第3章 罚函数法及改进算法
3.1 引言
罚函数法是解决约束优化问题的重要方法，它的基本思想是用无约束问题代替约束问题，因而无约束问题的目标函数必须是原来的目标函数与约束函数的某种组合，类似线性规划中的M 法求初始可行解，在原来的目标函数上加上由约束函数组成的一个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可行域，所以称为罚函数法。这样把约束问题转化成求解一系列的无约束极小点，通过有关的无约束问题来研究约束极值问题，从而使问题变的简单。许多非线性约束优化方法都要用罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要的作用，不同的罚项对算法影响很大，根据罚项的不同可以分为以下几类： 外罚函数法
对于问题
min ()f x (3-1)
.st ()0i c x = 1,2,,;i m =??? (3-2)
()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++??? (3-3)
其中:n f R R →为线性连续函数。
定义外罚函数为:
(,)L x σ()()f x P x σ=+()()f x Q x σ=+ (3-4) ()Q x =11
()min{0,()}m
n
i i i i m c x c x β
α
==++
∑∑
(3-5)
通常取==2αβ，这样定义的外罚函数法，当x 为可行点是，()0Q x =；当x 不是可行点时，()0Q x >。而且x 离可行域越远()Q x 的值越大，它优点是允许从可行域的外部逐步逼近最优点，但其明显的缺点是它需要求解一系列无约束极小化问题，计算工作量很大，且由于其收敛速度仅是线性的，往往需要较长的时间才能找到问题的近似解，再考虑到实际中所使用的终止准则，
若实现不当，则算法很难找到约束问题的一个较好可行解，从而不适用于那些要求严格可行性的问题。 内罚函数法
它是针对不等式约束(3-1)(3-3)提出的，基本思想是在约束区域的边界筑起一道“墙”来，当迭代点靠近边界时，函数值陡然增大，于是最优点被挡在可行域内部，这样产生的点列k x 每个点都是可行点。通常定义内罚函数为：
1
(,)()()B x f x B x σσ
=+
(3-6)
1
1
()()
m
i i B x c x ==∑
(3-7) 要减弱()B x 的影响，故令σ逐渐增大。内罚函数法的好处是每次迭代的点都是可行点，当迭代到一定阶段时，可以被接受为一个较好的近似最优解。但是内点罚函数法要求初始点位于可行域的内部，除特殊情况外，确定这样一个初始点并非易事。此外，由于内点罚函数不是处处有定义或不一定存在全局极小，故无约束最优化问题中的线性搜索方法不再适用，另外，当接近可行域边界时，内点罚函数法必须修正通常的线性搜索方法。
由于内点罚函数法不能处理等式约束，且寻求初始可行点的计算工作量往往太大。因此，在实际中，为了求解一般的非线性约束优化问题，人们往往将内点罚函数法与外点罚函数法结合起来适用。 混合罚函数法
混合罚函数法是针对问题(3-1)-(3-3)提出来的，当初始点0x 给定后，对等式约束和不被0x 满足的那些不等式约束用外罚函数法，而被0x 满足的那些不等式约束用内罚函数法。
通常定义混合罚函数为：
1
1
1
(,)()(
)()()
i I i P x f x P x c x σσσ
∈=+
+∑ (3-8) 2
2
2
1
()()min{0,()}m
i i i i I P x c x c x =∈=+∑∑ (3-9)
1{()0,1,2,
,}i I i c x i m m n =>=++
2{()0,1,2,
,}i I i c x i m m n =≤=++
精确罚函数法
对于外点罚函数法和内点罚函数法来说，其工作量很大，收敛慢的主要原因是它们需要求解一系列的无约束优化问题，而导致相应罚函数的无约束极小化运算越来越难于精确执行，效率差则是因为需要罚因子趋于无穷大或零所带来的罚函数呈病态问题。由此自然想到，能否设计出一种罚函数，使得只要令其中的罚参数取适当的有限值后，该罚函数的无约束极小点就恰好是原约束问题的最优解，从而克服外、内点罚函数法的缺点呢？通常称这样的罚函数为精确罚函数。
对问题(3-1)-(3-3)，定义()()()1()((),
())T m C x c x c x ---=如下
()()()i i c x c x -=，1,2,,i m =???
()()min{0,()}i i c x c x -=，1,2,,i m m n =++???
