高一数学必修二《空间几何体的结构》讲解
一、目标认知
学习目标：
1．知识与技能
(1)通过实物操作，增强直观感知.
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.
(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.
2．过程与方法
(1)通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.
(2)观察、讨论、归纳、概括所学的知识.
3．情感态度与价值观
(1)感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，同时提高观察能力.
(2)培养空间想象能力和抽象括能力.
重点：
通过空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征
难点：
对柱、锥、台、球结构特征的概括和理解.
二、知识要点梳理
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥；
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何
体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平
行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫
做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲
面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面
之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底
面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
注：圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫
做球的直径.
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为
直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等
的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
注：简单几何体的分类如下表：
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
知识点九：中心投影与平行投影
1、投影、投影线和投影面：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，屏幕叫做投影面.
2、中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.
3、中心投影的性质：①中心投影的投影线交于一点；②点光源距离物体越近，投影形成的影子越大.
4、平行投影：把一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.
5、平行投影的性质：平行投影的投影线相互平行.
知识点十：常见几何体的三视图：
1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；
2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；
3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆；
4、球的三视图都是圆.
注：
1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；
2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯
视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.
三、规律方法指导：
1．根据几何体特征的描述判断几何体形状
(1)根据几何体的结构特点判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．
(2)圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体．其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面．
2．几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化"球"为"圆"，应用平面几何的有关知
识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化"空间"为平面．
经典例题透析：
类型一：概念判断
1、如果两个面互相平行，其余各面均为四边形的几何体一定是棱
柱．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．
思路点拨：判断一个几何体是哪几种几何体，一定要紧扣住柱、锥、台、
球的结构特征，注意定义中的特殊字眼.棱柱的结构特征有三方面：有两个面
互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形中，相邻两个面的公共边
都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是
棱柱.
解析：不正确．如图所示的几何体是由两个底面相等的四棱柱组合而成，它有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但是显然它不是棱柱．
举一反三：
【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．
解析：不正确．如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．
2、描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.
(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；
(2)如图，一个圆环面绕着过圆心的直线旋转.
解析：
(1)特征：侧面都是全等的矩形，底面是五边形，几何体为正五棱柱；
(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球后剩下的部分.
类型二：基本计算
3、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.
解析：底面正三角形中，边长为3，高为，中心到顶点距离为，则棱锥的高为.
4、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面
的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
解析：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.
根据相似三角形的性质得，，解得.
所以，圆台的母线长为.
总结升华：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.
5、圆锥底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，求这个
内接正方体的棱长.
解析：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥
的轴截面SEF，正方体对角面，如图所示.
设正方体棱长为x，则.
作SO⊥EF于O，则，OE=1，
∵△ECC1∽△EOS，∴，即.
∴，即内接正方体棱长为
总结升华：此题也可以利用△SCD∽△SEF而求.两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算.
类型三：由几何体画三视图
6、画出下列各几何体的三视图：
解析：这两个几何体的三视图如下图所示.
总结升华：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应物体形象的
几何学知识.
类型四：由三视图到立体图形
7、画出下列三视图所表示的几何体.
解析：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体轮廓，如下图所示.
总结升华：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力.由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致.依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面.在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.
学习成果测评
基础达标1：
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2．下列说法中正确的是( )
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D.圆锥侧面展开图为扇形、这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
3．下列说法错误的是( )
A.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.六角螺帽、三棱镜都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是( )
A.六边形
B.菱形
C.梯形
D.直角三角形
5．下列说法正确的是( )
A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
6．设圆锥母线长为，高为，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为________.
7．若长方体的三个面的面积分别是，则此长方体的对角线长为________.
基础达标2：
1．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的().
2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是().
A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台
3．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是( ).
A．圆锥B．圆柱C．圆台D．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体
4．圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为( ).
A．B．C．D．
5．将一个半径为R的木球削成尽可能大的正方体，则正方体的体积是________.
6．三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R，则这个三棱柱的底面边长为________.
基础达标3：
1．如果一个几体体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是().
A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆锥
2．右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是().
A．圆锥，圆柱B．圆柱，圆锥
C．圆柱，圆柱D．圆锥，圆锥
3．下右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( ).
4．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是().
A．球体B．圆锥C．圆柱D．长方体
5．如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对
面的字母分别为().
A．D，E，F B．F，D，E
C．E，F，D D．E，D，F
6．一个几何体的三视图中，正视图、俯视图一样，那么这个几何体是________.(写出三种符合情况的几何体的名称)
能力提升：
1．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.
2．如图所示，长方体.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱
吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示.如果不是，说明理由.
3．正四棱锥(棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形)有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.若棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长.
4．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为、，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).
答案与解析：
基础达标1：
1.D
2.C
3.D
4.D
5.C；
6.；
7..
基础达标2：
1.A
2.C
3.D
4.C
5.；
6.
基础达标3：
1.D
2.B
3.D
4.D
5.D；6．球、圆柱、圆锥
能力提升：
1．解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则，而对角线长
.
2．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱，下方部分是四棱柱
.
3．解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x，则，解得.
4．解：上、下底面正方形的边长为、，此棱台对角面、
过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为
；
斜高为.