马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无．．．．．．．效．
. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.
（1）已知集合,{1,2,3,4,5},{1,3,5,7,9}U Z S T ===，则图中阴影部分表示的集合是（ ▲ ）
A. {1,3,5}
B. {1,2,3,4,5}
C. {7,9}
D. {2,4} 【答案】D
【命题意图】本题考查集合运算，venn 图．简单题． （2）若i 为虚数单位，图中复平面内的点Z 表示复数z ，z 为复数z 的共轭复数，
则表示复数21z i
+的点是（ ▲ ）
A. 点E
B. 点F
C. 点G
D. 点H
【答案】D.22(12)(1i)
12,
1312
z i z i i i --=+==--+． 【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算．简单题． （3）在等比数列{}n a 中，若23454,16,a a a a +=+=则89a a +=（ ▲ ）
A. 128
B. －128
C. 256
D. －256
【答案】C.
【命题意图】本题考查等比数列的基本运算．简单题． （4）“1m =-”是“直线(21)10330mx m y x my +-+=++=和直线垂直”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
第1题图
【答案】A.
【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识．简单题. （5）两圆221:10C x y +-=和222:450C x y x +--=的位置关系是（ ▲ ）
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 外离 【答案】C.
【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系．简单题．
（6）对于实数集R 上的可导函数()f x ，若满足2(32)()0x x f x '-+<，则在区间[1,2]上必有（ ▲ ）
A. (1)()(2)f f x f ≤≤
B. ()(1)f x f ≤
C. ()(2)f x f ≥
D. ()(1)f x f ≤或()(2)f x f ≥
【答案】Ａ
【命题意图】本题考查导数的应用，函数的单调性．中等题．
（7）若实数,x y 满足条件01001x y x y x +≥??
-+≥??≤≤?
，则3x y |-|的最大值为（ ▲ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】B.
【命题意图】本题考查线性规划，考查数形结合能力．中等题．
（8）函数()sin()f x A x ω?=+(其中0,0,||2A π
ω?>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右
平移3
π
个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ▲ ）
A.()sin 2f x x =
B.()sin 2f x x =-
C.()sin(2)3f x x π=-
D.2()sin(2)3
f x x π
=+
【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换．中等题．
（9）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左焦点1F ，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P ，若线
段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ▲ ）
A.
B. C. 3
D. 【答案】D.
【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质，考查运算求解能力．较难题．
（10）如图，在ABC ?中，AD AB ⊥
，BC =，1AD
=，则AD AC ?
等于（ ▲
）
A.
B. D. 【答案】B. ()AD AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC ?=+=?+
?=?
2
|||cos |AD BD ADB AD =?∠=
【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义．较难题．
D C
B A 第10题图
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
（11
）函数()f x =的定义域是 ▲ ．
（12）ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2s i n c a C =，4bc =，则ABC ?的面积是 ▲ ．
【答案】1.
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式．简单题．
（13）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底
长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是
空间想象能力．简单题． （14）执行下面的程序框图，输出的T = ▲ ．
【答案】12
【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力．中等题．
（15）已知函数211,(0)
()22,(0)x x f x x x x ?-≤?=??-+>?（），对于下列命题：
①函数()f x 的最小值是0；
②函数()f x 在R 上是单调递减函数； ③若()1,1f x x ><-则；
④若函数()y f x a =-有三个零点，则a 的取值范围是01a <<； ⑤函数()y f x =关于直线1x =对称．
其中正确命题的序号是___▲___．（填上你认为所有正确命题的序号）． 【答案】③④
【命题意图】本题考查分段函数的性质，考查理解能力和数形结合能力．较难题．
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本题满分12分）
已知函数2()cos(2)2sin 3
f x x x π
=-+，x R ∈．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；
第14题图
T >第(13)题图 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
（Ⅱ）当[]2
x π
∈0，时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值．
（16）【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．
解：(Ⅰ
) 211
()cos(2)2sin cos 221cos 22cos 213
2
2
f x x x x x x x x π=-+=+-=-+ sin(2)16
x π
=-+.
所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由262
x k ππ
π-=+
，得对称轴方程为,23
k x k Z ππ
=
+∈.………6分 （Ⅱ）当[0]2x π∈，时， 2666x ππ5π-≤-≤，所以当262x ππ-=，即3
x π
=时，max ()2f x =；当
266
x ππ
-
=-，即0x =时，min 1()2f x =．…………………………12分
（17）（本题满分12分）
2013年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与 2.5PM 有关. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，
也称为可入肺颗粒物. 2.5PM 日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：
某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的 2.5PM 日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. （Ⅰ）分别求出甲、乙两市 2.5PM 日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好； （Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率. （17）【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识，考查学生运用数学知识解决实际问
题的能力. 简单题．
解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85；乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.
344267717985636x +++++=
=甲，314845657386
586
x +++++==乙．
因为x x >甲乙，所以乙市的空气质量较好. ……………………6分
（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天数据为,,,a b c d ，超标的两天数据为,m n ，则6天中抽取两天的所有情况为：
,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn ，基本事件总数为15.