对于1L 罚函数
()
11
()()()P x f x C x σ-=+ 其中0σ>是罚因子。如果
σλ*∞≥
则在二阶充分条件
0T d W d *>，0d ?≠，0T A d *=
的假定下可证x *是1L 罚函数的局部严格极小点。所以1L 罚函数也常称为1
L 精确罚函数。同理，L ∞罚函数()
1()()()P x f x C x σ-∞
=+也是精确罚函数。 乘子罚函数法
内外罚函数法的缺点是需要罚因子趋于无穷大才能使求解罚函数的极小和求解原向题等价。乘子罚函数法具有不要求初始点为严格内点，甚至不要求其为可行点的特点，它利用近似Lagrange 乘子，求其近似解，并且逼近最优解，而不需要无穷大的罚因子，因此对它的研究有重要的理论和实用价值。
最早的乘子罚函数(又称为增广Lagrange 函数)是由Henstenes(1969)针对等式约束问题(3-1)(3-2)导出的，其形式为:
2
(,,)()()()2
T P x f x c x c x σ
λσλ=-+
(3-10)
增广Lagrange 函数的另一种等价形式是在1969年由Powell 提出的，它提出对()i c x 进行平移，即用()i i c x θ-代替()i c x ，i θ是参数，这种平移的好处是不破坏()i c x ?的方向，由此Powell(1969)得到罚函数:
2
1
(,,)()()(())
2
m
T
i
i
i P x f x c x c x σ
λσλθ==-+
-∑ (3-11)
如果定义i i λσθ=，则知式(3-10)与(3-11)只相差与x 无关的项
21
2
m
i
i σ
θ=∑，
由于式(3-10)与(3-11)等价，故罚函数(3-10)也称为Henstenes-Powell 罚函数。
我们看到通常都是用二次罚函数作为罚项，因此称之为二次罚函数乘子法。然而，它的缺点是容易引起罚因子过大，造成罚函数的Hesse 矩阵严重病态。
许多非线性约束优化方法都要用某个罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要的作用，因此对不同罚项的研究具有重要的理论和实际价值。近年来，许多研究者试图通过改变罚项构造出新的罚函数，有效地避免罚因子过大引起的罚函数的Hesse 矩阵严重病态的情况。
3.2 优化中的罚函数法
对一般约束最优化问题
min ()f x (3-12) .st ()0i c x = 1,2,,;i m =???
(3-13) ()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++??? (3-14)
定义1 称
(,)k L x σ()()k f x P x σ=+()()k f x Q x σ=+ (3-15)
为问题(3-12)-(3-14)的优化罚函数，0σ>为罚因子，其中罚项
1
1
()[(())]{(min[0,()])}m
n
i i
i i m Q x q c x q c x ==+=+
∑∑ (3-16)
()q t 其中t R ∈且满足如下性质：
(1) ()q t 在R 中连续可微且为对称凸函数；
(2) 对?t R ∈，()0q t ≥；当且仅当0t =时，()0q t =； (3) lim ()t q t →+∞
=+∞，lim ()t q t →-∞
=-∞。
若定义
~
()()min[0,()]i i i c x c x c x ?
=?
?
1,2,,1,2,,i m i m m n ==++ 则x 是可行点当且仅当()0i c x =。
我们通过(,)k L x σ的极小点(其中k σ为一定值)，得到相应无约束极小点，序列{}k x 来逼近约束问题(3-12)-(3-14)的极小点*x 。
罚函数算法：
步1 选定初始点为0x ；选取初始惩罚因子10σ>(可取11σ=)，惩罚因
子的放大系数1c >(可取10c =)；置1k =。
步2 以1k x -为初始点，求解无约束问题min (,)n
k x R
L x σ∈， 其中(,)()()()()k k k L x f x P x f x Q x σσσ=+=+，设其极小点为k x 。 步3 若()k Q x σε<，则k x 就是所要求的最优解，停止；否则转下一步。 步4 置1k k c σσ+=；1k k =+，转步2。
由罚项的特点，当k 趋向于无穷时，随着k σ的不断增大，对每个不可行点的惩罚()k Q x σ也不断增大并趋向于无穷。因此，在对应于k σ的无约束极小化问题的最优解k x 处，()k Q x σ的值应不断减小，从而保证k x 逐步趋于可行并最终达到问题(3-12)-(3-14)的最优解。由()Q x ，(,)k L x σ的定义及极小点的含义，我们很容易证明下列结论。
引理1 给定0k σ>，k x 是(3-15)的解，则k x 也是约束问题
min ()n
x R
f x ∈ (3-17)
.st |()|i i c x μ≤ 1,2,,
i n = (3-18) 的解，其中~
|()|i i k c x μ=。
证明 由()q x 的性质知在(0,)+∞是增函数，且 ~~
(|()|)(|()|)i i k q c x q c x ≥，又因为()q x 为对称函数，所以~
~
(|()|)(())i i k k q c x q c x =，~
