2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1
的坐标为（）
A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）
2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）
A．10 B．21 C．35 D．46
3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）
A．4 B． 6 C．8 D．10
5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）
A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=0
6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）
A．相交B．相离C．外切D．内含
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，
=，则=（）
A．++B．++C．++D．﹣﹣
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）
A．α∩β=l，m与α，β所成角相等
B．α⊥β，l⊥α，m∥β
C．l，m与平面α所成角之和为90°
D．α∥β，l⊥α，m∥β
9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：
①直线l的倾斜角为α；
②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；
③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．
其中正确结论的个数为（）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）
A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值
B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值
C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值
D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．
12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．
15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，
的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：
①⊥（﹣）；
②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；
③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，
则动点P的轨迹为圆．
其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）（2014秋?成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）MN⊥AC．
17．（12分）（2014秋?成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．
身高（单位：cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）
人数2 8 15 20 25 18 10 2
18．（12分）（2014秋?成都期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两
两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且?=0．
（Ⅰ）求向量的模；
（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．
19．（12分）（2014秋?成都期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；
（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．
20．（13分）（2014秋?成都期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
21．（14分）（2014秋?成都期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．
（Ⅰ）若?=0，求b的值；
（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k
的值；
（Ⅲ）当|PA|?|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1
的坐标为（）
A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）
考点：空间中的点的坐标．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．
解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），
故选：A．
点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题．
2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）
A．10 B．21 C．35 D．46
考点：众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．
解答：解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，
故选：C．
点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题．
3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
考点：直线的斜率．
专题：直线与圆．
分析：直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案．
解答：解：∵A（﹣1，2），B（1，3），
∴，
又直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为．
故选：D．
点评：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题．
4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）
A．4 B． 6 C．8 D．10
考点：选择结构．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值．
解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的
值，
故当x=2时，y=2×（2+1）=6．
故选：B．
点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题．
5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）
A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=0
考点：直线的点斜式方程．
专题：直线与圆．
分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．
解答：解：∵直线的倾斜角为135°，
∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．
又直线过点（2，1），
由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），
即x+y﹣3=0．
故选：A．
点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．
6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）
A．相交B．相离C．外切D．内含
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
专题：计算题；直线与圆．
分析：把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＞R+r得到两圆的位置关系为相离．
解答：解：由圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，化为（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心C1（﹣1，2），R=2
圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，﹣1），r=1，
∴两圆心间的距离d==5＞2+1，
∴圆C1和圆C2的位置关系是相离．
故选：B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．
7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，
=，则=（）
A．++B．++C．++D．﹣﹣
考点：空间向量的加减法．
专题：空间向量及应用．
分析：利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．
解答：解：，，，
∴=+=．
故选：C．
点评：本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则，属于基础题．
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）
