第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3
811411
02---;
解
3
81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b
a c a
c b c b a ;
解
b
a c a c
b
c b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc
=3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
22111c b a c
b a ;
解
2
22111c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)
y
x y x x y x y y x y x +++.
解
y
x y x x y x y y x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为
2
)1(-n n :
3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)
(6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n (n -1) :
3 2(1个) 5 2, 5
4 (2个) ? ? ? ? ? ?
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)
4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?
(2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.
解 含因子a 11a 23的项的一般形式为 (-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,
其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和
42.
所以含因子a 11a 23的项分别是
(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,
(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:
(1)
7
110
0251020214214;
解
711002510202142140100142310202110
21
473
234-----======c c c c 34)1(14
3102211014+-?---=
1431022110
14--=01417172001099323
211=-++======c c c c . (2)
2
605
232112131412
-;
解
2605232112131412-2
6050321221304122
4
--=====c
c 0
4120321221
3041
224--=
====r r
00
0000321221
3041
214=--=
====r r .
(3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解
ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e
c b e
c b a
d f ---=
abcdef
adfbce 41
111111
11=---=.
(4)
d
c b a 100
110011001---.
解
d c b a 1001100
11001---d
c b a ab ar
r 1001100110
1021---++=====
d
c a ab 101101)
1)(1(1
2--+--=+0
1011123-+-++=====cd
c ad
a a
b d
c c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(2
3=abcd +ab +cd +ad +1
.
5. 证明:
(1)1
11222
2b
b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1
11
2222b b a a b ab a +0
012222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)
1(2221
3-----=+2
1)
)((a b a a b a b +--==(a -b )3 .
(2)
y
x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++
bz
ay by ax x by
ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz
ay y x by
ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y
x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x
z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=
y
x z x
z y z y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()
3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222
2222
2
222
2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明
2
2
2
2
222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,
c 3-c 2, c 2-c 1得)
5
2321252321252321252321222
22
++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,
c 3-c 2得)
02
2
1
222122
21222122
2
22=++++=d d c c b b a a .
(4)4
44
4
2222
1111
d c b a d c b a d c b a
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );
证明
4
44422221111d c b a d c b a d c b a
)
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d
c b a
d a c a b +++---=
)(())((001
11))()((d
b d d a b
c b c c
d b c a d a c a b -++--
----=
()(11)
)()()()((d d a b c c b d b c a d a c a b +
++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
22
1 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +?
??-??????????
???????????-???--- =x n +a 1x n -1+ ?
? ? +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明. 当n =2时, 2121
221
a x a x a x a x D ++=+-=
,
命题成立.
假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1
=x n -1+a
1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1,
则D n 按第一列展开, 有
1
1
1 00 1
00 01)1(1
1-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n
=xD n -1+a n
=x n +a
1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .
因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得
n
nn
n a a a a D 11111 ????
???????????=,
1
1112 n nn
n a a a a D ????
???????????= ,
11
113 a a a a D n n
nn ????
???????????=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==
, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以
n
nn n n n n
nn
n a a a a
a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ?
?????????????????-=???????????????=-
???=?
????????????????????--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a
D
D n n n n 2
)
1()
1()2( 21)
1()
1(--+-+???++-=-=.
同理可证
nn
n n n n a a a a D ???????????????-=- )
1(11112
)
1(2D
D n n T
n n 2
)1(2
)
1()
1()
1(---=-=.
D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)a
a
D n
1
1
?
??=, 其中对角线上元素都是a , 未
写出的元素都是0;
解
a
a a a a D n 0 0010 000 0
0 0000 001
0 00?????????????????????????????????=
(按第n 行
展开)
)
1()1(1
0 000 00 00
00 0010 000)1(-?-+????
??????????????????????????-=n n n a
a a
)
1()1(2 )1(-?-?
???-+n n n a a
a
n
n n n
n a
a a
+?
??-?-=--+)
2)(2(1
)
1()
1(=a n -a n -2
=a n -2(a 2-1).
(2)x
a
a
a x a
a a x D n ?
