习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A :
(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件}{两次出现的面相同=A ;
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω, )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则
},2,1,0|{ ===Ωk k X , }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则
)},0({∞+∈=ΩX , )}2500,
2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设=A {取得球的号码是偶数},=B {取得球的号码是奇数},=C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
(1)B A ;(2)AB ;(3)AC ;(4)AC ;(5)C A ;(6)C B ;(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件; (2) φ=AB 是不可能事件; (3) =AC {取得球的号码是2,4};
(4) =AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};
(5) =C A {取得球的号码为奇数,且不小于5}={取得球的号码为5,7,9};
(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}; (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间]2,0[上任取一数,记??????≤<=121x x A ,?
??
???≤≤=2341
x x B ,求下列事件的表达式:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)B A .
解 (1) ?
?????≤≤=2341
x x
B A ; (2) =????
??
≤<≤
≤=B x x x B A 2121
0或?
???
??
≤?????≤≤231214
1x x x x ; (3) 因为B A ?,所以φ=B A ;
(4)=??????≤<<
≤=223
410x x x A B A 或 ?
?????≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件C B A ,,的
运算关系式表示下列事件:
(1) A 出现,C B ,都不出现(记为1E ); (2) B A ,都出现,C 不出现(记为2E ); (3) 所有三个事件都出现(记为3E ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为4E ); (5) 三个事件都不出现(记为5E ); (6) 不多于一个事件出现(记为6E ); (7) 不多于两个事件出现(记为7E ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为8E )。 解 (1)C B A E =1; (2)C AB E =2; (3)ABC E =3; (4)C B A E =4;
(5)C B A E =5; (6)C B A C B A C B A C B A E =6; (7)C B A ABC E ==7;(8)BC AC AB E =8.
5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设i A 表示事件“第i 次抽到废品”,
3,2,1=i ,试用i A 表示下列事件:
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品;
(4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)21A A ; (2)321A A A ; (3)321A A A ;
(4)321A A A ; (5)321321321A A A A A A A A A .
6. 接连进行三次射击,设i A ={第i 次射击命中},3,2,1=i ,=B {三次射击恰好命中二次},=C {三次射击至少命中二次};试用i A 表示B 和C 。
解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取,样本点总数???? ??=350n ,记求概率的事件为A ,则有利于A 的样本点数???
? ?????? ??=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=??????=???
? ??????
?????? ??==n k A P 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;
(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式,样本点总数2
7=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.
(ⅰ)有利于A 的样本点数2
5=A k ,故 492575)(2
=??
?
??=A P
(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ,故 4910
725)(2=?=B P
(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ,故 49
20
)(=C P
(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ,故 75
49357
57)(2==?=D P .
3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3
的概率;(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式,样本点总数56?=n . (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利样本点数为32?,所求概率为
5
1
5632=??. (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22?,所求概率为
15
2
5622=??. 4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:
(1) 2只都合格;
(2) 1只合格,1只不合格; (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,,则
522562342624)(=????=???
? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???
?
?????? ?????? ??=B P
注意到B A C =,且A 与B 互斥,因而由概率的可加性知
15
1415852)()()(=+=
+=B P A P C P 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数2
6=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
6166)(2
==
∴A P (ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 185610)(2
==
∴B P (ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
2
13618)(==
∴C P 6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A ,样本点总数为3
5,而有利A 的样本点数为345??,所以
2512
5345)(3
=??=
A P . 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:
(1) 事件A :“其中恰有一位精通英语”; (2) 事件B :“其中恰有二位精通英语”; (3) 事件C :“其中有人精通英语”。 解 样本点总数为???
?
??35
(1) 53106345!332352312)(==????=????
?????? ?????? ??=
A P ; (2) 103
345!33351322)(=???=???
?
?????? ?????? ??=B P ;
(3) 因B A C =,且A 与B 互斥,因而
10
910353)()()(=+=
+=B P A P C P . 8.设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴、y 轴及直线1
=+y x 所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线3/1=x 的左边的概率。 解 记求概率的事件为A ,则A S
为图中阴影部分,而2/1||=Ω,
18
59521322121||2
=?=??? ??-=A S
最后由几何概型的概率计算公式可得
9
5
2/118/5||||)(==Ω=
A S A P . 9.(见前面问答题2. 3)
10.已知B A ?,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求
(1))(A P ,)(B P ;(2))(B A P ;(3))(AB P ;(4))(),(B A P A B P ;(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ,4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ; (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ; (3)4.0)()(==A P AB P ;
(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P
11.设B A ,是两个事件,已知5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,8.0)(=B A P ,试求)(B A P -及).(A B P -
解
注
意
到
)()()()(AB P B P A P B A P -+= ,因而)()()(B P A P AB P +=
)(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是,)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=;3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答
1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件B 的概率6.0)(=B P ,条件概率8.0)|(=A B P ,试求
)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==
3.04.06.05.01=+--=
2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。 解 1078
9
989981989910090910=
?=????=
p . 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?
解 记=A {基金},=B {股票},则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P
(2) 678.028
.019
.0)()()|(===
B P AB P B A P . 4.给定5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,15.0)(=AB P ,验证下面四个等式:
),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =,).()|(B P A B P = 解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====
y x
O
1/3 1
1 Ω
A S h
图2.3
)(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是
0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到},=1A {坐火车},=2A {坐船},=3A {坐汽车},=4A {乘飞机},则 4
1
==i i
BA B ,且按
题意
25.0)|(1=A B P ,3.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,0)|(4=A B P .