~
(|()|)(())i i q c x q c x =，由此可得
~
~
(())(())i i k q c x q c x ≥
对任何x 满足式(3-18)，由k x 的定义，我们有
~
1
()(())n
i k i f x q c x σ=+∑~
1
()(())n
i k k k i f x q c x σ=≥+∑ (3-19)
所以
~
~
1()()[(())(())]()n
i i k k k k k i f x f x q c x q c x f x x σ=≥+-≥∑ (3-20)
故知k x 是问题(3-17)-(3-18)的解。
证毕。
由以上引理可知，若取ε充分小，则当算法迭代结束时，k x 是问题(3-12)- (3-14)的近似解。
引理2 对于由算法所产生的序列{}k x 总有，
11(,)(,)k k k k L x L x σσ++≥ (3-21) 1()()k k Q x Q x +≤ (3-22) 1()()k k f x f x +≥ (3-23)
其中1k ≥。
证明 由(,)()()L x f x Q x σσ=+和1k k σσ+>可知，
11111(,)()()k k k k k L x f x Q x σσ+++++=+111()()(,)k k k k k f x Q x L x σσ+++≥+= 又因为k x 是(,)k L x σ的极小点，所以对于任意x 总有(,)(,)k k k L x L x σσ≥，特别有
1(,)(,)k k k k L x L x σσ+≥。
由此可证得(3-21)。
因为k x 和1k x +分别使(,)k L x σ和1(,)k L x σ+取极小，所以有
11()()()()k k k k k k f x Q x f x Q x σσ+++≥+ 1111()()()()k k k k k k f x Q x f x Q x σσ+++++≥+
由上式可得
11()()[()()]k k k k k f x f x Q x Q x σ++-≥-
111[()()]()()k k k k k Q x Q x f x f x σ+++-≥-
由此可得
11()[()()]0k k k k Q x Q x σσ++--≥
由于10k k σσ+>>，所以(3-22)成立。
最后，由式(3-21)和(3-22)得式(3-23)成立。 证毕。
定理1 设非线性约束问题(3-12)-(3-14)的最优解存在，设{}k x 由算法产生，且罚参数序列{}k σ单调递增且趋于+∞，则{}k x 的任何极限点都是问题(3-12)-(3-14)的可行域上的最优解。
证明 设{}*
k x x →，又设*x 是问题(3-12)-(3-14)的最优解，由于k x 是无约束问题
min ()k L x σ n x R ∈
的解，由于*x 可行，即*()0Q x =，故有
****()()()()()k k k k L x L x f x Q x f x σσσ≤=+=
即
*()()()()k k k k k L x f x Q x f x σσ=+≤
由此可得*()()
0()k k k
f x f x Q x σ-≤≤
，由于{}*
k x x →，k σ→∞。故得
*
*()()f x f x ≤，且*
()0Q x =。
即*x 可行，且**()()f x f x ≤，但*x 是问题(3-12)-(3-14)的解，因此*
x 也是问题(3-12)-(3-14)的解。 证毕。
我们现在对于优化中的罚函数法进行一般类型的概况，并证明其收敛性，但是需要说明的是其中不同种类的罚函数法在其收敛速度各有其不同。
3.3 改进的罚函数法及收敛性 3.3.1 改进的罚函数算法
罚函数法是解决约束优化问题的重要方法，它的基本思想是把约束优化问题转化成求解一系列的无约束极小化问题。通过有关的无约束问题来研究约束极值问题，经常采用的方法之一是在原来的目标函数上加上由约束函数组成的一个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可行域，这种方法称为罚函数法。如何选取罚函数，以加速迭代算法的收敛速度，一直是约束优化问题研究的热点问题。
罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要作用，不同罚项的选取，构成不同的罚函数，必然会对算法产生不同的影响，因此对不同罚项的研究具有重要的理论和实用价值。
对一般约束最优化问题
min ()f x (3-24) .st ()0i c x = 1,2,,;i m =???
(3-25) ()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++??? (3-26)
通常使用的外函数形式为：(,)()()L x f x Q x σσ=+ 其中罚项为：11
()()min{0,()}m
n
i i i i m Q x c x c x β
α
==+=+
∑∑
，1,1αβ≥≥。σ为
参数，若取2αβ==，我们称上述罚函数(,)L x σ为二次罚函数。
问题(3-24)-(3-26)的可行域R 为
R={x|()0,1,2,,;i c x i m ==???()0,1,2,,;}i c x i m m n ≥=++???
