习题8-1图
(a)
第8章 杆类构件的强度和刚度设计
8-1 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为F = 4kN ，旋紧螺栓螺纹的内径d 1 = 13.8mm ，固定螺栓内径d 2 = 17.3mm 。两根螺栓材料相同，其许用应力][σ= 53.0MPa 。试校核各螺栓之强度是否安全。
解：0=∑B M ，F A = 2kN 0=∑y F ，F B = 6kN 8.13108.13π4
20004π20006
221=???===
-d A F A A A σMPa ][σ<，安全。 5.25103.174
π4
60006
2=???==-B B B A F σMPa ][σ<，安全。
8-2 现场施工中起重机吊环的每一侧臂AB 和BC ，均由两根矩形截面杆组成，连接处A 、B 、C 均为铰链，如图所示。已知起重载荷F P = 1200kN ，每根矩形杆截面尺寸比例为b /h = 0.3，材料的许用应力][σ= 78.5MPa 。试设计矩形杆的截面尺寸b 和h 。
解：由对称性得受力图（a ） 0=∑y F ，P N cos 4F F =α 5
2
23
P
N 10275.34209609604101200cos 4?=+?
?=
=α
F F N
][3.02N N σσ≤==h F
A F 118.0105.783.010275.3]
[3.06
5=???=≥
σN
F h m
4.35m 0354.0118.03.03.0==?≥=h b mm ∴ h = 118mm ，b = 3
5.4mm
8-3 图示结构中BC 和AC 都是圆截面直杆，直径均为d = 20mm ，材料都是Q235钢，其许用应力][σ= 157 MPa 。试求该结构的许可载荷。（有人说：根据垂直方面的平衡条件，有P N N 45cos 30cos F F F AC BC =?+?，然后将])[4/π(2N σd F B C =，])[4/π(2N σd F A C =代入后即可得许可载荷，这种解法对吗？为什么？） 解：0=∑x F ，A B F F 2= （1） 0=∑y F ，02
3
22P =-+F F F B A （2） ∴ B P F F 231+=
（3）
24
π
][d F B ?≤σ
N k 4.671015710204π
231][4
π2316422
P =?????+=
?+≤
-σd F ` （4）
由（1）、（2）得：
P
F 2F N
F
习题8-2图
习题8-3图
B
(a)
习题8-4图
28.904
π
][2)31(22)31(22P =?+=+=d F F A σkN （5） 比较（4）、（5）式，得 [F P ] = 67.4 kN
讨论：习题中所给“有人说”的解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。
8-4 图示的杆系结构中杆1、2为木制，杆3、4为钢制。已知各杆的横截面面积和许用应力如下：杆1、2为A 1 = A 2 = 4000mm 2，][w σ= 20MPa ，杆3、4为A 3 = A 4 = 800mm 2，][s σ= 120MPa 。试求许可载荷[F P ]。
解：图（a ）0=∑y F ，P 335F F =
0=∑x F ，P 3134
54F F F -=-=
图（b ）0=∑x F ，P 3434
54F F F ==
0=∑y F ，P 323
5
F F F -=-=
||||21F F >
][|
|w 1
1σ≤A F
][3
4
w 1P σA F ≤ 6010201040004
3
][4366w 1P =????=≤-σA F kN
43F F >
][s 3
3
σ≤A F
3P ][3
5A F σ≤ 6.5710800101205
3
][53663P =????=≤-A F σkN
∴ [F P ] = 57.6 kN
8-5 图示杠杆机构中B 处为螺栓联接，螺栓材料的许用切应力][τ= 98.0MPa ，且不考虑螺栓的挤压应力。试确定螺栓的直径。
解：0=∑C M ，36.352
50
R ==B F kN
][4π22R τd F B ?≤（螺栓与杠杆两面接触）
2.15m 01516.0106
0.9821036.354]
[π243
R ==????=≥
πτB
F d mm
8-6 图示的铆接件中，已知铆钉直径d = 19mm ，钢板宽b = 127mm ，厚度δ= 12.7mm ，铆钉的许用切应力][τ= 137 MPa ，挤压许用应力][c σ= 314 MPa ；钢板的拉伸许用应力][σ= 98.0 MPa ，挤压许用应力][c σ= 196 MPa 。假设4个铆钉所受剪力相等。试求此连接件的许可载荷。
解：钢板轴力图（a ）
(a)
F
(b) 习题8-5图
(a)
习题8-7图
习题8-8图
习题8-9图 )
(P
I d b F -=
δσ
4.134101087.121098)(66I P =????=-=-d b F δσkN )
2(43P II
d b F -=δσ 7.14798897.123
4
)2(34II P =???=-=
σδd b F kN 84.38194
π
1374π][][22=??=?=d F ττkN
][4
P τF F
=，4.15504.384P =?=F kN
8.757.1219314][][c c =??=?=δσd F kN 2.303][4c P ==F F kN 比较上述结果得： [F P ] = 134 kN
8-7 两块钢板的搭接焊缝如图所示，两钢板的厚度δ相同，δ= 12.7mm ，左端钢板宽度b = 127mm ，轴向加载。焊缝的许用切应力][τ= 93.2MPa ；钢板的许用应力][σ= 137MPa 。试求钢板与焊缝等强度时（同时失效称为等强度），每边所需的焊缝长度。 解：[F P ] =][σδb
][2]
[45cos 2][45cos 2P τσδσδδτ≤=?=?=l b l b l F
1322
.932137
127][2][=??=
≥
τσb l mm
根据设计规范，应在强度计算结果上加δ2，所以取 l = 158mm 。
8-8 木接头结构受力如图所示。已知木材的许用切应力][τ= 6.5MPa 。试校核木接头剪切强度是否安全。
解：14.61015761076
3
Q =???==-A F τMPa ][τ<，安全。
8-9 直径为12.7mm 的钢杆AB ，固定在木构件的端部圆孔内，受力如图所示。试： 1．若木构件端C 虚线所示的剪切面上最大切应力不得超过0.62MPa ，确定b 值； 2．计算木构件中的挤压应力。
解：1．][Q
ττ≤=A
F
66
31062.010
1962105.4?≤???-，191m 191.0=≥b mm
习题8-6图
4
1F P
F
(a)
习题8-10图
2． 65.18107.12194500
6
Pc c =??==
-A F σMPa
8-10 木梁由柱支承如图所示，测得柱中的轴向压力为F P = 75 kN 。已知木梁所能承受的许用挤压应力
][c σ= 3.0 MPa 。试确定柱与木梁之间垫板的尺寸。 解：][c P
c σσ≤=A
F
66
3100.3101401075?≤???-b ，6.178≥b mm
8-11 图示承受轴向压力F P = 40 kN 的木柱由混凝土底座支承，底座静置在平整的土壤上。已知土壤的挤压许用应力][c σ= 145 kPa 。试： 1．确定混凝土底座中的平均挤压应力； 2．确定底座的尺寸。 解：1．33.3101001201040101001206
36
P
c =???=
??=--F σMPa
2．
]
[c 2
P σ≤b
F ，
525m 525.010*******]
[3
3c P ==??=
≥
σF b mm
8-12 等截面木杆受轴向载荷F P 作用如图所示，杆由A 、B 两部分用斜面胶接而成。已知胶接缝的许用切应力][τ= 517 kPa ，许用拉伸应力][σ= 850kPa 。试确定木杆的许可载荷。
解：A F
x P =σ
][)]70(2cos[2
2
70σσσσ≤?-?+
=?-x
x
3P 10850]140cos 1)[8.9
14(21-?≤?+?F 4.905P ≤F N
][|)]70(2sin[2
|||70τστ≤?-?=?-x
3P 10517140sin 8.9
1421-?≤???F 4.200P ≤F N ，∴ [F P ] = 200 N
8-13 塑料板条A 和B 由两块厚3mm 、形状如图所示的板用胶粘接成一体。结合面胶层的剪切强度
极限b τ= 900 kPa ，所加的轴向载荷F P = 1.5 kN 。试求工作安全因数。
习题8-11图
习题8-12图
习题8-13图
(a)
习题8-14图 解：
MPa 5.010
)30206015(2105.163
P =??+???==-A F τ= 500 kPa 8.1500
900b b ===
ττn
8-14 木构件A 和B 由两片层合板用胶粘接在一起，承受轴向载荷作用，如图所示。已知A 和B 的空隙为8mm ；板宽b = 100mm ；胶层的许用切应力][τ= 800 kPa 。试确定层合板的长度l 。
解：][τ≤A F
36
3
108001022
)
8(1024?≤??-?-l b
3001080010010
2483
3
=???≥
--l
∴ 308≥l mm
8-15埋入混凝土中的钢筋，承受轴向载荷作用，如图所示。已知钢筋直径d ，钢筋的拉伸许用应力][σ，钢筋与混凝土之间的许用切应力][τ。若不计二者之间的正压力，试求使外加载荷达到最大值时钢筋需埋入混凝土的长度l （用d 、][σ和][τ表示）。
解：][4
][][2
1P σπσd A F =
=
l d A F ??==π][][][2P ττ
∴ ][4π][π2
στd dl =
l d l 4]
[σ=
8-16 图示结构中BCDE 为刚性梁，连杆AB 为钢制，其强度极限b σ= 450 MPa ，工作安全因数n b = 3.5；A 、B 、D 三处销钉的许用切应力][τ= 50MPa 。已知AB 角度、载荷和尺寸如图所示。试： 1．计算连杆AB 所需的横截面面积； 2．设计A 、B 、D 三处销钉的直径。 解：0=∑B M
08.06.02.184.020R =?+??-?-D F F R D = 17.2 kN
0=∑y F ，02.182035sin R =?--+?D AB F F 6.2135sin 2
.176.29=?