由全概率公式有:
∑==?+?+?==4
1
145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率:
(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球},=1A {取自甲袋},=2A {取自乙袋},已知10/6)|(1=A B P ,
14/8)|(2=A B P ,所以
70
41
1482110621)|()()|()()(2211=
?+?=
+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
72414)(==
B P 7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??
%45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出""?和""-,由于通信受到干扰,当发出""?时,分别以概率0.8和0.2收到""?和""-,同样,当发出信号""-时,分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率;(2) 当收到""?时,发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?},=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=?==
B P A B P A P B A P .
9.设某工厂有C B A ,,三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间C
B A ,,生产的概率。
解 为方便计,记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品,事件=D {次品},因此 )|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++=
02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==
D P A D P A P D A P
406.00345
.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==
D P C D P C P D C P
10.设A 与B 独立,且q B P p A P ==)(,)(,求下列事件的概率:)(B A P ,)(B A P ,)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()( pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(
11.已知B A ,独立,且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==,求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =,由独立性有
)()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ,有 2
))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--==
所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P
12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标},=1A {甲命中},=2A {乙命中},=3A {丙命中},则 3
1
==
i i
A
B ,因而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这个装置通达的
概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
解 记 =A {通达},
=i A {元件i 通达},6,5,4,3,2,1=i 则 654321A A A A A A A =, 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=
)()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---
642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512
.0)8.0()2.0(352
3=???
? ??=p . 15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332
3
=+=?????
?
??+????
??=p .
16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19/27,求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现},.3,2,1=i )(A P p =
依假设 3
32131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???? ??== 所以, 27
8)1(3
=-p , 此即 3/1=p .
17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品},
.3,2,1=i 则次品率
图3.1
1 2 3 4 5
6
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i
18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 =A {译出密码}, =i A {第i 人译出},.3,2,1=i 则
7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???
?
??==A P A P A P A P A P i i 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?
解 (1) 256
63
2151010
=
?
?
?
?????? ?? ; (2) 10
6
42110??
? ?????? ??∑=k k .
20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 解 (1) 256255
)25.0(1)75.01(14
4
=
-=-- (2) 1282741436)25.0()75.0(242
22
2=??? ?????? ???=???
? ?? (3) 2568143)75.0(4
4
=??
? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。
(1)5,4,3,2,1,0,15==
i i
p i ; (2)()3,2,1,0,652=-=i i p i ; (3)5,4,3,2,41
==i p i ;
(4)5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证i p 是否满足下列二个条件:其一条件为
,2,1,0=≥i p i ,其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,因为
064
6953<-=-=
p ;
(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为∑=≠=5
1
12520i i
p 。 2. 试确定常数c ,使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i 成为某个随机变量X 的分布律,并求:()2≤X P ;
??? ??<<2521
X P 。
解 要使
i c 2成为某个随机变量的分布律,必须有124
=∑=i i
c ,由此解得3116
=c ; (2) ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P
3128
412113116=
??? ??++= (3)()()212521
=+==??? ??< ?? ? ??+=。 3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个 球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3,1,2,且()()()6 1 2,211,313===== -=X P X P X P ,即X 的分布律为 X -3 1 2 概率 31 21 6 1 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 3 1 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示取出的3个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3,则另两个球的 只能为1号,2号,即()1013513=??? ? ??= =X P ;事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时()103352314=???? ?????? ???==X P ;同理可得()106352415=??? ? ??? ??? ???==X P 。 X 的分布律为 X 3 4 5 概率 101 103 10 6 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 101 43<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数 6.0,5==p n 的二项分布,因此,其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k , 具体计算后可得 X 0 1 2 3 4 5 概率 312532 62548 625 144 625216 625162 3125 243 6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 (1)设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, ,,,1n A A 相互独立,且 () ,2,1,13 10 == i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 10 1331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10 = p 的几何分布。 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, ()()()(). 