安徽大学20 09 —20 10 学年第 2 学期 《 复变函数 》考试试卷（A 卷）
（时间120分钟）
院/系 专业 姓名 学号
填空题（每小题3分，共15分）
1、设函数()f z =，则()f z 有支点（ ）.
2、设函数()sin f z z =，则在z 平面上有sin 1z ≤正确吗？，答：（ ）.
3、设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，若u 是常数，则v 是（ ）.
4、若()()()()2
20
1213n n f z
c z z z ∞
===-+-∑，则()f z 在2z =处的泰勒级数的半径是
（ ）.
5、设级数1n
n i n
∞
=∑，则级数（ ）收敛.
二、计算题（每小题10分，共50分.注：在第2题中（1）和（3）题 为3分，（2）和（4）题为2分）
1、设()
w z =确定在从原点0z =起沿负实轴割破了的z 平面上并且()w i i =-，试求
()w i -之值.
2、设函数()()()
1
12f z z z =
--，在下列解析区域内展开成洛朗级数：
（1）1z <，（2）12z <<，（3）2z <<∞，（4）011z <-<
3、若()()3232f z my nx y i x lxy =+++在z 平面上解析，这里,,m n l R ∈，试求：
,,m n l 之值和()f z '
4、计算()
2
2
sin
1z z dz z z =-?
之值.
5、若()22u u x y =-，试求z 平面上解析函数()f z u iv =+，
三、证明题（每小题10分，共20分.注在第2题中每小题5分）
1、 证明：若区域D 内不恒为常数的解析函数()f z ，在D 内的点0z 有()00f z ≠，则()
0f z 不可能是()f z 在D 内的最小值.
2.证明：（1）在z 平面上，有11z z
z e e z e -≤-≤；
（2）当01z <<时，有17144
z z e z <-<
四、思考题（每小题5分，共15分）
1、说明复变函数可微性与解析性的关系；
2、()sin f z z =在z 平面上解析且有无穷多个零点，但在z 平面上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？
3、()1
sin f z z
=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于
零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？
《计量经济学》课程教学日历 一、课程名称 计量经济学Econometrics 二、课程编码 三、学时与学分48/3 四、先修课程 １、微观经济学与宏观经济学基本经济理论 ２、概率论与数理统计 ３、微积分 五、课程教学目标 计量经济学是在对社会经济现象作定性分析的基础上，探讨如何运用统计模型方法来定量描述具有随机性特征的经济变量关系的应用经济分支。通过本课程的学习，学生可以掌握计量经济学的基本原理和方法，了解计量经济学的应用领域，学会用计量经济模型对实际经济问题进行实证分析。该课程在学生知识结构中占有重要位置，是研究能力和实践能力的重要组成部分。 教学基本要求：（1）了解计量经济学与经济学、统计学、数学等学科的关系。（2）熟练掌握单方程模型和联立方程模型的基本估计理论和检验方法，能够建立并应用简单的计量经济模型分析实际经济问题。（3）熟练掌握EViews软件的基本使用方法，能够使用该软件选择模型，进行经济预测、政策评价、实证研究等经济分析。（4）了解应用计量经济学的基本内容，熟悉构造理论计量经济模型的基本方法，以及计量经济模型在不同领域的具体应用。（5）具备进一步学习和应用计量经济学理论、方法的基础和能力。 六、适用学科专业 管理学院各专业 七、基本教学内容与学时安排 引言（3学时） 教学内容： 第一节、计量经济学的定义：计量经济学的三要素，研究对象，在经济学科中的地位。 第二节、计量经济模型：模型，经济模型，计量经济模型及其特点。 第三节、建立计量经济模型的步骤：建立模型，估计参数，模型检验，模型应用。（散点图。先验信息。几种常见的数据类型。计量经济模型检验包括的几个方面。） 第1篇：单一方程回归模型（共9章）（24学时） 教学内容： 第1章：回归分析的性质 第2章：双变量回归分析：一些基本概念。 第3章：双变量回归模型：估计问题。 第4章：经典正态线性回归模型。
复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 第二章 需求曲线和供给曲线 （ 1）需求函数 Q d f P 线性需求函数 Q d P 供给函数 Q s f P 线性供给函数 Q s P 弧弹性公式 e y / x y x y x x y 点弹性公式 e dy / dx dy x y x dx y 需求的价格弹性系数 需求量变化的百分比 价格变化的百分比 （ 2）需求的价格弹性：弧弹性 Q / Q (Q 2 Q 1)/Q (Q 2 Q 1) / Q 1 Q 2 e d 2 P / P (P 2 P 1)/P P 1 P 2 ( P 2 P 1) / 2 （ 3）需求的价格弹性：点弹性 e dQ / dP dQ P d Q P dP Q （ 4）需求弹性的几何意义（以线性函数为例，如右图 dQ P GB CG GB CB FO e d Q CG OG OG AC AF dP （ 1）供给的价格弹性 点弹性： dQ dP dQ P e / s Q P dP Q 弧弹性： Q (Q 2 Q 1 Q 2 Q Q 1) / e s 2 P P (P 2 1 P 1)/ P P 2 （ 2）需求交叉价格弹性： 2 dQ x dP y dQ x P y e xy e xy Q x / P y dP y Q x （ 3）需求的收入弹性 : Q M dQ dM dQ M e M M Q Q / M 第dM 三章Q 效用论 （ 1）边际效用的表达式 Q 2 Q 1 . P 1 P 2 P 2 P 1 Q 1 Q 2 1） Q x Q x P y P y 1 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 XX学院 教学大纲 课程编号： XX 课程名称：微观经济学 课程性质：专业基础 适用专业：物流管理 课程负责人： XX 制（修）订时间： XX 专业负责人审核： 专业建设委员会审核： XX年 X月 《微观经济学》教学大纲 课程代码： 适用专业：微观经济学执笔人： XX 适用学期：第三学期审核人： XX 学时： 48 制（修）订时间：XX 一、课程定位 （一）课程性质 微观经济学是经济和经济各专业的核心课程和专业基础理论课。它以个量分 析法为基础，分析单个经济主体的经济行为，阐述价格机制的形成以及如何引导 市场经济主体实现稀缺资源有效配置，并说明市场失灵时，政府的作用。微观经 济学内容，主要包括：供求原理和弹性理论，消费者行为理论，生产理论，成本 理论，厂商均衡理论，收入分配理论，一般均衡与福利经济学，市场失灵和政府 的作用。 （二）课程在人才培养过程中的作用 本课程的教学，旨在让经济与经济类的学生了解和掌握现代微观经济学的基 本概念和理论，认识这一学科的基本构架和分析逻辑，掌握实例分析、简单的数 学模型分析方法和技巧,培养学生经济思维能力，使学生能够运用经济学基本原 理，观察、分析和解释现实生活中比较简单和典型的经济现象和问题，初步了解 本学科最新发展，让学生具备良好的经济学理论基础和基本的经济分析能力，为 学习其他专业课提供必要的知识和能力。 （三）本课程与其他课程的关系 微观经济学是一门综合性、逻辑性强，又与现实经济生活紧密相连的学科。 因而，在教学中，首先要注意理论联系实际，充分利用现实生活中的事例说明抽 象的经济学理论，将学科理论的学习融入到对经济活动实践的探讨和认识之中， 复变函数论 复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域 令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有： ),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==?? ?? +==+= 初等复变函数： 指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： () iz iz e e i z --= 21sin , z z z cos sin tan = , z z z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。 3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z μ=± 212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 1cos sin 22=+z z 双曲线函数：() z z e e shz --= 21 ， () z z e e chz -+=21 ， chz shz thz = 对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数） （αααααArgz i z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数） （ααα ααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限z z f z z f z w z z ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作 函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为: )() ()()(lim lim 00z f dz z df z z f z z f z w z z '==?-?+=??→?→? 复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数 《复变函数》试卷 第 1 页 共 2 页 安徽大学2006—2007学年第二学期 《 复变函数 》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 一：填空题（每小题3分，共15分） 1．设vi u z f +=)(为复变函数，其中),(y x u u =，).(y x v v =，则)(z f 满足R C -条件，是指_____________。 2．设区域D 的边界为围线C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则解析函数)(z f 可有积分表达式为______________。 3．以无穷远点为n 阶极点的整函数的表达式为______________。 4．函数z w e =将区域0Im z π<<映照成区域___________。 5．若n n n z c z z z f )1()3)(1(1)(02-=-+=∑∞=，则)(z f 在1=z 处的泰勒级数展开的半径为________ 。 二、计算与解答（每小题15分，共45分） 1． 计算22sin (1)z z dz z z =-? 2、验证233),(xy x y x u u -==是复平面上的调和函数，并求一个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ， 使得i f =)0(。 3．求出一个从上半单位圆盘到上半平面的保形变换。 三、证明题（每小题15分，共30分） 1．设)(z f 是单位圆盘D 上的解析函数，D D f ?)(，且?D a ∈，0)(=a f 。 试证：z a a z z f --≤ 1)(，D z ∈ 2．若)(z f 在围线C 内部除可能有极点外解析且连续到C ，在C 上1)( 2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分 e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分 微观经济学计算公式(最全)17224 第二章 需求曲线和供给曲线 （1）需求函数 线性需求函数 供给函数 线性供给函数 弧弹性公式 点弹性公式 （2）需求的价格弹性：弧弹性 212112122 1 122 1121212.2 /)(2/ )(/)(/)(//e Q Q P P P P Q Q P P P P Q Q Q Q P P P Q Q Q P P Q Q d ++--=+-+-=--=??= （3）需求的价格弹性：点弹性 Q P dP dQ P dP Q dQ d e ?-=-=/ （4）需求弹性的几何意义（以线性函数为例，如右图1） AF FO AC CB OG GB OG CG CG GB Q P dP dQ e d ===?=?- = （1）供给的价格弹性 点弹性： 弧弹性： P Q s γδ+-=()P f Q d =P Q d βα-=()P f Q =s y x x y x x y y e ???=??= /y x dx dy x dx y dy e ?==/价格变化的百分比 需求量变化的百分比需求的价格弹性系数= Q P dP dQ P dP Q dQ s e ?==//)(2/ )(2 11 22 112P P P P Q Q Q Q P P Q Q e s +-+-=??