17.1 勾股定理学案（1）
[必记]：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+
[新课讲解]
探究1：观察下图，并回答问题：
(1)观察图1 正方形A 中含有________个小方格，即A 的面积是________个单位面积；正方形B 中含有________个小方格，即B 的面积是________个单位面积；正方形C 中含有________个小方格，即C 的面积是________个单位面积．
(2)在图2、图3中，正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．
结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)
归纳：
1勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系： ；
（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
（3）三边之间的关系： 。
3．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则
⑴c= 。（已知a 、b ，求c ）
⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ）
B
[例题讲解]：
例1、如下图，一根旗杆在离地面9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高?
例2在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
[课堂练习]
1、求出下列直角三角形中未知的边
2、填空题
⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
[课后作业]
1、求出下列直角三角形中未知的边
2、填空题
在Rt △ABC ，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
小结：
勾股定理的具体内容是： 。 6 10
10 30°
15 8 10 45°
勾股定理 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 2 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 难点：反比例函数的意义。
【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？ 2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？ 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数.
（1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。 学习新知：阅读教材P39-P40相关容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？
2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？ 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是（） ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7, (1)写出y与x的函数关系式；（2）当x=7时，y等于多少？
【要点归纳】 通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
勾股定理（第一课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。 2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③2(2x -1)2=9 二．学习新知 1.完成P 65的探究，猜想得出的结论： 。 2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法） b a b c a a c b a c b a a b c b c a b c c b a D C B A 4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。 三．释疑提高 求正方形B 的边长 625 400 求正方形A 的面积 14425 A B 3.在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。 4、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）已知a :b =1:2,c =5,求a .（2）已知b =6, ∠A =30°, 求a ,c . 四．小结归纳： 五．巩固检测： 1.课本P 70,4、5、8 2.作业精编 P 32 、33 3.课堂作业P 27、28 勾股定理（第二课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.勾股定理的内容： 2、几组常用的勾股数为： 3、实数包括 和 ，数轴上的点与实数是 的关系。 二．学习新知 1.完成P 66的探究1，门框的对角线AC 是斜着能通过的最大长度，只要AC （大于或小于）木板的长或宽中较短的一边，木板 （能或不能）从门框内通过。 2.完成P 67的探究2，在Rt △ABO 中,已知 ，可求 ，在Rt △ODC 中，已知 ，可求 。 3.完成P 68的练习1，组长检查并做出评价。 4. 完成P 68的探究3，在数轴上找无理数的位置，先要确定这个无理数是直角边分别为哪两个正整数的直角三角形的 ，再用尺规在数轴上找到它的位置。 5. 完成P 69的练习1。 三．释疑提高 1.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ,40cm ,30cm 的木箱中，能否放进去？ 2.将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm ,求h 的范围。 3.小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 4.一圆柱底面周长为6cm ,高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。
新人教版八年级下册数学导学案（全册） 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．
八年级数学（下）导学案（第七章） 勾股定理的逆定理 【学习目标】 1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用； 2.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，会辨析哪些问题用哪个结论。 【复习回顾】写出勾股定理：__________________________________________________. 【课前预习】预习课本第56-60页内容 任务一：阅读教材第56-60页内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上： 任务二：阅读课本56页实验与探究的内容，解决下列问题。 1.选定一个单位长度，然后取一根长度为12单位的细绳，将它首尾相接并围成一个三角形，使得这个三角形的三条边长度分别为3、4、5，再用图钉把这个三角形钉在木板上. ①计算一下，这个三角形三边满足a2＋b2＝c2吗? ②度量以下这个三角形的各个内角，是怎样的三角形？ ③由此你得到了什么？ 2.结果尝试 再取一根长度为30单位的细绳，围成边长分别为5、12、13的三角形，重复以上(1)、（2）步骤，你又发现了什么？ 3.归纳总结，并记住勾股定理的逆定理 任务三：阅读课本140页例题1，解决下列问题. 1.由下列线段组成的三角形是不是直角三角形. （1）12，16，20 （2）8，11，13 （3）1.5，3.6，3.9 【课中实施】 一：勾股定理的逆定理 二：勾股数组： 【当堂达标】
一、选择题（每题4分，共12分） 1.下列各组中,不能构成直角三角形的是（） A.9，12，15 B.15，32，39 C.16，30，32 D.9，40，41 2.下面几组数中，为勾股数的是（） A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. -10，24，26 D. 2.4，4.5，5.1 3.三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 二、填空题（每题4分，共16分） 4.△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________． 5.已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____． 6.三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______． 7.请完成以下未完成的勾股数： （1） 8，15，_______；（2）15，12，______； （3）10，26，_______；（4）7，24，_______． 【课后巩固】（6分） 如图，已知CD＝6m， AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．