-=
AB F kN
5.3104506
?=
A F A
B 000168.010
450106.215.36
3
=???=
A m 2 = 168 mm 2
F AB = A ][4
π][21ττd =
5.23m 02345.010
50π106.214]
[π46
3
1==????==
τAB
F d mm
∴ d A = d B = 23.5 mm ；][4
][22
2R τπτd A F D ==
9.20m 02093.01050π102.174]
[π46
3R 2==????==
τD
F d mm
习题8-15图
习题8-16图
(a)
习题8-17图
习题8-19图
P
BD
C
R
(a)
8-17 图示结构中，C 处销钉直径d C = 8 mm ，B 和D 处的销钉直径d B = d D = 12 mm 。已知三处销钉的剪切强度极限均为b τ=100 MPa ，连杆BD 的强度极限b σ=250 MPa ，各部分安全因数均要求n b = 3.0。试求结构的许可载荷[F P ]。
解：按连杆BD 强度 667.26100
.3250
10282066b
b
=??
???==-n A
T BD σkN （1）
按B 、D 销钉剪切强度
54.7100
.3100
210124π24π662b b 2=?????=??=-n d F D BD τkN （2）
按C 处销钉剪切强度
35.3100
.3100
21084π24π662b b 2R =?????=??=-n d F C C τkN （3）
由图（a ）：0=∑A M ，180380R R ?=?D C F F
074.7180
380
R R ==
C D F F kN （4） 比较（1）、（2）、（4），F R D = 7.074 kN 0=∑x F ，72.3R P =-=C BD F F F kN
8-18 关于弯曲问题中根据][max σσ≤进行强度计算时怎样判断危险点，有如下论述，试分析哪一种论
述正确。
（A ）画弯矩图确定M max 作用面。
（B ）综合考虑弯矩的大小与截面形状；
（C ）综合考虑弯矩的大小、截面形状和尺寸以及材料性能； （D ）综合考虑梁长、载荷、截面尺寸等。
正确答案是 C 。
8-19 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A 都相等，试分析哪一种形式截面梁的强度最高。
正确答案是 A 。
8-20 铸铁T 字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力F P 作用线沿铅垂方向。若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的强度。 正确答案是 B 。
习题8-21图
习题8-22题
习题8-23题
(d-1)
2
1
(c-1)
(b-1)
(a-1)
8-21 图示四梁中q 、l 、W 、][σ均相同。试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的。 （A ）强度：图a ＞图b ＞图c ＞图d ； （B ）强度：图b ＞图d ＞图a ＞图c ； （C ）强度：图d ＞图b ＞图a ＞图c ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。 正确答案是 B 。
解：2amax 8
1
ql M =
2bmax 401ql M = 2cmax 2
1
ql M =
2dmax 100
7
ql M = 8-22 图示四梁中F P 、l 、W 、][σ均相同，不考虑轴力影响。试判断关于它们强度高低的下述结论中
哪一个是正确的。
（A ）强度：图a ＝图b ＝图c ＝图d ； （B ）强度：图a ＞图b ＞图d ＞图c ；
（C ）强度：图b ＞图a ＞图c ＞图d ；
（D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。
正确答案是 B 。 解：cmax dmax bmax amax M M M M <<< ∴选 (B)。
8-23 铸铁制简支梁承受集中力偶M 0如图所示。试判断四种截面（截面面积均为A ）形状中，哪一种可使许可外力偶矩M 0最大。
正确答案是 C 。 解：截面面积相同时 D C B A I I I I =<<
y I
M =σ 2C
0max C 34y I M =σ-， 2C 0m a x
C 32y I M =σ+
( a) 习题8-25图
习题8-26图
2D 0max D 32y I M =
σ-， 2D
m a x
D 34y I M =σ+ 由于铸铁抗压强度高于其抗拉强度，故正确答案选：C 。
8-24 图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响时，并于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述。试判断哪一种是正确的。 （A ）大大降低梁的强度和刚度；
（B ）对强度有较大影响，对刚度的影响很小可以忽略不计； （C ）对刚度有较大影响，对强度的影响很小可以忽略不计； （D ）对强度和刚度的影响都很小，都可忽略不计。 正确答案是 B 。
解：max max y I M =σ，l F M p max 4
1
=，h s 2I I =，故有孔时
强度下降一半。 EI l F w 483
p max =
，最大挠度与整个梁各种截面I 有关，因绝大部分截面I 不变，故刚度影响很小，可以忽略不计。
8-25 普通钢制简支梁受集中力如图所示。为提高梁的刚度，试采取如下哪一种措施：
（A ） 改用高强度钢； （B ）采用等强度梁； （C ）将梁中心部分挖去；
（D ）在总载荷不变的前提下，将集中载荷变为分布载荷；在横截面面积不变的条件下，将梁制成空心梁。 正确答案是 D 。
解：改成分布载荷，可使最大弯矩降低；制成空心截面
梁，可提高惯性矩，则由y I
M
=σ知，应选：D 。
8-26 T 形截面外伸梁，受力与截面尺寸如图所示，其中C 为截面形心，710136.2?=z I mm 4。梁的材料为铸铁，其抗拉许用应力+][σ= 30MPa ，抗压许用应力-][σ= 60MPa 。试校核该梁是否安全。 解：1．0=∑B M ，F R A = 37.5kN （↑） 251502
1
2-=??-=B M kN ·m
0R Q =-=qx F F A
75.050
5
.37R ===
q F x A m 1.142
12
R =-?=qx x F M A C kN ·m 2． C 截面
8.85130.010
36.21101.14130.05
3max =???=?=-+
z C I M σMPa +>][σ， 不安全
3． B 截面
5.58103
6.2105.01025050.063max =???=?=-+z B I M σMPa +>][σ 152130.0m a x =?=-
z
B I M σMPa ->][σ ∴ 不安全。
8-27 加固后的吊车主梁如图所示。梁的跨度l = 8m ，许用应力][σ= 100MPa 。试分析当小车行走到什么位置时，梁内弯矩最大，并计算许可载荷（小车对梁的作用可视为集中力）。 RA
F
RB
F
习题8-24图
习题8-28图
解：1．小车行至梁中间时，梁内弯矩最大。
P P 1242F F
M =?=
823
81103467.1)16367512
675(21010755.1?=??+?+?=z I mm 4 4351
110113.8mm 10113.8166
-?=?==
z z I W m 3 ][11
σ≤z W M ，即64
P 1010010
113.82?≤?-F 56.40P ≤F kN
（1）
2．小车行至离两端1.4 m 处
P P
2155.14.18)
4.18(F F M =?-= 4110922.6-?=z W m 3
][22
σ≤z W M ，即64
P 1010010
922.6155.1+-?≤?F 9.59P ≤F kN （2）
比较（1）、（2），得 [F P ] = 40.56 kN
8-28 为了起吊重W = 300kN 的大型设备，采用一台150kN 和一台200kN 的吊车及一根辅助梁AB ，如图所示。已知钢材的][σ= 160MPa ，l = 4m 。试分析和计算：
1．设备吊在辅助梁的什么位置（以至150kN 吊车的间距a 表示），才能保证两台吊车都不会超载？ 2．若以普通热轧工字型钢作为辅助梁，确定工字型钢型号。 解：1．0=∑A M )(1501a l W l -= )(30041501a l -=? a 1 = 2m 0=∑B M 2200Wa l =
667.2300
4
2002002=?==
W l a m ∴ 667.2m 2≤≤a m 2． a 1 = 2m 时
3002150max 1=?=M kN ·m
][1
max 1σσ≤=W M
63
max 111016010300][??=
=σM W 411075.18-?≥W m 3
a 2 = 2.667m 时
6.266)66
7.24(200max 2=-?=M kN ·m max 1M <
故由W 1值选工字钢型号为：No.50a ，其W = 1860cm 3
%8.01875
15
||11==-W W W ，误差不大，故取No.50a 工字钢。
习题8-30图
习题8-29图
α α 8-29 支承楼板的木梁如图所示，其两端支承可视为简支，楼板受均布面载荷p = 3.5kN/m 2的作用。已知木梁跨度l = 6m ，楼板间距a = 1m ；木材的][σ= 10MPa ，木梁截面尺寸b /h = 2/3。试求b 和h 各为多少。