????????????????????=
; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 ,
再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -??????????????????-???-???-+=00
00 0 000 0
0 )1(=[x +
(n -1)a ](x -a )n -1.
(3)1
1
1 1 )( )1()( )1(11
11???-?????????-?
?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n n ;
解 根据第6题结果, 有
n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11 1
1)1(1112)1(1-???--?????????-?
?????-???-???-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++-
-+--=1
12
)
1(1)]
1()1[()
1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++-
--=1
12
)
1()]
([)
1(j i n n n j i
∏≥>≥++???+-++-
?
-?-=1
12
1
)1(2
)
1()()1()
1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-
=
1
1)(j i n j i .
(4)n n
n
n
n
d c d c b a b a D ?
???????????=
1
1112;
解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ?
???????????=
1
1112(按第1行展
开)
n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
111
11111
----?
???????????=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+?
?????
??????-+.
再按最后一行展开得递推公式 D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即
D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2.
于是
∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 2
2
2)(.
而
11111
11
12c b d a d c b a D -==
,
所以
∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(.
(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,
4
321 4 01233
1
0122 21011
3
210)det(?
??----?
?????????????????-???-???-???-???=
=n n n n n n n n a D ij n
0 4
321 1 1
1111 1
1111 111
11 1
111 213
2???----???????
??????????????----???---???--???--???-=
====n n n n r r r r
1
5
242321 0 2
2210 0
2210 00210 0
001 121
3-???----???????
??????????????----???---???--???-+???+=
====n n n n n c c c c
=(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +??????????????????+???+=
1 1
1 1 111
112
1, 其中
a 1a 2 ? ? ? a n ≠0.
解
n
n a a a D +??????????????????+???+=
1 1
1 1 111 112
1
n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-???????????????????
????????-???-???-???-=
====--10 0
01 000 100 0100 01
00 0
1133
2
212
132
1
1
1131
21
121110
000
11 000 00 110
00 01100 001 ------+-???-????
???????????????????????-???-??????=n n
n a a a a a a a a
∑=------+?????????????????????????
??????????????=n i i n
n a a a a a a a a 1
1
11
131********
00
1
000
00 100
00 01000 001
)1
1)((1
21∑
=+=n
i i
n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)?
????=+++-=----=+-+=+++0
1123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
21351324
1211111-=----=
D ,
14211
21051324
12211151-=------=
D ,
28411
20351224
12111512-=-----=
D ,
426
11
0135232422115113-=----=D ,
1420
2
1
321322
12151114=-----=
D ,
所以
111==D
D x , 22
2==
D
D x ,
3
33==
D
D x ,
144-==
D
D x .
(2)??
?
????=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为
6655
10006510006510
065100065
==D ,
15075
10016510006510
0650000611==D ,
1145510106510006500
0601000152-==D ,
7035
1
10
06500006010
0051001653==D ,
39551
000
6010000510
0651010654-==D ,
2121
1
0000510006510
0651100655==D ,
所以
66515071=x ,
66511452-
=x ,
665
7033=
x ,
665
3954-=
x ,
665
2124=
x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组
?????=++=++=++0
200321321321
x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 系数行列式为
μλ
μμμλ
-==1
21111
1D .
令D =0, 得
μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组
???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011
124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
?????++=++=++=3
21332123211
3235322y y y x y y y x y y y x ,
求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.
解 由已知:
?
???
?????? ?
?=???? ??221321323513122y y y x x x ,
故
??
??
?????? ?
?=???? ??-32
11
221323513122x x x y y y ???
?
?????? ??----=321423736947y y y ,
?????-+=-+=+--=321332123211
423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=3
2133212311
542322y y y x y y y x y y x ,
?????+-=+=+-=3
23312211
323z z y z z y z z y ,
求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
?
??? ?????? ?
?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z
???
?
?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3
21332123211
1610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设???? ??--=111111111A , ???
? ??--=150421321B ,
求3AB -2A 及A T B . 解
??
?
?
??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB
????
??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,
??
?
? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .
4. 计算下列乘积:
(1)??
?
?
?????? ??-127075321134;
解
???? ?????? ??-127075321134????
???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374???
? ?
?=49635. (2)???