286 1 10111213101234,143511121310233, 26 5 12131032,13101=??????===????===??====X P X P X P X P X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 1310 265 143 5 2861 (3)X 可能取到的值为1,2,3,4, ()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233, 169 33 13131132,13101=????===????===??====X P X P X P X P 所求X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 1310 169 33 219772 21976 由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量()p B X ,6~,已知()()51===X P X P ,求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~,因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155 p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655 p p p p -=- 解得2 1= p ; 此时,()641521!25621212626 262=??? ????=??? ????? ????? ? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21,因此X 服从2 1 ,4==p n 的二项分布,即 ()4,3,2,1,0,212144=?? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0, 0 161 , 10<≤x ()=x F 16 5 , 21<≤x 1611 , 32<≤x 16 15 , 43<≤x 1, 4≥x 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解 设至少要进n 件物品,由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0! 4110 4<= -≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0!40 4 ≥=≤∑=-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从0001 .0,1000==p n 的二项分布,即()0001.0,1000~B X ,由于n 较大,p 较小,因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布,即()1.0~P X ,所求概率为 ()()() . 004679.0090484.0904837.01! 11.0!01.0110121 .011.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功,则()75.0=i A P ,且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有 ()()()() ()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 所求的分布律为 X 1 2 … k … 概率 0.75 75.025.0? … 75.025.01?-k … 12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2, A x <<0 0, 其他, 试求:(1)常数A ;(2)X 的分布函数。 解 (1)()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为()0≥x f ;其二为()?+∞ ∞-=1dx x f ,因 此有?=A xdx 012,解得1±=A ,其中1-=A 舍去,即取1=A 。 (2)分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 00 0020200 1100 ≥<≤ = 10 2x 1 100 ≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,,求:(1)系数A ;(2)()10< 解 (1)系数A 必须满足?+∞ ∞--=1dx Ae x ,由于x e -为偶函数,所以 ???+∞∞-+∞+∞ ---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1= A ; (2)()() 1101012 121 2110----===<?e dx e dx e X P x x ; (3)()()?∞-=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = () x x e e --+121 2121 00≥ e e --2 1121 0 0≥ ()=x f 0 22c x e c x - 0<≥x x (c 为正的常数) 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ,且()120 22 0222 2 2 =-=??? ? ? ?- -==+∞ - ∞ +- ∞ +∞-∞+∞ -- ???c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f , 因此()x f 满足密度函数的二个条件,由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 025.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时,()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ 025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时,()15.05.0025.05.00 22 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0,5.0x e x + . 2;20;0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布,求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< ,0 其他. 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ,即42≥X ,因此所求得概率为 () ()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225 451 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为 ()=x f ( ),10020000 3 +x 0>x ; 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = (),10020000, 003dx x x ?+ . 0; 0≥ = (),100100001,02+-x . 0; 0≥ 11200120012002=??? ? ? ?+--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (),11,0x e x -+- 0 >≤x x 求X 的密度函数,并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系,可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=,因此 ()=x f , 0,x xe - 其他 0>x 所求概率()()()112111111---=+-==≤e e F X P ; ()()()()() 223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ,求(1) 常数B A ,;(2)()1 解:(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数,必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞→x F x F x x ,即 ()()1 arctan lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞→x B A x B A x x 计算后得 120 2 =+ =- B A B A π π 解得 π 121= = B A 另外,可验证当π1,21== B A 时,()x x F arctan 1 21π +=也满足分布函数其余的几条性质。 (2) ()()()()11111--=<<-= ()??????-+-+= 1arctan 1211arctan 121ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= (3)X 的密度函数 ()()() +∞<<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min )服从5 1 = λ的指数分布,其密度函数为()=x f 0 ,5 15 x e - 其他0>x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开。 (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率; (2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 (1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从5 1 =λ的指数分布,且顾客等待 时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞ +-- ==≥10255 110e dx e X P x ; (2)设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布,所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 2 24 225 20 2141115105101-------+=-??? ? ??+-??? ? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()2.2 ()78.0- (4)()55.1 (1)()()9861.02.22.2=Φ= (2)()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ; (3)()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- ()()()()8788 .019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= (5) ()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()44.2 ()8.2- (4)()4 2,~σμN X 时,()?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ,借助于该性质,再查标准正态分布函数表可 求得 (1)()()8051.086.04144.244.2=Φ=?? ? ??+Φ= (2)()()125.01415.115.1-Φ-=?? ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=; (3)()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=?? ? ??+-Φ=- (4)()()()75.025.14144144-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ= ()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=; (5)()()()175.041541225-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=; (6)()()()??? ?????? ??+Φ-??? ? ?+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ,合格品的规格规定为2.02±,求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ?? ? ?-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X (单位:min )已知上班时间为8:30,他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。 解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ; (2)记Y 为5天中某人迟到的次数,则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布,5天中最多迟到一次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 习题五解答 1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值:()()()0,2,31,1,1,1,0,0??? ? ? --,且取这些组值的概率依次为 12 5 ,121,31,61,求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为 X\Y 0 31 1 -1 0 12 1 3 1 0 61 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字3,2,2,1。从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求()Y X ,的分布律及()Y X P =。 解 X 可能的取值为3,2,1,Y 可能的取值为3,2,1,相应的,其概率为 ()()()()()()()()(). 03,3,6 1 34212,3,1211,3,61 34123,2,6134122,2,6134121,2, 12 1 34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 1 2 3 1 0 61 12 1 2 61 61 6 1 3 12 1 61 0 ()()()()6 1 3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。 3. 箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量X 、Y 如下: X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。 解 (1)在放回抽样时,X 可能取的值为1,0,Y 可能取的值也为1,0,且 ()()()(), 25 1 1010221,1,2541010820,1, 254 1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??===Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 2516 254 1 254 25 1 (2)在无放回情形下,X 、Y 可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为 ()()()(), 45 1 910121,1,458910820,1, 458 910281,0,4528910780,0=??====??====??====??===Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 4528 458 1 458 45 1 4. 对于第1题中的二维随机变量()Y X ,的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 125 61 12 5 按列相加得Y 的边缘分布律为 Y 0 31 1 概率 127 12 1 31 5. 对于第3题中的二维随机变量()Y X ,的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 54 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 54 5 1 在无放回情况下X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 54 5 1 6. 求在D 上服从均匀分布的随机变量()Y X ,的密度函数及分布函数,其中D 为x 轴、y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。 解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4 1 21121=??=S ,所以 ()Y X ,的密度函数 ()=y x f , ,0,4 ()其他 D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞-∞-=y x dxdy y x f y x F ,, 当21 - 20,02 1 +<≤<≤-x y x 时, ()202 1244,y y xy dx dy y x F y x y -+==??-; 当12,021+≥<≤- x y x 时,()1444,22 11 20++==??-+x x dy dx y x F x x ; 当10,0<≤≥y x 时,()2002 124,y y dx dy y x F y y -==??-; 当1,0≥≥y x 时,()??-+==02 11 20 14,x dy dx y x F 综合有 ,0 021 <- ,242y y xy +- 120021 +<≤<≤-x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 1202 1 +≥<≤-x y x 且 ,22 y y - 100<≤≥y x 且 ,1 10≥≥y x 且 7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dy y x f x f X , = , 0, 41 20 ?+x dy 其他021<<- x = (), 0,124+x 其他 21 <<-x Y 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dx y x f y f Y , = , 0, 40 2 1?-y dx 其他 10< (), 0,12y - 其他 10< -1 2 1- 0 1 x y 1 图5.2 8. 在第3题的两种情况下,X 与Y 是否独立,为什么? 解 在有放回情况下,由于()25160,0===Y X P ,而()()25 16 545400=?===Y P X P ,即()()()000,0=====Y P X P Y X P ;容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ,由独立性定义知X 与Y 相互独立。 在无放回情况下,由于()45280,0===Y X P ,而()()25 16 545400=?===Y P X P ,易见 ()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ,所以X 与Y 不相互独立。 9. 在第6题中,X 与Y 是否独立,为什么? 解 431,41=??? ??-f ,而3431,241=??? ??=??? ??-Y X f f ,易见?? ? ????? ??-≠??? ??-314131,41Y X f f f ,所以X 与Y 不相互独 立。 10. 设X 、Y 相互独立且分别具有下列的分布律: X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 41 31 12 1 31 概率 21 41 41 写出表示()Y X ,的分布律的表格。 解 由于X 与Y 相互独立,因此 ()()(),3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 例如()()()8 121415.025.0,2=?= -=-==-=-=Y P X P Y X P 其余的联合概率可同样算得,具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 81 161 161 -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 61 121 12 1 11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量,X 服从[]2.0,0上的均匀分布,Y 服从参数为5的指数分布,求()Y X ,的 联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知 ()=x f X ,0,5 其他 2 .00< ()=y f Y , 0, 55y e - 其他0>y 因为X 与Y 独立,易得()Y X ,的联合密度函数 ()()()==y f x f y x f Y X , , 0,255y e - 其他 0,2.00>< 概率()()??