显然，当x 为可行点时，()0Q x =；当x 不是可行点时，()0Q x >，而且x 离可行域越远()Q x 的值越大。它的优点是允许从可行域的外部逐步逼近逼近最优点，但按上述定义的罚函数的缺点是：需要罚因子趋于无穷大，才可能使求解罚函数的极小和求解原问题等价。
为了有效的改善这种罚函数，我们试图构造一种能够加速迭代算法收敛的外罚函数法。本文提出一种用双曲正弦函数作罚项的罚函数，并由此构建了双曲正弦罚函数法，不仅证明了该罚函数和算法的合理性及迭代点列的收敛性，而且做了数值实验。结果表明本文中所提出的罚函数及对应的算法可以在罚因子与二次罚函数方法中的罚因子相同的情况下，有着更快的收敛速度。
定义1 称
(,)()()()()L x f x P x f x Q x σσσ=+=+ (3-27)
为问题(3-24)-(3-26)的双曲正弦罚函数，0σ>为罚因子，其中罚项
2
2
11
()[sinh (())]{sinh
(min[0,()])}m
n
i i i i m Q x c x c x ==+=+
∑∑ (3-28)
其中sinh()2
t t e e t --=，t R ∈；2
2sinh ()()2t t e e t --=，t R ∈。 若定义
~
()()min[0,()]
i i i c x c x c x ?
=?
? 1,2,,1,2,,i m i m m n ==++ 则x 是可行点当且仅当()0i c x =。
我们通过一系列双曲正弦函数(,)k L x σ的极小点，其中k σ为一定值，得到相应无约束极小点，序列{}k x 来逼近约束问题(3-24)-(3-26)的极小点*x 。
双曲正弦罚函数算法：
步1 选定初始点为0x ；选取初始惩罚因子10σ>(可取11σ=)，惩罚因
子的放大系数1c >(可取10c =)；置1k =。 步2 以1k x -为初始点，求解无约束问题
min (,)n
k x R
L x σ∈
其中
(,)()()()()k k k L x f x P x f x Q x σσσ=+=+
设其极小点为k x 。
步3 若()k Q x σε<，则k x 就是所要求的最优解，停止；否则转下一步。 步4 置1k k c σσ+=；1k k =+，转步2。
3.3.2 收敛性证明及数值试验
引理1 设函数Q 和P σ由定义1定义，{}k x 由算法产生，
且罚参数序列{}k σ单调递增，则
(1) 1()()k k Q x Q x -≤ (2) 1()()k k f x f x -≤
(3) 11()()k k k k L x L x σσ++≤
证明
(1) 由k x 的定义知
111
1()()
()()k k k k k k k k L x L x L x L x σσσσ+---≤???
≤?? 上面的两式相加，得
11()(()())0k k k k Q x Q x σσ----≤
因此1()()k k Q x Q x -≤，即(1)成立。
(2) 由111()()k k k k L x L x σσ---≤得
111()()(()())()k k k k k k f x f x Q x Q x f x σ---≤+-≤
即(2)成立。
(3) 由L σ以及k x 的定义得
111()()()()k k k k k k k L x L x f x Q x σσσ+++≤=+11111()()()k k k k k f x Q x L x σσ+++++≤+= 即(3)成立。 证毕。
引理2 设函数Q 和P σ由定义1定义，{}k x 由算法产生，
且罚参数序列{}k σ单调递增，记()k k Q x δ=，则k x 也是约束问题
min ()f x (3-29)
.st ()k Q x δ≤
的解。
证明 设x 是问题(3-29)的可行点，我们有
0[()()]k k Q x Q x σ≤-[()()]k k k L x L x σσ=-[()()]k f x f x +-()()k f x f x ≤- 因此k x 是问题(3-29)的解。 证毕。
定理1 设非线性约束问题(3-24)-(3-26)的最优解存在，设{}k x 由算法产生，且罚参数序列{}k σ单调递增且趋于+∞，则{}k x 的任何极限点都是问题(3-24)-(3-26)的可行域上的最优解。
证明 设{}*
k x x →，又设*x 是问题(3-24)-(3-26)的最优解，由于k x 是无约束问题min ()k L x σ，n x R ∈的解，由于*x 可行，即*()0Q x =，故有
****()()()()()k k k k L x L x f x Q x f x σσσ≤=+=
即*()()()()k k k k k L x f x Q x f x σσ=+≤
由此可得*()()
0()k k k
f x f x Q x σ-≤≤
，由于{}*
k x x →，k σ→∞。故得
*
*
()()f x f x ≤，且*
()0Q x =。即*
x 可行，且*
*()()f x f x ≤，但*x 是问题
(3-24)-(3-26)的解，因此*
x 也是问题(3-24)-(3-26)的解。
证毕。
我们通过数值实验来检验本算法的有效性
(1)p 22
1211min ()26
f x x x =
