高纲1062
江苏省高等教育自学考试课程考试说明
27391工程数学（线性代数、复
变函数）
江苏技术师范学院编
江苏省高等教育自学考试委员会办公室
27391工程数学（线性代数、复变函数与积分变换）考试说明
线性代数部分
本课程考试采用教材：《工程数学——线性代数》（附大纲），魏战线主编，辽宁大学出版社，2000年10月第2版。
一、考试的重点内容
第一章矩阵和行列式
1.消元法与矩阵的初等变换
理解矩阵初等变换的概念，掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法。
2.矩阵的运算及其运算规律
熟练掌握矩阵的线性运算（加法及数乘）、乘法方阵的幂、转置等运算。 3.行列式的定义与性质
知道行列式的定义，牢记行列式的性质。 4.行列式的展开
理解行列式的余子式与代数余子式的定义，牢记行列式的按行（列）展开公式。 5.行列式的计算
熟练掌握2、3阶行列式的计算方法，会计算简单的n 阶行列式。 6.逆矩阵
理解逆矩阵的定义与性质，掌握利用公式和初等变换求逆矩阵的方法。 第二章 向量空间 1.n 维向量及其线性运算
理解n 维向量的定义，掌握n 维向量的线性运算。 2.向量组的线性相关性与其次线性方程组的关系
理解向量组线性相关的下述充要条件：12,,,m ααα 线性相关?齐次线性方程组0Ax =存在非零解，其中A 的列向量是12,,,m ααα 。
3.向量组的最大无关组及向量组的秩
掌握用矩阵的初等变换求向量组秩的方法，会利用矩阵的初等行变换求向量组的最大无关组。第三章矩阵的秩与线性方程组
1.矩阵的秩
掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法。
2.齐次方程组的基础解系与通解
熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系及其通解的方法。
3. 非齐次方程组的通解
熟练掌握求非齐次线性方程组的通解的方法。
第四章特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量
理解特征值与特征向量的定义，掌握求特征值与特征向量的方法。
第五章实二次型
1.用正交变换化二次型为标准形
掌握用正交变换化二次型为标准形
2.正定二次型与正定矩阵
理解正定二次型与正定矩阵的定义，会用定义二次型及其矩阵的正定性。
二、其余部分为非重点内容
复变函数与积分变换部分
本课程考试采用教材：《工程数学——复变函数与积分变换》（附大纲），贺才兴主编，辽宁大学出版社，2000年10月第2版。
一、考试的重点内容
第一篇复变函数
第一章复数
1．复数的运算及几何意义
掌握复数的四则运算及开方运算，会用复数方程表示常用曲线。
2．平面点集和区域
掌握用不等式表示区域
第二章解析函数
1. 柯西—黎曼条件
掌握柯西—黎曼条件，能熟练应用这一条件判别函数的解析性。
2. 解析函数与调和函数的关系
了解调和函数与解析函数的关系，掌握共轭调和函数的方法。
第三章复变函数的积分
1．柯西定理
理解柯西定理，了解多连通区域上的柯西定理并会运用。
2. 柯西积分公式
能熟练应用柯西积分公式计算某些积分。
3．解析函数的高阶导数
会应用高阶导数公式计算某些积分。
第四章级数
1. 泰勒级数
掌握常用初等函数泰勒展开式，会用已知函数（ez、sinz、cosz、ln(1+z)、1／1－z）的泰勒展开式求另一些简单函数的泰勒展开式，知道利用奇点求收敛半径的方法。
2. 罗朗级数
能熟练地把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数。
3. 孤立奇点
理解可去奇点、极点及本性奇点的概念，会求函数的奇点，并判别它们的类型，对于极点能指出其阶数。
第五章留数
1. 留数
理解留数的概念，掌握极点处留数的求法，能熟练应用留数定理计算围道积分。
第二篇积分变换
第二章拉普拉斯变换
1．拉普拉斯变换的基本性质
掌握拉氏变换的线性性、相似性、位移性、微分性、积分性和初值定理与终值定理，会用这些性质求函数的拉氏变换。
2．拉普拉斯逆变换
会用部分分式的方法求像原函数，知道复反演积分公式及海维赛德公式。
3．拉普拉斯变换的应用
能用拉氏变换解常系数线性微分方程
二、其余部分为非重点内容
工程数学（线性代数、复变函数与积分变换）考试总的说明
1．本课程由《线性代数》及《复变函数与积分变换》两个部分组成。
2．本课程考试试题中，重点内容所占比例大致为80％。
3．试题题型可能有填空题、单项选择题、计算题、应用题和证明题。解答计算题、应用题时应写出计算步骤，要求做到步骤清楚，运算准确，书写整洁，计算结果应进行简化；解答证明题时要求做到条理清晰，推理正确，论据充分。
4．考试方式为闭卷、笔试。考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。考试时允许携带钢笔、圆珠笔、铅笔、圆规和三角板，允许携带没有存储功能的计算器，不允许携带数学手册，积分表等。答卷不允许用铅笔书写。
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)
