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2014年高考数学总复习教案:第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算

2014年高考数学总复习教案:第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算
2014年高考数学总复习教案:第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算

第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算(对应学生用书(文)、(理)28~

29页)

1. (选修22P 7例4改编)已知函数f(x)=1+1

x ,则f(x)在区间[1,2],????12,1上的平均变化率分别为________.

答案:-1

2

,-2

解析:f (2)-f (1) 2-1=-12;

f (1)-f (1

2

1-12

=-2. 2. (选修22P 12练习2改编)一个物体的运动方程为s =1-t +t 2,其中s 的单位是m ,t 的单位是s ,那么物体在3 s 末的瞬时速度是_______m/s.

答案:5

解析:s′(t)=2t -1,s ′(3)=2×3-1=5.

3. (选修22P 26习题5)曲线y =1

2x -cosx 在x =π6处的切线方程为________.

答案:x -y -π12-3

2

=0

解析:设f(x)=12x -cosx ,则f′????π6=12+sin π6=1,故切线方程为y -????π12-3

2=x -π6,

化简可得x -y -π12-3

2

=0.

4. (选修22P 26习题8)已知函数f(x)=(x -2)2

x +1,则f(x)的导函数f′(x)=________.

答案:x 2+2x -8(x +1)2

解析:由f(x)=x 2-4x +4

x +1

,得

f ′(x)=(2x -4)×(x +1)-(x 2-4x +4)×1(x +1)2=x 2+2x -8

(x +1)2

.

5. (选修22P 20练习7)若直线y =1

2x +b 是曲线y =lnx(x>0)的一条切线,则实数b =

________.

答案:ln2-1

解析:设切点(x 0,lnx 0),则切线斜率k =1x 0=12,所以x 0=2.又切点(2,ln2)在切线y =

1

2x +b 上,所以b =ln2-1.

1. 平均变化率

一般地,函数f(x)在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)

x 2-x 1.

2. 函数f(x)在x =x 0处的导数

设函数f(x)在区间(a ,b)上有定义,x 0∈(a ,b),当Δx 无限趋近于0时,比值

Δy

Δx

=f (x 0+Δx )-f (x 0)

Δx __,无限趋近于一个常数A ,则称f(x)在点x =x 0处可导,并称该常

数A 为函数f(x)在点x =x 0处的导数,记作f′(x 0).

3. 导数的几何意义

导数f′(x 0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率. 4. 导函数(导数)

若f(x)对于区间(a ,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f′(x).

5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′=0 (C 为常数);

(2) (x n )′=nx n -

1; (3) (sinx)′=cosx ; (4) (cosx)′=-sinx ;

(5) (a x )′=a x lna(a>0且a ≠1); (6) (e x )′=e x ;

(7) (log a x)′=1x log a e =1

xlna __(a>0,且a ≠1);

(8) (lnx)′=1

x

.

6. 导数的四则运算法则

若u(x),v(x)的导数都存在,则 (1) (u±v)′=u′±v′; (2) (uv)′=u′v +uv′; (3) ????u v ′=u′v -uv′v 2

(4) (mu)′=mu′ (m 为常数). [备课札记

]

题型1 平均变化率与瞬时变化率

例1 某一运动物体,在x(s)时离出发点的距离(单位:m)是f(x)=2

3x 3+x 2+2x.

(1) 求在第1s 内的平均速度; (2) 求在1s 末的瞬时速度;

(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s ?

解:(1) 物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f (1) -f (0)1-0=11

3 m/s.

(2)

Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)

Δx

=23(1+Δx )3+(1+Δx )2+2(1+Δx )-113Δx

=6+3Δx +2

3(Δx)2.当Δx →0时,Δy Δx →6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6m/s.

(3)

Δy Δx =f (x +Δx )-f (x )Δx

=23(x +Δx )3+(x +Δx )2+2(x +Δx )-????23x 3+x 2+2x Δx

=2x 2+2x +2+2

3

(Δx)2+2x·Δx +Δx.