?
??123)321(;
解 ???
?
??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).
(3))21(312-???
?
??;
解
)21(312-????
?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2?
??? ?
?---=632142.
(4)?
???
?
??---??? ??-20413121013143110412 ; 解
?
???
? ??---??? ??-20413121013143110412???
??---=6520876. (5)???
?
?????? ??32133231323221213121132
1
)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
???
?
?????? ??32133231323221213121132
1)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3
a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???
? ??321x x x
3
223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设
??? ??=3121A , ??
? ??=2101B , 问:
(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为
??? ??=6443AB , ??
? ??=8321BA , 所以
AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为
??
?
??=+5222B A ,
??? ????? ??=+52225222)(2B A ??
?
??=2914148,
但
?
?
?
??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??
?
??=27151610,
所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为??? ??=+5222B A , ??
?
??=-1020B A ,
??
?
??=??? ????? ??=-+906010205222))((B A B A ,
而
??
?
??=??? ??-??? ??=-718243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0; 解 取
???
??=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.
(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解 取
??
? ??=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .
(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取
??? ??=0001A , ??
? ??-=1111X , ??
? ??=1011Y ,
则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .
7. 设??
? ??=101λA , 求A 2, A 3, ? ? ?, A k .
解 ??
? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ,
??
?
??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A ,
? ? ? ? ? ?,
??
? ??=101λk A k .
8. 设???
?
??=λλλ001001A , 求A k .
解 首先观察
???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ???
? ??=222
002012λλλλλ,
????
??=?=3232
323003033λλλλλλA A A ,
????
??=?=43423434004064λλλλλλA A A ,
??
?
?
??=?=545345450050105λλλλλλA A A ,
? ? ? ? ? ?,
??=k
A k
k k
k k k k k k k λλλλλλ00
02)1(12
1----????
? . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，
??
??
???????
?
??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002
)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A
????
?
? ??+++=+-+--+11111100)1(02
)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:
?????
?
??-=---k k k
k k k k k k k k A λλλλλλ0002
)1(1
21. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.
证明 因为A T =A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而
B T AB 是对称矩阵.
10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .
证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)??
?
??5221; 解
??
?
??=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为
?
?? ??--=???
??=1225*22122111A A A A A ,
故
*||1
1A A A =
-??
? ??--=1225.
(2)??
?
??-θθθθcos sin sin cos ;
解 ??
? ??-=θθθθc os s in s in c os A . |A |=1≠0, 故A -1存
在. 因为
??? ??-=???
??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,
所以
*||1
1A A A =
-??
? ??-=θθθθcos sin sin cos .
(3)???
?
??---145243121;
解
???
?
??---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因
为
????
?
?-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,
所以
*||11
A A A =-????
?
??-----=17162
13213012.
(4)?
?
??
?
??n a a a 0021(a 1a 2? ? ?a n ≠0) .
解
?
????
??=n a a a A
002
1, 由对角矩阵的性质知
??
???
??
?
??=-n a a a A 100112
11
.
12. 解下列矩阵方程: (1)??
?
??-=??? ??12643152X ; 解
??? ??-??? ??=-126431521
X ?
?
?
??-??? ??--=12642153??
? ??-=80232.
(2)??? ??-=???
?
??--234311*********X ;
解
1
111012112234311-?
??
?
??--?
?? ??-=X
?
??
?
??---??? ??-=03323210123431131
????
??--
-=3253
8
122. (3)?
?
?
??-=??? ??-??? ??-101311022141X ;
解
1
1
110210132141--?
??
??-??? ??-??? ??-=X
??
? ????? ??-??? ??-=21011013114212
1
??? ????? ??=2101036612
1
???
?
??=04111. (4)???
?
??---=???? ?????
?
??021102341010100001100001010X
. 解
1
1
010100001021102341100001010--??
?
? ?????? ??---???? ??=X
???
?
?????? ??---???? ??=010100001021102341100001010???
? ??---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)???
??=++=++=++3
532
5221
32321321321x x x x x x x x x ;
解 方程组可表示为
???
?
??=???? ?????? ??321153522321321x x x ,
故 ????
