数学建模网络挑战赛
承诺书
我们仔细阅读了第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。
我们允许数学中国网站(https://www.doczj.com/doc/f83093525.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛队号为：2202
参赛队员(签名) ：
队员1：王奕
队员2：丁梦清
队员3：庄亚勤
参赛队教练员(签名)：教练组
参赛队伍组别（例如本科组）：本科组
数学建模网络挑战赛
编号专用页
参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：2202 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
2016年第九届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛第二阶段论文
题目洗衣机
关键词传动系统优化、悬挂系统模型、“活塞式”洗衣机
摘要：
洗衣机在生活中有着广泛的应用，较为普及的是波轮式洗衣机、滚筒式洗衣机和搅拌式洗衣机。本文主要针对为了能尽量提高净衣效能和减小洗涤过程对衣物的机械损伤而提出优化方案。
本文首先分别对波轮式洗衣机和滚筒式洗衣机的结构和工作原理进行分析，再在此基础上对波轮式洗衣机的传动系统优化改进，即用多楔带取代三角皮带；其次对滚筒式洗衣机建立悬挂系统数学模型，列出参数外筒、内筒、上配重、下配重、吊簧、减振器以及电机，计算滚筒洗衣机的势能和动能，得出系统的总动能。再进行悬挂系统关键参数优化结果理论分析，分析之前和改进后筒体质心垂向（y方向）和侧向（x方向）的振幅最大值的变化。
最后探讨洗衣机新的洗涤方式，提出一种新型“活塞式”洗衣机的创新设计，分析其性能和创新点。
参赛队号: 2202
所选题目 A 题 英文摘要（选填）
Washing machine in life are widely used, the more popular is the impeller type washing machine, drum type washing machine and a stirring type washing machine. In this paper, the optimization scheme is put forward in order to improve the efficiency and reduce the mechanical damage of the washing process.
In this paper, firstly the structure and working principle of wave wheel washing machines and drum type washing machine analysis, again based on the wave wheel washing machine drive system optimization and improvement, multi wedge belt to replace the triangle belt; followed by the drum type washing machine to establish suspension system mathematical model, lists parameters of the outer cylinder, an inner cylinder, weight, weight, a hanging spring, shock absorber and a motor, calculation of potential energy and kinetic energy of the drum washing machine, obtained the system total kinetic energy. Then the theoretical analysis of the key parameters of the suspension system is carried out, and the change of the amplitude of the vertical (y) and the lateral (x) amplitude of the cylinder before and after the improvement is analyzed.
Finally, the paper discusses the new washing method of washing machine, puts forward a new type of "piston" washing machine's innovative design, analyzes its performance and innovation points.
参赛密码 （由组委会填写）
目录
一、问题重述 (1)
二、问题分析 (1)
三、符号说明 (1)
四、模型假设 (2)
五、模型建立与求解 (2)
5.1波轮式洗衣机 (2)
5.1.1波轮式洗衣机的结构 (2)
5.1.2波轮式洗衣机的工作原理 (3)
5.1.3波轮式洗衣机传动系统优化设计——用多楔带取代三角皮带 (4)
5.2滚筒式洗衣机 (5)
5.2.1滚筒式洗衣机的结构 (5)
5.2.2滚筒式洗衣机的工作原理 (5)
5.2.3滚筒式洗衣机优化设计——建立悬挂系统数学模型 (6)
5.2.3.1参数的选取 (7)
5.2.3.2模型的建立 (8)
5.2.3.3模型结果分析 (11)
5.2.3.4悬挂系统关键参数优化结果理论分析 (15)
5.3洗衣机全新的工作方式 (15)
5.3.1新的洗涤方式 (15)
5.3.2一种新型“活塞式”洗衣机的创新设计 (16)
5.3.2.1“活塞式”洗衣机的设计思路与工作原理 (16)
5.3.2.2“活塞式”洗衣机的结构设计 (16)
5.3.2.3“活塞式”洗衣机的性能分析 (17)
5.3.2.4“活塞式”洗衣机的创新点 (17)
六、模型评价 (17)
七、参考文献 (18)
八、附录 (18)
一、 问题重述
洗衣机是目前普及率较高的家用电器，它给人们生活带来了很大的方便。从洗衣机的类型来看，可以分为波轮式洗衣机、滚筒式洗衣机、搅拌式洗衣机等。各厂商也推出了多种具体方案，设计了不同的几何及运转参数，诸如波轮的外形、内筒的内壁形状、旋转方式和转速等。不同设计方案的净衣效能和对衣物的损伤程度各不相同。
为了使洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减小洗涤过程对衣物的机械损伤。建立合理的数学模型，对典型的家用洗衣机进行优化的设计，请说明其工作方式并请给出关键的几何及运转参数。
二、 问题分析
1.先分别对波轮式洗衣机和滚筒式洗衣机的结构和工作原理进行分析，再在此基础上对波轮式洗衣机的传动系统优化改进；建立悬挂系统数学模型，列出参数外筒、内筒、上配重、下配重、吊簧、减振器以及电机，计算滚筒洗衣机的势能和动能，得出系统的总动能。再进行悬挂系统关键参数优化结果理论分析，分析之前和改进后筒体质心垂向（y 方向）和侧向（x 方向）的振幅最大值的变化。
2.探讨洗衣机新的洗涤方式，提出一种新型“活塞式”洗衣机的创新设计。
三、符号说明 吊簧的刚度系数
K 减振器的阻尼系数
C 吊簧的安装角
1θ 减振器的安装角
2θ 两吊簧与外筒的连接点
1P 、2P 两减振器与外筒的连接点
3P 、4P 偏心负载的偏心距
e 内筒的工作转速
ω 内筒质量
n m 外筒加上下配重质量
w m 偏心洗涤物质量
y m 减震器阻尼系数
C 弹簧安装角
1θ 减震器安装角
2θ
四、模型假设
1.将吊簧和阻尼减振器视为理想元件，忽略自身的重量；且内外筒以及其它零部件间的装配关系为理想状态，即忽略运动副间的摩擦。
2.将内外滚筒均视为刚体，并且旋转中心在同一轴线。
3.将吊簧和减振器在箱体上的悬挂连接点视为相对于地面固定的。
4.不考虑洗衣机箱体的振动和左右移动，只研究由吊簧、减振器、内外筒和上下配重等组成的悬挂系统的振动情况。
5.由于筒体的振动幅度相对于其本身及箱体尺寸来说很小，对所要建立的数学模型采用小位移假设理论。
五、模型建立与求解
5.1波轮式洗衣机
5.1.1波轮式洗衣机的结构
波轮双桶洗衣机的洗涤部分包括洗涤桶、波轮、轴套（或减速器）和线屑过滤系统，这部分的功能主要是完成洗涤和蓄水漂洗（或溢水漂洗）。[1]如图1所示：
图1 波轮洗衣机结构图
（1）洗涤桶：洗涤桶的作用是盛放衣物和洗涤液并实现洗涤任务的容器，对于酸碱有一定的抗腐蚀能力，并具有一定的强度。一般采用 ABS 或聚丙烯塑料，与脱水外桶一起整体注塑成型，也称双连桶，有些新型洗衣机的双连桶与箱体是一体注塑成型的，这样可以使洗衣机配合更加紧密，提高洗衣机的防锈效果。洗涤桶的俯视截面一般为方形，四周圆角半径通常都大于 50mm，其目的是在洗涤过程中多产生小湍流，以增加衣物舒展伸长，提高洗涤的均匀性，为了增加洗涤效果，有的洗衣机还在洗涤桶壁上增加了凸筋结构。