解：木梁受力图（a ）
pal ql F A 2
1
2R ==
22R max 8
1
)2(212pal l q l F M A =-?= ][8963
28132
22max max σσ≤=?==h pal
h
h pal W M 242.010********.39][8936
2
33
2=??????=≥σpal h m = 242 mm 取h = 242 mm ∴ 16132==h b mm
8-30 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知][σ= 160MPa 。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。 解：1．F R A = F R B = 180kN （↑）
75.885.0102
1
5.01802=??-?==D C M M kN ·m
1002102
1
5.116021802max =??-?-?==M M E kN ·m
175105.0180Q =?-=C F kN ][max max
σσ≤=W
M
46
3
max 1025.610
16010100][-?=??=≥σM W m 3 查型钢表，选工字钢No.32a ：
W = 692.2 cm 2，I z = 11075.5 cm 4
46.27=z z S I
cm
E 截面：
5.144max max ==W
M
σMPa
5.144313r =-=σσσMPa ][σ<
2． A ＋、B －
截面：
691026.27105.9101802
33
Q max =????==--z z dI S F τMPa
13824max 2
max 3r ===ττσMPa ][σ<
3．C －、D ＋
截面： 2.1161010755.1101451075.888
3
3=????=
--x σMPa
MPa
46.491010755.1105.9105.15215130101759
3*
=????????=
?=
τ-z
z
C xy dI S F Q
pa
q = (a)
(a)
a a
M
(c)
6.15242
23r =+=xy x τσσMPa ][σ<
∴ 选No.32a 工字钢安全。
8-31 厚度δ= 8mm 的箱形截面梁，受力如图所示。已知][σ= 150Mpa ，试设计截面宽度b ，并用形状改变比能准则对梁的强度作全面校核。 解：1．F R A = F R B = 37.5kN （↑） 154.05.37=?=C M kN ·m F Q C = 37.5 kN
204.0258.05.37=?-?=D M kN ·m F Q D = 12.5 kN
2． ][08.0max σσ≤?=z D D I M
612
3
3
3
101501012
144
)16(16008
.01020?≤??--???-b b
28.72≥b mm
取b = 72.28 mm 时，算得6106673.10-?=z I m 4 此时，150max =D σMPa
][r4σσ=安全，一般取b = 72 mm 即可。 3． D 截面G 点：
135072.0=?=z D G I M
σMPa
22.3106673.1010161043946105.126
393*
Q =??????=
?=
---z
z
D G I S F δτMPa
1.1352
2.33135322224r =?+=+=τσσMPa ][σ< 4． C 截面G 点：
101072.0=?=z C G I M
σMPa
66.9106673.1010161043946105.376
393*
Q =??????=
?=
---z
z
C G I S F δτMPa
4.1023224r =+=τσσMPa ][σ<
故取b = 72 mm 。
8-32 图示4.5m 长的四根小梁，一端支承在长10.5m 的大梁AB 上，另一端支承于混凝土墙上。每根小梁上承受集度为q = 16 kN/m 的均布载荷。已知材料的][σ= 165 MPa ，且大、小梁均采用普通热轧工字型钢。试选择用于大梁和小梁的最小型号，并应用形状改变比能准则对大梁AB 的强度作全面校核。 解：1．小梁CE ，图（a ）
2max 81
)2(ql l M M G ==，][1
max σ≤W M
66
2
3max 11024510
1655.410168
1
][-?=????=≥σM W m 3 选工字钢No.20b ，其W = 250 cm 3 2． 大梁AB ，图（b ）
2525.35.4max =?===q M M M D C kN ·m F Q C = 4.5q = 72 kN
先按C 截面上最大正应力粗选：
][2max σσ≤=W M
36
3
max 2105273.110
16510252][-?=??=≥
σM W m 3
C
习题8-32图
(a)
F R A F R B
Q F (K N )
(b)
习题8-33图
（1）初选No.45c 工字钢，W = 1570 cm 3，I z = 35280 cm 4 C 截面上翼缘与腹板交界点上应力：
86.1471035280102071025210)18225(8333
=????=?-=---z C I M σMPa
88.71035280105.15102161815410728
393*Q =????????=
?=
---z
z
C I S F δτMPa
5.1483224r =+=τσσMPa ][σ<
（2）若选用No.45b 工字钢，其W = 1500 cm 3
，I z = 33760 cm 4
168101500102526
3
max max =??==-W M σMPa %5%8.1%100165
3
][][max <=?=-σσσ，工程上是允许的。
此时C 截面翼缘和腹板交界点的应力： 5.1541033760207
.010252207.08
3max =???=?=-z I M σMPa 336.91033760105.13102161815210728
333*Q =????????=
?=
---z
z
C I S F δτMPa
1553224r =+=τσσMPa ][σ<
故可选No.45b 工字钢。
8-33 边长为a 的正方形截面杆受力与支承如图中所示。已知材料的][σ= 50 MPa ，试求边长a 。
解：0=∑x F
598.230cos 3=?=Bx F kN 0=∑A M
By F 120602
1
3=??
F By = 0.75 kN
]
[6
60
75.010598.23max σσ≤?+?=+=a a W
M
A F C
Bx 632
1050270
2598?≤+a
a 0270259810503
6≥--?a a 53.18m 01853.0=≥a mm
8-34 No.32a 普通热轧工字钢简支梁受力如图所示。已知F = 60 kN ，][σ= 160 MPa 。试校核梁的强度。 解：危险截面位于F P 作用处，危险点在截面的左下角点或右上角点。 由型钢表：
W y = 70.758 cm 3，W z = 692.2 cm 3
其左下角点：
)
5cos 5sin (25cos 2125sin 21max z
y z y z z
y y W W F W F W F W M W M ?+?=??+
??=+=P P P σ
(b)
(a)
习题8-38图 ][MPa 25.160)102.6925cos 10758.705sin (
10606
6
3σ≈=??
+???=-- 故安全。
8-35 图示柱子为直径d 变化的等强度实心回转体，载荷F P 不变。试将d 表示为d 0、x 、l 的表达式。 解：固定端：M = F P l
3
P π32d l
F W M ==σ （1）
x 截面：
3
P π32)()()(d x
F x W x M x M =
=
（2）
由（1）、（2）等强度要求：
3P 3
0P π32π32d x
F d l F = ∴ 31
0)(l
x
d d =
8-36 承受均布载荷q 的简支梁如图所示，梁为直径d 变化的等强度实心回转体。试将d 表示为d 0、x 、l 的函数。
解：22
1
21)(qx qlx x M -=
32
π)(3
d x W =
3
2max π)
(16)()()(d
x lx q x W x M x -==
σ 3
2max π4)2(d ql l
=σ )2
()(max max l
x σσ=
30
2
3
2π4π)
(16d ql d x lx q =
- 3
12
20])(4[
l x lx d d -=
8-37 轴受力如图所示。已知F P = 1.6kN ，d = 32mm ，E = 200GPa 。若要求加力点的挠度不大于许用挠度][w = 0.05mm ，试校核轴是否满足刚度要求。 解：查表6－1得
12
49362223222P 1032π1020010)48246(6
6410)24648294(048.0246.0106.1)
(6---??????+??--????=
--=b a l lEI
ba
F w C
][mm 0246.0m 1046.25w <=?=-，安全。
8-38 图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形，已知飞轮重W = 20 kN ，轴材料的E = 200GPa ，轴承B 处的许用转角][θ= 0.5°。试设计轴的直径。 解：由表6－1查得：
?≤????????=?
?=??