=≥G dxdy y x f Y X P ,, 其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3,经计算有 ()() 12 .0052 .00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x y 。 12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (), 0, 43y x ke +- 其他0 ,0>>y x 求:(1)系数k ;(2)()20,10≤≤≤≤Y X P ;(3)证明X 与Y 相互独立。 y 0.2 x 图5.3 解 (1)k 必须满足()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x f ,即()10430=??+∞ +-+∞ dx ke dy y x ,经计算得12=k ; (2)()()()() 832 01 043111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ; (3)关于X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,12043dy e y x ?+∞ +- 其他 0>x = , 0,33x e - 其他 0>x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y , 0, 44y e - 其他0 >x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,,因此X 与Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (),0, 1y x k - 其他 x y x <<<<0,10 (1)求常数k ;(2)分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数;(3)X 与Y 是否独立? 解 (1)k 满足()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x f ,即()??=-1 0011x ydy x k dx 解得24=k ; (2)X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,1240dy y x x ?- 其他 10< = (), 0,1122x x - 其他 10< Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y (), 0, 1241 ?-y ydx x 其他10< 0, 1122 y y - 其他10< (3) 3141212441,21=??=?? ? ??f ,而()()16271694112,23214112= ??==??=y f x f Y X ,易见?? ? ????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ,因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 25 2 b 1 a 25 3 2 251 25 2 且()5 3 0|1===X Y P ,(1) 求常数b a ,的值;(2)当b a ,取(1)中的值时,X 与Y 是否独立?为什么? 解 (1)b a ,必须满足∑∑===2131 1j i ij p ,即1252251253252=+++++a b ,可推出2517 = +b a ,另外由条件概率定义及已知的条件得 ()()()53 25 201,00|1=+=======b b X P Y X P X Y P 由此解得253= b ,结合2517=+b a 可得到2514=a , 即 25 32514= = b a (2)当253,2514==b a 时,可求得()()25 17 0,2550= ===Y P X P ,易见 ()()()0025 2 0,0==≠===Y P X P Y X P 因此,X 与Y 不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布,求当2=Y 时X 的条件分布律。 解 易知()2 1 22===?Y P p ,因此2=Y 时X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 31212=?p p 31 222=?p p 3 1232=?p p 16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布,求当?? ? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为(由第7题所求得) ()=x f X (), 0,124+x 其他0 21 <<-x 由条件密度函数的定义知当??? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数为 ()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (), 0,1244 +x 其他 120+< 0, 121 +x 其他 120+< 习题六解答 1. 设X 的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 81 4 1 81 61 31 求出:以下随机变量的分布律。(1)2+X ;(2)1+-X ; (3)2X 。 解 由X 的分布律可列出下表 概率 81 41 81 61 31 X -2 -0.5 0 2 4 2+X 0 1.5 2 4 6 1+-X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.2 5 0 4 16 由此表可定出 (1)2+X 的分布律为 2+X 0 2 3 2 4 6 概率 8 1 4 1 8 1 61 3 1 (2)1+-X 的分布律为 1+-X -3 -1 1 23 3 概率 3 1 61 81 4 1 8 1 (3)2X 的分布律为 2X 41 4 16 概率 8 1 4 1 247 3 1 其中() ()()24 7 61812242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布,记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布,因此 (),,2,1,0,! !11 1 ====--k k e e k k X P k 而 ()()()()11 12! 1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ; ()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。 即Y 的分布律为 Y 0 1 概率 12-e 121--e 3. 设X 的密度函数为()=x f ,0, 2x , ;10其他< 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数。如果()x g y =为单调可导函数,则也可利用性质求得。 (1)解法一:设X Y 2=,则Y 的分布函数 ()()()??? ? ? ≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y = ??1002202 xdx xdx y 121200 2 ≥<≤ y 2200≥<≤ ()()='=y F y f Y Y 0 2y 其他 2 0< 1 ='y h ,则 ()()()()y h y h f y f X Y '= = ,0,2122?? y 其他 1 2 0< 习题六 1. 设总体X ~)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2 S 小于9.1的概率. 解 X ~)6,(μN ,由2 2 )1(σS n -~)1(2-n χ,于是 {}()(){}(){}22 22 2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥???? 10.050.95.=-= 2. 设1210,,,X X X L 是取自正态总体2 (0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解:由() 2 1 2 n i i X u σ=-∑~2 ()n χ,于是 () ()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==?? ?????? >=>=>=???????????? ∑∑. 3. 设总体X ~(,4)N a ,n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立, () ( )() () () 2 10.1; 20.1; 3{1}0.95.E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥ 解 (1) 因为X ~4(,),N a n X ~(0,1),N 从而() 2 4X a n -~2 (1),χ于是 224 1,0.1,40.X a E E X a n n n ? ?- ?=-=≤≥ ? ??? 所以 (2 X ~(0,1),N 所以 2 22222 2 2x x x x E dx xe dx e d ∞∞ ∞ -- - -∞??=== -= ??? ?? 所以( ) 0.1,E X a -= ≤从而800 254.7,255.n n π > =≥故 概率统计试卷二 一、(10分)已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布,记事件{}2,X A =≥ {}1,X B =<求()()() ,,.P P P A B A -B B A 二、(10分)对以往数据分析结果表明,当机器运转正常时,产品的合格率为90%;而当机器发生故障时其合格率为30%,机器开动时,机器运转正常的概率为75%,试求已知某日首件产品是合格品时,机器运转正常的概率。 三、(12分)设(X ,Y )为二维离散型随机变量,X ,Y 的边缘概率函数分别为 且()01,P XY ==试求: (1)(X ,Y )的联合概率函数;(2)X ,Y 是否相互独立?为什么? (3)X ,Y 是否相关?为什么? 四、(14分)设(X ,Y )的联合密度函数为()()22,0,0,0, x y e x y f x y -+?>>?=???其余, 试求:(1)()X 1,Y 2;P <> (2)()X Y 1.P +< 五、(12分)假设一条生产流水线在一天内发生故障的概率为0.1,流水线发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日无故障这条流水线可产生利润20万元,一周内发生一次故障时,仍可获利润6万元,发生二次或二次以上故障就要亏损2万元,求一周内这条流水线所产生利润的期望值。 