高中数学新人教必修一全套学案
§1.1集合（1）
一、知识归纳：
1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法???描述法：列举法：
3、集合的分类??
?
??空集：
无限集：有限集：
二、例题选讲：
例1、观察下列实例： ① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；
③抛物线12+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形；
⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题： ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集. 例2、用适当的方法表示以下集合：
⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设b a ,为非零实数，
b
b a
a +
可能表示的数的取值集合；
⑶不等式62 ? ?=-=+15 y x y x 的解集。 三、针对训练： 1．课本P5第1题： 2．课本P6第1、2题 3．已知集合{ } 012|2 =++=x ax x A ⑴若A 中只有一个元素，求a 及A ；⑵若,Φ=A 求a 的取值范围。 §1.1集合(2) 一、知识归纳： 4、集合的符号表示： ⑴集合用 表示，元素用 表示。 ⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作： 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： ⑶常用数集符号： 非负整数集（或自然数集）： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集： 5、 元素的性质：（1） （2） （3） 二、例题选讲： 例3 用符号?∈与填空： ⑴0 *N Z ；0 N ；0 )1(- *N ；23+ Q ； 3 4 Q 。 ⑵3 {}3,2；3(){}3,2；()3,2 (){}3,2； ()2,3 (){}3,2 例4 （1）已知{} 52<<=x x A ，判断b a 、是否属于A ？7=a ，?+?=31tan 42sin b （2）已知{} {},.,1,,2 B A b B a a A ===求b a , 三、针对训练： 1．课本P5第2题 2．习题1.1 3.已知：}{N x x y y A ∈+==且1|2{ }22|),(2+-==x x y y x B ，用符号?∈与填空 ⑴0 A ； 5.3 A ； 10 A ； （1，2） A 。 ⑵（0，0） B ；（1，1） B ；2 B 。 1.1集合练习题 A 组 1、用列举法表示下列集合： (1){大于10而小于20的合数} ； (2)方程组22 1 9x y x y +=??-=? 的解集 。 2.用描述法表示下列集合: （1）直角坐标平面内X 轴上的点的集合 ； (2)抛物线222y x x =-+的点组成的集合 ； (3)使21 6 y x x = +-有意义的实数x 的集合 。 3.含两个元素的数集{} a a a -2,中，实数a 满足的条件是 。 4. 若{ }2 |60 B x x x =+-=，则3 B ；若}{|23D x Z x =∈-<<，则1.5 D 。 5.下列关系中表述正确的是（ ） A.{} 002=∈x B.() { }00,0∈ C.0φ∈ D.0N ∈ 6.对于关系：①{x x ∣≤Q ；③0∈N ； ④0∈?，其中正确的个数是 A 、4 B 、3 C 、2 D 、 1 7.下列表示同一集合的是（ ） A ．{}M =（2，1），（3，2） {}N =（1，2），（2，3） B ．{} {}M N ==1，22，1 C ．{}2|1M y y x x R ==+∈， {} 2 |1N y y x x N ==+∈， D ．{}2 |1M x y y x x R ==-∈（，） ， {}2 |1N y y x x N ==-∈， 8．已知集合}{,,S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 9.设a 、b 、c 为非0实数，则= M a b c abc a b c abc +++ 的所有值组成的集合为（ ） A 、{4} B 、{-4} C 、{0} D 、 {0，4，-4} 10. 已知(){} {}2,1,,0|2 --=∈=++R n m n mx x x ，求m ，n 的值. 11.已知集合A=126x N N x ?? ∈|∈??-?? ，试用列举法表示集合A. 12.已知集合{} 2 |A x ax x x R =∈-3-4=0，（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围， (2)若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围。 B 组 1.含有三个实数的集合可表示为, ,1b a a ?? ???? ，也可表示为{}2,,0a a b +，求20062007a b +的值。 2．已知集合{}1|=+=b ax x A ，{}4|>-=b ax x B ，其中0≠a ，若A 中元素都是B 中元素，求实数b 的取值范围。 3*. 已知数集A 满足条件a ≠1，若a A ∈，则 1 1A a ∈-。 （1） 已知2A ∈，求证：在A 中必定还有两个元素 （2） 请你自己设计一个数属于A ，再求出A 中其他的所有元素 （3） 从上面两小题的解答过程中，你能否悟出什么“规律”？并证明你发现的这个“规律”。 参考答案 A 组： 1、（1）{}18,16,15,14,12； （2）(){}4,5-。 2、（1）(){}0,|,=∈y R x y x ；（2）(){} 22|,2--=x x y y x ；（3）{} 06|2≠-+x x x 。 3、2,0≠a 。 4、?；?。 5—9、DCBDD 。 10、2,3==n m 。 11、{}5,4,3,2,0=A 。 12、（1）169->a 且0≠a ；（2）16 9 -≤a 或0=a 。 