当Δx →0时,Δy

Δx →2x 2+2x +2,令2x 2+2x +2=14,解得x =2 s ,即经过2 s 该物体

的运动速度达到14 m/s.

备选变式(教师专享)

在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s =10t +5t 2(s 的单位为m ,t 的单位为s).求:

(1) t =20s ,Δt =0.1s 时的Δs 与Δs

Δt

(2) t =20s 时的瞬时速度.

解:(1) Δs =s(20+Δt )-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05 m. Δs Δt =21.050.1

=210.5 m/s. (2) 由导数的定义,知在t =20s 的瞬时速度为

v(t)=Δs Δt =10(t +Δt )+5(t +Δt )2-10t -5t 2

Δt

=5Δt 2+10t·Δt +10Δt Δt

=5Δt +10t +10.

当Δt →0,t =20 s 时,v =10×20+10=210 m/s.

答:t =20s ,Δt =0.1 s 时的Δs 为21.05 m ,Δs

Δt 为210.5 m/s ,

即在t =20s 时瞬时速度为210 m/s. 题型2 利用导数公式、求导法则求导 例2 求下列函数的导数.

(1) y =1

x +x 3;

(2) y =e x lnx ; (3) y =tanx ; (4) y =x ????x 2+1x +1x 3; (理)(5) y =

ln (2+3x )

x

. 解:(1) y′=-12x -3

2+3x 2.

(2) y′=e x ????lnx +1x .(3) y′=1cos 2x

. (4) y′=3x 2-2x 3.(5) y′=2

x (2+3x )-ln (2+3x )x 2.

备选变式(教师专享)

求下列函数的导数. (1) y =(2x 2+3)(3x -2); (2) y =lnx x

; (3) y =

11-x +1

1+x

; (4) y =x -sin x 2cos x

2;

(理)(5) y =2x +ln(1-5x).

解:(1) y′=18x 2-8x +9;(2) y′=1-lnx

x 2;

(3) y′=

2

(1-x )2

(4) y′=1-1

2cosx ;

(5) y′=2x lnx +

55x -1

. 题型3 利用导数的几何意义解题

例3 已知函数f(x)=

ax

x 2

+b

,且f(x)的图象在x =1处与直线y =2相切. (1) 求函数f(x)的解析式;

(2) 若P(x 0,y 0)为f(x)图象上的任意一点,直线l 与f(x)的图象切于P 点,求直线l 的斜率k 的取值范围.

解:(1) 对函数f(x)求导,得

f′(x)=a (x 2+b )-ax (2x )(x 2+b )2=ab -ax 2

(x 2+b )2.

∵ f(x)的图象在x =1处与直线y =2相切,

∴ ?????f′(1)=0,f (1)=2, 即?

????ab -a =0,

1+b ≠0,a

1+b

=2, ∴ a =4,b =1,∴ f(x)=4x

x 2+1

.

(2) ∵ f′(x)=4-4x 2(x 2+1)2,∴ 直线l 的斜率k =f ′(x 0)=4-4x 20

(x 2

0+1)2

=4????2(x 20+1)2-1x 20

+1,

令t =1

x 20+1,t ∈(0,1],则

k =4(2t 2-t)=8????t -142-12, ∴ k ∈????-1

2,4. 变式训练

(1) 已知曲线y =13x 3+4

3,求曲线过点P(2,4)的切线方程;

(2) 求抛物线y =x 2上点到直线x -y -2=0的最短距离.

解:(1) 设曲线y =13x 3+4

3与过点P(2,4)的切线相切于点A ????x 0,13x 30+43, 则切线的斜率k =x 20,切线方程为y -????13x 30+43=x 2

0(x -x 0),即y =x 20x -23x 30+43. 因为点P(2,4)在切线上,

所以4=2x 20-23x 30+43

,即x 30-3x 20+4=0, 解得x 0=-1或x 0=2,

故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.