A．α∩β=l，m与α，β所成角相等
B．α⊥β，l⊥α，m∥β
C．l，m与平面α所成角之和为90°
D．α∥β，l⊥α，m∥β
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择．
解答：解：对于A，α∩β=l，m与α，β所成角相等，当m∥α，β时，m∥l，得不到l⊥m；对于B，α⊥β，l⊥α，得到l∥β或者l?β，又m∥β，所以l与m不一定垂直；
对于C，l，m与平面α所成角之和为90°，当l，m与平面α都成45°时，可能平行，故C 错误；
对于D，α∥β，l⊥α，得到l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；
故选D．
点评：本题考查了直线垂直的判断，用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理，熟练运用相关的定理是关键，属于中档题目．
9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：
①直线l的倾斜角为α；
②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；
③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．
其中正确结论的个数为（）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：举例说明①错误；由点到直线的距离公式求得（0，0）到直线的距离判断②；求出三角形面积公式，结合三角函数的有界性判断③；由②说明④正确．
解答：解：直线l：xsinα﹣ycosα=1，当α=时，直线方程为：x=﹣1，直线的倾斜角为，命题①错误；
∵坐标原点O（0，0）到直线xsinα﹣ycosα=1的距离为，
∴无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，命题②正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积
S=≥1，故③正确；
∵无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，∴④正确．
∴正确的命题是3个．
故选：C．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的值域等，是中档题．
10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）
A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值
B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值
C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值
D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值
考点：平面与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有θ的三角函数求得最值．
解答：解：如图，
设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，则（0），
过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，
∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，则HG=CH﹣CG=asinθ﹣bcosθ，
∴d=|AB|==
==
．
∴当，即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值．
故选：B．
点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为
．
考点：空间两点间的距离公式．
专题：空间位置关系与距离．
分析：直接利用空间两点间距离公式求解即可．
解答：解：空间直角坐标系中，P（1，0，5），Q（1，3，4），
则线段|PQ|==．
故答案为：．
点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．
12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为20．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据题意，求出抽取样本的比例，计算抽取的人数即可．
解答：解：根据题意，得；
抽样比例是=，
∴在35～50岁年龄段应抽取的人数为
400×=20．
故答案为：20．
点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为4．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x≤4，输出y的值为4．
解答：解：执行程序框图，可得
x=1，y=1
满足条件x≤4，x=2，y=2
满足条件x≤4，x=4，y=3
满足条件x≤4，x=8，y=4
不满足条件x≤4，输出y的值为4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有4条．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：作出正方体，利用正方体的空间结构，根据异面直线的定义进行判断
解答：解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
与A1B异面而且夹角为60°的有：
AC，AD1，CB1，B1D1，共有4条．
故答案为：4．
点评：本题考查异面直线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的概念．
15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，
的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：
①⊥（﹣）；
②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；
③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，
则动点P的轨迹为圆．
其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：①?（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，可得⊥（﹣）；
②当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，即可判断出正误；
③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，
可得OD⊥CD，可得AC=1=OC=OA，可得θ=60°，即可判断出正误；
④补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，可得OM=，OP=，MP=．即可得出动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆．解答：解：①∵?（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，∴⊥（﹣），正确；
②当时，直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；当
时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，因此不正确；
③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，∴OD⊥CD，又OD=DA==CD，∴AC=1=OC=OA，则θ=60°，正确；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，OM==，
∵向量与++（即与）的夹角的余弦值为，∴=，
∴=．
∴动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆，因此正确．
其中，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）（2014秋?成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）MN⊥AC．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）只要证明MP∥BD，NP∥DD1，利用面面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）由已知容易得到NP⊥底面ABCD，利用射影定理，只要证明MP⊥AC即可．
解答：证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD 的中点，
∴MP∥BD，NP∥DD1，
∴平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影为MP，
∵M，N是AB，A1D1的中点，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．
点评：本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用．
17．（12分）（2014秋?成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．
身高（单位：cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）
人数2 8 15 20 25 18 10 2
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据频率、频数与样本容量的关系，结合频率分布直方图中小矩形的高，求出a、b的值；