（2）波轮：波轮是波轮洗衣机实现洗涤的主要机械运动件，洗涤时洗衣机通过波轮的运转，带动水流转动，从而在衣物之间、衣物与水流之间、衣物与桶壁、波轮之间产生相对运动。波轮直径的大小、波轮上的凸筋的高度、形状、波轮转速的快慢、转停时间的长短以及安装波轮洗衣机基本结构原理位置等，对洗衣机的洗净度和磨损率都有很大影响。波轮材料一般采用 ABS 或增强聚丙烯塑料注塑成型，为了提高波轮中心孔与
波轮轴配合连接位置的强度，一般会在注塑时在波轮中心孔处预埋一个高强度塑料或金属的内衬，洗涤容量在 5 公斤以下的洗衣机内衬的内孔一般为方孔，配合轴套使用；洗涤容量在 5 公斤以上的洗衣机由于波轮与轴配合处承受的力量要大得多，一般内衬采用金属材料（有个别型号洗衣机采用不锈钢内衬），内衬内孔采用花键配合。目前海尔洗衣机采用的波轮主要为新水流大波轮，从形状以及形成的水流来分主要有偏心波轮、螺旋飓风波轮、盆型波轮、手洗式波轮和搓板式波轮。
（3）轴套（或减速器）：轴套（或减速器）的作用是支撑波轮、传递动力完成洗涤，轴套或减速器安装在洗衣机洗涤桶的底部，通过顶部的密封圈与洗涤桶密封配合，轴套顶端的洗涤轴安装波轮，洗涤时，电动机运转，通过皮带、皮带轮将动力传递到轴套上，带动洗涤轴、波轮转动，起到传递动力的作用，具体的轴套和减速器的结构、工作原理将在后面的部分进行讲解。
（4）线屑过滤系统：线屑过滤系统主要由阀盖、溢水过滤器和线屑过滤器组成。溢水过滤器上开有很多的孔，在洗涤时用来过滤水中悬浮的从衣物上脱落下来的污垢和线屑等，可以取下清洗，双桶洗衣机线屑过滤器材质主要为锦纶和不锈钢网两种。主要有两种结构：一种是通过过滤盖（水道）、线屑过滤器进行循环过滤的，XPB50-6S、XPB65-6AS 等机型使用这种过滤器，其原理是在洗涤时波轮转动，波轮底部的叶片将水拨进阀盖，通过过滤盖，上升进入线屑过滤器，水通过线屑过滤器再回到桶内，水中的线屑、污垢等异物就留在了线屑过滤器中，起到过滤作用；一种是采用摇摆式线屑过滤器，通过溢水过滤器安装在桶壁上。洗涤时，波轮作正、反向运转，水流带动摇摆式过滤器左右摆动，水从过滤器侧面进入过滤器，通过过滤网再回到桶中，水中的线屑就留在了线屑过滤器中。洗衣机使用一段时间后，线屑过滤器就需要进行清理，以确保过滤效果，同时避免留在过滤网中的污垢、线屑等再被水冲到桶内造成二次污染。
5.1.2波轮式洗衣机的工作原理
当波轮在电动机带动下做正反方向旋转时，洗涤液在洗衣桶内受到水平方向和垂直方向的两个作用力。由于洗涤液与衣物之间的摩擦力和桶壁与衣物的摩擦，两个力的作用方向与大小均不断变化，从而产生水平和垂直运动着的两个涡流。靠近波轮处的涡流较急，而四周桶壁涡流较平缓，它们的合成作用就形成了衣物在洗衣桶内的强烈翻滚，同时在衣物之间、衣物与桶壁之间产生了摩擦力与撞击力。这样反复的机械运动，便产生了类似手工洗衣时的手搓、棒打的洗涤效果，从而达到洗净的目的。
5.1.3波轮式洗衣机传动系统优化设计——用多楔带取代三角皮带
波轮式双桶洗衣机以其价廉物美深受人们欢迎，而传动系统一直是影响波轮式双桶洗衣机性能的重要因素[2]。为了提高传动系统，降低制造成本，我们在目前的传动系统基础上又提出了一种新的改进方案，即变传统的二级减速传动为一级减速传动。
5.1.3.1以往波轮式双桶洗衣机的洗涤传动系统
（1）结构
如图2所示，目前波轮式双桶洗衣机洗涤传动系统都是由洗涤电机、小带轮、普通三角带、大带轮、齿轮箱和波轮组成。一般来讲，洗涤电机为四级电机，输出转速为1370转/分左右（转差率为10%），按新水流设计的波轮，其转速为170转/分左右。设计方案多是采用二级减速：第一级为三角带传动，其传动比为1:2.7左右，第二级为齿轮箱传动，其传动比为1:3左右，而整个传动系统构成的总传动比约为1:8。
图 2 目前波轮式双桶洗衣机洗涤传动系统
（2）特点：
1）传动结构较为复杂，成本高；
2）传动效率低，不利于节能；
3）噪音大；
4）故障率高。
5.1.3.2改进后的传动方案
（1）结构
如图3所示，波轮式双桶洗衣机新的传动系统由洗涤电机、小带轮、多楔带、大带轮、波轮等组成，其中的多楔带代替了以往的三角皮带。多楔带传动的优点是可以提供较大的传动比，这样就可以通过一级传动将电机转速由1370转/分直接降至170转/分左右，既保持了原有的不足，又使传动结构大为简化，提高了传动效率，弥补了两级减速系统的不足[3]。
图3 波轮式双桶洗衣机新的传动系统
（2）特点
1）取代了齿轮箱，简化了传动系统的结构，降低了成本，减低故障率；
2）通过一级传动，提高了效率，降低了噪音；