(2) 由题意得,与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2的切线对应的切点到直线x -y -2=0距离最短,设切点为(x 0,x 20),则切线的斜率为2x 0=1,所以x 0

=12

,切点为????12,14,切点到直线x -y -2=0的距离为d =

????

12-14-22

72

8

.

1. (2013·大纲)已知曲线y =x 4+ax 2+1在点(-1,a +2)处切线的斜率为8,则a =________.

答案:-6

解析:y′=4x 3+2ax ,由题意,k =y′|x =-1=-4-2a =8,所以a =-6.

2. (2013·南通一模)曲线f(x)=f′(1)e e x -f(0)x +1

2

x 2在点(1,f(1))处的切线方程为________.

答案:y =ex -12

解析:由已知得f(0)=f′(1)

e ,

∴ f(x)=f′(1)e e x -f′(1)e x +12x 2

∴ f ′(x)=f′(1)e e x -f′(1)

e

+x ,

∴ f ′(1)=f′(1)e e -f′(1)

e +1,即f′(1)=e ,

从而f(x)=e x -x +1

2x 2,f ′(x)=e x -1+x ,

∴ f(1)=e -1

2

,f ′(1)=e ,

故切线方程为y -????e -12=e(x -1),即y =ex -12

. 3. (2013·南京三模)记定义在R 上的函数y =f(x)的导函数为f′(x).如果存在x 0∈[a ,b],

使得f(b)-f(a)=f ′(x 0)(b -a)成立,则称x 0为函数f(x)在区间[a ,b]上的“中值点”,那么函数f(x)=x 3-3x 在区间[-2,2]上“中值点”的个数为________.

答案:2

解析:f(2)=2,f(-2)=-2,f (b )-f (a )b -a =1,f ′(x)=3x 2-3=1,得x =±23

3∈[-

2,2],故有2个.

4. (2013·盐城二模)若实数a 、b 、c 、d 满足a 2-2lna b =3c -4

d =1,则(a -c)2+(b -d)2的最

小值为________.

答案:2

5

(1-ln2)2

解析:∵ a 2-2lna b =3c -4

d

=1,

∴ b =a 2-2lna ,d =3c -4,∴ 点(a ,b)在曲线y =x 2-2lnx 上,点(c ,d)在曲线y =

3x -4上,(a -c)2+(b -d)2的几何意义就是曲线y =x 2-2lnx 到曲线y =3x -4上点的距离最小值的平方.考查曲线y =x 2-2lnx(x>0)平行于直线y =3x -4的切线,∵ y ′=2x -2x

令y′=2x -2

x =3,解得x =2,∴ 切点为(2,4-2ln2),该切点到直线y =3x -4的距离d

=|3×2-4+2ln2-4|32+(-1)2=2-2ln210就是所要求的两曲线间的最小距离,故(a -c)2+(b -d)2的最小值为d 2=2

5

(1-ln2)2.

1. 已知函数f(x)=e x -f(0)x +1

2x 2,则f′(1)=____.

答案:e

解析:由条件,f(0)=e 0-f(0)×0+12×02=1,则f(x)=e x -x +1

2x 2,所以f′(x)=e x -1+

x ,所以f′(1)=e 1-1+1=e.

2. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =-(x -2)2,直线l 与C 1、C 2都相切,则直线l 的方程是____________.

答案:y =0或y =4x -4

解析:设两个切点的坐标依次为(x 1,x 21),(x 2,-(x 2-2)2

),由条件,得?

????2x 1=-2x 2+4,x 2

1+[]-(x 2-2)2x 1-x 2=2x 1,解得?????x 1=0,x 2=2或?????x 1=2,x 2=0,从而可求直线方程为y =0或y =4x -4.

3. 已知函数f(x)=xlnx ,过点A ????-1

e 2,0作函数y =f(x)图象的切线,则切线的方程为________.