=5.0π
180π102003642120000π
1803π
180349P d EI Wal EI al F B θ 习题8-35图
习题8-36图
习题8-37图
习题8-40图
1117.0≥d m ，取d = 112mm 。
8-39 图示承受均布载荷的简支梁由两根竖向放置普通槽钢组成。已知q = 10kN/m ，l = 4m ，材料的][σ= 100MPa ，许用挠度][w = l /1000，E = 200GPa 。试确定槽钢型号。 解：1．强度：
2max 81
ql M =
][max σσ≤=z
W M
46
2
max 10210
1008410000][-?=???=≥σM W z m 3 每根槽钢 1002
1≥=z z W
W cm 3
选No.16a 槽钢，其W z = 108.3 cm 4 2．刚度： 100038454max l
EI ql w z ≤
= 49
31041667.010
2003841000
4100005-?=?????≥z I m 4
3.20832
1==
z
z I I cm 4 选No.22a 槽钢，其I z = 2393.9 cm 4
故最后选定两根No.22a 槽钢。
8-40 图示普通热轧工字型钢制的简支梁，在中点承受集中载荷。F P 力作用线与y 轴夹角10°。已知F P = 22kN ，l = 4m ，材料的][σ= 160MPa ，单位长度内的许用挠度][w /l = 1/400，E = 200GPa 。试确定工字型钢型号。
解：][210cos 21210sin 21P P max σσ≤??+??=+=
z
y z z
y y W F W F W M W M 633max
1016010cos 102210sin 1022?≤??+??=z
y W W σ （1）
1． 试选工字钢No.25a ，其：
W y = 48.283 cm 3，W z = 401.88 cm 3 代入（1）左边：
][MPa 133max σσ<=
2．再选No.22b ，其
W y = 42.7 cm 3，W z = 325 cm 3 代入（1）：
][MPa 156max σσ<=，强度仍满足。
刚度：梁中点的挠度，4103570-?=z I m 4，810239-?=y I m 4 33
P 3P 10046.44810cos 48-?=??=
=
z
z
y y EI l F EI l F w m
33
P 3P 10656.104810sin 48-?=??==
y
y z z EI l F EI l F w m 3
22104.11--?=+=z y w w w m
400
1
][00285.04104.113=
>=?=-l w l w
%14400
14001
00285.0=-
，误差太大，不安全。 故再改选为No.25a ，其
习题8-39图
I y = 280.046 cm 4，I z = 5023.54 cm 4 38
9
310875.210
54.5023102004810cos 422000--?=??????=y w m
38
9
310094.910
046.280102004810sin 422000--?=??????=
z w m
3
2210538.9-?=+=z y w w w m
400
1
10384.23<
?=-l w ，安全。 故最后选定No.25a 工字钢。
8-41 为了使由No.28b 普通热轧工字型钢制成的AB 主梁能够承受F P = 240kN 的集中载荷，在其上设置副梁CD ，如图所示。已知主、副梁的许用应力均为][σ= 165MPa ，l 0 = 5m 。试求： 1．保证主梁不超载的副梁最小长度l ； 2．副梁所需的工字型钢型号。
解：1．No.28b 工字钢的W 1 = 534.29cm 3
][1σ≤W M
][4)
(10P σ≤-W l l F
66
3101651029.5344)
5(10240?≤??-?-l ，531.3≥l m ，取l = 3.531m
2． 副梁中：
l F M P max 41
=，][2
max σ≤W M
66
3max 21089.128310
1654531
.310240][-?=????=≥σM W m 3 选No.45a 工字钢作副梁。 3． 讨论：
本题副梁比主梁粗，未必符合实际，若将主梁选为No.40a 工字钢，其W = 1090cm 3，则l = 2m ，此时副梁选No.32b 工字钢，其W = 726.33cm 3。（由计算结果所知。）
8-42 矩形截面梁有图示四种可能承载方式。试确定截面F 上的最大正应力与最大切应力，并将四种情形下所得到的结果加以比较。
解：图（a ）?????=?=?=0m
k N 8.04.02)(Qa a F F M
图（b ）??
???=?=?=0m
k N 4.02.02)(Qb b F F M
图（c ）?????-=?=?=k N 2m
k N 6.03.02)(Qc c F F M
图（d ）?????=?=?=k N
2m
k N 4.17.02)(Qd d F F M
692
10333.8106
5020--?=??=W m 3
∴ （a ）：0m a
x a =τ 9610333.8108.063a max a =??==-W M τMPa （b ）：0m a
x b =τ
48b
max b ==
W
M τ
MPa
习题8-41图
(a)
习题8-42图
习题8-43图
习题8-44图 a a
(a) b
(b) c c (c) d (b) （c ）：3105020210232363
Qc max c =?????==-A F τMPa
72c max c ==W M
σMPa （d ）：323Qd
max d ==A
F τMPa 168d
max d ==W
M σMPa
8-43 图示正方形截面上受弯矩M z 、扭矩M x 和剪力F Q y 作用，进行强度计算时，其截面上可能的危险点是：
（A ）点a 和点b ； （B ）点b 和点c ； （C ）a 、b 、d 三点；
（D ）b 、c 、d 三点。 正确答案是 A 。
解：0=a σ,3
2Q 208.023h M h F x
y a +
=τ； 36h M
z b =σ,3
208.0h M x b =τ； 0=c σ,3
2Q 208.023h M h F x
y c -
=τ； 36h
M
z d =σ,0=d τ。
比较后知：a 比c 点危险，b 比d 点危险，故选：A 。
8-44 图示矩形截面上受弯矩M y 、M z （且M z ＞M y ）、扭矩M x 和剪力F Q z 作用，其截面上可能危险点是： （A ）点a 和点c ；
（B ）点a 、点b 和点d ； （C ）点a 、点d 和点c ； （D ）a 、b 、c 、d 四点。 正确答案是 D 。
解：2
13162122h b M h h b M h I M z z z z a -=?-=?-='σ
2
1
13116212
2hb M b hb M b I M y
y y y a -=?-=?-=''σ ∴??????=???
?
??+
-=0
662121
a y
z a hb M h b M τσ M a
(a-1)
M b (b-1) M c (c-1) F d (d-1)
a
b
h
（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面） 习题8-46图
习题8-45图
a
(a)
????
???'+=-=2
1111Q 21236hb c M c h b F h b M x
z b z b τσ
???
?
???
==
2
11216hb c M hb M x
c y c τσ
?????=+=
0662121d
y
z d hb M h b M τσ
比较后，a ，b ，c ，d 四点都可能是危险点。
8-45 图示圆截面轴的危险面上，受弯矩M y 、M z （M y ＝M z ）和扭矩M x 作用，其危险点是： （A ）点a 、b 、c 、d ；
（B ）点c ； （C ）点f 、g ； （D ）点e 、f 、g 。 正确答案是 C 。
解：∵z y M M =
W
M M x
z d c
b a 2
23
r 3
r 3r 3r +=σ=
σ=σ=σ
a x
z g f W
M M 3
r 223r 3r 2σσσ>+=
= ∴点f ，g 为危险点。
8-46 图示圆截面轴的危险面上受弯矩M y 、扭矩M x 和轴力F N x 作用，关于危险点的应力状态有下列四种，试判断哪一种是正确的。
正确答案是 B 。
解：A F W M x
y a N +
=σ（沿x 正向） A F W M x
y b N +-=σ p W M
x b a ==ττ
a τ沿y 负向，
b τ沿y 正向。
∴危险点在a 点（图a ） 正确答案选：B 。
8-47 圆截面轴的危险面上，受弯矩M y 、M z 、扭矩M x 和轴力F N x 作用，其最大切应力设计准则为
（A ）][222N σ≤+++W
M M M A F x z y x ； （B ）][)(4)()(
2P
22N σ≤+++W M
W M M A F x z y x ； (b)
c
(c)
d
(d)
习题8-49图
（C ）
][)(4)()(2P
22N σ≤+++W M W M W M A F x z y x ； （D ）][)(4)(2P
22
2N σ≤+++W M
W M M A F x z y x 。
正确答案是 D 。
8-48 钢制正方形截面轴，其危险截面上受弯矩M y 、扭矩M x 作用。若弯曲截面系数为W ，则强度设计准则有以下四种，试判断哪一种是正确的。
（A ）][σσ≤=W M y ，][2ττ≤=W M
x ，
（σ，τ为危险点的正应力和切应力）； （B ）
][2
2σ≤+W
M M x
y ；
（C ）][422στσ≤+，（σ，τ为危险点的正应力和切应力）； （D ）][)2(
4)(
2
2σ≤+W
M W M x y 。 正确答案是 C 。
8-49 图示电动机功率P = 9kW ，转速n = 715r/min ，皮带轮直径D = 250mm 。电动机轴外伸长度l = 120mm ，轴的直径d = 40mm ，已知][σ= 60MPa 。试用最大切应力准则校核轴的强度。 解：电机产生力矩：
2.1209549==n P
M x N ·m
)2(2P P F F D
M x -=
58.9612P ==D M F x
N
危险面：3π32
1
d W =
168.3463P =?=l F M N ·m M x = 120.2 N ·m 3.5822
3=+=
W
M M x
r σMPa ][σ<，安全。
8-50 传动轴受力如图示。若已知材料的][σ= 120MPa ，试设计该轴的直径。 解：T = F P r
5000P ==r
T
F N 受力图（a ）横放 25002
1P ===F F F Cy Ay N
危险面B ： M x = 500N ·m 37515.0=?=C y z F M N ·m 不计剪力影响 ][223r σσ≤+=W M M x
z
63
2
210120π50037532?≤+d
037575.0≥d m
取 d = 37.6mm
习题8-50图
z (a) M
习题8-52图
8-51 直杆AB 与直径d = 40mm 的圆柱焊成一体，结构受力如图所示。试确定点a 和点b 的应力状态，并计算4r σ。 解：1．5N -=x F kN ，400Q -=y F N 60150.0)6001000(=?-=x M N ·m 110275.0)6001000(-=?--=z M N ·m 2． 53.131032
40
π110104
40
π1059
3
62
3N =??+
???-=
+=--z
z x a W M A
F σMPa
7746.4P
==
W M x
a τMPa 86.157746.4353.133222
24r =?+=+=a a τσσMPa
a 点应力状态如图（a ）。
3． 979.310440π1056
23
N -=???-==-A F x b σMPa 252.5104
40π400
23101640π60236
293Q P =???+??=+=
--A F W M y x b τMPa 93.932
24r =+=b b τσσMPa
b 点应力状态如图（b ）。
8-52 折杆受力与尺寸如图所示。若已知折杆直径d = 63.5mm ，试确定点a 和点b 的应力状态，并计算4r σ。
解：1．点a 和点b 所在横截面上内力：（令F P = 12 kN ）
300
125
tan =α，?=62.22α，9231.0cos =α，3846.0sin =α
αcos P N F F x -=，αsin P Q F F y -=
150.0sin P ?=αF M x ，150.0cos P ?-=αF M y ， 210.0sin P ?-=αF M z
2． 32
πsin 21.04πcos 3P 2
P N d F d F W M A F z
z x a α
ασ+-=-= 1.35105.63πsin 10123221.010
5.63πcos 101249
33
62
3
=?????+
????-
=--ααMPa
77.13105.63πsin 10121615.016
π1sin 15.09
333P P =?????=?==-α
ατd F W M x a MPa 5.4277.1331.353)(22224r =?+=+=a a
a τσσMPa a 点应力状态如图（a ）。 3． 32
πcos 15.04
πcos 3
P 2P N d F d F W M A F y y x b α
ασ--=+=
60.69)105.638
15.01(105.63πcos 10124)815.01(πcos 43
6232P -=??+????=?+
-
=--αα
d d F MPa 96.1510
5.63πs i n 1012677.134πs i n 2377.13236232P Q P =????+=+=+=-α
ατd F A F W M y x b MPa 89.7496.15360.693)(222
24r =?+=+=b b a τσσMPa
b 点应力状态如图（b ）。
习题8-51图
(a) (b)
(a)
(b)
56°
习题8-53图
F Pr
F Pr
F Pr
F Pa
习题8-54图
8-53 图示传动轴，H 处为止推轴承，K 处为滚动轴承，轴传递功率P = 35kW ，
转速n = 270r/min ，皮带轮直径D 1 = 630mm ，皮带拉力F 1 = 2F 2，圆锥齿轮平均节圆直径D 2 = 166mm ，压力角α= 20°，轴的直径d = 85mm ，材料为45号钢，其][σ= 70 MPa 。试按形状改变比能准则校核该轴的强度。 解：P = 35kW ，n = 270r/min
12389549=?=n
P
M x kN ·m
因此该题已知条件同原书例题2－4，由例解知：危险截面为A ，危险截面上： 2887N -=x F N
2629=z M N
·m 3298=y M N ·m 1238-=x M N
·m
93
222221032
π329826294
π2887-?++=++
=σd d W M M A
F
y
z x N
46.701032
85π3298262910854
π
2887
9
32
262=??++
??=
--MPa
27.10108516π1238
16
π1238933
p =??==
=-d W M x τMPa 67.723224r =+=τσσMPa
%8.3%10070
67
.2][][4r =?=-σσσ，安全。
8-54 图示传动轴、轴上的斜齿轮A 上受有三个互相垂直的啮合力Pa F = 650N ，P τF = 650N ，Pr F = 1730N ，方向如图所示。图中D = 50mm ，l = 100mm 。若已知轴的许用应力][σ= 90MPa ，试按形状改变比能准则设计轴的直径。 解：由本书2-11题解的内力图知，危险截面上 650N -=x F N 25.16-=x M N ·m 5.32=y M N ·m
6.94=z M N ·m
先不计轴力影响
][75.02224r σσ≤++=
W
M M M x
z y
]
[75.0222σx
z y M M M W ++≥
第八章习题解答 第一节渣相的作用与形成 填空： 1. 熔渣对于焊接、合金熔炼过程的主要作用有机械保护作用、冶金处理作用和改善成形工艺性能作用。熔渣也有不利的作用，如强氧化性熔渣可以使液态金属增氧，可以侵蚀炉衬；密度大或熔点过高的熔渣易残留在金属中形成夹渣。 2. 熔渣是多种化合物构成的复杂混合物，按其成分可分为盐型、盐—氧化物型和氧化物型熔渣三类。氧化物型熔渣具有较强的氧化性，一般用于低碳钢、低合金高强钢的焊接。 3. 药皮焊条电弧焊时的熔渣来源于焊条药皮中的造渣剂。酸性焊条药皮中主要采用硅酸盐或钛酸盐作为造渣剂，药皮中含有的少量碳酸盐除了造渣的作用之外与药皮中的有机物作用相同，是用来造气。 4. 碱性焊条又称为低氢型焊条，药皮中不含具有造气功能的有机物而含大量的碳酸盐CaF2，前者在加热分解过程中形成CaO 或MgO 熔渣并放出CO2保护气体，后者除了造渣作用之外，还能减少液态金属中的氢含量。 5. 焊剂按制造方法分类可以分为熔炼焊剂与非熔炼焊剂两大类。熔炼焊剂是将一定比例的各种配料放在炉内熔炼，然后经过水冷粒化、烘干、筛选而制成的。非熔炼焊剂的组成与焊条药皮相似，按烘焙温度不同又分为粘结焊剂与烧结焊剂。 6. 钢铁熔炼熔渣的主要成分为各种金属的氧化物和少量CaF2。采用碱性炉熔炼所形成的熔渣中CaO 含量较多，而酸性炉熔炼所形成的熔渣中SiO2含量较多，两类熔炼炉对应的熔渣中FeO与MnO的含量相差不大。 7. 有色金属熔炼中熔渣主要来源于用于除气、脱氧或去夹杂而添加的熔剂，如铝合金精炼时采用多种氯化盐混合成的低熔点的熔剂。
第二节渣体结构及碱度 一、填空 1. 按照熔渣的分子理论的观点，液态熔渣是由自由状态化合物和复合状态化合物的分子所组成，而离子理论的观点认为液态熔渣是由正离子和负离子组成的电中性溶液。 2. 复合化合物就是酸性氧化物和碱性氧化物生成的盐。氧化物的复合是一个放热反应，当温度升高时渣中自由氧化物的浓度增加。 3. 熔渣的离子理论认为液态熔渣是由正离子和负离子组成的电中性溶液， 4. 离子在熔渣中的分布、聚集和相互作用取决于它的综合矩, 综合矩的计算表达式为离子电荷/离子半径。当温度升高时，离子的半径增大，综合矩减小，但它们之间的大小顺序不变。离子的综合矩越大，说明它的静电场越强，与异号离子结合的相互引力越大。 5. 熔渣的碱度定义为熔渣中的碱性氧化物与酸性氧化物浓度的比值。若比值小于1 为酸性渣，比值大于1 为碱性渣。 6. 离子理论把液态熔渣中各种氧化物所对应的自由氧离子的浓度之和定义为碱度，酸性渣与碱性渣的碱度临界值为零。 7. 一般情况下熔渣中的碱性氧化物容易生成自由氧离子，其对应的碱度系数大于零，而酸性氧化物容易捕获熔渣中的自由氧离子，生成复杂阴离子，其对应的碱度系数小于零。 二、多项选择 1. 焊接熔渣中常见的酸性氧化物包括：（a、d） a) TiO2；b) FeO ；c) MnO ；d) SiO2 2. 焊接熔渣中常见的碱性氧化物包括：（a、b、c） a) MgO ；b) ZrO ；c) CaO ；d) CaO·SiO2 3. 综合矩最大的正离子是：（c） a) Mn3＋; b) Ti4＋; c) Si4＋; d) Fe2＋
物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质
量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。
北京四中编稿老师：肖伟华审稿老师：肖伟华责编: 郭金娟 力的合成与分解 本节课我们需要掌握以下几个概念： 1、合力与分力； 2、力的合成、分解； 3、矢量与标量； 4、熟练掌握力的合成与分解的定则：平行四边形定则。 5、理解一种物理学处理问题的方法：等效替代法，并能用这种方法解决有关力学问题。 一、合力与分力： 在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。 二、力的合成与分解： 求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。 合力与分力有等效性与可替代性。求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。 三、力的平行四边形定则： 在中学阶段，我们主要处理平面力学中的共点力的合成与分解。 1、一条直线上的两个共点力的合成方法： 选定一定正方向，我们用“+”、“-”号代表力的方向，与正方向相同的力前面加“+”号，与正方向相反的力前面加“-”号。有了这种规定以后，一条直线上的力的合成就可以转化为代数加减了：当两个力的方向相同时，合力的大小等于两个分力数值相加，方向与分力的方向相同；当两个力的方向相反时，合力的大小等于两个分力数值上相减，方向与大的那个分力相同。 2、互成角度的共点力的合成、分解： 实验表明，两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，这就是力的平行四边形定则。 力的分解是合成的逆运算，即以表示合力的有向线段为对角线，作平行四边形，与合力作用点共点的两个邻边就表示两个分力的大小和方向。 在理解力的合成与分解时应注意的问题： 1）合力与分力在效果上是相同的，可以互相替代。在求力的合成时，合力只是分力的效果，实际并不存在；同样，在求力的分解时，分力只是合力产生的效果，实际并不存在。因此在进行受力分析时，不能同时把合力与分力都当作物体所受的力。