??=???? ?????? ?
?=???? ??-0013211535223211
321x x x , 从而有
???
??===0
01
321x x x .
(2)???
??=-+=--=--0
5231322
321321321x x x x x x x x x .
解 方程组可表示为
???
?
??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x ,
故 ???
?
??=???? ??????
??-----=???
? ??-3050125233121111
321x x x , 故有
???
??===3
05
321x x x .
14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+? ?
?+A k -1.
证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有
E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-? ? ?-A k -1+(A k -1-A k )
=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有
(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求
A -1及(A +2E )-1.
证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或
E E A A =-?)(2
1
,
由定理2推论知A 可逆, 且)(2
1
1E A A -=
-. 由A 2-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或
E
A E E A =-?+)3(4
1
)2(
由定理2推论知(A +2E )可逆, 且
)3(4
1
)2(1A E E A -=
+-.
证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得
|A 2-A |=2,
即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,
所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆.
由 A 2-A -2E =O ?A (A -E )=2E ?A -1A (A -E )=2A -1E ?
)(2
1
1E A A -=
-, 又由 A 2-A -2E =O ?(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ? (A +2E )(A -3E )=-4 E ,
所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,
)3(4
1
)2(1A E E A -=
+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 2
1||=
A , 求|(2A )-1-5A *|.
解 因为*|
|1
1A A A =
-, 所以
|||52
1|
|*5)2(|11
1----=-A A A A A |2
521|
1
1---=A A
=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8?2=-16.
17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.
证明 由*|
|1
1A A A =
-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有
|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又
*)(||)*(|
|11
11---==
A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明
(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得
A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.
(2)由于*|
|1
1A A A =
-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到
|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;
若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.
19. 设???
?
??-=321011330A , AB =A +2B , 求B .
解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故
??
?
?
??-???? ??---=-=--321011330121011332)2(1
1
A E A
B ???
?
??-=011321330. 20. 设???
?
??=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .
解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).
因为010
010101
00||≠-==-E A , 所以(A -E )可
逆, 从而
???
?
??=+=201030102E A B .
21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1
)2
1
,1 ,21(diag 4-=
=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵A 的伴随阵????
?
??-=80
3
00101001
0000
1*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,
B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A
11*)2(6*)2
1
(3---=-
=A E A E
???
?
? ??-=??
??
?
??--=-10
30
060600600006603
01010010000161
. 23. 设P -1AP =Λ, 其中??
? ??--=1141P
,
??
? ??-=Λ2001, 求A 11.
解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,
??
?
??-=1141*P ,
???
??--=
-1141311P , 而 ??
?
??-=?
?
? ??-=Λ1111
11
20 012001,
故
?
??
?? ??--??? ??-??? ??--=313
13431200111411111A ??? ??--=68468327322731.
24. 设AP =P Λ, 其中???
? ??--=11120111
1P ,
?
??
? ??-=Λ511,
求?(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ?(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
?(A )=P ?(Λ)P -1
*)(|
|1
P P P Λ=
?
???
? ??------???? ?????? ??---=12130322200000000111120111
12
???
?
??=1111111114.
25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为
A -1(A +
B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,
而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.
(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .
26. 计算?
?
?
?
? ??---?????
??300032001210130130
00
12001010
0121
.
解 设
??
? ??=10211A , ???
??=30122A , ??? ??-=12131B , ?
?
?
??--=30322B ,
则
??? ????? ??2121B O B E A O E A ??? ??+=2
22111B A O B B A A , 而 ?
?
?
??-=??? ??--+??? ??-??? ??=+4225303212131021211B B A ,
??
?
??--=??? ??--??? ??=90343032301222B A ,
所以
??? ????? ??2121B O B E A O E A ???
??+=2
22111B A O B B A A ?
?
?
?? ??---=9000340042102521,
即
?
?
??
? ??---????? ??3000
320012101301300
120010100121?
?
?
?
? ??---=9000340042102521
.
27. 取
??
?
??==-==1001D C B A , 验证
|
||||||| D C B A D C B
A ≠.
