3 数列
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2015·北京西城区二模)数列{a n}为等差数列，满足a2＋a4＋…＋a20＝10，则数列{a n}前21项的和等于( )
A.21
2
B．21
C．42 D．84
[答案] B
[解析] 由a2＋a4＋…＋a20＝10a11＝10得a11＝1，所以等差数列{a n}的前21项和S21＝21a11＝21，故选B．
(理)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝
??
3(1＋2x)d x，S20＝17，则S30为( ) A．15 B．20
C．25 D．30
[答案] A
[解析] S10＝
??
3(1＋2x)d x＝(x＋x2)|30＝12.
又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．
即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.
2．(文)(2015·北京东城练习)已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4·a8＝4，则a5·a6·a7＝( )
A．4 B．8
C．16 D．64
[答案] B
[解析] 由题意得a4a8＝a26＝4，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以a6＝2，则a5a6a7＝a36＝8，故选B．
(理)(2014·河北衡水中学二调)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝( )
A．27 B．81
C． 243 D．729
[答案] C
[解析] ∵a1a2a3＝a32＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1
＋a 2＝4a 1，∴a 2＝3a 1＝3，∴a 1＝1，∴q ＝a 2a 1
＝3，∴a 6＝a 1q 5＝35
＝243.
3．(2015·杭州第二次质检)设等比数列{a n }的各项均为正数，若a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋
a 4
4
＝4a 3＋4
a 4
，则a 1a 5＝( )
A ．24 2
B ．8
C ．8 2
D ．16
[答案] C
[解析] 利用等比数列的通项公式求解．设此正项等比数列的公比为q ，q >0，
则由a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2得a 1＋a 22＝2 a 1＋a 2 a 1a 2，a 1a 2＝4，同理由a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4
得a 3a 4＝16，
则q 4
＝
a 3a 4a 1a 2
＝4，q ＝2，a 1a 2＝2a 21＝4，a 21＝22，所以a 1a 5＝a 21q 4
＝82，故选C. 4．(文)(2015·青岛市质检)“?n ∈N *,
2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查等差数列的定义以及充要条件的判断，难度较小．
由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，可得a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，由n 的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n }为等差数列，反之，若数列{a n }为等差数列，易得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，故“?n ∈N *,
2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的充要条件，故选C.
(理)“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2
＝xz ”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] “lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”?2lg y ＝lg x ＋lg z ?y 2
＝xz ，但y 2
＝xz ?/ 2lg y ＝lg x ＋lg z ，∴选A.
5．(文)(2015·福州质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝2a 6＋a 4，则a 5的值为( ) A ．－5 B ．－12
C ．1
2 D ．52
[答案] B
[解析] 本题考查等差数列的通项公式，难度中等．
设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 8＝2a 6＋a 4，故a 2＋6d ＝2a 2＋8d ＋a 2＋2d ，解得d ＝－12，故a 5＝a 2＋3d ＝1－32＝－1
2
，故选B ． (理)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在
[答案] A [解析] ∵S 20＝
a 1＋a 20
2
×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.
∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(
a 7＋a 14
2
)2
＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．
6．(文)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限内的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] A
[解析] 由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，
P 2(3,4)，∴S △OP 1P 2＝1.
(理)(2015·长沙市一模)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
[答案] C
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 5a 4＝52，a n ＝a 4q n －4＝2×(52
)n －4，则lg a n ＝lg2
＋(n －4)lg 52，数列{lg a n }成等差数列，所以前8项和等于8 lg a 1＋lg a 8 2＝4(lg2－3lg 5
2＋
lg2＋4lg 5
2
)＝4，故选C.
7．(2015·河南商丘市二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和为S n ＝42，则n ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
[答案] D
[解析] 由已知得a 1＋a 1q
n －1
＝34，a 21q
n －1
＝64，∴a 1＋64
a 1
＝34，解得：a 1＝32或a 1＝2，
当a 1＝32时，q n －1
<1不适合题意，故a 1＝2，q n －1
＝16，又S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝2 1－16q
1－q
＝
42，解得q ＝4，∴4
n －1
＝16，n －1＝2，n ＝3.