B 组： 1、?? ?=-=0 1b a ；120072006 =+b a ． 2、23- ????? -=21,1,2A ；（2）略；（3）A 的元素一定有()Z k k ∈3个。 §1.2子集、全集、补集（1） 一、知识归纳： 1、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 集合B ，或集合B 集合A 。也说集合A 是集合B 的子集。 即：若“B x A x ∈?∈”则B A ?。 子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；（2）空集是 集合的子集； （3）若B A ?，C B ?，则 。 2、 集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素， 同时集合B 的 元素都是集合A 的元素，我们就说A B 。 即：若A B ，同时B A ，那么B A =。 3、 真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ，并且A B ，我们就说集合A 是集 ①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 5、子集的个数： （1）空集的所有子集的个数是 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 个 （3）集合{a,b}的所有子集的个数是 个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是 个 猜想： (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？ 结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是 ， 所有真子集的个数是 ，非空子集数为 ，非空真子集数为 。 二、例题选讲： 例1 （1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示 （2） 判断下列写法是否正确：Φ?A ②Φ A ③A A ? ④A A 例2 填空： Φ___{0}，0 Φ，0 {（0，1）}，（1，2） {1，2，3}，{1，2} {1，2，3} 例3 已知A = {}3,2,1,0，则A 的子集数为 ，A 的真子集数为 ，A 的非空子集数为 ，所有子集中的元素和是 ？ 三、针对训练：1、课本9页练习； 2、已知{}{}4,3,2,11??A ，则A 有 个？ {}1 {}1,2,3,4A ?，则A 有 个？ {} 1 A {}1,2,3,4，则A 有 个？ 3、已知{} {} 2 60,10A x x x B x ax =+-==+=，B A ，求a 的值. 1.2子集 全集 补集（2） 一、知识归纳： 1、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的 ，这个集合就可以看作一 个全集，全集通常用U 表示。 2、补集：设S 是一个集合，A 是S 的子集，由S 中所有 A 元素组成的集合， 叫做S 中子集A 的补集。即：=A C S 。 性质：()=A C C S s ；=S C S ；=ΦS C 。 二、例题选讲： 例1、若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A 。 例2、已知全集U ＝R ，集合{} 1219A x x =≤+< ，求C U A 例3、已知：{} 128S x x =-≤+<，{}211A x x =-<-≤， {} 52111B x x =<-<，讨论A 与C S B 的关系 三、针对训练： 1、课本P10练习 1、2题 2、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝C U A ，则C U B= ，C U φ= ，C U U= 。 3、设全集()U U ≠Φ，已知集合,,M N P 满足M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ） （A ）M=C U P ，（B ）M=P ，（C ）M ?P ，（D ）M ?P . 4、已知全集{}19U x x =-<<，{} 1A x x a =<<，若A ≠Φ，则a 的取值范围是（ ） ()9A a <，()9B a ≤，()9C a ≥，()19D a <≤ 5、已知{}2,4,1U a =-，{}2 2,2A a a =-+，如果C U A ＝｛－1｝，那么a 的值为 。 6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A . 1.2子集、全集、补集练习题 A 组： 1.已知集合P={1，2}，那么满足Q ?P 的集合Q 的个数为（ ） A ．4 B.3 C.2 D. 1 2.满足{1，2}{}1,2,3,4,5A ??条件的集合A 的个数为（ ） A.4 B.６ C.８ D.１０ 3．集合{ }2 |210,A x x x x R =--=∈的所有子集的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 4.在下列各式中错误的个数是( ) ①}{ 10,1,2 ∈;②}{}{10,1,2∈;③}{}{0,1,20,1,2?;④}{0,1,2φ≠ ?;⑤}{}{0,1,22,0,1= A.1 B.2 C.3 D. 4 5．下列六个关系式中正确的有（ ） ①{}{}a b b a ,,=；②{}{}a b b a ,,?；③{}{}a b b a ,,?；④{}0φ=；⑤{}0φ≠ ?；⑥0{}0∈． A.６个 B.５个 C.４个 D.３个及３个以下 6． 全集{}{} 21,2,3,|320,U U M x x x M ==-+=则C 等于( ) A.{}1 B.{}12， C.{}3 D.{}2 7． 知全集S 和集合M 、N 、P ，,s M C N =s N C P =，则M P 与的关系是( ) A.s M C P = B.M P = C.P M ≠ ? D.M P ≠ ? 8.