答案:x +y +1

e

2=0

解析:设切点T(x 0,y 0),则k AT =f′(x 0),∴

x 0lnx 0

x 0+1e

2

=lnx 0+1,即e 2x 0+lnx 0+1=0,设h(x)=e 2x +lnx +1,当x>0时h ′(x)>0,∴ h(x)是单调递增函数,∴ h(x)=0最多只有一个根.又h ????1e 2=e 2×1e 2+ln 1e 2+1=0,∴ x 0=1e 2.由f ′(x 0)=-1得切线方程是x +y +1

e

2=0. 4. 已知函数f(x)=lnx ,g(x)=1

2ax 2+bx(a ≠0),设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象

C 2交于两点P 、Q ,过线段PQ 的中点R 作x 轴垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R ,使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行?若存在,求出点R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

解:设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),且0<x 2<x 1,则点M 、N 的横坐标均为x 1+x 22

.

∴ C 1在点M 处的切线斜率为k 1=1x |x =x 1+x 22=2

x 1+x 2

C 2在点N 处的切线斜率为k 2=ax +b|x =

x 1+x 22=a (x 1+x 2)

2

+b , 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行, 则k 1=k 2,即

2

x 1+x 2

=a (x 1+x 2)2+b.

∵ P 、Q 是曲线C 1

、C 2

的交点,∴ ???lnx 1

=1

2ax 21+bx 1

lnx 2

=1

2ax 22

+bx 2

两式相减,得lnx 1-lnx 2=????12ax 21+bx 1-????12ax 22+bx 2, 即lnx 1-lnx 2=(x 1-x 2)??

?

?

a (x 1+x 2)2+

b , ∴ lnx 1-lnx 2=2(x 1-x 2)x 1+x 2,即ln ????x 1x 2=2????

x 1x 2-1????

x 1x 2+1.

设u =x 1

x 2>1,则lnu =2(u -1)(u +1),u >1(*).

令r(u)=lnu -2(u -1)(u +1),u >1,

则r′(u)=1u -4

(u +1)2=(u -1)2u (u +1)2

.

∵ u >1,∴ r ′(u)>0,∴ r(u)在(1,+∞)上单调递增, 故r(u)>r(1)=0,则lnu >2(u -1)

(u +1)

这与上面(*)相矛盾,所以,故假设不成立.

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.

1. 求函数的导数有两种方法,一是利用导数定义,这种方法虽然比较复杂,但需要了解;二是利用导数公式和运算法则求导数,这是求函数导数的主要方法,其关键是记住公式和法则,并适当进行简便运算.

2. 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:

(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率,即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.

(2) 切点既在曲线上,又在切线上,切线有可能和曲线还有其他的公共点.

(3) 与导数几何意义有关的综合性问题,涉及到三角函数求值、方程和不等式的解,关键是要善于进行等价转化.

请使用课时训练(B )第11课时(见活页).

[备课札记]

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版

2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版 教学目标: 1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义; 理解导函数的概念和意义; 2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转 化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。 教学重点: 1、导数的求解方法和过程; 2、导数符号的灵活运用 教学难点: 1、导数概念的理解; 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程: 一、情境引入 在前面我们解决的问题: 1、求函数在点(2,4)处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(,故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是,求时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(,故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数和中,当()无限趋近于0时,()都无限趋近于一个常数。 归纳:一般的,定义在区间(,)上的函数,,当无限趋近于0时,x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ,则称在处可导,并称A 为在处的导数,记作或, 上述两个问题中:(1),(2) 三、几何意义:我们上述过程可以看出 在处的导数就是在处的切线斜率。 四、例题选讲 例1、求下列函数在相应位置的导数 (1), (2), (3), 例2、函数满足,则当x 无限趋近于0时, (1) (2)