（2）求出该年级中男生身高不低于170cm的频率，计算对应的频数即可．
解答：解：（1）身高在[160，165）的频率为=0.15，
∴==0.03，即a=0.03；
身高在[170，175）的频率为=0.25，
∴==0.05，即b=0.05；
（2）该年级中男生身高不低于170cm的频率为
0.25+0.036×5+0.02×5+0.004×5=0.55，
∴估计该年级中男生身高不低于170cm的人数是
1000×0.55=550．
点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．
18．（12分）（2014秋?成都期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且?=0．
（Ⅰ）求向量的模；
（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．
考点：平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角．
专题：平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A1（0，0，z），得到?=4﹣=0，解出即可．
（Ⅱ）分别求出，，的坐标，设平面A1EF的法向量=（x，y，z），得到方
程组，求出一个，从而求出直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图示：
，
∴C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），
设A1（0，0，z），则E（0，2，），B1（0，2，z），
∴=（﹣1，2，z），=（0，2，﹣），
∴?=4﹣=0，解得：z=2，
∴||=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=（0，0，2），
=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣），
设平面A1EF的法向量=（x，y，z），
∴，令z=2，
∴=（3，，2），
设直线AA1与平面A1EF所成的角为θ，
∴sinθ===．
点评：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，考查了线面角问题，是一道中档题．
19．（12分）（2014秋?成都期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；
（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．
考点：直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（Ⅰ）直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，可得，
即可得出直线l1恒过定点，及该点的坐标；
（Ⅱ）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1．
解答：（Ⅰ）证明：直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，∴，∴x=y=﹣2，
∴直线l1恒过定点D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）解：l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2联立可得交点坐标C（1，﹣1），
求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1，
∵|CD|==，
∴|AB|的最小值为2=2．
点评：本题考查直线l1恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
20．（13分）（2014秋?成都期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
解答：解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC
∵△PAB为边长为2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，
又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC?平面POC
∴AB⊥OC
以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（﹣1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），B（1，0，0），∵PD=3PE，
∴E（，，）
则=（2，0，0），=（，﹣，），
则||=，
则cos＜，＞===﹣，
即异面直线AB与CE所成角的余弦值为．
（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），
∵=（1，，0），=（0，﹣，），
∴由，即，
令z=1，则y=1，x=，
即=（，1，1），
平面ABCD的法向量为=（0，0，1），
则cos＜，＞===，
故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．
点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．
21．（14分）（2014秋?成都期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．
（Ⅰ）若?=0，求b的值；
（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k
的值；
（Ⅲ）当|PA|?|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．
专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由P在圆上，且?=0，可知直线l过圆心O，由此求出b的值；
（2）由|AB|=2得到原点O到直线l的距离，再由面积为得另一关于k和b的等式，
联立方程组求得满足条件的k值；
（3）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，由|PA|?|PB|=4得到A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到直线l的斜率和截距的关系，由点到直线的距离
公式求出P到直线l的距离为定值，由此可得存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．
解答：解：（Ⅰ）∵点P（0，2）在圆C：x2+y2=4上，且直线l：y=kx+b与圆C交于A，B两点，
当?=0时，，
∴直线l过圆心O（0，0），则b=0；
（Ⅱ）由题意可知，直线l不过原点O，不妨设k＞0，b＞0，
由|AB|=2，得，①
取x=0，得y=b，取y=0，得x=﹣，
∴，②
联立①②解得：或k=，
由对称性可得满足条件的直线l的斜率的值为或；
（Ⅲ）联立，消去y，得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∵|PA|?|PB|=4，∴，
∴=16，
即（2﹣y1）（2﹣y2）=1，
∴y1y2﹣2（y1+y2）+3=0，则（kx1+b）（kx2+b）﹣2（kx1+b+kx2+b）+3=0，
k2x1x2+（kb﹣2k）（x1+x2）﹣4b+3=0，
∴k2?+（kb﹣2b）?（﹣）﹣4b+3=0．
化简得：化简得k2=b2﹣4b+3，即k2+1=（b﹣2）2，
∴．
∵点P（0，2）到直线l：y=kx+b的距离d==1，
∴存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．
点评：本题考查了平面向量的应用，考查了直线与圆的位置关系，考查了定值的应用问题，综合性强，属难题．
广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学（理） 试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设命题p ：x R ?∈，2 10x ，则p ?为（ ） A ．0x R ?∈，2010x +> B ．0x R ?∈，2010x +≤ C ．0x R ?∈，2010x +< D ．0x R ?∈，2010x +≤ 2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 3．双曲线22 134 y x -=的渐近线方程是（ ） A ．y x = B ．y x = C ．34y x D ．43y x =± 4．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题 B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题 5．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k =（ ） A ．75 B ．1 C ．35 D ．15 6．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 B ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 C ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 D ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3π α=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在 小正方形内的概率是（ ） A ．12- B C ．44- D 8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( ) A ．2a B C ．a D 9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )