第十九章 隐函数存在定理和隐函数求导法
周庆华
§19.1 隐函数的求导法
练习三（P53）
1. 设x xze z y x =++2，求： (1) x z ，xx z ；
解：方程两边同时对x 求导，得：
x x x x x z xe xze ze z z ++=?+21 (19.1-1) 由上式可得：
x
x x x xe
z xze ze z --+=21
； 对方程(19.1-1)两边对x 求导，得：
xx x x x x x x x x x x x x x xx z xe z xe z e e xz xze ze e z ze z z z +++++++=+?2
22 由上式可得：
x
x
x x x xx xe z z x z e x ze z --+++=22)1(2)2(2
。
(2) z x ，zz x ；
解：方程两边同时对z 求导，得：
z x
x z x z x x z e ze x xe z x ++=+2 (19.1-2)
由上式可得：
x
x x z x z e
ze z
xe x ---=12； 对方程(19.1-2)两边对z 求导，得：
x z x z x zz z x x z zz ze x e x ze x x xe e x x 2
2++++=+ zz x z x z x x z x xze x xze x xe ze x ++++2
2 由上式可得：
x
x z x z x z x x z zz xze ze x xze x ze x xe e x x ---+++=12
2222
2
。
2. 设y x yz x sin =+，求： (1) x y ，xx y ；
解：方程两边同时对x 求导，得：
x x y y x y zy ?+=+cos sin 1 (19.1-3)
由上式可得： y
x z y y x c o s 1
s i n --=
；
方程(19.1-3)两边对x 求导，得：
x xx x xx y y x y y x y y zy ?-?+?=sin cos cos 2 由上式可得： y
x z y
x y y y y x x xx cos sin cos 2--=。
(2) y x ，yy x ；
解：方程两边同时对y 求导，得：
y x y x z x y y s i n c o s +=+ (19.1-4)
由上式可得： y
z
y x x y s i n 1c o s --=
；
方程(19.1-4)两边对y 求导，得：
y x y x y x y x x y yy y yy cos sin cos sin +++-= 由上式可得： y
y
x y x x y yy sin 1sin cos 2--=
。
3. 设0),,,(=--z x xyz y x xy F ，并且F 有一阶连续偏导数，求： (1) x z ；
解：方程两边同时对x 求导，得：
0)1()(4321=-++++?x x z F xyz yz F F y F
由上式可得：
3
44
321xyF F F yzF F yF z x -+++=；
(2) x y ；
解：方程两边同时对x 求导，得：
0)()1()(4321=+++-++F x z y yz F y F xy y F x x x
由上式可得： 3
214
321x z F F xF F yzF F yF y x +-+++-
=。
4. 设0),,,,,(4343212
1=+x x e x x x x F x x ，并且F 有一阶连续偏导数，求：
(1)
3
4
x x ??； 解：方程两边同时对3x 求导，得： 0)1(3463443=??++???
+x x
F x x F F 由上式可得：
6
463
34
F F F F x x ++-=??； (2)
2
3
x x ??； 解：方程两边同时对2x 求导，得：
02
361523322
1=???+?+???+x x F e x F x x F F x x 由上式可得：
6
35
122321F F F e x F x x x x ++-=??。 5. 设???=+=+,0,
0xv yu yv xu 求：u x ，u y ，uu x ，uv x 。
解：将方程组关于u 求导，由链式法则得：
???=++=++,
0,
0v x y u y v y x u x u u u u (19.1-5)
解得：
2
2
v u xu
yv u v v u u y
v
x x u --=-
=； 2
2
v u yu
xv u
v v u y v x
u y u --=-=； 对方程组(19.1-5)两边同时对u 求导，得：
???=++=++0
202u y y v x v y x u x uu u uu uu u uu
解得：
2
22222v u ux vy u
v v u u
y v x x u
u u u uu --=
-
=；
对方程组(19.1-5)两边同时对v 求导，得：
???=+++=+++00u y y x v x y v y x u x uv v u uv u uv v uv
解得：
2
2)
()(v
u y x u y x v u
v v u u
y x v y x x u v v u v
u u
v uv -+-+=
++-
=。 6. 设???-=+=),(),,(2
y v x u g v y v x u f u ，其中f ，g 都可微，求：x u ，x v 。 解：方程组两边同时对x 求导，得：
???=-?+-=-++020
211321x x x
x x x v vyv g g u g u v f f u f
解得：
1
21f 12f 21
31213
2
-----
=vyg g f vyg g f u x ；1
21f 1
f 21
311
1
21-----
=vyg g f g g f v x 。
7. 设),(z y x x =，),(x z y y =，),(y x z z =是由方程0),,(=z y x F 所确定的可微函
数，证明：
1-=????????x
z z y y x 。
证明：考虑方程0),),,((=z y z y x F ，两边对y 求导，得：
021=+???