变式:设f(x)在x=x0处可导, 1.无限趋近于1,则=___________ (4)无限趋近于1,则=________________ (5)当△x无限趋近于0, x x x f x x f ? ?- - ? +) 2 ( ) 2 ( 0所对应的常数与的关系。 总结:导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例3、若,求和 注意分析两者之间的区别。 例4:已知函数,求在处的切线。 导函数的概念涉及:的对于区间(,)上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作。 五、小结与作业

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y=e ax-ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x-y+1=0,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y=e ax-ln(x+1),∴y′=a e ax- 1 x+1 ,∴当x=0时,y′=a-1.∵ 曲线y=e ax-ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x-y+1=0,∴a-1=2,即a=3.故选D. 答案 D 2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 解析∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴令x=1,得f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) 解析f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1 e D.- 1 e 解析y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=1 x ,设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=x 0= 1 x ,切线方程为y-ln x0= 1 x (x-x0),因为切线过点(0,0),所

以-ln x 0=-1,解得x 0=e ,故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则 g ′(3)=( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-1 3,∴f ′(3)=- 1 3 ,∵g (x )=xf (x ),∴g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3),又由题图可知f (3)=1,所以g ′(3)=1+3×? ???? -13=0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数, f ′(x )为f (x )的导函数,若f ′(1)=3,则a 的值为________. 解析 f ′(x )=a ? ? ???ln x +x ·1x =a (1+ln x ),由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a , 又f ′(1)=3,所以a =3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________. 解析 设x >0,则-x <0,f (-x )=ln x -3x ,又f (x )为偶函数,f (x )=ln x -3x , f ′(x )=1 x -3,f ′(1)=-2,切线方程为y =-2x -1. 答案 2x +y +1=0

高等数学-导数的概念-教案

例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解:x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?, 即: x.cos (sin x)'= 类似可得:sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数,记作 f’ (x 0);同样,如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在,则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数,记作 f’ +(x 0) . 显然,f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导,则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ],则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续,其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计三

1.2.1 函数的概念 教学设计 一、教材分析: 本节内容为《1.2.1函数的概念》 ,是人教A 版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一,在初中,学生已经学习过函数的概念,它是从运动变化的观点出发,把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,最初的函数概念几乎等同于解析式.后来,人们逐渐意识到定义域与值域的重要性,而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系,往往先要弄清各个变量的物理意义,这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点,那么有些函数就很难进行深入研究.例如: 对这个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,也说不出x 的物理意义是什么.但用集合、对应的观点来解释,就十分自然.函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函数概念是函数思想的基础,它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具.函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切,函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念,让学生感受建立函数模型的过程和方法. 二、学情分析: 在学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系,同时,虽然函数比较抽象,但是函数现象大量存在于学生的周围,教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析,从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念,对学生的抽象、归纳能力要求比较高,能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解. 三、教学目标: (一)知识与技能 理解函数的定义,能用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的三要素. (二)过程与方法 通过三个实例共性的分析到函数概念的形成,再对三个实例进行拓展,让学生对函数概念进行辨析,体现从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,渗透了归纳推理,实现了感性认识到理性认识的升华. (三)情感、态度与价值观 通过从实际问题中抽象概括函数的概念,培养学生的抽象概括能力,体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数,感受数学的抽象性和简洁美. 四、教学重点与难点: (一)教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,并能用集合与对应的语言来刻画函数. (二)教学难点 函数概念的理解及符号“)(x f y =”的含义. ?? ?=.01)(是无理数时,当是有理数时, ,当x x x f

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 例2:设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

例3;已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-, 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例4:已知R a ∈,函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=. (Ⅰ)如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围.

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ (I )求()f x 的单调区间; (II )若()f x 在[0,1]上单调递增,求a 的取值范围。子集思想 例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=,kx x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数. (1) 求实数k 的取值范围; (2) 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.