3）多楔带在滚筒洗衣机上应用已较为成熟，将其移植应用在波轮式双桶洗衣机上，明显提高整机传动性能。
5.2滚筒式洗衣机
5.2.1滚筒式洗衣机的结构
从振动分析的角度出发，滚筒洗衣机由箱体和悬挂系统两部分组成。悬挂系统包括外筒、内筒、上配重、下配重、吊簧、减振器以及电机等。外筒上固定有上下配重块和电机，与洗衣机前门通过密封圈和前盖进行相连。内筒通过轴承安装在外筒中，由不锈钢板制成以满足其在高速工作时的稳定安全性。由于偏心洗涤物的离心力和重力的作用，在洗涤和高速脱水时内筒常处在偏心状态，外筒上的上下配重块能够起到平衡内筒偏心的作用。电机通过皮带轮传动驱动内筒在外筒中旋转，进行洗涤或脱水工作。悬挂系统通过吊簧和减振器与箱体进行相连，吊簧承担滚筒部分的重量，减振器起定位和减振的作用。除此之外，洗衣机还有给排水系统、操作系统、控制系统等系统，部分洗衣机还具有烘干系统。本文所研究的倾斜轴滚筒洗衣机的滚筒相对于水平轴倾斜一定的角度，更符合人机工程学原理[4]。其结构简图如图4所示。
图4 倾斜轴滚筒洗衣机结构简图
5.2.2滚筒式洗衣机的工作原理
图5 滚筒洗衣机洗涤原理示意图
滚筒式洗衣机的内筒置于装有洗涤剂的外筒中，内筒筒壁上有许多小孔以便洗涤液可以在内筒与外筒之间相互流通。洗涤时衣物放置在内筒中，洗涤液一般情况下只有内筒半径的一半高度，所以衣物只处在半浸泡的状态。 洗衣机洗涤衣物的原理同古人用棍棒敲打洗衣一样，通过将衣物里的水快速挤出来使污物随着水的流动和冲击被带走。滚筒洗衣机的洗涤作用是靠电动机通过皮带轮传动带动内筒作循环往复的正反转运动实现的。在内筒内壁上有三条凸起的沿长度方向分布的结构，我们称之为提升筋。
如图 所示。洗涤时衣物由于提升筋的提升作用随着内筒一起转动，当内筒带着衣物转到接近顶端时，由于洗涤工作转速很慢，致使衣物产生的离心惯性力不足以克服其本身的重力而跌落下来产生一个能将水分从衣服里挤出的冲击力，使衣服纤维与洗涤液间产生较大的相对运动，达到与手工洗涤的揉搓动作极为相似的效果。当衣物旋转到内筒底部时，会再次吸入洗涤液，提升筋继续带着衣物随内筒旋转。如此往复循环，实现洗涤的功能[5]。
5.2.3滚筒式洗衣机优化设计——建立悬挂系统的数学模型
我们将滚筒洗衣机的悬挂系统描述为由滚筒系统（内外筒体、电机、配重），偏心负载（即脱水衣物），以及作用效果可以分解为垂直和水平两方向的吊簧和阻尼减振器等组成的一个振动系统。此振动系统是一个空间六自由度系统，可以把工作时筒体的振动看成是空间刚体的运动，振动轨迹可以分解为沿坐标轴方向的三个平动和绕坐标轴的三个转动。悬挂系统的各参数及坐标系示意简图如图6所示[6]。
图 6 悬挂系统参数及坐标系示意简图
上图中OXYZ 坐标系为悬挂系统的整体坐标系，坐标系原点O 为洗衣机箱体的左前下侧角点。0000Z Y X O 坐标系为悬挂系统中筒体的局部坐标系，原点0O 在筒体的质心处,00Z O 坐标轴与筒体的轴线平行。图中K 为吊簧的刚度系数、C 为减振器的阻尼系数、1θ为吊簧的安装角、2θ为减振器的安装角、1P 和2P 为两吊簧与外筒的连接点、3P 和4P 为两减振器与外筒的连接点、e 为偏心负载的偏心距、ω为内筒的工作转速。
5.2.3.1参数的选取
表1 悬挂系统的参数
内筒质量n m （kg ）
9.5 弹簧刚度系数k(N/mm)
8 外筒加上下配重质量w m （kg ） 27.5 减震器阻尼系数
c(N.s/mm)
0.2 偏心洗涤物质量y
m （kg ）
2 弹簧安装角1θ ?15 偏心距e(mm)
200 减震器安装角2θ ?20 脱水转速w(r/min) 1000
参考以往文献中振动测试结果，滚筒洗衣机在实际工作状况下沿筒体轴向的振动以及绕三个坐标轴的转动都较小，对悬挂系统的动态性能影响不大，所以在这里只研究筒体的垂向（y 方向）和侧向（x 方向）两个方向的振动，数值仿真出的它们的振动曲线如图7和图8所示。
图7 筒体垂向（y 方向）振动曲线
图8 筒体侧向（x 方向）振动曲线
5.2.3.2模型的建立
（1）系统的势能p E
悬挂系统中的势能有两种：吊簧的弹性势能和系统的重力势能。将重力势能的零势面取在系统的静平衡位置处，从而使悬挂系统的重量和与之相平衡的吊簧初始力相抵消都不出现在运动方程中。所以系统的势能不考虑悬挂系统的重力势能，只需要考虑存储于变形的吊簧中的弹性势能[7]。
设洗衣阶段外筒质心在t 时刻的位移坐标为T z y x ）
（γβα,,,,,，两吊簧在外筒上的吊接点坐标分别为 T z y x ),,(111、T z y x ）
（222,,。 则两吊簧在t 时刻沿三个坐标轴方向的长度改变量为：
βγtan tan 111z y x x +-=?
