广雅中学2015～2016学年第二学期高三年级5月月考试题
理科数学
一．选择题
1. 设复数z 满足|z|<1且15
||2
z z +=则|z| ＝( ) 4321A B C D 5432
2. (1tan18)(1tan 27)++ 的值是（ ）
A.
B. 1+
C. 2 D . 2(tan18tan 27)+
3. 先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( ) A.81
B.83
C.85
D.8
7
4．等比数列{}n a 中，35a =，82a =，则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ） A ．2
B ．5
C ．10
D ．lg 50
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是______寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） A. 1 B . 2 C. 3 D. 4
6．定义某种运算S a b =?，运算原理如图所示，则1
31100lg ln )45tan 2(-??
?
???+?e π的值为 （ ）
A.15
B.13
C.8
D.4
7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A ．54 B.27 C.18 D.9
8．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右
两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值
范围为（ ）
A
． B
． C ．
D ．
9. 如图,在平行四边ABCD 中,∠ABD=90.,2AB 2 +BD 2
=4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为 （ ）A.4π B. 8π C. 12π D. 16π 10．52
()(3)a x x x x
+
-的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ） A ．2520 B ．1440 C ．1440- D ．2520-
11．下列四个命题中，正确的有( )
①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“R x ∈?，使得210x x ++<”的否定是:“对x R ?∈， 均有210x x ++>” ； ③命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件；
④若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0，则2,9a b ==或3,1==b a . A ． 0 个
B ． 1 个
C ． 2 个
D ．3个
12．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：①1
()f x x
=
； ②x x f 2)(=； ③)2lg()(2+=x x f ； ④()()cos f x x π=．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②
D ．③④
二．填空题
13. 已知向量(a =
，向量()3,b m = ．若向量b 在向量a 方向上的投影为3，则实数m ＝
．
14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点与抛物线2
16y x
=的焦点相同，则双曲线的方程为 .
15. 已知,x y 满足20
3010
y x x y -≤??
+≥??--≤?
，则264x y x +--的取值范围是 .
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a
++为等差数列，
则数列{}n a 的通项公式n a = ．
三．解答题
17．如图,D 是直角ABC ?斜边BC 上一点
,AC =．
（Ⅰ）若30DAC ∠= ,求角B 的大小；
（Ⅱ）若2BD DC =,
且AD =,求DC 的长．
18. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点。 （1）求证AM//平面BDE ； （2）求二面角A -DF -B 的大小；
（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60?。
B
A
C
M
F
E
D
19． 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择
（Ⅰ）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一
道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答 完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，
记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）．
附表及公式：
20. 已知抛物线D 的顶点是椭圆22
143
x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 （1）求抛物线D 的方程
（2）已知动直线l 过点()4,0P ，交抛物线D 于,A B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证AQP BQP ∠=∠； （3）是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方
程；如果不存在，说明理由。
21. 已知函数321
(1)()(1)(1)x x ax bx x f x c e x -?-++<=?-≥?
在2
0,3x x ==处存在极值。 (1)求实数,a b 的值；
(2)函数()y f x =的图像上存在两点A ，B 使得AOB ?是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；
(3)当c e =时，讨论关于x 的方程()()f x kx k R =∈的实根个数。
请考生在22~24三题中任选一题作答
22. 选修4－1：几何证明选讲
如图，ABC ?的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （1）证明：ABE ?∽△ADC ; （2）若ABC ?的面积1
2
S AD AE =
?，求BAC ∠的大小.
23. 选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(2,
)3
C π
，半径为2. 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度
单位建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为112
x y t ?=????=??（t 为参数） （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +.