一、选择题 1.下列复数中，位于第三象限的复数是（ B ） A ． 12i + B ．12i -- C ． 12i - D ．12i -+ 2.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面 C ．0arg 4 z π << 表示角形区域 D ．Im()0z <表示上半平面 3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ） A ． z z e + B ．2 sin 1 z z + C ．tan z z e + D.sin z z e + 4.已知3 1z i =+，则下列正确的是（ B ） A ．3 12 2i z e π= B ．36 4 2i z e π= C ．73 12 2i z e π= D ．6 32i z e π= 5.积分 ||34 2z dz z =-?的值为（ A ） A ． 8i π B ．2 C ． 2i π D ．4i π 6.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ D ） A ． 可去奇点 B ．一级极点 C ．二级极点 D ． 三级极点 7． 1 (2) z z -在点 z =∞ 处的留数为（ C ） A ．0 B ．1 C ． 12 D ．12 - 8.复数i z +=3的幅角主值为 （ A ） A. 6π B ． 3π C ． 65π D ． 3 2π 9.函数)(z f w =在点0z 处解析的特征为 （ A ） A. 在0z 的邻域内可导 B ．在0z 可导 C ． 在0z 连续 D ． 在0z 有界 10.复积分 ?c dz z f )(与路径无关的充分必要条件为 （ C ） A. )(z f 连续 B ．)(z f 有界 C ． )(z f 解析 D ． )(z f 可积分 11.复变函数z z z f cos )(=的原函数为 （ B ） A. z z z sin cos + B ．z z z cos sin + C ． )1(cos +z z D ． z z cos 12.下列函数中那一个为调和函数 （A ） A. 22y x - B ．)sin(xy C ．)cos(y x + D ．xy x 22 +
2009—2010学年第二学期 课名：线性代数（2学分） 一、填空与选择题(24分) 1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则 1 1030T A B --??-= ??? ______a b m n ) ()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300 m n T A B +-?? ??? （） 由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到a b m n ) ()3(+- 2、 设100220333A ?? ?= ? ??? ，其伴随矩阵为* A ，则()1*A -=____A 61______. 解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1 A A A =，() 1 *-1-1 11 6 A A A A A A -== =（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________. 解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-= 由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为 123 1533 410-3111-5-3-7λλλ=+-=??=+=??==?，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知2 53A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3 R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3 R 空间的一组规范 正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有 =5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1） 模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）； 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试 《工程数学-线性代数》试卷(C)（时间：120分钟） 课程所在系部：公共课教学部 适用专业：矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人：马万早 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式. 1 A -表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩。 一、填空题 （ 每小题2分，共20分） 1. 将行列式的行与列依次互换，行列式 。 2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，2，1，其余子式分别为9，6，2，则D= 。 3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件（1）是 ，（2）是 。 4. n 阶矩阵A 可逆的设A * 为A 的伴随矩阵，则A -1 = 。 5. 若n 阶矩阵满足2 40A A E +-=,则()1 A E --= 。 6. ()10234501?? ? ?= ? ??? ， ()10234501?? ? ?= ? ??? 。 7. 设向量组 321,,ααα线性无关，则向量组332211,,,,,βαβαβα线性 。 8. 设A 为三阶矩阵，若 A =5，则 1 -A = , * A = 。 9. n 阶方阵A 的列向量组为 n αααΛ,,21，则r(n αααΛ,,21) 。 10. 非齐次线性方程组A n m ?X=b 无解的条件是 。 二、选择题（10分，每题2分） 1． 1303 1 k k -≠-的充要条件是（ ） 。 （a ） k ≠2（b ）k ≠4（c ） k ≠2且k ≠4（d ）k ≠2或k ≠4 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ） (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) （A+B ）（A-B ）=A 2 -B 2 (d) ( B+C)A=BA+CA 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法正确的是（ ） (a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关 4. 设矩阵A =(a ij )n m ?，AX=0有非零解的充要条件是（ ） (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关 5. 向量组 s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法正确的是（ ） (a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 (b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关 三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分） 1． 1112111221222122ka ka a a k ka ka a a ???? = ? ? ???? 。 （ ） 2． A 为任意的m n ?矩阵, 则A T A, AA T 不一定都是对称矩阵。 （ ） 3． s αααΛ,,21线性无关，则其中至少有一个部分组线性相关。 （ ） 4． 行列式 0002 00201602002000 = （ ） 5． 若两个向量组可不能线性表示，则它们的秩相等。 （ ） 四、计算 1．计算n 阶行列式（12分）
习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + Ox(-1)x(-1)+ 1X1X8 -lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a' ■ b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2~l*c'62-l ,a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba? — cb 2 — ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z>-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x +，)+ (” + y)yx - (x +，)' 一 d - =- 2(r + y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 …(2n -1) 2 4 …(2”)； (6) 1 3 …(2n — 1) (2”) (2n - 2)…2? 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元累之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数 2 0 1 ⑴ 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 (3) a b c a 2 b 2 c 2 ? t
第1次 复变函数（1） 一、填空题。 1. 设(1)(2)(3) (3)(2) i i i z i i +--= ++，则z =__________ 2. 设z =, 3arg()4 z i π -= ,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。 4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。 三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212 2212 21z z z z z z ++=+ 四、下列坐标变换公式写成复数形式； 1） 平移公式：11 11 x x a y y b =+??=+?，
2）旋转公式：1111 cos sin sin cos x x y y x y αα αα=-??=+? 五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。 1）56z -=； 2）21z i +≥； 3)314z z +++=。 4) 3 12 z z -≥- 六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数) 3）2 2i z t t =+ 。 4) it it z ae be -=+
第2次 复变函数（2） 一、填空题 1. 2 4 1lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2 )(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数z z z f = )( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3 z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11 ()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。 三、函数1 w z = 把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）2 2 4x y +=； 2） y x =。 3) 1x =。 4) 2 2 (1)1x y -+=.