8．(文)两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝
1的离心率e 等于( )
A.3
2
B ．152
C ．13
D ．
133
[答案] D
[解析] 由已知可得a ＋b ＝5，ab ＝6，
解得?
??
??
a ＝3，
b ＝2或?
??
??
a ＝2，
b ＝3(舍去)．
则c ＝a 2
＋b 2
＝13，故e ＝c a
＝
13
3
. (理)△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，若b 既是a 、c 的等差中项，又是a 、c 的等比中项，则△ABC 是( )
A ．等腰直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．直角三角形
[答案] C
[解析] ∵b 是a 、c 的等差中项，∴b ＝a ＋c
2
.又∵b 是a 、c 的等比中项，∴b ＝ac ，∴(
a ＋c
2
)2＝ac ，∴(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，∴b ＝
a ＋c
2
＝a ，故△ABC 是等边三角形．
9．(2015·天津十二区县联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1＝a 1
＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2015
等于( )
A.4028
2015 B ．20142015 C.
2015
1008
D ．20152016
[答案] C
[解析] 本题考查数列的递推公式、裂项法求和，难度中等．
依题意a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故a n ＋1－a n ＝n ＋1，由累加法可得a n －a 1＝
n 2＋n －2
2
，a n ＝
n 2＋n
2
，
故1a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2015＝2(1－12＋12－13＋…＋12015－12016)＝40302016＝2015
1008
，故选C. 10．(文)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *
)在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝( )
A ．9
B ．10
C ．18
D ．27
[答案] D
[解析] 由条件知a 5＝3，∴S 9＝9a 5＝27.
(理)(2015·郑州市质检)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m
＋y 2
＝1的
离心率为( )
A.306 B ．7 C.
30
6
或7 D ．5
6
或7 [答案] C
[解析] 由题意知m 2
＝36，m ＝±6，当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，
b ＝1，
c ＝5，e ＝
306
；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，e ＝7，故选C.
11．(文)(2015·重庆市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝7，a 6＋a 8＝－6，则S n 取最大值时，n 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] C
[解析] a 7＝12(a 6＋a 8)＝－3，公差d ＝a 7－a 2
7－2＝－2，a n ＝a 2－2(n －2)＝11－2n ，因此
在等差数列{a n }中，前5项均为正，从第6项起以后各项均为负，当S n 取最大值时，n 的值为5，故选C.
(理)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 依题意，当d >|a 1|时，数列{a n }是递增的数列，无论a 1的取值如何，S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值；反过来，当S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值时，如当a 1＝1，d ＝
1
3时，此时S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值，但不满足d >|a 1|.综上所述，“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的充分不必要条件．
12．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k ＝4时，输出S ＝1
3
，则a 2014＝( )
A ．2012
B ．2013
C ．2014
D ．2015
[答案] D
[解析] 由程序框图可知，{a n }是公差为1的等差数列， 且
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3＋
1
a 3a 4
＋
1
a 4a 5＝13
， ∴1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＝1a 1－1a 5＝13
， ∴1a 1－1a 1＋4＝13
，解得a 1＝2，∴a 2014＝a 1＋2013d ＝2＋2013＝2015. (理)已知曲线C ：y ＝1
x
(x >0)上两点A 1(x 1，y 1)和A 2(x 2，y 2)，其中x 2>x 1.过A 1、A 2的直线
l 与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )
A ．x 1，x 32，x 2成等差数列
B ．x 1，x 3
2，x 2成等比数列
C ．x 1，x 3，x 2成等差数列
D ．x 1，x 3，x 2成等比数列 [答案] A
[解析] 直线A 1A 2的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1
x 2－
1
x 1x 2－x 1＝－1x 1x 2，所以直线A 1A 2的方程为y －1
x 1
＝－1
x 1x 2(x －x 1)，令y ＝0解得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，故x 1，x 3
2
，x 2成等差数列，故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2015·海口市调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋1 π
2，记S n
为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝________.
[答案] 1008
[解析] 由a n ＋1－a n ＝sin n ＋1 π2?a n ＋1＝a n ＋sin n ＋1 π
2，∴a 2＝a 1＋sin π＝1
＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π
2＝0＋1
＝1，
∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *
)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S 2014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.