= （2）需求交叉价格弹性： （3）需求的收入弹性: 第三章 效用论 （1）边际效用的表达式 （2）消费者均衡条件 （3）消费者剩余 （4）商品的边际替代率(MRS) （marginal rate of substitution ） （5）预算线（ budget line ） （6）均衡的条件 第五章 成本论 x y y x y y x x Q P dP dQ P dP Q dQ xy e ?==/y y x x xy P P Q Q e ??= Q M dM dQ M dM Q dQ Q M M Q M e ?==???=/()dQ dTU Q Q TU MU Q =??=→?lim I X P X P X P n n =+++ 2211λ====n n p MU P MU P MU 22 11()0 00 0Q P dQ Q f CS Q -=? dx dy x y MRS x xy = ??-=→?0lim 2 121 22112P I X P P X X P X P I +- =+=2 112P P MRS = 一．判断题 1. 设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。 （ × ） 2. 函数()Re f z z =在复平面上处处可微。 （ ×） 3. 若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. (× ) 4. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. (× ) 5. 若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. (× ) 6. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. (× ) 7. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. (√ ) 8. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. (√ ) 9. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ √ ） 10. 若函数f(z)是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ √ ） 11. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ √ ） 12. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（√ ） 13. 如果函数()f z 在1z ≤内解析，则1 1 m ax{()}m ax{()}.z z f z f z ≤==（ √ ） 14. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续. （√） 15. 若函数()f z 在0z 处满足Caychy-Riemann 条件，则()f z 在0z 解析. （ ×） 16. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0 lim ()z z f z →一定存在且等于零.（×） 17. 若函数f(z)在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常 数. （ √） 18. 设函数()f z 在复平面上解析，若它有界，则必()f z 为常数. （ √） 19. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( √ ) 20. 若z0是)(z f 的m 阶零点，则z0是1/)(z f 的m 阶极点. (√ ) 21. 若0 lim ()z z f z →存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （× ） 第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 : 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= ] 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z| 分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： 4、求根式 的值。 解： ππ4 5 |11| arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 π π2 3 sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 2 12312 1 21)1()1)(1()1(11--=--+-=?-+ +-+= -+ -i i i i -+-113 27 -)27arg(3 273π =-= ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析， 则0)(=?C dz z f （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算?-C z z z z e d ) 1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数32 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； （1）110<- 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 ) 2)(1(1 )(--= z z z f ，求 ) (z f 在 }1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ?-++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在 D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设 C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则 =+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 4. 幂级数0n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________ . 5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.复变函数试题与答案
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