工程数学-线性代数第五版答案02
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ???? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ??? ? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ???? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)??? ? ??123)321(;
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 (主编:王忠仁 张静) 高等教育出版社 习题一(P12) 1、1 对任何z ,2 2z z =就是否成立？如果就是,就给出证明。如果不就是,对哪些z 值才成立？ 解:设z x iy =+,则2222z x y xyi =-+,2 22z x y =+; 若2 2z z =成立,则有2222 2x y xyi x y -+=+,即222220 x y x y xy ?-=+?=?,解得0y =, 即z x =。 所以,对任何z ,2 2z z =不成立,只对z 为实数时才成立。 1、2 求下列各式的值: (1)5 )i ; (2)6(1)i +; ; (4)13 (1)i -。 解:(1)因为6 2i i e π- -=,所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? (2)因为4 1i i e π+=,所以 6 36634 42(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? (3)因为1cos sin i ππ-=+,所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+,其中 0,1,2,3,4,5k =; 即01cos sin 6 6 2w i i π π =+= +,1cos sin 22 w i i ππ =+=, 2551cos sin 6622w i i ππ=+=-+,3771 cos sin 6622 w i i ππ=+=--,
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静） 高等教育出版社 习题一（P12） 对任何z ，2 2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立 解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2 22z x y =+； 若2 2z z =成立，则有2222 2x y xyi x y -+=+，即222220 x y x y xy ?-=+?=?，解得 0y =，即z x =。 所以，对任何z ，2 2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值： （1）5 )i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1 3 (1)i -。 解：（16 2i i e π- =，所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? （2）因为41i i e π +=，所以 6 3663 442(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? （3）因为1cos sin i ππ-=+，所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+，其中 0,1,2,3,4,5k =； 即01cos sin 6 6 22w i i π π =+= +，1cos sin 22 w i i ππ =+=， 2551cos sin 662w i i ππ=+=+，3771 cos sin 662 w i i ππ=+=-，
433cos sin 22 w i i ππ =+=- ，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4 ）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以 1 13 6 2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+?? =-=+???? ?? ，其中0,1,2k =； 即 16 02cos()sin()1212w i ππ? ?=-+-?? ? ?， 1 6 1772cos sin 1212w i ππ? ?=+???? ， 1 6 2552cos sin 44w i ππ? ?=+???? 。 求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。 因为 33322 82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++?? 22 (2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--?? 所以由380z += ，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =- ，21z =- 31z =+ 故方程380z +=的所有根为12z =- ，21z =+ 31z =+ 解法二：用复数的方根的方法求解。 由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以 2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++?? ?==+=+??????，其中0,1,2k =； 即02cos sin 133z i ππ? ?=+=+ ?? ?12(cos sin )2z i ππ=+=， 2552cos sin 133z i ππ? ? =+=- ?? ?
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求 ．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列） 2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0； 2的逆序数为1； 5的逆序数为0； 1的逆序数为3； 4的逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 5 1 3 1 0= + + + + = t 二、n阶行列式的定义（理解） 定义设有 2 n个数，排成n行n列的数表， a11a12 (1) a21a22 (2) ……………… a n1a n2…a nn 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1 (-，得到形如
n np p p t a a a ???-2121)1( （1） 的项，其中n p p p ???21为自然数n ,,2,1???的一个排列，t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n ！个，因而形如（1）式的项共有n ！项，所有这n ！项的代数和 n np p p t a a a ???-∑2121)1( 称为n 阶行列式，记作 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， 简记为)det(ij a ，数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。元素ij a 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元 素位于第j 列， 三、行列式的性质（掌握） 记 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， nn n n n n T a a a a a a a a a D ? ??= 212221212111 行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。
第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1
2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，
第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?
(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????
一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ） 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ） 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ） 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ） 7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ） 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12,s k k k L 为实数，满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。 （ a ） 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {} 1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。 （ a ） 16.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ）
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
《复变函数》（工程数学）教学大纲 一、《复变函数》课程说明 （一）课程代码：08138013 （二）课程英文名称：Complex Function （三）开课对象：通信工程专业本科生 （四）课程性质： 《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。。 （五）教学目的： 本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。 （六）教学内容： 本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。 （七）学时数、学分数及学时数具体分配 学时数：54 学时 分数： 3 学分 学时数具体分配： （八）教学方式 教师课堂讲授为主。 （九）考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。 二、讲授大纲与各章的基本要求
第一章复数与复变函数 教学要点： 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域的概念 3、理解复变函数的概念 4、理解复变函数的极限和连续的概念 教学时数：6学时 教学内容： 第一节复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 第二节复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 第三节复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 第四节区域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 第五节复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 第六节复变函数的极限和连续性 1、函数的极限 2、函数的连续性 考核要求： 1、复数及其代数运算 1.1 复数的概念（识记） 2、复数的乘幂与方根 2.1 复数的乘积、商（应用） 2.2 复数的幂与根（应用） 3、区域（识记） 4、复变函数的极限、连续（领会） 第二章解析函数 教学要点：