已知全集{}{}{}3,5,7,3,7,7,U U A a A a ==-=数集如果C 则的值为 ( ) A.2或12 B. –2或12 C.12 D.2 9．已知U 是全集，集合M ，N 满足关系M N ?，则（ ） A 、U U C M C N ? B 、U U C M C N ? C 、U M C N ? D 、U M C N ? 10．若{}{}1,2,31,2,3,4A ≠ ??,则A = 11．设全集,U R ={}|,A x a x b =≤≤{}|>4<3u C A x x x =或,则a =______,b =______. 12. 设数集{}{} 21,2,,1,,A a B a a ==-?若A B,求实数a 的值。 13. 集合{} 2|320,A x x x =-+={ 2 |2B x x x =-+}10a -=,,B A ?a 求的范围。 14.求满足{}{} 22|10,|10,x x x R M x x x R M ≠ +=∈??-=∈的集合的个数. 15. 已知集合{}{}|1<4,|<,A x x B x x a A B ≠ =≤=?若,求实数a 的取值集合. 16.若集合A={x ｜-2≤x ≤5}，B={x ｜m+1≤x ≤2m-1}，且B ?A ，求由m 的可取值组成的集合。 17. 设全集{}{} {}2 2,3,23,21,2,5I a a A a C A =+-=-=I ，求实数a 的值。 18．已知全集{}1,2,3,4,5,6S =，是否存在实数a 、b ，{} 2 0,M x S x ax b =∈∣ ++=使得{}1,4,5,6.S C M = 19．设,U R ={} |1<5,A x R x =∈-≤或x=6{}|2<5B x R x =∈≤求U C A ，U A C B B 和C 20.设全集{}{} 22 |320,|0,S x x x A x x px q =-+==-+=若S C A φ=,求p 、q . B 组 1． 知{},,,s S a b A S A A =?则与的所有有序组对共有C （ ） A. 1组 B.2组 C. 3组 D.4组 2.设Ｓ为非空集合，且{}1,2,3,4,5S ?，求满足条件“若a s ∈,则6a s -∈”的集合Ｓ。 *3．集合{}012345S =，，，，，，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若1x A -?，且1x A +?，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4元子集的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 参考答案 1—9、ACAA BCBA A 。 10、{}4,3,2,1=A 。 11、4,3==b a 。 12、0,1-=a 。 13、2≥a 。 14、3． 15、{}4|≥a a 。 16、{}33|≤≤-m m 。 17、2=a 。 18、6,5=-=b a 。 19、{}6651|><<-≤=x x x x A C U 或或；{}52|≥<=x x x B C U 或； {}6521|==<<-=x x x x B C A 或或。 20、2,3==q p 。 B 组： 1、D ． 2、{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1。 3、C ． §1.3 交集、并集(1) 一、知识归纳： 1、交集定义：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。 即：=B A 。 2、并集定义：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。 即：=B A 。 性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= ， =A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= 。 二、例题选讲： 例1、设{} 2A x x =>，{} 3B x x =<，求A B= 。 例2、设A =｛x|x 是等腰三角形｝，B =｛x|x 是直角三角形｝，求A B= 。 例3、设{}4,5,6,8A ={}3,5,7,8B =，求A B= ；A B= 。 例4、设A =｛x|x 是锐角三角形｝，B =｛x|x 是钝角三角形｝，求A B= 。 三、针对训练： 1、课本P12练习 1——5题； 2、设{}12A x x =-<<，{} 13B x x =≤≤，求A ∪B= ；A B= 。 3、设(){},46A x y y x ==-+， (){},53B x y y x ==-，求A B= 。 4、已知A 是奇数集，B 是偶数集，Z 为整数集， 则A B= ,A Z= ,B Z= ,A B= ,A Z= ,B Z= . 5、设集合{} 2 4,21,A m m =--，{}9,5,1B m m =--，又A B={9}, 求实数m 的值. 四、本课小结： 1、A ∩B= ； 2、A ∪B= 。 §1.3 交集、交集(2) 一、知识归纳： 1、交集性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= ， 2、并集性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= 。 3、 德摩根律： （课本P13练习4题） （A C U ） （B C U ）= ，（A C U ） （B C U ）= 。 二、例题选讲： 例1、设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =， {}3,4,5A =，{}4,7,8B =，则C u A= ，C u B= ，(C u A) (C u B)= ，(C u A) (C u B)= ， C u (A B)= ， C u (A B)= ． 例2、已知集合{ } 2 45A y y x x ==-+ ,{B x y ==，求A ∩B,A ∪B ． 例3已知{} 24A x x =-≤≤,{} B x x a =<， (1) 当A B =Φ 时，求实数a 的取值范围； (2) 当A B B = 时，求实数a 的取值范围． 