24. 选修45-：不等式选讲
已知函数()3(0)f x x x a a =++->．
（1）当4a =时，已知()7f x =，求x 的取值范围； （2）若()6f x ≥的解集为{}
|42x x x ≤-≥或，求a 的值．
参考答案
1.D 由15||2z z +
=得25
||1||2
z z +=，已经转化为一个实数的方程.解得|z| ＝2（舍去）， 2. C 3 D 4. B
5. C 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，所以水面半径为
1
2
(14+6)=10寸 则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π（立方寸）．∴则平地降雨量等于2
58814ππ?=3（寸）． 6. B 7 C 8. D 9 A 10. B 11. A
12. B 对于①，若存在实数0x ，满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则
00
11
11x x =++所以2000010(0,1)x x x x ++=≠≠且，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数0x ，
满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则001222x x -=+，解得01x =，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数0x ，满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则
22200lg (1)2lg(2)lg(12)x x ??++=+++??
，化简得2
002230x x -+=，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于④，注意到1411cos 332f π??+==-
???, 11(1)cos cos 332f f ππ??
+=+=- ???
，即
11
(1)()(1)33
f f f +=+，因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B
13.
14. 22
1412x y -= 因为抛物线的焦点坐标为（4，0），故双曲线的半焦距4c =.因为双曲线的渐近线方程是b y x a
=±
,所以b
a =即
b =,由222a b
c ++得24a =,进而求得212b =,故所求的双曲线方程是
221412x y -=. 15. 171,7??-???
? 16. 12n n n
a -=
17.解： （Ⅰ）在△ABC 中,根据正弦定理,有
sin sin AC DC
ADC DAC
=
∠∠. 因为AC
=,
所以sin 2
ADC DAC ∠=∠=
. 又
6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=°.
于是
3030120180=--=∠C ,所以60B ∠
=°. ……………………6分
（Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =
,AC =.
于是sin 3AC B BC =
=
,cos 3
B =,.6x AB = 在ABD ?中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-?,
即2
2
2
2642223
x x x x =+-?= ,得1x =. 故 1.DC = ………12分
18. (1)记AC 与BD 的交点为N,连接NE, ∵N.M 分别是AC.EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形ANEM 是平行四边形， ∴AM ∥NE 。 ∵NE ?平面BDE ， ?AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE 。 （2） 建立如图所示的空间直角坐标系。
则是
N 22?? ? ???.E （0,0,1）,∴NE
=(22--, A （022，
，）
.M ?
????
∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF AF AD =A ∴AB ⊥平面ADF 。
∴(AB = 为平面DAF 的法向量。又∵NE DB ?
=(22
--
·(=0
∴NE NF ?
=(22
--·)0,2,2(=0 ∴NE
为平面BDF 的法向量。 ∴cos<,NE AB >=21 ∴AB 与NE
的夹角是60o。即所求二面角A —DF —B 的大小是60o。
（3）设P(t,t,0)
得
,1),PF t t = CD =（2，0，0） 又∵PF 和CD 所成的角是60o ∴
21)2()2(2
)2(60cos 22?+-+-?-=
?t t t
解得
t=
2或
t=2
（舍去），即点P 是AC 的中点。 19. 解：(1)由表中数据得2
K 的观测值
()2
25022128850
5.556 5.024*********
K ??-?==≈>??? …………2分
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3分 (2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为57
68
x y ≤≤??
≤≤?(如图所示)
z M F
E
B
y
C
D
x A
N
y
x
11
O
设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为y x > ………5分
∴ 1
11
12()228P A ??==? 即乙比甲先解答完的概率为18
………7分
(3) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C = 种，其中甲、乙两人没有一
个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ?种；两人都被抽到有221C =种
X ∴可能取值为0,1,2， …………………………………………8分
15(0)28P X ==， 123(1)287P X ===， 1(2)28
P X == ………10分 X 的分布列为：
……11分
151211()0+1+22828282
E X ∴=?