专练3 受力分析物体的平衡 一、单项选择题 1．如图1所示，质量为2 k g的物体B和质量为1 k g的物体 C用轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上．再将一个质 量为3 k g的物体A轻放在B上的一瞬间，弹簧的弹力大 小为(取g＝10 m/s2)() A．30 N B．0 C．20 N D．12 N 答案 C 2．(2014·上海单科，9)如图2，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力 F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向， 轨道对球的弹力为F N，在运动过程中() A．F增大，F N减小B．F减小，F N减小 C．F增大，F N增大D．F减小，F N增大 解析 对球受力分析，受重力、支持力和拉力，根据共点力平衡 条件，有：F N＝mg cos θ和F＝mg sin θ，其中θ为支持力 F N与竖直方向的夹角；当物体向上移动时，θ变大，故F N 变小，F变大；故A正确，BCD错误． 答案 A 3．(2014·贵州六校联考，15)如图3所示，放在粗糙水平面 上的物体A上叠放着物体B.A和B之间有一根处于压缩 状态的弹簧，物体A、B均处于静止状态．下列说法中正 确的是() A．B受到向左的摩擦力B．B对A的摩擦力向右 C．地面对A的摩擦力向右D．地面对A没有摩擦力 解析弹簧被压缩，则弹簧给物体B的弹力水平向左，因此物体B平衡时必受到A对B水平向右的摩擦力，则B对A的摩擦力水平向左，故A、B均错
误；取A 、B 为一整体，因其水平方向不受外力，则地面对A 没有摩擦力作用，故D 正确，C 错误． 答案 D 4．图4所示，物体A 置于水平地面上，力F 竖直向下作用于物 体B 上，A 、B 保持静止，则物体A 的受力个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 利用隔离法对A 受力分析，如图所示． A 受到重力G A ，地面给A 的支持力N 地， B 给A 的压力N B →A ， B 给A 的摩擦力f B →A ，则A 、 C 、 D 错误，B 正确． 答案 B 5．(2014·广州综合测试)如图5所示，两梯形木块A 、B 叠放在 水平地面上，A 、B 之间的接触面倾斜．A 的左侧靠在光滑的 竖直墙面上，关于两木块的受力，下列说法正确的是( ) A ．A 、 B 之间一定存在摩擦力作用 B ．木块A 可能受三个力作用 C ．木块A 一定受四个力作用 D ．木块B 受到地面的摩擦力作用方向向右 解析 A 、B 之间可能不存在摩擦力作用，木块A 可能受三个力作用，选项A 、C 错误，B 正确；木块B 也可能不受地面的摩擦力作用，选项D 错误． 答案 B 6．(2014·佛山调研考试)如图6所示是人们短途出行、购物 的简便双轮小车，若小车在匀速行驶的过程中支架与水平 方向的夹角保持不变，不计货物与小车间的摩擦力，则货 物对杆A 、B 的压力大小之比F A ∶F B 为( ) A ．1∶ 3 B.3∶1 C ．2∶1 D ．1∶2 解析 以货物为研究对象进行受力分析，如图所示，利用力 的合成法可得tan 30°＝F B ′F A ′ ，根据牛顿第三定律可知F B ＝F B ′、F A ＝F A ′，解得F A ∶F B ＝3∶1，选项B 正确．
力的合成与分解 课题力的合成与分解计划课时 2 节 教学目标1、理解合力与分力的概念。 2、理解共点力的概念 3、掌握力的合成方法。 4、掌握力的分解方法。 教学重点力的合成与分解 教学难点对实际问题进行正确的力的分解 教学方法探究法、讨论法 教学内容及教学过程 一、引入课题 物体往往会受到多个力的作用，如何求解物体所受的合力呢？ 二、主要教学过程 知识点一、力的合成和分解 1．合力与分力 (1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力。 (2)关系：合力和分力是等效替代的关系。 2．共点力 作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。 3．力的合成 (1)定义：求几个力的合力的过程。 (2)运算法则 ①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。 ②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。 图1 4．力的分解 (1)定义：求一个已知力的分力的过程。 (2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。 (3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
知识点二、矢量和标量 1．矢量：既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。 2．标量：只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。 三、典型例题分析 【例1】(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( ) A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍 B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变 D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大 解析F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，选项A正确；F1、F2同时增加10 N，F不一定增加10 N，选项B错误；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，选项C错误；若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，选项D正确。 【例2】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图4所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( ) 图4 A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定 B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向 C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向 D．由题给条件无法求合力大小 解析先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3如图所示，合力F12再与第三个力F3合成求合力F合。可见F合＝3F3。 答案 B 【例3】(多选)如图5所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO 绳的拉力为F A，BO绳的拉力为F B，则(注意：要求按效果分解和正交分解两种方法求解)( ) 图5 A．F A＝10 2 N B．F A＝10 N C．F B＝10 2 N D．F B＝10 N 解析效果分解法在结点O，灯的重力产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，分解示意图如图所示。
8-1 已知一组码的8个码组分别为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000），求第一组和第二组、第四组和第五组的码距、各码组的码重和全部码组的最小码距。 【解】（1）第一组和第二组的码距3=d （2）第四组和第五组的码距3=d （3）各组的码重分别为：0、3、3、4、3、4、4、3； （4）全部码组的最小码距3min =d 8-2 上题的码组若用于检错、纠错、同时检错和纠错，分别能检、纠错几位码？ 【解】因为最小码距3min =d 因此： 只用于检错时：211min min =-≤?+≥d e e d 能检2个错 只用于纠错时：12112min min =-≤?+≥d t t d 能纠1个错 同时用于纠错和检错时：)(1min t e t e d >++≥ 无解，说明该码不能同时用于纠错和检错。 8-3、给定两个码组（00000）、（11111）。试问检错能检几位？纠错能纠几位？既检错又纠错能检、纠几位？ 【解】因为最小码距4min =d 因此： 只用于检错时：311min min =-≤?+≥d e e d 能检3个错 只用于纠错时：12112min min =∴-≤?+≥t d t t d 能纠1个错 同时用于纠错和检错时：1;2)(1min ==?>++≥t e t e t e d 说明该码用在同时纠错和检错系统中：同时检出2个错码，纠
1个错码。 8-4 已知某线性码的监督矩阵为 ????? ?????=100110101010110010111H 列出所有许用码组。 【解】[]r T I P =???? ??????=100110101010110010111H ??????????=∴110110110111T P []????????????==∴1101000101010001100101110001P I K G 信息码组为： ??????????????????????????????????????????????????=11110111 10110011110101011001 0001111001101010 00101100 010*********D
解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 在△ABC 中，设,3,2π= -=+C A b c a 求B sin 的值。
中学物理受力分析经典例题 1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体. 2.对下列各种情况下的物体A 进行受力分析 3. 对下列各种情况下的物体A 进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑. 4.对下列各种情况下的A 进行受力分析（各接触面均不光滑） （1）沿水平草地滚动的足球 V （3）在光滑水平面上向右运动的物体球 （2）在力F 作用下静止水 平面上的物体球 F （4）在力F 作用下行使在 路面上小车 F V v （5）沿传送带匀速运动的物体 （6）沿粗糙的天花板向右运动的物体 F>G F A V （2）沿斜面上滑的物体A （接触面光滑） A V （1）沿斜面下滚的小球， 接触面不光滑. A V （3）静止在斜面上的物体 A （4）在力F 作用下静止在斜面上的物体A. A F （5）各接触面均光滑 A （6）沿传送带匀速上滑的 物块A A F 1）A 静止在竖直墙面上 A v （2）A 沿竖直墙面下滑 A （4）静止在竖直墙轻上的物体A F A （1）A 、B 同时同速向右行使向 B A F F B A （2）A 、 B 同时同速向右行 使向 （6）在拉力F 作用下静止 在斜面上的物体A F A （5）静止在竖直墙轻上的物体A F A
5．如图所示，水平传送带上的物体。 （1）随传送带一起匀速运动 （2）随传送带一起由静止向右起动 6．如图所示，匀速运动的倾斜传送带上的物体。 （1）向上运输 （2）向下运输 7.分析下列物体A 的受力：（均静止） （4）静止的杆，竖直墙面光滑 A （5）小球静止时的结点A A （6）小球静止时的结点A A α B A B A （光滑小球A ） A B α