函数的概念 省优质课

函数的概念 河南师大附中 司艳鸽 【教学目标】 一、知识与技能 通过丰富实例,引导学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,学习用集合与对应的语言来刻画函数,感悟对应关系在刻画函数概念中的作用,正确理解函数的概念. 二、过程与方法 让学生经历函数概念由特殊到一般的抽象归纳过程,体会运用函数的思想探索现实世界中某些变化的规律,学会运用数学语言进行表达和交流,提高学生的归纳总结能力. 三、情感与态度 学生通过主动探究、合作学习、相互交流,培养刻苦钻研、勇于探索的优秀品质,领会“数学源于实践、服务于实践”的本质.通过体验成功,提高学习数学的兴趣, 树立学好数学的信心,养成锲而不舍的钻研精神和科学态度. 【教学内容】 一、学情分析 在初中,学生已经学习过函数的概念,并且了解函数是变量之间的相互依赖关系.高一学生已初步具备对数学问题的合作探究能力,但是学生分析概括能力、逻辑思维能力尚有不足,这些因素造成了部分学生学习数学兴趣不高,信心不足. 二、地位和作用 函数是中学数学的核心内容,函数的概念在高中数学中,起着承上启下的作用,它是对初中所学概念的完善与深化.在初中,从变量的物理背景入手,用函数表示两个变量之间的依赖关系,而高中,是用集合与对应的语言进一步刻画函数.这是对函数本质特征的再认识,也是学生在函数认识上的一次飞跃. 三、重点难点 重点:用集合与对应的语言刻画函数的概念,正确理解函数的概念. 难点:函数的概念及符号() y f x =的理解. 【教学过程】 一、准备环节 分发导学案,通过导学案引导学生回顾初中函数的定义及相关知识,并预习新知. 二、学习环节 1.联系生活 引入新课 实例1: 一枚炮弹发射后,经26s 落到地面击中目标,炮弹的射高为845m ,且炮弹距地面的 高度h (单位: m )随时间t (单位: s )变化的规律是2 1305h t t =-. 实例2: 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况:

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一:函数的平均变化率 (1)概念: 函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x ),其比值叫做函数从到+△x的平均变化率,即。 若,,则平均变化率可表示为,称为函数从 到的平均变化率。 注意: ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当取值越小,越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量,;而是函数值的改变量,可以是0。函数的平均变化率是0,并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。 (2)平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示,函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。 事实上,。 作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二:导数的概念: 1.导数的定义: 对函数,在点处给自变量x以增量,函数y相应有增量。若极限存在,则此极限称为在点处的导数,记作或,此时也称在点处可导。 即:(或) 注意: ①增量可以是正数,也可以是负数; ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。 2.导函数: 如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数。 注意:函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在 处的函数值,反映函数在附近的变化情况。 3.导数几何意义: (1)曲线的切线 曲线上一点P(x 0,y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y),经过点P、Q作曲线的割线PQ, 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ,y ), 即△x→0时,割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为,则当△x→0时,割线PQ斜率的极限,就是切线的斜率。 即:。

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高中数学导数概念的引入

一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?, 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =',即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ,即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二.导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值; (2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题

高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,22()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+)(0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 ()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102,函数33)()(22 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ)'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时'()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a ->恒成立,只需22(2)3f a >+, 即22233a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ) a ax x x f ++='23)(2. 由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵3>a ,∴01242>-=?a a .

01导数与导函数的概念

导数与导函数的概念 教学目标: 1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义; 理解导函数的概念和意义; 2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义, 培养转化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。 教学重点: 1、导数的求解方法和过程; 2、导数符号的灵活运用 教学难点: 1、导数概念的理解; 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程: 一、情境引入 在前面我们解决的问题: 1、求函数2)(x x f =在点(2,4)处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(,故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ,求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(,故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中,当x ?(t ?)无限趋近于0时, t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳:一般的,定义在区间(a ,b )上的函数)(x f ,)(b a x o ,∈,当x ?无限趋近于0时,x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ,则称)(x f 在o x x =处可导,并称A 为)(x f 在o x x =处的导数,记作)('o x f 或o x x x f =|)(', 上述两个问题中:(1)4)2('=f ,(2)o o t t V 2)('= 三、几何意义: 我们上述过程可以看出