记“恰有一天空气质量超标”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：
,,,,,,,am bm cm dm an bn cn dn ，
事件数为8. 所以8()15P A =
. 即恰有一天空气质量超标的概率为8
15
.……………………12分 （18）（本题满分12分）
已知函数2()5ln 6f x x ax x =+-（a 为常数），且()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
（18）【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识．中等题． 解：（Ⅰ）∵2()5ln 6f x x ax x =+-，∴5
()26(0)f x ax x x
'=+->；又∵()f x 在点(1,(1))f 处的切线
平行于x 轴，∴(1)5260f a '=+-=，得1
2
a =． …………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知21()5ln 62f x x x x =+-，∴265(1)(5)
()(0)x x x x f x x x x
-+--'==>； (8)
分
由()0f x '>得1x <，或5x >；由()0f x '<，15x <<．………………………………………………10分
∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0，1) 和 (5，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 5 )． (12)
分
（19）（本题满分13分）
如图，已知四边形ABCD 为梯形， AB CD ∥，60ADC ∠=° ，四边形ABEF 为矩形，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，1
22
AD DC AF AB ===
=，点G 为AE 的中点． （Ⅰ）求证： CG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求证：平面ACF ⊥平面BCE ； （Ⅲ）求三棱锥F ACG -的体积．
（19）【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体
第19题图
积的计算，考查空间想象能力．中等题．
解：（Ⅰ）取AF 中点H ，连,D
H G H ．∵G 为对角线AE 的中点，∴ GH EF ∥，且1
2
G H E F =，
∴四边形CDHG 为平行四边形，即CG ∥DH ．又∵CG ?平面ADF ，DH ?平面ADF ，∴CG ∥平面ADF ．…………………………………4分
（Ⅱ）∵四边形ABEF 为矩形，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，∴FA ⊥平面ABCD ，∴FA BC ⊥；∵四边形ABCD 为梯形， AB CD ∥，且60ADC ∠=°，∴=120DAB ∠°．又在ADC ?中，60ADC ∠=°，且2AD DC ==，∴=2AC ，=60DAC ∠°，∴=60CAB ∠°．于是在ABC ?中，由=2AC ，4AB =，
=60CAB ∠°及余弦定理，得BC =222AC BC AB +=，∴A C B C ⊥．∴BC ⊥平面ACF ，又
∵BC ?平面BCE ，∴平面ACF ⊥平面BCE ．……………………9分
（Ⅲ）作CM AB ⊥，垂足为M ，由平面ABEF ⊥平面ABCD 得CM ⊥平面ABEF ．易求得
CM =，所以三棱锥F ACG -的体积
1111
833412F ACG C AFG AFG ABEF V V S CM S CM --?==?=??=?=．……13分
（20）（本题满分13分）
已知等差数列{}n a 和公比为q (1)q >的等比数列{}n b 满足：111a b ==，22a b =，53a b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈均有[]2112(1)n n n a b S n n λ++-->+成立，试求实数λ的取值范围．
（20）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法，考查运算求解能力、推理论证能力．中等题．
解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，根据题意，得2
114d q
d q
+=??
+=?，解得0,1d q ==（舍去），或
2,3d q ==，
所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：21n a n =-，13n n b -=．………………………………5分
(Ⅱ)23111223311335373(21)3n n n n S a b a b a b a b n -=++++=?+?+?+?++- ① 所以2313133353(23)3(21)3n n n S n n -=?+?+?++-+- ②
①
－
②，得
12
3
1
3(13)
212(3333)(21)312(21)3(22)3213
n n n
n n n S n n n ----=+++++--=+?--=--- ，
∴ (1)31n n S n =-+；…………………………………………………………………………9分
所以2
(21)3(22)3n
n
n n n n λ??+-->+??，化简并整理，得213n n n
λ++>．……………………………10分
令213n n n n c ++=，则22222
12122(1)(1)(32)(33)223333
n n n n n n n n n n n n n n n c c +++++++++++-+--=-==．
∵*n N ∈，∴2220n -≤，∴对*n N ?∈，1n n c c +≤，∴max 12()9n c c ==
，故2
9
λ>．…………13分
（21）（本题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,(1,0)F 为其右焦点，离心率为12.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若点1
(0,)2E ，问是否存在直线:l y kx m =+，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且
()()0EM EN EM EN +?-=
．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（21）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力．较难题．
解：（Ⅰ）由题意知：1c =，∵离心率1
2
c e a =
=，∴2a =，2223b a c =-=，故所求椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=． (4)
分
（Ⅱ）假设存在这样的直线:l y kx m =+满足题意，设1122(,),(,)M x y N x y ，MN 的中点为00(,)G x y ．
因为()()0EM EN EM EN +?-= ，所以EM EN ||=||
，所以MN EG ⊥．…………………………5分
由22
143
y kx m x y =+???+
=??，得222(34)84120k x kmx m +++-=．根据题意，
2222644
(34)(41
2)0k m k m ?=-+->，得223k m +>．且122
834km x x k +=-
+，所以
12024234x x km x k +=
=-+，00
2
334m y kx m k =+=+．………8分 ∵MN EG ⊥，∴0MN EG ?= ，即2102101
()()()02
x x x y y y -?+-?-=，
∴2100002111()()022y y x y x k y x x -+?-=+?-=-，∴22431
()023434km m k k k -+?-=++．
解得0k =，或2
1(34)2m k =-+．………………………………………………………………10分
当0k =时，:l y m =
（m ，显然符合题意；当21
(34)2m k =-+时，代入2243k m +>，
得222134(34)4k k +>+，解得11
22
k -<<．
综上所述，存在这样的直线l ，其斜率k 的取值范围是11
(,)22
-．…………………………13分
www.zx https://www.doczj.com/doc/f23776639.html,