力的合成与分解 【典型例题】 类型一、求合力的取值范围 例1、物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是( ) A.5 N,7 N,8 N B.5 N,2 N,3 N C.1 N,5 N,10 N D.10 N,10 N,10 N 【答案】C 【解析】分析A?B?C?D各组力中,前两力合力范围分别是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范围之内:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范围之内;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范围之内;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范围之内,故只有C中第三力不在前两力合力范围之内,C中的三力合力不可能为零. 【点评】共点的三个力的合力大小范围分析方法是:这三个力方向相同时合力最大,最大值等于这三个力大小之和;若这三个力中某一个力处在另外两个力的合力范围中,则这三个力的合力最小值是零. 举一反三 【变式】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？【答案】0≤F≤24 N 类型二、求合力的大小与方向 例2、如图所示，物体受到大小相等的两个拉力作用，每个拉力都是20 N，夹角是60°，求这两个力的合力． 【解析】本题给出的两个力大小相等，夹角为60°，所以可以通过作图和计算两种方法计算合力的大小． 解法1(作图法)：取5 mm长线段表示5 N，作出平行四边形如图甲所示，量得对角线长为35 mm.合力F大小为35 N，合力的方向沿F1、F2夹角的平分线． 解法2(计算法)：由于两个力大小相等，所以作出的平行四边形是菱形，可用计算法求得合力F，如图乙所示，【点评】力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确. 【高清课程：力的合成与分解例2】 例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F55个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为；如图，在A 点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为。
解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
一、选择题 1、粗糙的水平面上叠放着A和B两个物体，A和B间的接触面也是粗糙的，如果用水平力F拉B，而B仍保持静止，则此时() A．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力也等于F． B．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力等于零． C．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力也等于零． D．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力等于F． 2、如图所示,重力G=20N的物体，在动摩擦因数为0.1的水平面上向左运动， 同时受到大小为10N的，方向向右的水平力F的作用，则物体所受摩擦力大 小和方向是( ) A．2N，水平向左B．2N，水平向右C．10N，水平向左D．12N，水平向右 3、水平地面上的物体在水平方向受到一个拉力F和地面对它的摩擦力f的作用。在 物体处于静止状态的条件下，下面说法中正确的是：() A．当F增大时，f也随之增大B．当F增大时，f保持不变 C．F与f是一对作用力与反作用力D．F与f合力为零 4、木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25；夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm,弹簧的劲度系数为400N/m.系统置于水平地面上静止不动。现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上.如图所示.力F作用后( ) A.木块A所受摩擦力大小是12.5 N B.木块A所受摩擦力大小是11.5 N C.木块B所受摩擦力大小是9 N D.木块B所受摩擦力大小是7 N 5、如图所示，质量为m的木箱在与水平面成θ的推力F作用下,在水平地面上滑行，已知 木箱与地面间的动摩擦因数为μ，那物体受到的滑动摩擦力大小为() A．μmg B．μ (mg+F sinθ) C．F cosθD．μ(mg+F cosθ) 6、如图所示，质量为m的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成α角的拉力F 作用，恰好做匀速直线运动，则物体与水平面间的动摩擦因数为() A．F cosα/（mg－F sinα）B．F sinα/（mg－F sinα） C．（mg－F sinα）/F cosαD．F cosα/mg 7、如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量均为ｍ，A、B之间以及Ｂ与水平地面之间的动摩擦系数均为μ水平拉力F 拉着B物体水平向左匀速运动（A未脱离物体Ｂ的上表面）F的大小应为( ) A．2μmg B．3μmg C．4μmg D．5μmg 8、如图所示物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍许增大水平力F, 而物体仍能保持静止时() A..斜面对物体的静摩擦力及支持力一定增大 B.斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大 C.斜面对物体的静摩擦力一定增大，支持力不一定增大 D.斜面对物体的静摩擦力不一定增大，支持力一定增大 9、重为10N的木块放在倾角为θ=300的斜面上受到一个F=2N的水平恒力的作用做匀速直线运动，（F 的方向与斜面平行）则木块与斜面的滑动摩擦系数为（） A．2/10 B．0.6 C．3/3 D．无法确定 10、用大小相等、方向相反，并在同一水平面上的力F挤压相同的木板，木板中间夹着两块相同的砖，砖和木板均保持静止，则() A．两砖间摩擦力为零B．F越大，板与砖之间的摩擦力就越大 C．板砖之间的摩擦力大于砖的重力D．两砖之间没有相互挤压的力
力的分解基本知识点与练习题 基本知识点 一、分力的概念 1、几个力，如果它们共同产生的效果跟作用在物体上的一个力产生的效果相同，则这几个力就叫做 那个力的分力(那个力就叫做这几个力的合力)。 2、分力与合力是等效替代关系，其相同之处是作用效果相同；不同之处是不能同时出现，在受力分 析或有关力的计算中不能重复考虑。 二、力的分解 1、力的分解的概念：求一个已知力的分力叫做力的分解。 2、力的分解是力的合成的逆运算。同样遵守力的平行四边形定则：如果把已知力F作为平行四边形的 对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。 3、力的分解的特点是：同一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小、方向不同的力(因为对于 同一条对角线．可以作出无数个不同的平行四边形)，通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。 4、按力的效果分解力F的一般方法步骤： (1)根据物体(或结点)所处的状态分析力的作用效果 (2)根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向； (3)根据两个分力的方向画出平行四边形； (4)根据平行四边形定则，利用学过的几何知识求两个分力的大小。也可根据数学知识用计算法。 三、对一个已知力进行分解的几种常见的情况和力的分解的定解问题 将一个力F分解为两个分力，根据力的平行四边形法则，是以这个力F为平行四边形的一条对角线作一个平行四边形。在无附加条件限制时可作无数个不同的平行四边形。这说明两个力的合力可唯一确定，一个力的两个分力不是唯一的。要确定一个力的两个分力，一定有定解条件。 假设合力F一定 1、当俩个分力F1已知，求另一个分力F2，如图F2有唯一解。 2、当俩个分力F 1, F2的方向已知，求这俩个力，如图F1，F2 有唯一解 3、当俩个分力F1, F2的大小已知，求解这俩个力。
第八章 习题解答 题 8-1 试用相位平衡条件和幅度平衡条件，判断图中各电路是否可能产生正弦波振荡，简述理由。 解：(a)不能振荡，o o A F 18090~90o ??==+-因，而，故不能满足相位平衡条件。 (b) 不能振荡，虽然电路能够满足相位平衡条件，但当o F 0?=时，13 F =&，而电压跟随器的1A =&，故不能同时满足幅度平衡条件。 (c) 不能振荡，o o o A F F 180RC 0~180180o ???==因，两节电路的，但当接近时，其输 出电压接近于零，故不能同时满足幅度平衡条件。 (d) 不能振荡，放大电路为同相接法，A 0o ?=，选频网络为三节RC 低通电路， o o F 0~270?=-，但欲达到o F 0?=，只能使频率f=0。 (e)可能振荡，差分放大电路从VT2的集电极输出时A 0o ?=，而选频网络为RC 串并联电路，当f=f0时，o F 0?=，满足相位平衡条件。
① 判断电路是否满足正弦波振荡的相位平衡条件。如不满足，修改电路接线使之满足(画在图上)。 ② 在图示参数下能否保证起振荡条件？如不能，应调节哪个参数，调到什么值？ ③ 起掁以后，振荡频率f o =? ④ 如果希望提高振荡频率f o ，可以改变哪些参数，增大还是减小？ ⑤ 如果要求改善输出波形，减小非线性失真，应调节哪个参数，增大还是减小？ 本题意图是掌握文氏电桥RC 振荡电路的工作原理及其振荡频率和起振条件的估算方法。 解：①o o 0A F 0f f 0??===因，当时，，故满足相位平衡条件。 ②因F e 1F F e 1R 2R ,R R >2R =5.4k <Ω故不能满足起振条件，应调整，使。 ③038 11 Hz 5300Hz=5.3kHz 2231010f RC ππ-= =≈??? ④可减小R 或C 。 ⑤可减小R F 。 题 8-7 试用相位平衡条件判断图P8-7所示电路中，哪些可能产生正弦波振荡？哪些不能？简单说明理由。 解：本题的意图是掌握产生正弦振荡的相位平衡条件，并根据上述条件判断具有LC 选频网络的电路能否产生振荡。 (a) 不能振荡，o o A F 0180??==，，不满足相位平衡条件。 (b) 可能振荡，o o A F 180180??==，，满足相位平衡条件。 (c) 不能振荡，o o A F 1800??==，，不满足相位平衡条件。 (d) 可能振荡，o o A F 00??==，，满足相位平衡条件。 (e) 可能振荡，本电路实际上就是一个电容三点式振荡电路。 (f) 可能振荡，o o A F 00??==，，满足相位平衡条件。