γαtan tan 111x z y y +-=?
αβtan tan 111y x z z +-=?
βγtan tan 222z y x x +-=?
γαtan tan 222x z y y +-=?
αβtan tan 222y x z z +-=?
在上式中，1x ?、1y ?、1z ?、222z y x ???、、分别为两吊簧在t 时刻沿三个坐标轴方向的长度改变量。考虑到小位移假设理论，悬挂系统为微幅振动，有如下近似的几何关系： γγββααtan ,tan ,tan ≈≈≈
于是两吊簧在t 时刻沿三个坐标轴方向的长度改变量可写为矩阵形式：
????
??????+-+-+-=?????????????αβγαβγi i i i i i i i i y x z x z y z y x z y x （i=1,2） 设吊簧为线性弹簧且其刚度系数为k ，则吊簧沿三个坐标轴方向的近似刚度分别为： 0,cos ,sin 11===z y x K k K k K θθ
其中1θ为吊簧的安装角，即吊簧与垂直方向的夹角。则悬挂系统的势能即吊簧的弹性势能为：)(21)(21)(21222122212221z z K y y K x x K E z y x p ?+?+?+?+?+?=
= ∑?+?i i i y k x k ）（2121cos 21sin 21θθ
代入得
∑??????+-++-=2121)(cos 21)(sin 21γαθβγθi i i i p x z y k z y x k E （i =1,2）
（2）系统的动能k E
整个系统的动能由洗衣机外筒的动能、内滚筒的动能和偏心衣物的动能组成。
a.外筒的动能:
设外筒的动能为w E ,质量为w m ，其绕整体坐标系三个坐标轴的转动惯量
分别为zw yw xw J J J 、、。则外筒的功能为：
b ．内滚筒的动能:
设外筒的动能为w E ,质量为n m ，其绕整体坐标系三个坐标轴的转动惯量分别为)(2
1)(21222222γβαzw yw xw w w J J J z y x m E +++++=
zn yn xn J J J 、、,洗衣时的转速为ω，忽略系统内部的阻尼。
内滚筒是通过轴承与外筒同轴装配在一起的，内外筒轴心重合，外筒在t 时刻的振动会
带动内筒产生坐标同样为T z y x ）
（γβα,,,,,的平动与转动。但是洗衣机在工作时内滚筒在外筒中绕轴心（即筒体局部坐标系的00Z O 轴）做定轴转动，所以其转速ω会在整体坐标系的γβα,,三个方向上产生分量。在筒体局部坐标系的0Z 轴上取一点（0，0，a ），其在整体坐标系中t 时刻的位移为:
????
??????++=????????