六、(12分)假设生产线上组装每件成品花费的时间服从指数分布。统计资料表明:该生产线每件成品的平均组装时间10分钟。假设各件产品的组装时间相互独立。试求在15小时至20小时之间在该生产线组装完成100件成品的概率。(要用中心极限定理) 七、(16分)设()1n X ,,X 是取自总体X 的一个样本,X 服从区间[],1θ上的均匀分布, 其中1,θθ<未知,求(1)*θθ的矩估计; (2)θθ的极大似然估计; (3)试问:θ是否为θ的无偏估计?若不是,试将θ修正成θ的一个无偏估计。 八、(14分)已知某种食品的袋重(单位:千克)服从正态分布() 2N μσ,,其中 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A: (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件两次出现的面相同}; (2) 记录某电话总机一分钟, (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设取得球的号码是偶数},取得球的号码是奇数},取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: ;(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5);;解是必然事件; 是不可能事件; 取得球的号码是2,4}; 取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; 取得球的号码为奇数,且不小于取得球的号码为5,7,9}; 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6,8,10}; 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 在区间[0,2]上任取一数,记,,求下列事件的表达式: ;(2)B;(3)A; 解 或 (3) 因为,所以; 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件: (1) A出现,B,C都不出现(记为E1); (2) A,B都出现,C不出现(记为E2); (3) 所有三个事件都出现(记为E3); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E4); (5) 三个事件都不出现(记为E5); (6) 不多于一个事件出现(记为E6); (7) 不多于两个事件出现(记为E7); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8)。 解;AB; ;; ;; ; 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次抽到废品”,,试用Ai表示下列事件: (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。 解;(2)A1A2A3;(3)A1A2A3;; 6. 接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},,三次射击恰好命中二次},三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为A, 则有利于A的样本点数 于是 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式,样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数,故 ⅱ) 有利于B的样本点数,故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数,故 ⅳ) 有利于D的样本点数,故 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式,样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利 样本点数为,所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为, 同济大学概率论与数理统计 复习试卷 1、对于任意二个随机事件B A ,,其中1)(,0)(≠≠A P A P ,则下列选项中必定成立的是( ) (A ) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件; (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件; (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件; (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件. 2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,现从中随机地取出一件,结果发现取到的这件不是三等品,在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ,在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 . 3、 对任意常数)(,,b a b a <,已知随机变量X 满足 (),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A))(1βα+-=p ; (B) )(1βα+-≥p ; (C) )(1βα+-≠p ; (D) )(1βα+-≤p . 4、 设随机变量X 的概率密度为 ???<<=其它,010,5)(4x x x f ,则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ,X Y ln 2-=的密度函数 为=)(y f Y . 5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 ( ) ()A X 与Y 独立; ()B X 与Y 不相关; ()()0C D Y =; ()()()0.D D X D Y = 6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布, ∑====n i i X n X X D X E 1 111,3)(,1)(,则由切比雪夫不等式可得() ≤≥-11X P ,∑=n i i X n 121依概率收敛于 . 7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布, ()1,0~1N X .()()2 542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布. 8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫,他断言凶犯是黑人。然而,当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时,发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%,假定凶犯是本地人,而在这个城市人口中90%是白人,10%是黑人,且假定白人和黑人的犯罪率相同, 课后答案网习w题w一w解.答https://www.doczj.com/doc/fd4413710.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A{两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次};{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ,A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 {X k | k0,1,2,LL} , A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则 {X (0,)} , A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球,分别编有号码1 至10,从中任取1 球,设A {取得球的号码是偶数},B {取得球的号码是奇数},C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B是必然事件; (2) AB 是不可能事件; (3) AC {取得球的号码是2,4}; (4) AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C{取得球的号码为奇数,且不小于5} {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数,记A (1) A U B ;(2) ;(3) ;(4) A U B .x 1 x 2 1 ,B x 1 x 4 3 ,求下列事件的表达式: 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ,所以AB ; (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现,B, C都不出现(记为E 1 ); (2) A, B 都出现,C 不出现(记为E 2 ); (3) 所有三个事件都出现(记为E 3 ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E 4 ); (5) 三个事件都不出现(记为E 5 ); (6) 不多于一个事件出现(记为E 6 ); (7) 不多于两个事件出现(记为E 7 ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E 8 )。 解(1) E 1 (3) E 3(5) E 5 AB C;(2) E 2 ABC ;(4) E 4 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率(一) 一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] (A )不可能事件 (B )必然事件 (C )随机事件 (D )样本事件 2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ] (A )1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} (B )1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} (C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} (D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3.