第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义 学习目标： 了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字 母的取值范围。 理解二次根式的非负性 学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导： 看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是 数。 判断下列格式哪些是二次根式? ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )2 1(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 学： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2-x ⑵ x -21 ⑶13-+ -x x ⑷2x ⑸3x （6） ()01-a （1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。 巩固练习： 已知(),03122 =-++b a 求a,b 的值 2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练： 1.下列各式中：①52+- x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥ 3+-x 其中是二次根式的有 。 2.若1 21 3-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。 3.已知122+-+-= x x y ，则=y x 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（） （A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子ab a 1+ -有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限 （A ）一 (B)二 (C)三 (D)四 6.若,011=-++b a 则=+20112011 b a 7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是 8.已知01442=-++ +-y x y y ，求xy 的值
勾股定理全章复习 一、复习要求： 1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。 3．会用勾股定理解决有关的实际问题。 二、知识网络： 二、知识梳理： 1、勾股定理 (1)重视勾股定理的三种叙述形式： ①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)． ②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积． ③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和． 从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为的线段。 勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为 ，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。 (3)勾股定理的证明： 经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。 (4)勾股定理的应用： 勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。 (2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 导学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 导学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 导学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 导学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分 式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9 中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3）
勾股定理全章复习与巩固 学习目标 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识网络 要点梳理 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立. （例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 典型例题 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长． 2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：
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第十六章 分式 第一课时 一、学习目标： 1.识记分式、有理式的概念. 2.知道分式有意义的条件，分式的值为零的条件； 3.能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、自主预习： 自学教材相关内容，并完成以下各题。 1.完成教材“思考1”中的空格。 2．什么叫分式分式与整式的区别是什么 3．判断下列各式中，哪些是整式哪些不是整式 ①38n m +＋m 2 ； ②1＋x ＋y 2－z 1； ③π213-x ； ④x 1 ； ⑤1222++x x ； ⑥22 2ab b a +； 三、课堂导学： 例1 填空： 当x 时，分式x 52 有意义； 当x 时，分式22-x x 有意义； 当x 时，分式x 252 -有意义； 当x 、y 满足关系 时，分式y x y x 2-+有意义； 例2 当m 为何值时，分式的值为0 （1）1-m m （2）32 +-m m (3) 11 2+-m m
四、课堂自测： 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式 9x+4, x 7, 209y +, 54-m , 238y y -， 9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义 （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0 （1） （2） (3) 4、列式表示下列各量： （1）某村有n 个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷； （2）ABC ?的面积为S ，BC 边长为a ，则高AD 为 ； （3）一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时;一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时。 5、下列式子中，哪些是是分式哪些是整式两类式子的区别是什么 ①x 1；②3x ；③5 342+b ；④352-a ；⑤22y x x -； ⑥n m n m +-；⑦121222+-++x x x x ；⑧)(3b a c - 完成课本课后习题 4522--x x x x 235 -+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --221
勾股定理全章教案人教版(优秀教案)
第十八章勾股定理 ．勾股定理（一） 一、教学目标 ．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 ．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 ．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 ．重点：勾股定理的内容及证明。 ．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这
种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。 以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。 再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。 你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。 求证：＋。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正 ×2 1 ＋（－），化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 A B
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 《数据的分析》复习 一、学习目标 【知识与技能】：理解统计的基本思想是用样本的特征去估计总体的特征，会用平均数、中位数、众数、极差、方差进行数据处理。 【过程与方法】：经历探索数据的收集、整理、分析过程，在活动中发展学生的统计意识和数据处理的方法与能力。 【情感态度与价值观】：培养合作交流的意识与能力，提高解决简单的实际问题能力，形成一定的数据意识和解决问题的能力，体会特征数据的应用价值。 二、学习重难点 【重点】：应用样本数字特征估计总体的相应特征，处理实际问题中的统计内容。 【难点】：方差概念的理解和应用。 三、学习过程 （一）自主复习、查漏补缺 1、若n 个数 的权分别是 则： 叫做这n 个数的加权平均数。 2、在求n 个数的算术平均数时，如果x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（这里 f 1+ f 2+…+ f k =n ）那么这n 个数的算术平均数 _______。 3、调查包括_________调查和__________调查。总体是指考察对象的___________， 个体是总体中的______________________， 样本是从________中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的____________。 4、统计图包括_________统计图、_________统计图和___________统计图。 5、将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的 。如果数据的个数是偶数，则 就是这组数据的中位数。中位数是一个 。如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于等于或大于等于这个中位数的数据各占一半。 6、一组数据中出现次数__________的数据就是这组数据的众数。 7、极差：一组数据中 __ 数据与___ 数据的差。 极差是最简单的一种度量数据 情况的量,但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大。 8、各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差。公式为： s 2= 方差 ，波动越小。方差 ，波动越大。 （二）合作交流、展示点评 1、数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为________。 n x x x ，， ， ?21n w w w ，， ， ?21
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为 v +20100小时，逆流航行 60千米所用时间 v -2060小时，所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相 同点和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 32 +-m m 112 +-m m
第十八章 勾股定理 ． 勾股定理（一） 一、教学目标 ．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 ．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 ．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 ．重点：勾股定理的内容及证明。 ．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。 以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。 再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。 你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。 求证：＋。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正 ×2 1＋（－），化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。 求证：＋。 A B
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推 广 ： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21 +-x （3） （4） （5）121 3-+ -x x (6) . （7 ）若 ，则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围 是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时， A B C D 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若2004a a -=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 7．若m =m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，， 满足2|2|1022a b a ++=+，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<
勾股定理 课 堂 练 习（1） 导入：如图，每个小方格的面积均为1，请你分别计算图1、图2中正方形A 、B 、C 的面积，并观察正方形A 、B 、C 的三个面积之间存在的关系. 图1中： 图2中： 结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 . 勾股定理再证明： 将四个全等的直角三角形如图围成一个大的正方形，请你利用 两种不同的方法计算正方形的面积. 探究1：一个门框的尺寸如图所示，一个长m 3，宽m 2.2的薄木板能否从门框 内通过？说明理由. 练习：1．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ⑴若2=a ，4=b ，则c = ； 斜边上的高为 . ⑵若3=b ，4=c ，则a = . 斜边上的高为 . ⑶若3=b a ，且102=c ，则a = ，_______= b .斜边上的高为 . ⑷若2 1=c b ，且33=a ，则c = ，_______=b .斜边上的高为 . 2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为 . 3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为 . 4．有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长（结果保留整数） --1-- 勾股定理 强化练习（1） 一．选择题 1．如图，正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形C 的面积为（ ）
A ．7 B ．25 C ． 12.5 D ．144 2．如上图，正方形C 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形A 的面 积为（ ） A ．7 B ．25 C ． 12.5 D ．144 3．若ABC Rt ?的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则斜边长为（ ） A ．2cm B ．7cm C ．5cm D ．12cm 4．在ABC Rt ?中，?=∠90A ，cm a 13=，cm b 5=，则c 为（ ） A ．194 B ．12 C ．8 D ．18 5．如图，在ABC ?中，边AC 的长为（ ） A ．1 B ．21 C ．3281 D ．9 6．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则另一边长为（ ） A ．7 B ．5 C ．7 D ．7或5 二．填空题： 7．在ABC Rt ?中，已知两直角边长为6和8，则斜边长为 . 8．如图1，在ABC ?中，边AC 的长为 . 9．如图2，在ABC ?中，边AB 的长为 . 10．在ABC ?中，12=AB ，3:4:=BC AC ， 则AC = . 三．解答题： 11．一旗杆离地面m 6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 m 8处，求旗杆折断之前有多高？ 12．如图，要从电杆离地面5米处向地面拉一条长为7米的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离（保留根号） --2-- 勾股定理 课 堂 练 习（2） 一．复习：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ⑴若6=a ，8=b ，求c 的值 ⑵ 若5=a ，13=c ，求b 的值
八年级数学下册导学案 制作人：数学组
目录 ＄16.1二次根式（一）导学案 (4) ＄16.1二次根式（二）导学案 (8) ＄16.2二次根式的乘除（一）导学案 (12) ＄16.2二次根式的乘除（二）导学案 (16) ＄16.2二次根式的乘除（三）导学案 (20) ＄16.3二次根式的加减（一）导学案 (23) ＄16.3二次根式的加减（二）导学案 (26) ＄17.1勾股定理（一）导学案 (29) ＄17.1勾股定理（二）导学案 (35) ＄17.1勾股定理（三）导学案 (39) ＄17.2勾股定理的逆定理（一）导学案 (43) ＄17.2勾股定理的逆定理（二）导学案 (47) ＄18.1.1平行四边形的性质（一）导学案 (50) ＄18.1.1平行四边形的性质（二）导学案 (55) ＄18.1.2平行四边形的判定（一）导学案 (61) ＄18.1.2平行四边形的判定（二）导学案 (66) ＄18.2.1矩形（一）导学案 (70) ＄18.2.1矩形（二）导学案 (75) ＄18.2.2菱形（一）导学案 (80) ＄18.2.2菱形（二）导学案 (84) ＄18.2.3正方形导学案 (87) ＄19.1.1变量与函数（一）导学案 (91) ＄19.1.1变量与函数（二）导学案 (95) ＄19.1.2函数的图象（一）导学案 (100) ＄19.1.2函数的图象（二）导学案 (106) ＄19.1.2函数的图象（三）导学案 (110) ＄19.2.1正比例函数导学案 (114) ＄19.2.2一次函数（一）导学案 (119) ＄19.2.2一次函数（二）导学案 (124) ＄19.2.2一次函数（三）导学案 (128) ＄19.2.2一次函数（四）导学案 (132) ＄19.2.3一次函数与一元一次方程导学案 (135) ＄19.2.3一次函数与一元一次不等式导学案 (139) ＄19.2.3一次函数与二元一次方程组导学案 (144) ＄19.3课题学习选择方案（一）导学案 (149) ＄19.3课题学习选择方案（二）导学案 (153) ＄20.1.1平均数（一）导学案 (156) ＄20.1.1平均数（二）导学案 (161)
勾股定理全章知识点总结大全 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2 ） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+， 22b c a =-，22a c b =-） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2 >a 2 +b 2 ，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化 简得证 6：勾股数 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b
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