14．(文)定义运算??
????a b c d ＝ad －bc ，函数f (x )＝????
??
x －12－x x ＋3图象的顶点坐标是
(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r 的值为________．
[答案] －9
[解析] f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2
＋4x －3＝(x ＋2)2
－7的顶点坐标为(－2，－7)， ∵m ＝－2，n ＝－7，∴k ＋r ＝m ＋n ＝－9.
(理)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2
.若将数列{a n }、{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．
[答案] 961
[解析] 设数列{a n }中的第n 项是数列{b n }中的第m 项，则m 2
＝7n ＋2，m 、n ∈N *
.令m ＝7k ＋i ，i ＝0,1,2，…，6，k ∈Z ，则i 2
除以7的余数是2，则i ＝3或4，所以数列{c n }中的项依次是{b n }中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c 9＝b 31＝312
＝961.
15．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n ＋1，b n ＝3＋ －1
n －1
2
，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝________.
[答案] 560
[解析] ∵b n ＝
3＋ －1
n －1
2＝?
??
??
2 n 为奇数 1 n 为偶数 ，又a 1＝2，∴a 2＝－1，a 3＝4，a 4＝
－2，a 5＝6，a 6＝－3，…，
∴S 63＝a 1＋a 2＋a 3＋…a 63＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 63)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.
16．(2014·山西大学附中月考)已知无穷数列{a n }具有如下性质：①a 1为正整数；②对
于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n ＋1＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋1
2
.在数列{a n }中，
若当n ≥k 时，a n ＝1，当1≤n
)，则首项a 1可取数值的个数为________(用k 表示)．
[答案] 2
k －2
[解析] 当n ≥k 时，a n ＝1，∴a k ＝1，当n 2 ，则a k －1＝1这与a k －1>1 矛盾，∴a k ＝ a k －1 2 ，∴a k －1＝2，同理可得a k －2＝3或4，a k －3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵ k －(k －2)＝2，∴倒推(k －2)步可求得a 1，∴a 1有2k －2个可能取值． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)(2015·江苏宿迁摸底)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n ＝12 (a n －1)(a n ＋2)，n ∈N * . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(－1)n a n a n ＋1，求数列{ b n }的前2n 项的和T 2n . [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝1 2(a 1－1)(a 1＋2)＝a 1， 解得a 1＝－1或a 1＝2， 因为a 1>0，所以a 1＝2. 当n ≥2时，S n ＝1 2 (a n －1)(a n ＋2)， S n －1＝12 (a n －1－1)(a n －1＋2)， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1， 所以{a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n ＋1. (2)T 2n ＝－a 1a 2＋a 2a 3－a 3a 4＋a 4a 5－a 5a 6＋…＋a 2n －2a 2n －1－a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1＝2(a 2＋a 4＋…＋a 2n )， 又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n 3＋2n ＋1 2 ＝n 2 ＋2n ， 故T 2n ＝2n 2 ＋4n . [易错分析] 本题有两个易错点：一是数列{a n }的通项公式求解错误或者不认真审题导致求解过程出现增根；二是在数列求和时，不能够合理地分类与整合． (理)(2014·临沂三校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n . [解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2 ＝32. 由题意可得? ?? ?? a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12. 因为q >1，所以a 3>a 2. 解得??? ?? a 2＝4， a 3＝8. 所以q ＝a 3 a 2 ＝2. 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N * )，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22 ＋2·23 ＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2 n ＋1 .② ①－②得，－S n ＝1·2＋22 ＋23 ＋ (2) －n ·2n ＋1 ＝2 1－2n 1－2 －n ·2n ＋1. 所以S n ＝2－2 n ＋1 ＋n ·2 n ＋1 . 18．