??????????????????????-=βγγβα*a -*0010000010000001）（z a y x z y x a a S
由上式可知，筒体局部坐标系的0Z 轴向整体坐标系转换的分量为），，（βγ-1，内筒转
速ω在整体坐标系的γβα、、三个方向上产生分量为：
222222111βγββγγβγ++-=++=
++=
w
w w w w w z y x
则内滚筒的动能为: 2
2222)(21)(21)(21z zn x xn n n w J w J z y x m E ++++++=γα
代入得
2
22222222222)1(21)1(21)1(21)(21βγβγβγγβββγα++-+++++++++++=w J J w J z y x m E zn yn xn n n
C.偏心衣物的动能
设偏心衣物在局部坐标系下的初始坐标为（e,0,0x ）（其中e 为偏心距，0x 为轴向
偏移），动能为y E ，质量为y m ，其绕整体坐标系三个坐标轴的转动惯量分别为xy J 、yy J 、zy J 。在脱水工况下，将偏心衣物看做质量集中于滚筒内一点的定质量刚体并在离心力
的作用下与内筒壁保持相对静止。所以在脱水状态下，偏心衣物随内滚筒一起做以滚筒轴心线为转轴的定轴转动，转速即为滚筒的脱水转速w 。此时偏心衣物同内滚筒一样，
会随外筒的振动产生坐标为T z y x ）
（γβα,,,,,的平动与转动。 T 时刻偏心衣物在筒体局部坐标系下转过的角度为wt =?，它在筒体局部坐标系下
的位移坐标为T e e e ）（0,sin ,cos ??-，所以偏心衣物的相对速度为T ew ew ）
（0,cos ,sin -??，则偏心衣物在整体坐标系下的速度为：????? ??++-=????? ??+????? ??-=????? ??+????? ??=????? ??z y ew x ew z y x ew ew z y x V V V V V V rz ry rx zy yy xy ????cos sin 0cos sin
则偏心衣物的动能为：
)(2
1)(21222γβαzy yy xy zy yy xy y y J J J V V V m E +++++= ()[]
)(2
1)cos (sin 21222γβα??zy yy xy y J J J z y ew x ew m +++++++-=
综上所述，整个悬挂系统的动能为
y n w k E E E E ++=
5.2.3.3模型结果分析 在所研究滚筒洗衣机悬挂系统中，悬挂系统的重量和与之相平衡的吊簧初始力相抵消，故在拉格朗日方程式中：
0......621===F F F
将上述推导出的各导数的表达式代入拉格朗日方程，最终可得整个悬挂系统的
运动方程为：
[M][X]+[C][X]+[K][X]=[F]
上式中：
[M]、[C]和 [K]都是 6×6 阶矩阵，分别为悬挂系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们的各元素代表式见附录；[F]为由洗涤衣物的不平衡质量在洗涤时产生的离心力列阵；[X]、[X]和 [X]分别为外筒质心的广义位移列阵、广义速度列阵和广义加速度列阵。
5.2.3.4悬挂系统关键参数优化结果理论分析 [8]
本模型建立了滚筒洗衣机悬挂系统的简化力学模型，并利用拉格朗日方程从能量的观点出发建立此悬挂系统在脱水工况下的六自由度动力响应方程。
此方程是6×6阶矩阵方程，包括悬挂系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，本文依
据对悬挂系统的理论分析和对通过虚拟样机仿真得到的关键参数优化结果进行理论分析。
通过对悬挂系统运动方程的分析，可以看出方程中刚度矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵的各元素中包含大量的系统结构参数，且方程是耦合的，方程中的转动部分和平动部分通过减振器与吊簧发生耦合，所以对系统运动方程的直接求解极其麻烦难度很大。在工程分析中，通常应用龙格-库塔法来对上述常微分方程进行数值求解。
在MATLAB环境下运用四阶龙格-库塔法对悬挂系统振动方程进行数值分析，根据优化结果取吊簧的刚度系数为7N/mm，减振器的阻尼系数为0.25N·s/mm，配重块的密度为3000kg/m。数值仿真出的筒体垂向（y方向）和侧向（x方向）两个方向的振动曲线如图9和图10所示。
图9 改进后筒体垂向（y 方向）振动曲线
图10 改进后筒体侧向（x 方向）振动曲线
对比观察图7和图9、图8和图10可知，筒体在悬挂系统关键参数优化前后的振动周期相同，与工作转速有关。参数优化前理论分析的筒体垂向（y方向）和侧向（x方向）两个方向的振幅分别为3.81mm和4.39mm，参数改进后理论分析可得筒体垂向（y方向）和侧向（x方向）两个方向的振幅分别为2.91mm和3.43mm。由理论分析可知，悬挂系统关键参数优化后筒体垂向（y方向）和侧向（x方向）两个方向的振动比优化前分别减小了23.6%和21.9%。
通过对吊簧刚度系数和减振器阻尼系数的不同取值，研究在洗涤稳定阶段筒体质心垂向（y方向）和侧向（x方向）的振幅最大值受它们影响的情况，如图11和图12所示。
图11 吊簧刚度系数对筒体振幅的影响
图12 吊簧刚度系数对筒体振幅的影响