三、针对训练： 1、课本P13练习 1—3题 2、已知{}2A=3,,1a a -+，{} 2 3,21,1B a a a =--+，若{}3A B =- ，求A B 3、若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )( 4、设,M P 是两个非空集合，规定{},M P x x M x P -=∈?且，则 ()M M P --等于（ ） ()A M ， ()B P ， ()C M P ， ()D M P 5、已知全集{}20U =不大于的质数，A,B 是U 的两个子集，且满足 (){}U A C B 3,5= ，(){}U C A B 7,19= ，()(){}U U C A C B 2,17= ， 则=A ；=B 。 四、 本课小结：1、交集的性质：2、并集的性质：3、德摩根律： 1．3 交集、并集练习题（1） A 组 1． 设全集{}01234I =，，，，，集合{}0123A =，，，，集合{}234B =，，，则I I C A C B ?等于（ ） A ．φ B ．{}4 C ．{}01， D ．{}014， ， 2．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足,A B I ??则下列各式中错误的是（ ） A 、() I A B I ?= C B 、()() I I A B I ?=C C C 、()I A B ?=?C D 、()() B I I I A B ?=C C C 3、已知{ }2 32,,M x x a a a R =∣=-+∈{ } 2 ,N x x b b b R =∣=-∈，则M 、N 的关系是（ ） A ．M N M ?= .B M N M ?= .C M N = D.不确定 4．已知集合{}1M y y x =|=+，(){}22,1N x y x y =|+=，则集合M N ?中元素的个数 是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、多个 5．已知集合{}1M x y y x =|=+（，），(){}2 2,1N x y x y =|+=，则集合M N ?中元素的 个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、多个 6．P ，Q 为两个非空实数集合，定义{},p Q a b a P b Q +=+|∈∈{}{}0,2,5,1,2,6P Q ==，则P+Q 中元素的个数是（ ） A 、9 B 、8 C 、7 D 、6 7、全集U={1，2，3，4，5}，集合A 、B ≠ ?U ，若{}4,A B ?=(){}2,5U A B ?=C ，则集合B 等于（ ） {}.2,4,5A {}.2,3,5B {}.3,4,5 C {}.2,3,4 D M N P 第9题 8．满足{}12,A B a a ?=的集合A 、B 的组数为（ ） A 、5 B 、６ C 、9 D 、１０ 9．已知{}{} 2222,,2,,M y y x x x R N y y x x x R =∣=--∈=∣=--∈则M N ?= 10．已知全集U R =，{}|112A x x =-≤-≤，{}|0B x x a a R =-≥∈， 若{|u u C A C B x x ?=〈0 }，{|u u C A C B x x ?=<1或x >3}，则a ∈________ 11．设集合{}{}2 ,21,4,5,1,9A x x B x x =--=--，若{}9,A B ?=求A B ?。 12．设集合{}{} 12,A x x B x x a =∣-≤<=∣≤，若,A B ?≠?求实数a 的集合。 13、 集合{} {}210,,1,2,A x x ax x R B =∣++=∈=且A B A ?=，，求实数a 的取值范围。 14．某班50个同学中有32人报名参加数学竞赛，有25人报名参加化学竞赛，有3人两样竞 赛都不参加，求： （1）数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人？（2）只参加一种竞赛的共有多少人？ B 组 1．设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ???? =|= +∈=|=+∈???????? ，则（ ） . B.M C.M D.M N=A M N N N ≠ ≠ =???? 2．若集合12、A A 满足12A A A ?=，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合123{,,}A a a a =的不同分拆种数是（ ） A ．8 B ．9 C ．26 D ．27 3．已知全集(){},,,U x y x R y R = ∣∈∈集合()4,3,2y A x y x -? ? =∣=??-? ? (){},32,B x y y x = ∣=-求()U A B ?C 。 参考答案 A 组： 1—8：ABCA CBAC 9、{}13|≤≤-=x x N M 。 10、{}1∈a 。 11、{}9,8,4,4,7--=B A 。 12、{}1|-≥a a 。 13、22<≤-a 。 14、（1）10人；（2）37人。 B 组： 1-2：BD 。 3、()(){}4,2=B A C U 。 1．3 交集、并集练习题（2） A 组 1、已知{}4,3,2,1=U ，{ }4,3,1=A ，{}4,3,2=B ，那么=)(B A C U （ ） A ．{}2,1 B ．{}4,3,2,1 C ．φ D ．{}φ 2．已知集合M={－1,1,2},N={y|y=x 2 ,x ∈M},则 M ?N 是( ) A ． {1} B ． {1，4} C ．{1，2，4} D ． Φ 3．全集{}12|≤≤-=x x U ，}12|{<<-=x x A ，}02|{2=-+=x x x B ， }12|{<≤-=x x C ，则 （ ） A ．A C ? B ．A C C U ? C ．C B C U = D ．B A C U = 4．集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若φ≠P M ，则实数t 应该满足的条件是（ ） A ．