下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] (A )A A B - (B )()A B B ?- (C )A B (D )A B 4.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B ?表示 [ C] (A )二人都没射中 (B )二人都射中 (C )二人没有都射着 (D )至少一个射中 5.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A 为. [ D] (A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”; (C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6.设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则A B 表示 [ A] (A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x << (C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<≤<+∞ 7.在事件A ,B ,C 中,A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] (A )C A C B ; (B )C AB ; (C )C AB C B A BC A ; (D )A B C . 8、设随机事件,A B 满足()0P A B =,则 [ D ] (A ),A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A{两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次};{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ,A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 {X k | k0,1,2,LL} , A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则 {X (0,)} , A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球,分别编有号码1 至10,从中任取1 球,设A {取得球的号码是偶数},B {取得球的号码是奇数},C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B是必然事件; (2) AB 是不可能事件; (3) AC {取得球的号码是2,4}; (4) AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C{取得球的号码为奇数,且不小于5} {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数,记A (1) A U B ;(2) A B;(3) AB ;(4) A U B .x 1 x 2 1 ,B x 1 x 4 3 ,求下列事件的表达式: 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A B x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ,所以AB ; (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 或 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现,B, C都不出现(记为E 1 ); (2) A, B 都出现,C 不出现(记为E 2 ); (3) 所有三个事件都出现(记为E 3 ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E 4 ); (5) 三个事件都不出现(记为E 5 ); (6) 不多于一个事件出现(记为E 6 ); (7) 不多于两个事件出现(记为E 7 ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E 8 )。 解(1) E 1 (3) E 3 (5) E 5AB C;(2) E 2 ABC ;(4) E 4 A B C;(6) E 6 ABC ; A U B U C ; A B C U AB C U A B C U A B C; (7) E 7ABC A U B U C ;(8) E 8 AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设A i 表示事件“第i 次 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 考试的形式、试卷结构 1. 考试形式为闭卷、笔试。满分100分,考试时间为120分钟。 2. 试卷内容比例:第一、二、三章约占27%,第四章约占29%,第六章约占14%,第七章约 占16%,第八、九、十章约占14%。 3. 试卷题型比例:填空题占15%,选择题占15%,计算题占49%,综合题占21%. 题型示例与答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。) 1.在随机事件A ,B ,C 中至多有一个发生的事件可表示为_________________; 2.设随机事件A 与B 互斥,则P(AB)等于___________; 3.设随机变量X 的数学期望E(X)=a ,则E(2X+5)等于______________________; 4.设随机变量X 的方差D(X)=b, 则D(2X+5)等于______________________; 5.设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2), 则其密度函数f(x)=_______ __________。 二、单选题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。) 1. A 与B 是两个随机事件,若AB ≠φ,则A 与B 关系是( )。 (A) 对立; (B) 独立; (C)互斥; (D) 相容 2. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p ,则在成功2次之前已经失败3 次的概率为: A .32)1(4p p - B .3)1(4p p - C .32)1(10p p - D .3 2)1(p p - 3. 设F(x)是随机变量X 的分布函数,则F(x)具有性质( )。 x x x x A F x 1B F x 1C F x 0D F x →+∞ →-∞ →+∞ →+∞ ====+∞()lim (),()lim (),()lim (),()lim (). 4. 设随机变量X 服从分布N(μ,σ2),其数学期望和标准差分别是( )。 (A) μ,σ; (B) μ,σ 2; (C) σ, μ; (D)σ2,μ 5. 设?θ 是总体参数θ的无偏估计量,则有( )。 (A)D θ =θ?(); (B)E θ=θ?(); (C)θ=θ?; (D)2D θ =θ?() 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分。要求解题有过程) 1.设两事件A 与B 互斥,且()()0.3,0.8P A P A B ==,求()P B 。 2.袋内装有4个白球,5个黑球,今从中任取两个球,求两个球均为白球的概率; 【最新整理,下载后即可编辑】 2.2 试确定常数c ,使得下列函数成为概率函数:(1)(),1,...,P X k ck k n ===;(2)()P X k ==/!,k c k λ1,k = 2,...,∞,其中0λ>. 2.3 把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体.从这些小立方体中随机地取一个,它有X 个面涂有红色,试求X 的概率函数. 2.4 已知随机变量X 的概率函数如下.试求一元二次方程2 32(1)0t Xt X +++=有实数根 的概率. 2.6 设随机变量(,)X B n p ,已知(1)(1)P X P X n ===-.试求p 与(2)P X =的值. 2.9 已知某商店每周销售的电视机台数X 服从参数为6的泊松分布.试问,周初至少应 进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存,且本周不再进货. 2.10 某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1%,且死亡是相互独立的.试求保险公司一年内赢利不少于1万元的概率. 2.13某台仪器由三只不太可靠的元件组成,第i个元件出故障的概率 1 ,1, (2) i p i i == + 2,3. 假定各元件是否出故障是相互独立的.设X表示该仪器中出故障的元件数.试求X的概率函数. 2.14 把一颗骰子独立地上抛两次,设X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现点数的最大值.试求:(1) X与Y的联合概率函数;(2)() P X Y =与22 (10) P X Y +<;(3)X,Y的边缘概 {4} Y=X{4} X=Y 件概率函数. 2.15 两名水平相当的棋手奕棋三盘.设X表示某名棋手获胜的盘数,Y表示他输赢盘数之差的绝对值.假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1)X与Y的联合概率函数;(2)X,Y的边缘概率函数. 引言形形色色的概率统计问题 人们在日常生活和生产实践活动中,都会遇到这样或那样的随机现象;下面是其中一些有趣的问题。先从赌博说起。事实上,概率论正是起源于17世纪的赌博问题。由于赌博的趣味性和吸引力,使得概率论能够发展至今。请看概率论的第一个问题: 问题0.1:甲乙两人打赌,各押硬币的一面,先出现6次者赢100法郎。当赌博进行到5:3时因故终止,试问应如何分配赌金? 有人说:甲应该得到全部的100法郎,因为这个赌博只有两种结果,而现在甲领先; 又有人说:既然比分是5:3,那么甲应该得到赌金的5/8,乙得另外的3/8。你以为呢? 下面的三颗骰子赌博机问题盛行于狂欢节时的美国中西部和英格兰: 问题0.2:你从1到6之中选取一个数字(比如6),然后机器掷出三颗骰子。如果三颗骰子出现的三个数字都是你选取的数字6,机器会支付你3美元;如果三颗骰子的数字中有两个6,机器会支付你2美元;如果三颗骰子的数字中仅有一个6,机器会支付你1美元。只有当你选取的数字没有出现时,你才需要付给它钱——仅仅1美元。