F y x F ， 故：1
2F F y x
-=??； 考虑方程0)),,(,(=z x z y x F ，两边对z 求导，得： 032=+???
F z y F ， 故：2
3F F z y
-=??； 考虑方程0)),(,,(=y x z y x F ，两边对x 求导，得： 031=???
+x z F F ， 故：3
1F F x z
-=??； 易见：
1-=????????x
z z y y x 。 8. 设??
?
??==+,sin sin ,v u y x u y x 求：du ，dv 。
解：首先易知：dy dx du +=；
由方程组的第二个方程，得：)sin(sin y x x
y
v +=
故：??
? ??+=)sin(sin y x x y d v d
即：
dy x y x y x y x dx x y x y x y x y vdv ??
?
??+++++-+=
)cos()sin()sin()cos(cos 2。
9. 设v u e x +=，uv e y =，uv z =，求：在点)1,0(),(=v u 处的dz 和z d 2。 解：注：此题与x ，y 无关。
udv vdu dv z du z dz v u +=+=；故：du dz =)1,0(；
dudv udv vdu d dz d z d 2)()(2=+==；故：dudv z d 2)1,0(2=。 10. 设θ?cos cos =x ，θ?sin cos =y ，?sin =z ，求：x z ，y z 。 解：?θ?θ?sin )),(),,((==y x z z ，
故：?θ?θ????cos sin sin cos sin =?-?-=+=y x y x z z y z x z z
0cos cos sin cos =?+?-=+=y x y x z z y z x z z θ?θ?θθθ 由上面两式，解得：
θ?θ??θ??θ
?cos sin cos sin cos cos sin cos cos 222ctg z x -=--=；
θ?θ??θ??θ
?sin sin cos sin cos cos sin sin cos 2
22ctg z y -=--=。 11. 设v u x +=，22v u y +=，33v u z +=，求：x z ，y z ，xx z ，yy z 。
解：1=+x x v u ；022=+x x vv uu ；解得：u v v u x -=
；v u u v x -=； 0=+y y v u ；122=+y y vv uu ；解得：v u u y 221-=
；u
v v y 221
-=； 故：
uv v v u u z x x x 33322-=+=； )(2
3
3322v u v v u u z y y y +=+=；
)(333v u uv v u z x x xx +-=--=； 0)(2
3
=+=y y yy v u z 。
§19.2 隐函数存在定理
练习三 （P60）
1．设方程组
0),,,,,,(121=+n i i j x x x x x F ，i j ,2,1 =， 问：在什么条件下由方程组可以确定唯一的一组 ),,(1n i j j x x x x +=，i j ,2,1 =，
并且j x 关于n i x x ,,1 +有连续的偏导数？写出求偏导数的公式。
解：假设j F ，i j ,2,1 =在),,,(0
0201n x x x 点的某邻域中存在一阶连续偏导数，
且0),,,(00201=n j x x x F ；行列式0det ≠???
? ????k j x
F ，i k j ≤≤,1，则方程组可以确定唯一的一组函数),,(1n i j j x x x x +=，i j ,2,1 =，并且j x 关于n i x x ,,1 +存在连续
的偏导数。
下面给出求偏导数的公式：
取定k (n k i ≤≤+1)，方程组两边同时对k x 求导，得：
02211=??+?????++?????+?????k j
k i i j k j k j x F x x x F x x x F x x x F ，i j ,2,1 = (19.2-1) 由此可以推出：
i
i l
j
i
i k
j
k j x F x F x x **???? ???????? ????-
=??。 说明：上式右端的分子是将(19.2-1)的常数项替换分母系数矩阵的第j 列。
2．设方程组 ???=+++=++-+1
4
222uv zu yz xy v u z y x ，求：
(1) 在什么条件下可以确定x ，y 是z ，u ，v 的可微函数？ 解： 关于x ，y 的Jacobi 行列式：
022
1≠-+=+y z x z
x y 时，可以确定x ，y 是z ，u ，v 的可微函数。 (2) 在什么条件下可以确定z ，u 是x ，y ，v 的可微函数？ 解：关于z ，u 的 Jacobi 行列式：
0)(2)(222≠+-+-=++-u y u v z z v
z u y u
z 时，可以确定z ，u 是x ，y ，v 的可微函数。