(本题满分12分)(文)已知数列{a n }的首项为1，对任意的n ∈N * ，定义b n ＝a n ＋1－ a n . (1)若b n ＝n ＋1， ①求a 3的值和数列{a n }的通项公式； ②求数列{1 a n }的前n 项和S n ； (2)若b n ＋1＝b n ＋2b n (n ∈N * )，且b 1＝2，b 2＝3，求数列{b n }的前3n 项的和． [解析] (1)①a 1＝1，a 2＝a 1＋b 1＝1＋2＝3，a 3＝a 2＋b 2＝3＋3＝6 当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝n ＋1得 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝ n n ＋1 2 而a 1＝1适合上式，所以a n ＝n n ＋1 2 (n ∈N * )． ②由①得：1 a n ＝ 2n n ＋1 ＝2(1n －1 n ＋1 )， S n ＝1a 1＋1a 2＋1 a 3＋…＋1 a n ＝2(1－12)＋2(12－13)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. (2)因为对任意的n ∈N * 有b n ＋6＝ b n ＋5b n ＋4＝b n ＋4b n ＋3b n ＋4＝1 b n ＋3 ＝b n ， 所以数列{b n }为周期数列，周期为6. 又数列{b n }的前6项分别为2,3，32，12，13，2 3，且这六个数的和为8. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则 当n ＝2k (k ∈N * )时， S 3n ＝S 6k ＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＝8k ， 当n ＝2k ＋1(k ∈N * )时， S 3n ＝S 6k ＋3＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＋b 6k ＋1＋b 6k ＋2＋b 6k ＋3＝8k ＋b 1＋b 2＋b 3＝8k ＋132 ， 当n ＝1时，S 3＝13 2 所以，当n 为偶数时，S 3n ＝4n ； 当n 为奇数时，S 3n ＝4n ＋5 2 . (理)(2015·郑州市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N * 恒成立的实数k 的取值范围． [解析] (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，因为S n ＝2a n －2， 所以，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1, 即： a n a n －1 ＝2. 数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，a n ＝2n (n ∈N * )． (2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n n ＋1 2 . (n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立，等价于 n －8 n ＋1 2≥k 对n ∈N * 恒成立； 设c n ＝1 2(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，c n 取得最小值为－10，所以k ≤－10. 19．(本题满分12分)(文)(2015·河北衡水中学三调)已知数列{a n }满足a 1＝12， a n ＋1 a n ＋1－1－ 1a n －1 ＝0，n ∈N * . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝ a n ＋1a n －1，数列{ b n }的前n 项和为S n ，证明S n <3 4 . [解析] (1)由已知a n ＋1 a n ＋1－1－1a n －1 ＝0，n ∈N * . 即 a n ＋1－1 ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0,1＋1a n ＋1－1－1 a n －1＝0. 即 1a n ＋1－1－1a n －1 ＝－1(常数) ∴数列??? ? ??1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项，以－1为公差的等差数列． 可得 1 a n －1 ＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)， ∴a n ＝ n n ＋1 (2)由(1)可得a n ＝ n n ＋1 . ∵b n ＝a n ＋1a n －1＝ n ＋1 2 n n ＋2 －1＝1n n ＋2 ＝12? ?? ??1 n －1n ＋2 ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12? ????1－13＋12? ????12－14＋12? ????13－15＋…＋12? ????1 n －1－1n ＋1＋12? ????1n －1n ＋2 ＝12? ????1＋1 2－1n ＋1－1n ＋2<12×? ????1＋12＝34 . (理)已知数列{a n }具有性质：①a 1为整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n ＋1 ＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n －1 2 ； (1)若a 1为偶数，且a 1，a 2，a 3成等差数列，求a 1的值； (2)设a 1＝2m ＋3(m >3且m ∈N )，数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n ≤2m ＋1 ＋3； (3)若a n 为正整数，求证：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0. [解析] (1)设a 1＝2k ，则a 2＝k ， 由条件知2k ＋a 3＝2k ，∴a 3＝0. 分两种情况讨论： 若k 是奇数，则a 3＝ a 2－12＝ k －1 2 ＝0，∴k ＝1，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0， 若k 是偶数，则a 3＝a 22＝k 2＝0，∴k ＝0，a 1＝0，a 2＝0，a 3＝0， ∴a 1的值为2或0. (2)当m >3时，a 1＝2m ＋3，a 2＝2m －1 ＋1，a 3＝2 m －2 ，a 4＝2 m －3 ，a 5＝2 m －4 ，…，a m ＝2，a m ＋1 ＝1，a m ＋2＝…＝a n ＝0， ∴S n ≤S m ＋1＝1＋2＋ (2) ＋4＝2 m ＋1 ＋3. (3)∵n >1＋log 2a 1，∴n －1>log 2a 1，∴2n －1 >a 1， 由定义可知：a n ＋1 ＝????? a n 2，a n 是偶数a n －12，a n 是奇数 ， ∴a n ＋1≤a n 2，∴a n ＋1a n ≤1 2 . ∴a n ＝ a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1≤12 n －1a 1， ∴a n <12n －1·2n －1 ＝1， ∵a n ∈N ，∴a n ＝0， 综上可知：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0. 