解
4100120021
010*********
00
21010
0101
1010
0101
==--=--=D C B A , 而
0111
1|||||||| ==D C B A , 故
|
||||||| D C B A D C B A ≠.
28. 设?
??
??
??-=220
23443O O A , 求|A 8|及A 4.
解
令??? ??-=34431A , ?
?
? ??=22022A ,
则
?
?
?
??=21A O O A A ,
故 8
218
??? ??=A O O A A ??
? ??=828
1A O O A ,
1682818
281810||||||||||===A A A A A .
????
?
??=???
??=4644
4
4241
4220
25005O O A O
O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求
(1)1
-?
?
? ??O B A O ;
解 设??
?
??=?
?
?
??-43211
C C C C O B A O , 则
??? ??O B A O ??
?
??4321C C C C ??? ??=??
? ??=s n E O O E BC BC AC AC 2143.
由此得
?????====s n E BC O BC O AC E AC 21
43??????====--1
2
141
3B C O C O C A
C , 所以 ??
? ??=?
??
??---O A B O O B A O 11
1
.
(2)1
-?
?
? ??B C O A .
解 设??
?
??=?
?
?
??-43211
D D D D B C O A , 则
??? ??=???
??
++=??? ????? ??s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 423
1214321. 由此得
?
????=+=+==s n E BD CD O
BD CD O
AD E AD 423
121??????=-===----14
1
132
1
1B D CA B D O D A D ,
所以 ??
? ??
-=?
?
?
??-----11
1
1
1
B CA
B O A B
C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:
(1)????
?
??25
00
380000120025
; 解 设
??? ??=1225A , ??
? ??=2538B , 则
??
? ??--=?
?
? ??=--522112251
1A ,
??
?
??--=?
?
?
??=--853225381
1B .
于是
??---=?
?? ?
?=???
??=????
? ??----5
002
00052
2125
00
380000120025
11
1
1
B A B A .
(2)????
?
??41
21
0312********. 解 设
??
? ??=2101A ,
??? ??=4103B , ?
?
?
??=2112C , 则
??
?
??-=???
??=????
?
??------11
1
11
1
4121031200210001B CA
B O A B
C O A
???????
?
?
?-----=4112124581031
612100
21
210001.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)???
?
??--340313
021201; 解 ????
??--340313
021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~???
? ??---020031
00120
1(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~????
??--010*********(下一步: r 3-r 2. )
~????
??--300031001201(下一步: r 3÷3. )
~????
??--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )
~???
?
??-100001
001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )
~???
?
??100001000001.
(2)???
?
??----174034
301320; 解 ???
?
??----174034
301320(下一步: r 2?2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )
~???
? ??---3100310
013
20(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )
~????
??0000310010020(下一步: r 1÷2. )
~???
?
??000031005010.
(3)?
?
?
?
?
??---------12433023221453334311
;
解 ?
?
?
?
?
??---------124
3
3
023*******
34311(下一步: r 2-3r 1,
r 3-2r 1, r 4-3r 1. )
~???
?
? ??--------1010500663008840034
311(下一步: r 2÷(-4),
r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )
~???
?
?
??-----22
1002210022
10034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )
~???
?
?
??---00000000002210032011.
(4)?
?
?
?
?
??------34732038234202173132
.
解 ?
?
?
?
?
??------3473
2038234202
173132(下一步: r 1-2r 2,
r 3-3r 2, r 4-2r 2. )
~?
??
??
??-----1187
701298804202111110(下一步: r 2+2r 1,
r 3-8r 1, r 4-7r 1. )
~???
?
? ??--41000410002020111110(下一步: r 1?r 2, r 2?(-1),
r 4-r 3. )
~?
?
?
??
??----000004100011110
20201(下一步: r 2+r 3. )
~??
?
?
?
??--000
00
4100030110
20201.
2. 设???
?
??=???? ?????? ??987654321100010101100001010A , 求
A .
解 ???
?
??100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其
本身.
???
?
??100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是
E (1, 2(-1))
???
?
??-=100010101.
???
?
??-???? ?????? ??=100010101987654321100001010A
???
?