+ .st 1210x x +-=
(2)p 123min ()f x x x x =++
.st 22
123
10x x x -+-= 在以下“次数”的是求解相应无约束问题的次数，“sin ”和“.2x ∧”分别表示双曲正弦罚函数法和二次罚函数法。σ是程序结束时所取罚因子，
用matlab编程实现。
表3-1两种方法的数值比较：
Table 3-1 the numerical comparison of the two methods
由以上结果可以看出本文中构造的双曲正弦罚函数较二次罚函数法有明显的改进：其在相同较大罚因子的条件下，双曲法的次数明显减少。
3.4本章小结
本文主要是介绍不等式优化问题的罚函数法，为了改进算法，将罚函数法中的罚项用双曲正弦函数代替，提出了一种罚函数的改进算法，并进行了收敛性证明，同时与二次罚函数法进行数值试验比较，说明了改进算法在收敛速度上有一定程度的改进。
https://www.doczj.com/doc/f11849371.html,/kuai_su/youhuasheji/suanfayuanli/4.3.asp 约束优化算法——外点惩罚函数法 (一)基本原理 设原目标函数为，在不等式约束条件下用外点惩罚函数法求极小。外点法常采用如下形式的泛函： （6） 由此，外点法所构造的相应的惩罚函数形式为 （7） 式中，惩罚因子是一个递增的正值数列，即 惩罚项中： （8） 由此可见，当迭代点X位于可行域内满足约束条件时，惩罚项为零，这时不管 取多大，新目标函数就是原目标函数，亦即满足约束条件时不受“惩罚”，此时求式（7）的无约束极小，等价于求原目标函数在己满足全部约束条件下的极小；而 当点X位于可行域外不满足约束条件时，惩罚项为正值，惩罚函数的值较原目标函数的值增大了，这就构成对不满足约束条件时的一种“惩
罚”。 由式（7）可知,每一次对罚函数求无约束的极值，其结果将随该次所给定的罚因子值而异。在可行域外，离约束边界越近的地方，约束函数的值越大，的值也就越小，惩罚项的作用也就越弱，随着罚因子逐次调整增大，有增大惩罚项的趋势，但一般说来泛函值下降得更 快一些。此时尽管值增大，但泛函值亦趋于零，满足式（3）。最后当，泛函值和惩罚项值均趋近于零。外点法在寻优过程中，随着罚因子的逐次调整增大，即取 ，所得的最优点序列可以看作是以为参数的一条轨迹，当时，最优点点列 从可行域的外部一步一步地沿着这条轨迹接近可行域，所得的最优点列逼近原问题的约束最优点。这样，将原约束最优化问题转换成为序列无约束最优化问题。外点法就是因从可行域的外部逼近最优解而得名。 (二)迭代过程及算法框图 外点惩罚函数法的具体迭代步骤如下： (1)给定初始点，初始惩罚因子，迭代精度，递增系数c>1，维数n。置。 (2)以为初始点，用无约束最优化方法求解惩罚函数的极小点，即： （9）。 (3)检验是否满足迭代终止条件： 或（若） 或（若） 若不满足，则进行第(4)步;否则转第(5)步。
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
#include [设计]罚函数法MATLAB程序 一、进退法、0.618法、Powell法、罚函数法的Matlab程序设计罚函数法(通用) function y=ff(x,k) y=-17.86*0.42*x(1)/(0.8+0.42*x(1))*(1-exp(- 2*(0.8+0.42*x(1))/3))*exp(-1.6)*x(2)-22. 99*x(1)/(0.8+x(1))*(1-exp(-2*(0.8+x(1))/3))*x(3)+k*(x(2)- (1.22*10^2*(9517.8*exp(-1 .6-2*0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(- 2*x(1)/3)*x(3)))/(1.22*10^2+9517.8*exp(-1.6-2 *0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(-2*x(1)/3)*x(3)))^2+k*(x(3)-exp(-0.8-2*x(1)/3)*x(3) -exp(-2.4-2*0.42*x(1)/3)*x(2))^2; % 主函数，参数包括未知数的个数n，惩罚因子q，惩罚因子增长系数k，初值x0，以及允许的误差r function G=FHS(x0,q,k,n,r,h,a) l=1; while (l) x=powell(x0,n,q,r(1),h,a); %调用powell函数 g(1)=ff1(x),g(2)=ff2(x) . . . g(p)=ffp(x); %调用不等式约束函数，将其值 %存入数组g h(1)=hh1(x),h(2)=hh2(x) . . . h(t)=hht(x); %调用等式约束函数，将其值%存入数组h for i=1:p 2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3. ()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求 数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数 第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开 一、内点法 1. 