20．(本题满分12分)(文)(2014·江西八校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝4，前n 项和为S n ，且S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设函数f (x )＝a n x ＋a n －1x 2 ＋a n －2x 3 ＋…＋a 1x n ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，令b n ＝f ′(1)，求数列{b n }的通项公式，并研究其单调性． [解析] (1)由S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N * )得S n －3S n －1－2n ＋2－4＝0(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－3a n －2＝0，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)(n ≥2)， 又由已知a 2＝14，所以a 2＋1＝3(a 1＋1)，即{a n ＋1}是一个首项为5，公比q ＝3的等比数列，所以a n ＝5×3 n －1 －1(n ∈N * )． (2)因为f ′(x )＝a n ＋2a n －1x ＋…＋na 1x n －1 ， 所以f ′(1)＝a n ＋2a n －1＋…＋na 1 ＝(5×3n －1 －1)＋2(5×3 n －2 －1)＋…＋n (5×30 －1) ＝5[3 n －1 ＋2×3n －2 ＋3×3 n －3 ＋…＋n ×30 ]－ n n ＋1 2 令S ＝3n －1 ＋2×3 n －2 ＋3×3 n －3 ＋…＋n ×30， 则3S ＝3n ＋2×3 n －1 ＋3×3n －2 ＋…＋n ×31 ， 作差得S ＝－n 2 － 3－3n ＋1 4 ， 所以f ′(1)＝5×3 n ＋1 －154－n n ＋6 2 ， 即b n ＝ 5×3n ＋1 －154－n n ＋6 2 ， 而b n ＋1＝ 5×3 n ＋2 －154－ n ＋1 n ＋7 2 ， 作差得b n ＋1－b n ＝15×3n 2－n －7 2>0， 所以{b n }是单调递增数列． (理)已知数列{a n }的首项a 1＝5，且a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N * )． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，求数列f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴ a n ＋1＋1 a n ＋1 ＝2， ∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1 ＝6·2 n －1 ＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －1. (2)∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1 ， ∴f ′(1)＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(3·21 －1)＋2(3·22 －1)＋3(3·23 －1)＋…＋n (3·2n －1) ＝3(2＋2×22 ＋3×23 ＋…＋n ×2n )－(1＋2＋3＋…＋n )， 令T n ＝2＋2×22 ＋3×23 ＋…＋n ×2n ， ∴2T n ＝1×22 ＋2×23 ＋3×24 ＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ， ∴－T n ＝2＋22 ＋23 ＋…＋2n －n ·2 n ＋1 ＝2 1－2n 1－2－n ·2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2 n ＋1 ＋2， ∴f ′(1)＝3(n －1)·2n ＋1 － n n ＋1 2 ＋6. 21．(本题满分12分)(文)(2015·广东文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N * .已知 a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54 ，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值； (2)证明：? ????? a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式． [分析] 考查：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的通项公式． (1)令n ＝2可得a 4的值；(2)先利用a n ＝S n －S n －1将4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)转化 为4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，再利用等比数列的定义可证? ????? a n ＋1－12a n 是等比数列；(3)由(2)可得数列 ??????a n ＋1－12a n 的通项公式，再将数列?????? a n ＋1－12a n 的通项公式转化为数列?????? ? ???a n ? ????12n 是等差数列，进 而可得数列{a n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4? ????1＋32＋54＋a 4＋5? ????1＋32＝8? ?? ??1＋32＋54＋1， 解得：a 4＝78 . (2)因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)， 因为4a 3＋a 1＝4×5 4＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，对于n ＝1成立． 因为a n ＋2－12a n ＋1 a n ＋1－12 a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋1 4a n ＋1－2a n ＝ 2a n ＋1－a n 2 2a n ＋1－a n ＝1 2 ， 所以数列? ?????a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列． (3)由(2)知：数列? ?????a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为1 2的等比数列，所以a n ＋1 －12a n ＝? ?? ??12n －1 . 