2018年漳州市高三毕业班5月质量检查测试
文科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 满足的集合的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】分析：先分析集合中一定含有，另外还至少包含中的一个，再列举得到答案．
详解：由题意，得
或
或.故选C．
点睛：本题考查集合间的关系、元素和集合的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
2. 复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】分析：先利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解．
详解：因为，
所以该复数对应的点在第一象限．
点睛：本题考查复数的几何意义、复数的四则运算等知识，意在考查学生的基本计算能力．
3. 已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：利用周期性求出，利用周期性和奇偶性求出．
详解：由题意，得：
，
，
则．
点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性等知识，意在考查学生的数学转化能力的应用．
4. 漳州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先分析总的基本事件数和“甲、乙两人同时被安排到A展区”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式进行求解．
详解：随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，
有种不同的方法，
其中甲、乙两人同时被安排到A展区，有种方法，
则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人同时被安排
到A展区的概率为．
点睛：本题考查组合应用题、古典概型等知识，意在考查学生的数学分析能力．
5. 已知等差数列的前项和为．若，，则
A. 35
B. 42
C. 49
D. 63
【答案】B
【解析】分析：可利用“若等差数列的前项和为，则、、、
成等差数列”进行求解．....................................
详解：在等差数列中，
、、成等差数列，
即7、14、成等差数列，
所以，
解得．
点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则
①若，则；
②、、、成等差数列．
6. 已知实数满足则的最大值为
A. 1
B. 11
C. 13
D. 17
【答案】C
【解析】分析：作出可行域和目标函数基准直线，通过平移直线确定最优解，再联立方程求出最优解和最值．
详解：令，
将化为，
作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），
当直线向右上方平移时，
直线在轴上的截距增大，即增大，
由图象，得当直线过点时，取得最大值，
联立，得，
此时，取得最大值．
点睛：本题考查简单的线性规划问题等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用和基本计算能力．
7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】分析：先利用二倍角公式化简两个函数解析式，再用诱导公式化为同名函数，再利用图象平移进行判定．
详解：因为
，
且，
所以为了得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个
单位长度．
点睛：本题考查二倍角公式、三角函数的图象变换等知识，意在考查学生的数学化简运算能力和逻辑思维能力．
8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可．
详解：由程序框图，得：
，
，
，
结束循环，输出的值为4．
点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
9. 如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：先根据三视图判定出该组合体的结构特征，再利用柱体、锥体的体积公式进行求解．
详解：由三视图可知该组合体是由一个圆柱的和
一个四棱锥组合而成，
其中圆柱的底面半径为2，母线长为2，
四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2，
所以该组合体的体积为
．
点睛：本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力．
10. 函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B．详解：易知的定义域为，
且
，
即函数是奇函数，图象关于原点对称，
故排除选项C、D；
又，
故排除选项B，故选A．
点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．
11. 在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先利用勾股定理判定底面为直角三角形，进而利用直棱柱的结构特征确定三棱柱的外接球和内切球的球心，进而求出各自半径，再利用球的表面积公式进行求解．
详解：分别取的中点，连接，
取的中点，连接，
由题意，得，
即为直角三角形，
则点为外接球的球心，为半径，
则；
作三棱柱的中截面，
则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，
中截面三角形的内切圆的半径是内切球的半径，
即；因为，
则其外接球与内切球的表面积之比为．
图1 图2
点睛：在处理多面体和球的外接或内切问题时，往往先利用三角形和圆的外接或内切问题，充分体现了“立体几何平面化”的化归思想，如本题中，利用直角三角形的斜边的中点是外接圆的圆心确定外接球的球心位置，利用直角三角形的内切圆的半径为（为斜边）类比到三棱柱的内切球的半径．
12. 已知直线与椭圆交于、两点，与圆
交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先根据直线的方程判定该直线过定点，且该点是圆的圆心，再利用
判定点是线段的中点，再利用点差法进行求解．
详解：将化为，
即直线恒过定点，且该点为圆的圆心，
由，得是的中点，
设，
则，且，
作差，得，
即，
即，．
点睛：1.判定直线过定点的方法：
法一：化为点斜式方程；
法二：分别令，得，解得；
法三：化为，则；
2.在处理圆锥曲线的中点弦问题时，利用点差法，可减少运算量，提高解题速度．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知，，若，则与的夹角为_________．
【答案】
【解析】分析：先利用平面向量的线性运算和垂直的条件（数量积为0）求出值，再利用平面向量的夹角公式进行求解．
详解：由题意，得，
则，
解得，设与的夹角为，
则，
又，所以，
即与的夹角为．
点睛：本题以平面向量的坐标形式为载体考查平面向量的线性运算、数量积等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
14. 已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为____. 【答案】
【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数．
详解：将化为，
设以为渐近线的双曲线方程为，
又因为该双曲线的焦点为，
所以，
解得，即双曲线方程为．
点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：
①双曲线的渐近线方程可设为；
②以直线为渐近线的双曲线方程可设为．
15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点
处的切线方程为______________.
【答案】
【解析】分析：先利用函数的奇偶性求出函数在区间的解析式，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程．
详解：设，则，
所以，
因为函数为奇函数，
所以，
则，
又，
则切线方程为，
即．
点睛：本题考查函数的奇偶性的应用、导数的几何意义等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：
①数列是等比数列；
②数列是递增数列；
③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；
④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】分析：通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质．
详解：由题意，得图1中的线段为，，