1>t B ．1≥t C ．1 6．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的 A ．C I S I ∩（S 2∪S 3）=φ B ．S 1?（C I S 2∩C I S 3） C ．C I S I ∩C I S 2 ∩C I S 3=φ D ．S 1?（C I S 2∪C I S 3） 7．已知集合{}M =直线，{}N =圆，则M N ?中的元素个数为（ ） A ．0 B ．0，1，2其中之一 C ．无穷 D ．无法确定 8．全集{}12345U =，，，，，{}2A B ?=，{}4u C A B ?=（），{}15u u C A C B ?=（）（），，则 ____,____A B == 9．某班参加数学课外活动小组有22人，参加物理课外活动小组有18人，参加化学课外活动小组有16人，至少参加一科的课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有________人。 10．设{ }{ } 2 2 20,(2)50A x x px q B x x p x q =∣-+==∣6++++=，若12A B ???=???? ，求A B ?。 11．集合P={1，3，m}，{} 2 ,1Q m =，且{}1,3,P Q m ?=，求实数m 的值。 12．已知(){}(){}2 2 ,1,,4A x y y x x B x y y x =∣=++= ∣=-+，求A B ?。 13．若}06|{},065|{2 =-==+-=ax x B x x x A ，且A B A = ，求由实数a 组成的集合 B 组 1．设全集U R =，{}|0P x f x x R ==∈（），，{}|0Q x g x x R ==∈（），， {}|0S x x x R ?==∈（），，则方程 22 0f x x x ?=（）+g （） （） 的解集为（ ） A ． P Q S ?? B ．P Q ? C ．P Q S ??u （C ） D ．P Q S ??（） 2．设P Q 、是两个集合，定义集合{} P Q ?=∈∈（a ，b ）|a P 且b Q ，若{}1234,5P =，，，， {}3456Q =，，，，则集合P Q ?中元素个数为（ ） A ．4 5 B ．5 4 C ．20 D ．9 参考答案 A 组： 1—7、CADC CCA 8、{}3,2=A ，{}4,2=B ； 9、10； 10、? ?????-=4,31,21B A ； 11、3±=m ，或0=m ； 12、()??? ? ????? ??-=47,23,3,1B A 13、{}3,2,0∈a B 组： １――２、CC 函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力 教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 教学难点 函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着 重要的作用，那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本15p 实例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念 问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设A 、B 是______________，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_______一个数x ，在集合B 中都有_______________和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作__________________ 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的__________；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 (){}A x x f ∈|叫做函数的_______ 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B 到集合A 能不能构成一个函数呢？请说明理由 练习1、 1、在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是（ ） （1）Z B Z A ==, ，对应关系3 :x y x f = → （2）{}R B x x A =>=,0|，对应关系x y x f 3:2=→ （3）R B R A ==,，对应关系25::22=+→y x y x f （4）R B R A ==,，对应关系2:x y x f =→ 2 三、区间的概念 阅读课本17p ，明确区间的概念 练习2、把下列数集转化为区间 （1）}21|{<≤-x x （2）}100|{≤ （4）}3|{-≥x x （5）{}9|≤x x （6）}2|{- 映射学案 本课重点：映射概念的理解，映射与函数的区别、联系;映射中两集合元素之间的对应关系 【预习导引】 1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ） A ． A 集合中的每个元素在 B 集合中都存在元素与之对应； B ． “在B 集合中存在唯一元素和A 集合中元素对应”即A 中的元素不 能对应B 集合中一个以上的元素； C ． A 集合中可以有两个或两个以上的元素对应B 集合中的一个元素； D ． B 集合中不可以有元素不被A 集合中的元素所对应； 2、 判断下列对应是否为A 集合到B 集合的映射和一一映射？ （1）x x f A x R B R A →∈==:,,,； （2）1:,,,-→∈==+x x f A x N B N A ； （3）{}{} 22:,,,0,,22 +-=→∈∈≥=∈≥=x x y x f A x Z y y y B Z x x x A ； （4）[ ][]()b a x a b y x f A x b a B A -+-=→∈==2:,,,,2,1 教学过程：引入：初中所学的对应 1）、对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的一点P 和它对应； 2）、对于坐标平面内的任何一个点A ，都有唯一的一个有序实数对（x,y ）和它对应； 这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——映射。 新课：1、观察讨论中接近概念 1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征 取绝对值 乘以2 ⑤ ⑥ 讲解：１）、以上对应的特征：对于集合A 中的任何一个元素,按照某种对应法则f ,在集合B 中都有确定的一个或几个元素和它对应。具体为：一对多，一对一，多对一。 ２）、在这些对应中有那些是让Ａ中元素就对应Ｂ中唯一的一个元素：（让学生仔细观察，回答②③④⑤⑥） ②③④⑤⑥的共性：Ａ中的每个元素在Ｂ中都有唯一的元素与之对应，直观语言表述：A 中的每个元素在B 中的结果均唯一。（由学生总结，教师补充整理引出映射定义） 定义1：一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作f ：A →B 。 （这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。） 定义2：给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的象，而a 叫做b 的原象。（以②③④⑥具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。 2、映射定义剖析： 1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A 、集合B 、对应法则f ，这一点从映射的符号表示f ：A →B 可看出，其中集合A 、B 可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。（用引例说明） 2）、映射f ：A →B 是一种特殊的对应，它要求A 中的任何一个元素在B 中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中①不是映射。又如：设A=｛0、1、2｝，B=｛0、1、 21 ｝，对应法则f ：取倒数，可记为f:x →x 1,因A 中0无象，所以不是映射。 3）、映射f ：A →B 中，A 中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如③。 4）、映射f ：A →B 中，不要求B 中每一个元素都有原象，如④。即若映射f ：A →B 的象集为C ，则C ?B 。 5）、映射是有顺序的，即映射f ：A →B 与f ：B →A 的含义不同。 3、概念的初步应用 1）、例1、设集合A=｛a,b,c ｝, B=｛x,y,z ｝,从集合A 到集合B 的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A 到集合B 的映射？ A A 分析：判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法：根据映射的定义，对于集合A 中的任意一个元素a,在对应法则f 的作用下，在集合B 中有且只有一个元素b 与之对应。符合这个条件的就是从集合A 到集合B 的映射，否则就不是。 解：①②③所示的对应关系中，对于集合A 中的任意一个元素，在对应法则f 的作用下，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，因此，它们都是从集合A 到集合B 的映射； 在④所示的对应关系中，对于集合A 中的元素b ，没有指定集合B 中的对应元素，因此，它不是映射； 在⑤所示的对应关系中，对于集合A 中的元素a ，在集合B 中有两个元素x 、y 与之对应，因此，它也不是因映射。 注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。 例2：判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射 ①、A=R ，B=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝,f ：x →y=|x| 解：∵0∈A ，在法则f 下0→|0|=0 ?B ∴不是从集合A 到集合B 的映射 ②、A=N ，B=N ﹡ ，f ：x →y=|x-1| 解：∵1∈A ，在法则f 下：1→|1-1|=0? B ∴不是从集合A 到集合B 的映射 ③A=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝，B=R ，f ：x →y=x 2 解：对于任意x ∈A,依法则f ：x →x 2 ∈R ，∴该对应是从集合A 到集合B 的映射 注：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A 中任意一个元素x ，都可以运用对应法则f 实施运算，运算产生的结果y 一定在集合B 中，且唯一确定。 2）、由学生自己举几个映射的例子，学生先评判，教师再点评 备用例子 ①A=｛ 21，1，-2｝，B=｛3，2，1，21，0｝ f ：x →y=x 1+1,x ∈A,y ∈B ②A=R ，B=R ，f ：x →y=2x+1, x ∈A,y ∈B ③A=N * ,B=｛0,1｝, f ：除以2的余数 ④A=｛某商场的所有商品｝B=｛商品的价格｝f ：每种商品对自己的价格 1、 小结：①、映射是特殊的对应， 是“一对一”或“多对一”的对应 ②、映射与对应的关系如图所示 5、作业：习题2、1 1、2、7 研究课题：（1）（2）、设映射f ：A →B 中象集为C ，若集合A 中有m 个元素，象集C 中有n 个元素，则m 与n 的关系是什么？ （3）、设A=｛a 、b ｝,B=｛c 、d ｝ ①、用图示法表示集合A 到集合B 的所有不同映射； ②、若B=｛c 、d 、e ｝,则A 到B 可建立多少个不同映射； 【随堂反馈】 1、 下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是 （ ） A 、;1:,-→==+x x f N B A 对应法则 B 、{}? ? ?<≥=→==)0(,2)0(,1:,2,1,x x y x f B R A 对应法则 C 、;:,x y x f R B A ±=→== D 、{} 2 :,0,x y x f x x B R A =→>== 2、 已知集合[][],2,2,4,4y x Q P →-=-=下列对应不表示P 到Q 的映射 的是（ ） A 、x y =2 B 、()421 2 +=x y C 、24 12-=x y D 、y x 82-= 【课后检测】 1、 在给定的映射()()():,2,,f x y x y xy x y R →+∈的条件下，点11,66?? - ?? ? 的原象是 （ ） A 、11,66??- ??? B 、11,32??- ???或12,43?? - ??? C 、11,366??- ??? D 、111,,234???? ? ? ????2或-3 2、映射:f A B →定义域A 到值域B 上的函数，下列结论正确的是（ ） A 、A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定由原象； B 、B 中元素必有原象， C 、B 中元素只有一个原象; D 、A 或B 可以空集或不是数集； 3、给定映射()()():,2,2f 31___f x y x y x y →+-在映射作用下，的象是 4、已知从A 到B 的映射是1f →：x 2x-1,21 B :,x x → 2从到C 的映射是f 从A 到C 的映射()f x →______ （选做）已知{}2,1A f =是集合到自身的映射，则这样的映射有多少个？若是一一映射，即这样的一一映射有多少个？ 函数的表示法学案 预习： 【学习目标】 （1）掌握函数的表示方法； （2）通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解，同时为今后学习数形结合打好基础。 【自主学习】 1.列表法：通过列出 与对应 的表来表示 的方法叫做列表法 跟踪练1：某种笔记本的单价是5元/个，买x （x ∈｛1，2，3，4，｝）个笔记本需要y 元，试表示函数y=f （x ） 2.图像法：以 为横坐标，对应的 为纵坐标的点 的集合，叫做函数y=f （x ）的图像，这种用“图形”表示函数的方法叫做图像法. 跟踪练2：用图像法做跟踪练1 跟踪练3：作出函数（1）y= 2 x (2)y=2x ＋1,x ∈Z 且2x <的图象。 3.解析法（公式法）：用 来表达函数y=f （x ）（x ∈A ）中的f （x ），这种表达函数的方法叫解析法，也称公式法。 跟踪练4：用解析法做跟踪练1 4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ， 这样的函数通常叫做 。 跟踪练5：课本例4 跟踪练6：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算: 1. 信函质量不超过100g 时,每20g 付邮资80分,即信函质量不超过20g 付邮资80分,信函 质量超过20g,但不超过40g 付邮资160分,依此类推; 2. 信函质量大于100g 且不超过200g 时,每100g 付邮资200分,即信函质量超过100g,但 不超过200g 付邮资(A+200)分,(A 为质量等于100g 的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g 付邮资(A+400)分,依此类推. 设一封x g(0 新课： 函数的三种表示方法：（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：260s t =，2A r π=，2y ax bx c =++(0)a ≠． 说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质； ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。（见课本P53页表1 国民生产总值表） 说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应 值。 （3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线） 说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况 例题讲解 例1、某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}. 它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示 例2 国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算： 1、信函质量不超过100g 时，每20g 付邮资80分，即信函质量不超过20g 付邮资80分，信函质量超过20g ，但不超过40g 付邮资160分，依次类推； 2、信函质量大于100g 且不超过200g 时，付邮资（A+200）分（A 为质量等于100g 的信函的邮资），信函质量超过200g ，但不超过300g 付邮资（A+400）分，依此类推. 设一封x g(0 解：这个函数的定义域集合是0200x <≤，函数的解析式为 80,(0,20],160,(20,40],240,(40,60],320,(60,80],400,(80,100]600,(100,200]. x x x y x x x ∈??∈? ?∈=?∈? ?∈? ∈? 它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示. 在上例中，函数对于自变量x 的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数。 _y 注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数. 