??= ………12分
20. （1）抛物线的焦点为()1,0，2p ∴=。所以抛物线的方程为24y x = （2）设()()1122,,,,A x y B x y 由于O 为PQ 中点，则Q 点坐标为（-4,0）
当l 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性知AQP BQP ∠=∠当l 不垂直于x 轴时，设():4l y k x =-
由()()()22222
1222
12
4214421160416k y k x x x k x k x k k y x
x x ?+?=-??+=?--+=∴??=???=? ()()1212112244,4444
AQ BQ k x k x y y k k x x x x --=
===++++ ()()()()
()()
1212122322163204444AQ BQ k x x k k k x x x x -?-∴+=
==++++ ∴AQP BQP ∠=∠
(3) 设存在直线m ：x a =满足题意，则圆心114,2
2x y M +??
???，过M 作直线x=a 的垂线，垂足为E 。设直线m 与圆的一个交点为G ，则2
2
2
EG MG ME =-.即
()()()()()()2
2
2
222
1
112
2
112222*********
2441
4443444
x y x EG MG ME
a x x y a x a x x a x a a x a a -++??
=-=-- ???
--+=+++-=-++-=-+-当a=3时，2
3,EG =此时直线m 被以AP
为直径的圆截得的弦长恒为定值m ：x=3满足题意。
X
0 1 2
P
2815 73 28
1
(2) 由（1）得32
1,(1),
()(1),(1),
x x x x f x c e x -?-+
不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>. 若1t <，则32()f t t t =-+
由AOB ∠是直角得，0OA OB ?=
，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=.此时无解；
若1t ≥，则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上，且AOB ∠是直角，所以B 点不可能在x 轴上，
即1t ≠. 同理有0OA OB ?= ，即2321()(1)t t t t c e --++?-=0，
()11(1)1t c t e -=+-.
因为函数()
1
(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞ ∴实数c 的取值范围是(0,)+∞
（3）由方程()f x kx =，知32,(1)
,(1)
x x x x kx e e x ?-+
∴仅就0x ≠时进行研究：方程等价于2,(10),
,(1).x x x x x k e e x x ?-+<≠?
=?-≥??
且 构造函数
2,(10),(),(1),x x x x x g x e e
x x ?-+<≠?
=?-≥??且
对于10x x <≠且部分，函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分，
当1
2x =时取得最大值14，其值域是1(,0)(0,]4
-∞ ；
对于1x ≥部分，函数()x e e g x x -=，由2
(1)()0x e x e
g x x -+'=
>，知函数()g x 在()1,+∞上单调递增. ∴①当1
k >或0k ≤时，方程()f x kx =有两个实根；②当1
k =时，方程()f x kx =有三个实根；
22. （1）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠.
23.（1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为(1C ，所以圆C 的方程为22(1)(4x y -+=即
2220x y x +--=，
化为极坐标方程得22cos sin 0ρρθθ--=，即4sin()6
π
ρθ=+
法二：令圆Ｃ上任一点(,)P ρθ，在PCO 中（其中Ｏ为极点），
,2,2,3
PO CO PC POC π
ρθ===∠=-
，
由余弦定理得2
444cos()3π
ρρθ=+--
从而圆Ｃ的极坐标方程为4cos()3
π
ρθ=- （2
）法一：把112
x y t ?=???
?=??
代入2220x y x +--=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-
1
02
t =得点P
对应的参数为0t =-
∴PA PB
+10202222t t t t =-+-=++-+=+-+=
法二：把112
x y t
?=????=??
化为普通方程得1)y x =-，
令0y =得点Ｐ坐标为(4,0)P ，又∵直线l 恰好经过圆Ｃ的圆心Ｃ，
∴2PA PB PC +===
24. （1）因为34347x x x x ++-≥+-+=，等号成立当且仅当(3)(4)0x x +-<， 即34x -≤≤，故x 的取值范围为[]3,4-
（2）因为32(3)
()3
(3)23()a x x f x a x a x a x a --≤-??
=+-<
当36a +≥时，不等式()6f x ≥解集为R ，不合题意； 当36a +<时，不等式()6f x ≥的解为3326x a x ≤-??
--≥? 或236
x a
x a ≥??+-≥?
即392x a x ≤-???-≤?? 或32
x a
a x ≥???+≥??，又因为解集{}|42x x x ≤-≥或，解得1a =．