??=???? ??-???? ??=287221254100010101987321654.
3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1)???
? ??323513123;
解
???? ??100010001323513123~???
?
??---101011001200410123
~????
??----1012002110
102/102/3023~???? ??----2/102/11002110102/922/7003 ~???
?
??----2/102/11002110
102/33/26/7001
故逆矩阵为?????
? ??----21021211233267. (2)?
????
??-----1210
232112201023.
解 ????
?
??-----10
000100001
000
011210
232112201023
~????
?
??----0010030110
0001
001220594012102321 ~???
?
?
??--------20104301100001001200110012102321
~???
??
??-------106124301100001001000110012102321
~???
?? ??----------10612631110`1022111000010000100021
~?
??
?
?
??-------106126
3111010421110
00
01000010
0001
故逆矩阵为???
?
?
??-------10612631110104211.
4. (1)设???? ??--=11312
2214A , ???
?
??--=132231B , 求X 使AX =B ; 解 因为
??
?
?
??----=132231 113122214) ,(B A ???
? ??--412315210 1000100
01 ~r
, 所以
???
? ??--==-412315210
1B A X .
(2)设???
? ??---=43331
212
0A ,
??
?
??-=132321B ,
求X 使XA =B .
解 考虑A T X T =B T . 因为
??
??
??----=134313*********) ,(T T B A ???
?
??---411007101042001 ~r
, 所以 ??
?
?
??---==-417142)(1T T T
B A X
,
从而 ??
?
??---==-4741121
BA
X .
5. 设???
?
??---=101110
011A , AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为
???
?
??---------=-101101110110011011) ,2(A E A
???
?
??---011100101010110001~, 所以
???
?
??---=-=-011101110)2(1A E A X .
6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?
解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.
例如,
???
?
??=010*********A , R (A )=3.
00
0是等于0的2阶子式,
10001000是等于0的3
阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?
解 R (A )≥R (B ).
这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.
8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是 (1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下
三角矩阵:
?????
?
??-00
00001000001010001100
001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
(1)???
?
??---4431121
12013;
解 ????
??---4431121
12013(下一步: r 1?r 2. )
~???
?
??---44312013
1211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )
~????
??----56405640
1211(下一步: r 3-r 2. ) ~??? ??---0000
56401
211,
矩阵的2
秩为
,
41
11
3-=-是一个最高阶非零子式.
(2)???
?
??-------815073131
213123;
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第三章 行列式及其应用 §3-1 行列式的定义 一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
线性代数重点 第一章 行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素 都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .
习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
第四章 向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示 证明由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T
证明A组与B组等价 证明由 知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明 (1) a1能由a2a3线性表示 (2) a4不能由a1a2a3线性表示 证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示 (2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为 所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为 所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为A由 如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案） 8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使 (a1b)2(a2b)0 1
习题三 （A ） 1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵： (1) 112332141022-?? ?= ? ???（2）111113 1320461135-?? ?- ?= ? ???（3）2451212211 1212136363--? ? ? -- ?= ? -- ?---?? 2.设A 123012425? ? ?=- ? ???，010(1,2)100001? ? ?= ? ???E ，100(3,2(5))010051?? ? = ? ??? E . 试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A . 3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵： (1) A 101110012?? ?=- ? ??? （2）A 211124347--?? ?=- ? ?-??（3）A 1111022200330004?? ? ?= ? ??? 4.用初等变换解下列矩阵方程： (1) 设A 101110120? ? ? = ? ???，102102-?? ?= ? ??? B ，且AX =B ，求X . （2）设A 220213010? ? ?= ? ??? ，且+AX =A X ，求X . 5.设矩阵A 122324111222-?? ?=-- ? ?-?? ，计算A 的全部三阶子式，并求()R A . 6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明. 7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明. 8.求下列矩阵A 的秩： (1) 310211311344?? ? =-- ? ?--??（2 ）1121224230610304-?? ?- ?= ?- ?-??（3）1221 12480 22423336064--? ? ? - ?= ?-- ?--?? (4) 112205123λλλ-?? ?= ? ?-?? (5) 111 111λ λλ?? ? = ? ???