第2讲事件的关系与运算
事件的包含
（1）事件A 发生必导致事件B 发生.
例如掷一颗均匀的骰子，A =“出现2点”，B =“出现偶数点”则:A B ?B
A S
.
A B ?
事件的相等
（2）A=B
, A B ?
S
.
B A
?
B A
事件的积（交）
（3）A ∩B ：事件A 与B 同时发生，简记AB .
推广：事件同时发生.
事件同时发生.
121:n i n i A A A A == 12,,n
A A A ,,21A A 211A A A i i
=∞=S A
B AB
互不相容事件（互斥事件）:?=AB （4）A 与B 不能同时发生.
推广：n 个事件互斥的
充分必要条件是任两个事件互斥.
12,,n A A A B
S
A
事件的和（并）（5）A ∪B ：事件A 与B 至少有一个发生，当A ∪B =A +B .
推广：事件至少有一个发生.事件至少有一个发生.
:?=AB 12,,n A A A 121n
i n i A A A A == ： ,，21A A B
S
A 1
21i i A A A ∞== ：
事件的差
（6）A 发生而B 不发生.
对任意事件A ，
：B A -.
A B A AB AB A B B -=-==- .
,,A A S A A A =?-?=-?=-A －B S
B
（7）由A 不发生所构成的事件.A 对立事件（逆事件）
:A ,,.AA A A S A A =?+==S A 例如
A =“出现奇数点”
B =“出现偶数点”则,.
AB A B S =?+=
例1A=“甲获奖”，B =“乙获奖”则
,
AB A B == .
A B AB == AB S A B AB S
A B
.
AB AB AB AB =++“甲、乙都获奖”
“甲、乙至少有一个获奖”
“甲、乙都没获奖”“甲、乙至少有一人没获奖”,AB =,A B =
事件的运算性质
交换律: A ∪B =B ∪A ，AB=BA ;
结合律:(A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C ), (AB )C =A (BC )；分配律: (A ∪B )C =(AC )∪(BC )，
(AB )∪C =(A ∪C )(B ∪C )；
对偶原则（德—摩根律）：
,
A B AB = .AB A B = 12n
11,n n
i i i i A A A A A ==== 111.
n n i i n i i A A A A ====
例2A、B、C是随机试验的三个事件，
试用A、B、C表示下列事件：(1) A与B发生，C不发生
.
ABC AB C AB ABC
=-=-(2)A、B、C中恰好发生两个；
S
C
A B S
C
A
B
++. ABC ABC ABC
(3) A 、B 、C 中至少有一个发生；(4) A 、B 、C 中至少有两个发生；A B C
++++ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC =++AB AC BC
++.
ABC ABC ABC ABC =+.
ABC =
(5)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生；(6)A 、B 、C 中有不多于两个事件发生.ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
++++++.
ABC A B C == ABC ABC ABC ABC +++,
AB AC BC =
谢谢！
课时练习（十五） 事件之间的关系与运算 A 级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发 D ．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件， A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A ．恰有一名男生和全是男生 B ．至少有一名男生和至少有一名女生 C ．至少有一名男生和全是男生 D ．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70 D ．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥 D ．A 与A 不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为4 5 ，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以
新教材高中数学课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算新 人教B版必修第二册 课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算 A级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( ) A．全部击中B．至少击中1发 C．至少击中2发D．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( ) A．A＋B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥D．A与A不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A∪B是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的
§1.3事件的关系及运算 ⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作 B A A B ??或. ⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即 B A A B ??且； 也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作 B A =. ⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作 B A . “n 个事件n A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作 。或AB B A “n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作 ).(12121i n i n n A A A A A A A = 简记为或
⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即 ,φ=AB 则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的). 通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作 B A +. 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即 ),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ 则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的). 通常把n 个互不相容事件n A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n i i n A A A A 简记为 ⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即 ,Ω=+=B A AB 且φ 则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作 - -==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有
5.3.2事件之间的关系与运算 素养目标·定方向 课程标准学法解读 1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系． 2．理解事件和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系． 3．理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加 法公式． 4．会进行事件的混合运算． 通过本节课的学习，进一步 提升学生的数学抽象、数学 运算素养． 必备知识·探新知 知识点 事件的包含与相等 (1)包含关系 一般地，如果事件A__发生__时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A?B(或B?A)．用图形表示为： (2)相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“__A 与B相等__”，记作A＝B． 思考：如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？ 提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同． 即：A＝B?A?B且B?A?A与B有相同的样本点． 知识点 和事件与积事件 (1)事件的和(并)
给定事件A ，B ，由__所有__A 中的样本点与B 中的样本点组成的事件称为A 与B 的和(或并)，记作A ＋B (或A ∪B )． 事件A 与B 的和可以用如图中的阴影部分表示． (2)事件的积(交) 给定事件A ，B ，由A 与B 中的__公共样本点__组成的事件称为A 与B 的积(或交)，记作AB (或A ∩B )． 事件A 与事件B 的积可以用如图中的阴影部分表示． 思考：“A ∩B ＝?”的含义是什么？ 提示：在一次试验中，事件A 、B 不可能同时发生． 知识点 事件的互斥与对立 给定事件A ，B ，若事件A 与B __不能同时__发生，则称A 与B 互斥，记作AB ＝?(或A ∩B ＝?)． 互斥事件的概率加法公式：若A 与B 互斥(即A ∩B ＝?)，则：P (A ＋B )＝__P (A )＋P (B )__． 若A ∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然__事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A 的对立事件记 为：A －，则：P (A )＋P (A －)＝__1__． 关键能力·攻重难 题型探究 题型 事件关系的判断 ┃┃典例剖析__■ 典例1 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C 1＝{出现1点}，
事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列
说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2 7．打靶三次，事件A i表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击
新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习（含解析）新人教B版必修第 二册 知识点一事件的运算 1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( ) A．E?F B．G?F C．E＋F＝G D．EF＝G 答案 C 解析根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C. 2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么？ 解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A. 知识点二事件关系的判断 3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件： ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数； ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( ) A．①B．②④ C．③D．①③ 答案 C 解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件； ②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件； ③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件； ④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． (2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立． (4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 知识点三互斥事件的概率 5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红 球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3 10，P(B)＝ 1 2 ， 则这3个球中既有红球又有白球的概率是________． 答案4 5 解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的， 所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3 10＋ 1 2 ＝ 4 5 .
新教材高中数学课时素养评价十八事件之间的关系与运算 新人教B版必修21225108 事件之间的关系与运算 (20分钟·40分) 一、选择题(每小题4分,共16分) 二、 1.掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( ) A.A?B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3 【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3. 2.P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于( ) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定 【解析】选D.因为A与B的关系不确定,故P(A∪B)的值不能确定. 3.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是( ) A.A?D B.B∩D=? C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B ≠B∪D. 4.某城市2019年的空气质量状况如表所示: 污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P 其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50 高中数学必修二考点知识专题讲解 （四十一）事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的 对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2高中数学必修二考点知识专题讲解41---事件的关系和运算
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