.. 这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针 对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我） 1、在b 、c ，向量m2sinB,3， 2 B nB ，且m//n 。 cos2,2cos1 2 （I ）求锐角B 的大小；（II ）如果b2，求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解：m ∥n2sinB(2cos2 B －1)＝－3cos2B 2 2sinBcosB ＝－3cos2Btan2B ＝－3??4分 2π π ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 3,∴锐角B ＝ 3 ??2分 (2)由tan2B ＝－3B ＝ 5π π 或 36 π ①当B ＝ 3 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝ acsinB ＝ 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B ＝时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)??1分 1 2 1 acsinB ＝ac ≤2－3 4
∵△ABC的面积S△ABC＝ 2－3??1分∴△ABC的面积最大值为
.. 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和c b的值. 解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC， 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又 因此cosB 1 3 . ????6分 （II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a＝c＝6 6、在ABC中，cos 5 A， 5 cos 10 B. 10 （Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设A B2，求ABC的面积 . cosA 5 5 ， cos B 10 10 ，得 A、B0， 2 （Ⅰ）解：由，所以 23 sinA，sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4
动能和动能定理、重力势能·典型例题剖析例1一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图8－27，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同．求摩擦因数μ． [思路点拨]以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔEK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系． [解题过程]设该面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时， 物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则 对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk． mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0 得h－μS1－μS2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故 [小结]本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的．不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题． 例2 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km，速度达到最大值54km/h，设阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)机车的功率P=？(2)机车的速度为36km/h时机车的加速度a=？ [思路点拨]因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做功，由动能定理结合P=f·vm，可
1。（2013大纲）设得内角得对边分别为,、 （I ）求 (ＩI)若，求、 2．（2０13四川）在中，角得对边分别为，且、 (Ⅰ）求得值； （Ⅱ)若,,求向量在方向上得投影、 3.（２０13山东）设△得内角所对得边分别为,且,，、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）求得值、 4。（２013湖北）在 ABC ?中,角A ，B ，C 对应得边分别就是a ,b ，c 、已知 ()cos23cos 1A B C -+=、 (I)求角A 得大小； (II)若ABC ?得面积53S =，5b =,求sin sin B C 得值、 5.(２0１3新课标)△在内角得对边分别为,已知、 （Ⅰ）求; (Ⅱ）若，求△面积得最大值、 6.(201３新课标１）如图,在△ABC 中，∠ＡBC=90°,ＡB=错误!，ＢC=１,Ｐ为△A ＢC 内一点， ∠ＢPC=90° (1）若ＰB ＝错误!，求PA;（2）若∠APB=１50°,求tan ∠ＰBA [ 7.（201３江西）在△ABC 中,角A,B ，C 所对得边分别为a ，b,ｃ,已知ｃosC+（conA — sinA)cosB=０、 (１）?求角B 得大小;（2）若a+c=1，求b 得取值范围 33。（2013大纲)设得内角得对边分别为,、 （I ）求 （ＩI ）若，求、 【答案】
?4．（2013年高考四川卷（理））在中,角得对边分别为,且、 （Ⅰ）求得值； （Ⅱ）若,，求向量在方向上得投影、 【答案】解:由,得?, 即， 则，即?由，得,?由正弦定理，有,所以,、 由题知，则,故、 根据余弦定理，有，?解得或（舍去)、?故向量在方向上得投影为 35。(2０13年普通高等学校招生统一考试山东数学（理)试题(含答案))设△得内角所对得边分别为，且,，、 (Ⅰ)求得值； （Ⅱ)求得值、 【答案】解:（Ⅰ）由余弦定理,得， 又,,，所以，解得，、 （Ⅱ）在△中,，?由正弦定理得 ，?因为，所以为锐角，所以?因此 、 36．(2０１３年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题(纯WORD 版））已知函数得最小正周期为、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）讨论在区间上得单调性、 【答案】解：（Ⅰ） 2)4 2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++ =++=+?π ωωωωωωx x x x x x ?、 所以?（Ⅱ）；解得，令时，当8 242]4,4[)42(]2 ,0[π ππππππ π ==++∈+ ∈x x x x 所以 ３7.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯W ＯR Ｄ版））已知函数得周 期为,图像得一个对称中心为,将函数图像上得所有点得横坐标伸长为原来得2倍（纵坐标不 变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数得图像、 (1）求函数与得解析式；
1．试分析下图中物体A是否受弹力作用，若受弹力，试指出其施力物体． 2．体育课上一学生在水平篮球场上拍篮球，如下图所示，试分析篮球与地面作用时，地面给篮球的弹力的方向． 3、如图所示，物体A在竖直向上的拉力F的作用下能静止在斜面上，关于A受力的个数， 下列说法中正确的是 A．A一定受两个力作用 B．A一定受四个力作用 C．A可能受三个力作用 D．A受两个力或者四个力作用 4. 如右图所示，两人分别用100 N的力拉弹簧秤的秤钩和拉环，则弹簧秤读数为( ) A．50 N B．0 N C．100 N D．200 N 5. 关于弹簧的劲度系数的说法中正确的是 A. 因胡克定律可写成k = f x , 由此可知弹力越大, 劲度系数越大 B. 在弹性限度内, 弹簧拉长一些后, 劲度系数变小 C. 在弹性限度内, 无论弹簧拉长或缩短劲度系数都不变 D. 将弹簧截去一段后, 剩下的部分弹簧的劲度系数比原来大 6. 如图所示, 光滑的硬杆固定, 杆上穿一个小球. 轻绳一端系在小球上, 在另一端用力F 竖直向下拉, 小球沿杆向下运动, 则 A. 杆对小球的弹力垂直于杆斜向上 B. 小球只受重力和杆对小球的弹力作用 C. 小球受重力、杆对小球的弹力和绳的拉力作用 7、三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两个劲度均为500N/m的 相同轻弹簧p、q用轻绳连接如图，其中a放在光滑水平桌面上。 开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止。现用水平力缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止，取 10m/s2。该过程p弹簧的左端向左移动的距离是__________ F θ
8．关于合力的下列说法，正确的是 [ ] A．几个力的合力就是这几个力的代数和 B．几个力的合力一定大于这几个力中的任何一个力 C．几个力的合力可能小于这几个力中最小的力 D．几个力的合力可能大于这几个力中最大的力 9．5N和7N的两个力的合力可能是 [ ] A．3N B．13N C．2.5N D．10N 10．用两根绳子吊起—重物，使重物保持静止，若逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是[ ] A．不变 B．减小C．增大 D．无法确定 11．有三个力，F1＝2N，F2＝5N，F3＝8N，则 [ ] A．F1可能是F2和F3的合力B．F2可能是F1和F3的合力 C．F3可能是F1和F2的合力D．上述说法都不对 12．三个共点力F1，F2，F3。其中F1=1N，方向正西，F2=1N，方向正北，若三力的合力是2N，方向正北，则F3应是 [ ] 13．重为20 N的物体除受到重力外，还受到另外两个力的作用而静止，已知它受到的其中一个外力F1＝10 N，则另外一个外力F2的大小可能是( ) A．5 N B．8 N C．10 3 N D．20 N 14．如图3所示，六个力中相互间的夹角为60°，大小如图所示，则它们的合力大小和方向各如何？ 15．如图4所示，物体受F1，F2和F3的作用，其中F3=10N，物体处于静止状态，则F1和F2的大小各为多少？