即 a n ＋1 ? ????12n ＋1－ a n ? ?? ??12n ＝4， 所以数列??????????a n ? ????12n 是以a 1 12 ＝2为首项，4为公差的等差数列， 所以 a n ? ?? ??12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2， 即a n ＝(4n －2)×? ????12n ＝(2n －1)×? ????12n －1 ， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×? ?? ??12n －1 . (理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 4＋a 8＝22； (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ； (2)令b n ＝ n ＋1S n S n ＋2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <5 16 . [解析] (1)由a 4＋a 8＝22得：a 6＝11，又a 3＝5，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， S n ＝n a 1＋a n 2 ＝n 1＋2n －1 2 ＝n 2 . (2)b n ＝ n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2· n ＋2 2 ＝14? ?? ??1n 2－1 n ＋2 2 当n ＝1时，b 1＝14? ????1－19＝29<5 16，原不等式成立； 当n ≥2时， b 1＋b 2＋…＋b n ＝14? ????112－132＋? ????122－142＋? ????132－152＋? ???? 142－162＋…＋? ? ? ?? 1 n －2 2－1n 2＋ ? ????1 n －1 2－1 n ＋1 2＋? ?? ?? 1n 2－1 n ＋2 2 ＝14? ????112＋122－1 n ＋1 2－1 n ＋2 2<14? ????112＋122＝516 ∴b 1＋b 2＋…＋b n <516 (n ∈N * ) 22．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12 . (1)求证{ 1 a n ＋1 }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N * 恒成立，求p 的最大值． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－ 1 a n ＋2 ， ∴a n ＋1＋1＝－ 1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2 ， 由于a n ＋1≠0， ∴ 1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1 ， ∴{ 1 a n ＋1 }是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)题结论知：1 a n ＋1 ＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝ 1n ＋1－1＝－n n ＋1 (n ∈N * )． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p －n ， ∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p ， 即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N * 恒成立， 而1＋a n ＝ 1 n ＋1 ， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)， ∴H (n )＝ 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， H (n ＋1)＝1 n ＋2＋1 n ＋3＋…＋1 2n ＋1 2n ＋1＋1 2n ＋2 ， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1 2n ＋2>0， ∴数列{H (n )}单调递增， ∴n ∈N * 时，H (n )≥H (1)＝12，故p ≤12. ∴p 的最大值为1 2 . 反馈练习 一、选择题 1．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则a 6＋a 8等于( ) A ．80 B ．96 C ．160 D ．320 [答案] C [解析] ∵ a 2＋a 4a 1＋a 3＝q a 1＋a 3 a 1＋a 3＝q ＝10 5 ＝2， ∴a 6＋a 8＝(a 2＋a 4)q 4 ＝10×24 ＝160. 2．(2015·广州二测)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 [答案] A [解析] 设这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10，即这个数列的项数为10，故选A. [易错分析] 考生不会利用奇数项和与偶数项和的关系去求解数列的项数，导致无法解题． 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1，a 5，a 17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2 [答案] B [解析] 解法1：由条件知a 2 5＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2 ＝a 1(a 1＋16d )，得a 1＝2d ，a 5＝a 1＋ 4d ＝6d ，∴q ＝a 5a 1＝6d 2d ＝3，故选B ． 解法2：q ＝a 5a 1＝ a 17a 5＝a 17－a 5a 5－a 1＝12d 4d ＝3，故选B ． 4．以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( ) A ．2a 3>3a 4 B ．5a 5>a 1＋6a 6 C ．a 5＋a 4－a 3<0 D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7 [答案] D [解析] 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－ a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋ 6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述知选D ． 5．