导数的基本概念

导数的运算及几何意义 【知识回顾】 1.导数概念 ①函数在点处的导数 : (x o )==深刻 理解“函数在一点处导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系。 函数y=f (x )在点x 0处的导数()就是导函数()在点x= x 0处的函数值,即()=()|x=x0. ②导函数:导函数也简称导数。 ③导数的几何意义:函数f (x )在区间处的几何意义,就是曲线y=f (x )在 点p (,f ())处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点P (,f ())处切线的斜率是()。相应地,切线方程为y-y 0=()(x-x 0)。 2.常用的导数公式 ①C x f =)((C 为常数),则_________;②n x x f =)(,则_____________ ③x x f sin )(=,则_______________; ④x x f cos )(=,则___________ ⑤x a x f =)(,则_______________; ⑥x e x f =)(,则___________ ⑦x x f a log )(=,则_____________; ⑧x x f ln )(=,则___________ 3.导数的基本运算法则 法则1:_________________])()([='±x g x f ;法则2:_________________])()([='?x g x f 法则3:_________________]) ()([='x g x f

4.复合函数求导:___________________________ 【经典例题】 例题1.已知函数x e x x f 223)(2-=,则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0( ) 4.A 2.B 2.-C 4.-D 变式练习:已知函数x x x f 23)(3-=,则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0( ) A.4 B.2 2.-C D.4- 例题2.求下列函数的导数 ①65324+--=x x x y ②x x y sin = ③1 1+-=x x y ④)3 2sin(π+=x y ⑤)3(log 2x y = 变式练习:以下运算正确的个数( ) ①21)1(x x =' ②();sin cos x x -=' ③() ;2ln 22x x ='④()10 ln 1lg x x -=' 1.A B.2 C.3 D.4 例题 3.已知函数)(x f y =在R 上可导,若函数)4()4()(22x f x f x F -+-=,则 _____)2(='F 变式练习:已知函数()()()()x e f x x f x f x f ln 2,+'='且满足的导函数为(其中e 为自 然对数的底数),则()='e f ( ) A.1 B.-1 C.-e D.1--e 例题 4.等比数列{}n a 中,4,281==a a ,函数)())(()(821a x a x a x x x f ---=Λ,则 ______)0(='f A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 变式练习:设函数()()()()=='-++=k f k x k x k x x x f 则且,6)0(,32( ) A.0 B.-1 C.3 D.-6 例题5.过点(1,0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________ 变式练习:曲线1 2-=x x y 在点)1,1(处的切线方程为____________________ A. 02=--y x B. 02=-+y x B. 054=-+y x D. 054=--y x 例题6.设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行,则a 的值为____

高一数学函数概念精品获奖课件 公开课优质课比赛用

课题:函数铜陵市二中:严良华

例1:一辆汽车以30千米/时的速度行驶,写出行驶的路程S(千米)与行驶时间t(时)的关系式。解: S = 30t 这里,路程S的数值是随时间的数值变化的,S与t 可以取不同的数值,是变量,而30的数值保持不变,是常量。

常量与变量必须存在于一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量,需看两个方面: ①看它是否在一个变化过程中; ②看它在这个变化过程中的取值情况。 再看一个例子:

例1:一辆汽车以30千米/时的速度行驶,写出行驶 的路程S (千米)与行驶时间t (时)的关系式。 解: S = 30t 2 …… S 值 …… 1.5 1 0.5 t 值 15 30 45 60 在变量t 的关系式S=30t 中,给变量t 一个值,就可以相应地 得到变量S 的唯一的一个值,我们说变量t 是自变量,变量 S 是t 的函数。

一般地,设在一个变化的过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它反应,那么就说x是自变量,y 是x的函数。 注意:1. 一个过程 2. 两个变量 3. y值的唯一性 ①在y=x2中,y是x的函数吗? ②在y2=x中,y是x的函数吗?