例3、作出分段函数21++-=x x y 的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即： 21++-=x x y =?? ? ??++-123) 12(x x 1122>≤<--≤x x x 作出图像如右图 例4、作函数2243,(03)y x x x =--≤<的图象. 解：∵ 03x ≤< ∴ 这个函数的图象是抛物线2243y x x =-- 介于03x ≤<之间的一段弧（如图）. 四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3 补充练习： 1、画出函数y=|x|=?? ?<-≥. 0, 0x x x x 的图象. 解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和 第二象限的角平分线，如图所示. 五、小结 函数的三种表示方法及图像的作法 六、作业：作出函数|32|2--=x x y 的函数图像 解：???<-----≥----=032)32(0 32322 222x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2 x -2x -3的图象 （2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上 翻折（上方部分不变），即得y=|2 x -2x -3|的图象 函数的单调性学案 一、【学习目标】（自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多，希望同学们课下做好预习.） 1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义； 2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法； 3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤. 课前引导：函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？ 二、【自学内容和要求及自学过程】 观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字，回答下列问题（自学引导：理解“上升”、“下降”的本质内涵，归纳出增函数的定义） <1>你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升”、“下降”的含义？ 2 y 轴 左侧是＿＿＿的，在y轴右侧是＿＿＿的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是＿＿＿的，在y轴右侧是＿＿＿的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的＿＿＿（横、纵）坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而＿＿＿；“下降”亦然；<2>在区间(0，+∞)上，任取x1、x2，且x1 阅读教材第28页“思考”下面的内容，然后回答下列问题 （自学引导：同学们要理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解） <3>数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.请给出增函数定义. <4>增函数的定义中，把“当x1 这样行吗?增函数的定义中，“当x1 <3>一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1、x2，当＿＿＿时，都有＿＿＿，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；<4>增函数的定义：由于当x1 都是相同的不等号“>”，即前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的；<5>增函数几何意义是从左向右看,图象是＿＿＿（上升、下降）的； .） <1>类比增函数的定义，请你给出减函数的定义； 函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数 y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？ <1>一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1、x2，当＿＿＿时，都有＿＿＿，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是＿＿＿的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小；<2>函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是＿＿＿（＿＿＿）（上升、下降）的； 阅读教材第29页第一段，然后回答下列问题 <7>你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之. 三、讲授新课 1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1） 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的， 说明什么？ ?随着x的增加，y值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1 时，f(x1)< f(x2). (学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机 予以启发)。 结论：这时，说y1=x2在[0，+∞]上是增函数。（同 理分析y轴左侧部分）由此可有： 2.定义：（投影2）
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