(文)在等差数列{a n }中，7a 5＋5a 9＝0，且a 5 n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] B [解析] ∵7a 5＋5a 9＝0，a 50，且a 1＝－17 3d ， ∴S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝－173 nd ＋n n －1 2 d ＝d 2 (n 2－37n 3 )， ∴当n ＝6时，S n 取到最小值． (理)(2014·辽宁理，8)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 [答案] C [解析] 数列{2a 1a n }递减，∴{a 1a n }递减． ∴a 1a n －a 1a n －1＝a 1(a n －a n －1)＝a 1d <0. 6．(文)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且a 1>0，若S 2>2a 3，则q 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0，1 2) B ．(－1 2，0)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1 2，＋∞) D ．(－∞，－1 2)∪(1，＋∞) [答案] B [解析] ∵S 2>2a 3，∴a 1＋a 1q >2a 1q 2 ， ∵a 1>0，∴2q 2 －q －1<0， ∴－1 2 (理)已知公差不等于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S 3＝－21，a 7是a 1与a 5 的等比中项，那么在数列{na n }中，数值最小的项是( ) A ．第4项 B ．第3项 C ．第2项 D ．第1项 [答案] B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－21，得a 2＝－7，又由a 7是a 1与a 5的等比中项，得a 2 7＝a 1·a 5，即(a 2＋5d )2 ＝(a 2－d )(a 2＋3d )，将a 2＝－7代入，结合d ≠0，解得d ＝2，则na n ＝n [a 2＋(n －2)·d ]＝2n 2－11n ，对称轴方程n ＝234，又n ∈N *， 结合二次函数的图象知，当n ＝3时，na n 取最小值，即在数列{na n }中数值最小的项是第3项． 7．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N * )，则a 10为( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40 [答案] C [解析] 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，得 a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1 ＝2? ????1 n －1n ＋1， 则有a n n － a n －1n －1＝2? ?? ??1n －1－1n ， a n －1n －1－a n －2n －2＝2? ?? ??1n －2－1n －1， …… a 22－a 1 1＝2? ????11－12，累加得a n n －a 1＝2? ?? ??1－1n . ∵a 1＝2，∴a n ＝4n －2，∴a 10＝38. 8．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2 a 1，22 a 2，…，2 9 a 9 中最大的是 ( ) A.2 a 1 B ．25 a 5 C ．26 a 6 D ．29 a 9 [答案] B [解析] ∵S 9＝9 2(a 1＋a 9)＝9a 5>0，∴a 5>0. 又∵S 10＝ 10 2 (a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)<0，∴a 5＋a 6<0，即得a 6<0，且|a 6|>a 5，则数列{a n }的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n ≤5时，数列{2 n a n }是递增的正数项数列， 其最大项为25a 5，当n >6时，各项均为负数，即可得2 5 a 5 最大，故应选B ． (理)等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为21 16，这 个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( ) A.1 4 B ．12 C ．1 D ．2 [答案] D [解析] 由题意知S 奇－2＝S 偶·q ，S 奇＝85 32 ， S 偶＝21 16，∴q ＝12，∵a 1＝2，q ＝12 ， ∴{T n }为递减数列且a 2＝1，a k <1(k >2)， ∴T 2＝a 1a 2＝2为最大值． 9．(2015·南昌市二模)已知{a n }是等差数列，a 1＝5，a 8＝18，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n ，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( ) A ．29 B ．28 C ．27 D ．26 [答案] A [解析] 由题意得：a 8＝a 1＋7d ＝5＋7d ＝18，∴d ＝13 7， ∴a m ＝5＋13 7 (m －1)， 又S n ＝3n ，∴b n ＝? ???? 3，n ＝1 2·3n －1 ，n ≥2，∴5＋137 (m －1)＝3＋2·33 ＝57，解得m ＝29. 10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12 ，a n ＝f (n )(n ∈N * )，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n －1 B ．1－2n C ．(12)n －1 D ．1－(12 )n [答案] D [解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2 ＝(12)2，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1) ＝[f (1)]3＝(12)3，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝(12)n ，∴S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ＝ 12[1－ 12 n ]1－12 ＝1－(12)n ，故选D ． 11．(文)数列{a n }满足a n ＋1 ＝????? 2a n ，0≤a n <1 22a n －1，1 2 ≤a n <1，若a 1＝3 5 ，则a 2014＝( ) A.15 B ．25
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