例2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,求矩形面积S(m2)与一边长l(m)之间的关系式,并指出式中的常量与变量,自变量与函数 解:S=l(30-l)。 其中30是常量,S与l是变量; l是自变量,S是l的函数。 变式练习:用60m篱笆围成矩形,矩形的一边靠墙,另三边用篱笆围成: ①写出矩形面积S与平行于墙的一边长l的关系式。 ②写出矩形面积S与垂直于墙的一边长d的关系式。 并指出两式中常量与变量,函数与自变量。

高中数学导数题型分类非常全

导数 1.导数公式:'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则:'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2 ()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则:(整体代换) 例如:已知2()3sin (2)3f x x π =+,求'()f x 。 4.导数的物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义:导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数:对于给定区间[,]a b 内,若'()0f x >,则()f x 在[,]a b 内是增函数;若'()0f x <,则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π =- (3)2(1)x y e x =-

(4)3235y x x =-- (5)231 x x y x -=+ (6)221 1()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为22 3s t t =+(t 是时间,s 是位移),则物体在 时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程(导数的几何意义的应用) 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点,则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+,则点P 的坐标是 。 6.若23ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=,则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x += -在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直,则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切,求切点P 的坐标及参数m 的值。

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念,理解导数的几何意义,通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1.一般地,函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为,平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度; 2.不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ,则割线PQ 的斜率为, 设x 1-x 0=△x ,则x 1 =△x +x 0,∴=PQ k ,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3.曲线上任一点(x 0,f(x 0))切线斜率的求法:x x f x x f k ?-?+= ) ()(00,当 △x 无限趋近于0时,k 值即为(x 0,f(x 0))处切线的,记为. 4.瞬时速度与瞬时加速度:位移的平均变化率: t t s t t s ?-?+) ()(00,称为;当无限趋近于0 时, t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数,这个常数称为t=t 0时的;速度的平均变化率: t t v t t v ?-?+)()(00,当无限趋近于0 时,t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数,这个常数 称为t=t 0时的. 【基础练习】 1.已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 . 2.A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1.已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数f(x)的平均变化率; ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ,n]上的平均变化率的特点; 练习:已知函数f(x)=x 2+2x ,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1,2]; ⑵[3,4]; ⑶[-1,1]; ⑷[2,3] 【课堂检测】 1.求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

《函数的奇偶性》公开课优秀教案

《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间:授课班级: 教材:广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》(广东高等教育出版社出版) 教材主要特点:这本教材注意与初中有关知识紧密衔接,注重基础,增加弹性,使用教材可以根据有关专业的特点,选用相关的章节,教学要求和练习内容分A、B两档,适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习,供全体学生学习,也是最低的要求;练习B的题目为拓展延伸的练习,供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求:教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性,奇、偶函数的性质(课本不要求证明)是作为拓展延伸的内容,以学生自学为主,教师适当给予辅导。教材已经分层编写,有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点:会计072班共有学生62人,男生6人,女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分,上课纪律良好,学生上课注意力比较集中,使用了这本教材后,绝大多数学生喜欢学数学,学生的学习成绩越来越好。

教学目标 知识与技能目标:使学生了解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数奇偶性的方法,培养学生判断、推理的能力。 过程与方法目标:通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想 情感、态度、价值观目标:通过数学的对称美来陶冶学生的情操.使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。 教 学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教 学难点 弄清的关系. 教 学手段 多媒体辅助教学(展示较多的函数图像) 【教学过程】: 一、创设情境,引入新课 [设计意图:从生活中的实例出发,从感性认识入手,为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象.如美丽的蝴蝶是左右对称的(轴对称)。现实生活中有许多以对称形式呈现的事物,如汽车的车前灯、音响中的音箱,汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体,这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答:1、中心对称图形的概念(提醒学生:中心对称——图

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