系的力多边形如图（c）。 在图上量出OC的长度和L和与水平之间的夹角有。 Fr=L×500=5000N φ=38°26＇ 由（c）图的几何关系可见OB=BC,∠BOC=∠BCO=(40°－36°52＇)=1°34＇ 故合力F r的大小约为 Fr＝2F2cos1°34＇=2×2500×0.99963＝4998N 与水平方向之间的夹角为 φ=38°26＇
例：用解析法求圆环受三个力的合力。 解：如图建立坐标，则 N F F F F N F F F F y R y x xR 310764279.025********cos 391576604 .025********cos 2321=?+=?+===?+=?+==∑ 合力的大小 N F F F yR xR r 5000310739152222=+=+= 合力与X 轴之间的夹角为 '283850003915cos arccos 1?===-R Rx F F α 2—2 物体重P=20 kN ，用绳子挂在子架的滑轮B 上，绳子的另一端杰在绞车D 上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。，A 、B 、C 处均为光滑铰链连接。钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小。试求平衡时杆AB 和BC 所受得力。 解：该题与例题基本相同 1、确定研究对象。系统中AB,BC 为二力杆，设AB 受拉力，BC 受压力，以各力汇交
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 一、要求 1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理 解。 3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。 4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。 5、深入理解力偶和力偶矩的概念。明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 二、重点、难点 1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解 析法。 2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。 三、学习指导 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小 和方向等于力系的矢量和，即 ∑== +??????++=n i i n F F F F R 1 21 或简化为 ∑= F R 上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。每一个力都有大小和方向两个要素（因为力
的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。矢量方程的解法有：几何法和解析法。 只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。即 ∑ R =F 这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。 （1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。 （2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即： ∑=0 Y X；∑=0 对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。 合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。合力投影定理的内容是：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。合力矩定理的内容是：合力对点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。 力和力偶是静力学的两个基本要素。为了加深对力偶的认识，用列表的方法将力和力偶加以比较。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即
图2-1 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 (a) (b) 第二章 平面汇交力系与平面力偶系 自测题 一、思考题 1、图示两个力三角形中三个力的关系是否一样？其关系分别是什么？ 2、一平面力系（F 1，F 2，F 3，F 4，F 5）的五个力矢量组成图2-2所示的自行封闭的五边形。 请问：但该力系是否一定平衡？为什么？ 3、汇交于一点的三个平衡力，只要其中的两个力在同一直线上，则不共线的第三个力是否必定为零？为什么？ 二、判断题 1、 合力一定比分力大。 （ ） 2、作用在刚体上仅有两个力，且有F A + F B =0，则此刚体一定平衡。 （ ） 3、凡是力偶都不能用一个力来平衡。 （ ） 4、力偶系中的各力在任意轴上投影其代数各均等于零。 （ ） 5、力偶对其作用面内任意点之矩都等于力偶矩。 （ ） 6、作用在刚体上仅有两个力偶，力偶矩分别为M A 和M B ，且有M A + M B = 0，则该刚体一定平衡。（ ） 图2-2 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5
图2-5 图2-3 A (a) A (b) A (c) 图2-4 三、填空题 1. N 100=F ，方向如图示，若将F 沿图示y x ，方向分解，则x 方的向分力大小为____________N ，y 方向的分力大小为______________N 。 2、力偶对物体产生的运动效应是 。 （平移效应，转动效应） 四、作图题 图示三个平衡机构，请画出在以下三种情况下A ，B 两处的约束力的方位和指向。各杆自重不计。 五、计算题 三铰拱AC 部分上作用有力偶，其力偶矩为M ，如图所示。已知两个半拱的直角边成正比，即a :b =c :a ，略去三铰拱自身的重量。 求：A 和B 两点的约束力。
第二章平面汇交力系和平面力偶系 2-1 .图示三铰刚架受力 座反力的大小为 的大小为—F O 2 2-2.图示，两个尺寸相 同的直角曲杆，受相同 的力偶 M 作用，则A 1 束反力大小 — - O 21 处约束反力 - O 文档来自于网络搜索 l 刍F ， 2-3 ?平面系统受力偶矩为 支座反力的大小为 ______ 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 M =10KN m 的力偶作用。当力偶 10KN ________ ；B 支座反力的大小为 _ 5KN M 作用于AC 杆时，A 10KN ___________ ;当 M ;B 支座反力的大小为 图2-3 (b )
均为绳，0 =0.1rad , DB 水平，AB 铅 文档来自于网络搜索 AB 、ED 、DB 、CB 图2-4 2-4图示一拔桩装置装置， 垂。力F =800N ，求绳AB 作用于桩上的力。 F DE =8000N 解： .1、以D 点为研究对象 S Fy =0 F DE sin 日-F = 0 S Fx =0 F DB - F DE COS^ = 0 F DB =8000N F DB 以B 点为研究对象 Z F x F BC 2F y =0 F BC si n i F BD =0 =80000N F BA =0 F BC CO S T-F BA " =80000N F BC BA
2-5物体重P =20kN ，用绳子挂在支架的滑轮 示。转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小、 C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时， 自于网络搜索 B 上，绳子的另一端接在绞 D 上，如图所 AB 与CB 杆自重及摩擦略去不计， A ，B ， 求拉杆 AB 上作用一力偶 M ，梁长为I ，梁重不计，求a,b 两种情况下，支座 A 和B 4 ---------- ) — 1 2 k ------------------------------------------- I (b) 解: F BC F BA =—74.64N = 54.64N 图2-5 AB 和支杆CB 所受的力。文档来 2-6 已知梁 处的约束 力。 J-
理论力学-平面力系 第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小 则可能大于该力的模。（） 2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（） 3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（） 4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（） 5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其 对刚体的效应。（） 6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（） 7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化 中心的位置无关。（） 8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（） 9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶， 且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（） 10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（） 11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（） 12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为 ① 0； ② 50N；
③ 70.7N； ④ 86.6N； ⑤ 100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为，y向分力 的大小为 N。 ① 86.6； ② 70.0； ③ 136.6； ④ 25.9； ⑤ 96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ① 图（a）所示的力系； ② 图（b）所示的力系； ③ 图（c）所示的力系； ④ 图（d）所示的力系。 4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。 ① 作用在O点的一个合力； ② 合力偶； ③ 作用在O点左边某点的一个合力； ④ 作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力作用，则A支座反力的大 小为，B支座反力的大小
·12· 理论力系 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图 2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图 2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终
第2章 平 面汇交力系与平面力偶 系 ·13· 点。 A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相 等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体 是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面