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2019届北师大版(文科数学) 概率、统计和统计案例 (3)

2019届北师大版(文科数学) 概率、统计和统计案例 (2) 单元测试

一、选择题

1.设事件A ,B ,已知P (A )=15,P (B )=13,P (A ∪B )=815,则A ,B 之间的关系一定为( )

A .两个任意事件

B .互斥事件

C .非互斥事件

D .对立事件

解析:选B .因为P (A )+P (B )=15+13=8

15=P (A ∪B ),所以A ,B 之间的关系一定为互

斥事件.故选B .

2.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )

A .0.95

B .0.97

C .0.92

D .0.08

解析:选C .记抽检的产品是甲级品为事件A ,是乙级品为事件B ,是丙级品为事件C ,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P (A )=1-P (B )-P (C )=1-5%-3%=92%=0.92.

3.从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A .1

10

B .310

C .710

D .35

解析:选C .“取出的2个球全是红球”记为事件A ,则P (A )=3

10.因为“取出的2个

球不全是红球”为事件A 的对立事件,所以其概率为P (A )=1-P (A )=1-310=7

10

4.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为9元,被随机分配为1.49元,1.31元,2.19 元,3.40元,0.61元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次, 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )

A .12

B .25

C .34

D .56

解析:选B .设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”,甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1.49,1.31},{1.49,2.19},{1.49,3.40},{1.49,0.61},

{1.31,2.19},{1.31,3.40},{1.31,0.61},{2.19,3.40},{2.19,0.61},{3.40,0.61},共10种情况.其中事件A 的结果一共有4种情况,根据古典概型概率计算公式,得P (A )=410=25,即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是2

5

.故选B .

5.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( ) A .1

5

B .25

C .16

D .18

解析:选B .如图,

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在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF ,BCDE ,ABCF ,CDEF ,ABCD ,ADEF ,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P =615=2

5

6.已知集合M ={1,2,3,4},N ={(a ,b )|a ∈M ,b ∈M },A 是集合N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线OA 与y =x 2+1有交点的概率是( )

A .12

B .13

C .14

D .18

解析:选C .易知过点(0,0)与y =x 2+1相切的直线为y =2x (斜率小于0的无需考虑),集合N 中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为416=1

4

二、填空题

7.某城市2017年的空气质量状况如下表所示:

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时,空气质量为轻微污染,则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________.

解析:由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P =110+16+13=3

5.

答案:35

8.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有________个.

解析:摸到黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.设黑球有n 个,则0.4221=0.3

n ,故n

=15.

答案:15

9.从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生,星期日安排一名女生的概率为________.

解析:将2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,B 1B 2,B 1A 1,B 2A 1,B 1A 2,B 2A 2,B 2B 1,A 2A 1共12种情况,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2这4种情况,则其发生的概率为412=1

3

答案:13

10.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A 1,A 2,A 3,B 1,B 2,C 1,C 2表示,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A 1和B 1不全被选中的概率为________.

解析:从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为:(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2).

设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ,则其对立事件N -

表示“A 1和B 1全被选中”,由于N -={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},所以P (N -)=212=1

6,由对立事件的概率计算公式得P (N )

=1-P (N -)=1-16=5

6

答案:56

三、解答题

11.如图,从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2,现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

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(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

所以用频率估计相应的概率为44÷100=0.44. (2)选择L 1的有60人,选择L 2的有40人, 故由调查结果得频率为

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(3)设A 1,A 2分别表示甲选择L 1和L 2时,在40分钟内赶到火车站;B 1,B 2分别表示乙选择L 1和L 2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P (A 1)=0.1+0.2+0.3=0.6,

P (A 2)=0.1+0.4=0.5,

因为P (A 1)>P (A 2),所以甲应选择L 1 . 同理,P (B 1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P (B 2)=0.1+0.4+0.4=0.9, 因为P (B 1)<P (B 2),所以乙应选择L 2.

12.根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》:空气质量指数划分为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级,对应空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.专家建议:当空气质量指数小于等于150时,可以进行户外运动;空气质量指数为151及以上时,不适合进行旅游等户外活动,下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况:

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(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游,想连续游玩两天,求适合连续旅游两天的概率. 解:(1)该试验的基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},基本事件总数n =10.

设事件A 为“市民不适合进行户外活动”,则A ={3,4,9,10},包含基本事件数m =4.所以P (A )=410=25

即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为2

5

(2)该试验的基本事件空间Ω={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10)},基本事件总数n =9,

设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”,

则B ={(1,2),(5,6),(6,7),(7,8)},包含基本事件数m =4, 所以P (B )=49,所以适合连续旅游两天的概率为4

9

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1.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“”表示未购买.

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(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;

(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200

1 000

=0.2.

(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+200

1 000

=0.3.

(3)与(1)同理,可得:

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200

1 000

=0.2,

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+300

1 000=0.6,

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100

1 000

=0.1,

所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

2.以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法,目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为x ,y ,z ,并对它们进行量化:0表示不合格,1表示临界合格,2表示合格,再用综合指标ω=x +y +z 评定人工种植的青蒿的长势等级:若ω≥4,则长势为一级;若2≤ω≤3,则长势为二级;若0≤ω≤1,则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地,得到如下结果:

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(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个,求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率.

解:(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标,可得下表:

由上表可知,长势等级为三级的种植地只有A 1一个,其频率为1

10,用样本的频率估计

总体的频率,可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×1

10

=18.

(2)由(1)可知,长势等级是一级的青蒿人工种植地有A 2,A 3,A 4,A 6,A 7,A 9,共6个,从中随机抽取2个,所有的可能结果为(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 6),(A 2,A 7),(A 2,A 9),(A 3,A 4),(A 3,A 6),(A 3,A 7),(A 3,A 9),(A 4,A 6),(A 4,A 7),(A 4,A 9),(A 6,A 7),(A 6,A 9),(A 7,A 9),共计15个,综合指标ω=4的有A 2,A 3,A 6,共3个,则符合题意的可能结果为(A 2,A 3),(A 2,A 6),(A 3,A 6),共3个,故所求概率P =315=1

5.

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