好象这个游戏看起来挺吸引人的,因为掷三颗骰子,你有三个机会能赢,并且有时你可赢取1美元以上,而1美元则是你的最大损失。请问你愿意赌吗?说说你的理由! 在概率统计中,直觉是很重要的,我们常常凭直觉就能得到正确的结论。但是在好多情况下,直觉会让人误入歧途。我们给出的第3个问题大家也许曾经亲眼见到或有所耳闻:问题0.3:一个人有三张牌,一张两面都是黑色,一张两面都是红色,一张一面是黑色一面是红色。他将这三张牌放到帽子里,让你抽一张,但你只能看这张牌的一面。假定这面是红色,则这张牌肯定不是两面黑色,只能是两面红色或一面红一面黑。他提议和你来场赌博,他赌这张牌是两面红,赔率是1赔1。你认为公平吗? 问题0.4:历史上有名的“生日问题”同样说明“直觉”有时真的不是很可靠!假定一年有365天,则由著名的抽屉原理可知,任意366人中至少有两人同一天生日。也就是说,需要366人,才能保证其中至少有两人同一天生日。但是现实生活中,大家可能留意到一个事实:一个47人的班级几乎就有两人同一天生日!这样的结果相信足以引起多数读者好奇的。这又是怎么回事呢?后面的古典概率模型将给出合理的解释。 问题0.5:“熊”了几年的中国股市近两年狂“牛”,许多对股票几乎一窍不通的老人家也前赴后继地投身到股市的洪流中。如果你是一个股民,也知道股市存在风险,自然希望能得到专家的帮助。但问题是,究竟谁可以算是股市行家呢?如果连续6个星期,你都收到某股市顾问对某种股票行情(上升或下降)正确预言的邮件,那么这名顾问要求你为第七个星期中这样的预言付费,你愿意吗? 问题0.6:这是一个医学诊断问题,更应该是一个生活常识。有点医学知识的人也许知道,用甲胎蛋白法诊断肝癌,准确性是比较高的:由过去的资料估计灵敏度(即癌症患者检测结果呈阳性的概率)是95%、特异度(即正常人检测结果呈阴性的概率)是90%。如果在某次例行检查(譬如单位每年一度的体检)中,某人的检验结果是阳性,试问:他应该沮丧到什么程度? 问题0.7:可预见的梦和巧合问题: 一个人做过一个梦,而梦中的事在现实中出现时,他很难不再相信有预感的存在。你以为呢? 如果有两个人有难以置信的一系列相同的经历,而发生这种巧合的概率是一万亿分之一(1/1012),我们是否应该诧异呢? 问题0.8:敏感性问题调查:为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病,需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的比例。试问:如何设计调查方案? 解答这些形形色色的概率统计问题,需要有足够的概率统计知识。我们从基础开始。 考试的重点内容与要求 考试的范围是现用教材:工程数学—《概率统计简明教程》(同济大学应用数学系主编)第一、二、三、四、六、七、八、九、十章。以下按章次明确考试的重点与要求。 第一章随机事件 1.了解随机现象与随机试验,了解样本空间的概念。 2.理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算。 第二章事件的概率 1.了解事件频率的概念,了解概率的统计定义。 2.熟悉关于排列与组合的基本知识,掌握求排列数与组合数的公式。 3.了解概率的古典定义,会计算简单的古典概率。 4.了解概率的公理化定义,掌握概率的基本性质,并会解决比较简单的问题。 第三章条件概率与事件的独立性 1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式,并会解决比较简单的应用问题。 2.理解事件的独立性概念,了解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法。 第四章随机变量及其分布 1.理解随机变量的概念,了解分布函数的概念和性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2.理解离散型随机变量及分布律的概念,掌握0-1分布、二项分布,了解泊松(Poisson)分布。 3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。掌握正态分布,均匀分布,了解指数分布。 第六章随机变量的函数及其分布 掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。 第七章随机变量的数字特征 1.理解数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算。 2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。 第八、九、十章 1、了解统计量定义,掌握常用统计量的计算;理解参数点估计的概念,掌握用矩估计法构造参数的估计量。 2、掌握用最大似然估计法构造参数的估计量,了解估计量的优良性评判准则。 上述列出的各章内容与要求是本次统考的重点内容和应当达到的合格要求。当中对所列内容按教学要求的不同,分为两个层次。属较高要求,应使考生深入领会和掌握,并能熟练应用。其中,概念、理论用“理解”一词表述,方法、运算用“掌握”一词表述。另一个层次,也是必不可少的,只是在教学要求上低于前者。其中,概念、理论用“了解”一词表述,方法、运算用“会”或“知道”表述。但切不可把后者理解成考试不考;考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实,既要弄清概念、又要掌握运算规律、总结解题方法,同时还要注意各章知识的区别与联系。通过做题熟练内容,加深理解。提高综合运用知识分析和解决问题的能力。 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 复习题 备用数据:9772.0)2(,8413.0)1 (=Φ=Φ,975.0)96.1(=Φ. 一、填空题(16分) 1、(4分)设B A ,为两个随机事件,若52.0)(=AB P ,3.0)(=B P ,()6.0=?B A P ,则 )(B A P -=,() B A P =. 2、(4分)设随机变量X ~)16,4(N ,则|4|-=X Y 的概率密度为 =)(y f Y . 3、(4分)设随机变量X 服从自由度为2的2 χ分布,用 )2(2αχ表示自由度为2的2χ分布 的α分位数,且()02.0)(,95.0=>=< 习 题 一 1.下列随机试验各包含几个基本事件? (1)将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 的盒子里(每个盒子可容纳两个球) 解:用乘法原理,三个盒子编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ看作不动物,。两个球看作是可动物,一个 一个地放入盒中;a 球可放入的任一个,其放法有 313=C 种,b 球也可放入三个盒子的 任一个,其放法有313=C 种,由乘法原理知:这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 (2)观察三粒不同种子的发芽情况。 解:用乘法原理,三粒种子,每一粒种子按发芽与否是两种不同情况(方法)。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 (3)从五人中任选两名参加某项活动。 解:从五人中任选两名参加某项活动,可不考虑任选的两人的次序, 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 (4)某人参加一次考试,观察得分(按百分制定分)情况。 解:此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件,101=∴n 。 (5)将c b a ,,三只球装入三只盒子中,使每只盒子各装一只球。 解:可用乘法原理:三只盒子视为不动物,可编号Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,三只球可视为可动物,一 个一个放入盒子内(按要求)。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球,所以a 球放入的盒子不能再放入b 球,b 球只能放入其余(无a 球 的盒子)两个中任一个,其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中,其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球,完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2. 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”,则,A B AB U 各表示什么事件?B A 、之间有什么关系? 解: 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成:{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ,A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品,设A 表示“三件中至少有一件是废品”,设B 表示“三件中至少 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若总体标准差不改变,总体均值有无显著性变化(α=0.05)? 1.【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0,认为总体平均值有显著性变化. 2. 某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取三十六名考生的成绩,算得平均成绩为65.5分,标准差为15分.问在显著性水平10 .0 = α下,能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 2.解:按题意需检验 01 Hμ==70Hμ=70 00 m m 1 :,: 因为总体()2 X~Nμ,s且15 s=, 故,选取检验统计量 X Z=, 从而拒绝域为3 z 1. α/20.05 z=z=65 又由已知可得x66.5n=36 =, 故有,=== |.70| |z| 1. 1. |x-μ| 865 所以,在显著水平a0. =1下,不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 3. 在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为1.008(克),样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取α=0.05). 3.设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常. 4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社
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