基本原理 内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。 内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。 对于目标函数为 min ()f X s.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ） 的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为 ()() 11 (,)()()m k k u u X r f X r g X ?==-∑ 或者 () () () []1 1 (,)()ln () ()ln ()m m k k k u u u u X r f X r g X f X r g X ?===+=--∑∑ 而对于()f X 受约束于()0(1,2, ,)u g X u m ≥=的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为 () () 11 (,)()()m k k u u X r f X r g X ?==+∑ 或 ()() []1 (,)()ln ()m k k u u X r f X r g X ?==-∑ 式中，() k r -----惩罚因子，是递减的正数序列，即 ()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>> > ()lim 0k k r →∞ = 通常取() 1.0,0.1,0.01,0.001, k r =。 上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。 说明： 当迭代点在可行域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），而() 0k r >，则惩罚 项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 惩罚函数法简介 罚函数法 它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题： 其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x,M)称为罚函数。 定理 对于某个确定的正数M,若罚函数F(x,M)的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。 序列无约束最小化方法 罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。 改进 这些缺点，可根据上述定理加以改进，先取较小的正数M，求出F(x,M)的最优解x*。 当x*不满足有约束最优化问题的约束条件时，放大M(例如乘以10)重复进行，直到x*满足有约束最优化问题的约束条件时为止。 种类 传统的罚函数法一般分为外部罚函数法和内部罚函数法。外部罚函数法是从非可行解出发逐渐移动到可行区域的方法。内部罚函数法也称为障碍罚函数法，这种方法是在可行域内部进行搜索，约束边界起到类似围墙的作用，如果当前解远离约束边界时，则罚函数值是非常小的，否则罚函数值接近无穷大的方法。 由于进化计算中通常采用外部罚函数法，因此本文主要介绍外部罚函数法。在进化计算中，研究者选择外部罚函数法的原因主要是该方法不需要提供初始可行解。需要提供初始可行解则是内部罚函数法的主要缺点。由于进化算法应用到实际问题中可能存在搜索可行解就是NP难问题，因此这个缺点是非常致命的。 外部罚函数的一般形式为 B(x)=f(x)+[∑riGi+∑cjHj] 其中B(x)是优化过程中新的目标函数，Gi和Hj分别是约束条件gi(x)和hj(x)的函数，ri和cj是常数，称为罚因子。 Gi和Hj最常见的形式是 Gi=max[0,gi(x)]a Hj=|hj(x)|b 其中a和b一般是1或者2。 理想的情况下，罚因子应该尽量小，但是如果罚因子低于最小值时可能会产生非可行解是最优解的情况（称为最小罚因子规则）。这是由于如果罚因子过大或者过小都会对进化算法求解问题产生困难。 如果罚因子很大并且最优解在可行域边界，进化算法将很快被推进到可行域以内，这将不能返回到非可行域的边界。在搜索过程开始的时候，一个较大的罚因子将会阻碍非可行域的搜索。如果在搜索空间中可行域是几个非连通的区域，则进化算法可能会仅移动在其中一个区域搜索，这样将很难搜索到其他区域，除非这些区域非常接近。另一方面，如果罚因子太小，这样相对于目标函数罚函数项是可以忽略的，则大量的搜索时间将花费在非可行域。由于很多问题的最优解都在可行域的边界，大量时间在非可行域进行搜索对找到最优解是没有多大作用的，这对于进化算法来说非常致命的。 最小罚因子规则概念是很简单的，但是实现起来却是非常的困难。对于一个 混合型惩罚函数法：混合法是综合外点法和内点法的优点而建立的一种惩罚函数法。 混合型惩罚函数法有两种形式：内点形式的混合型惩罚函数法和外点型惩罚函数法。 （一） 内点形式的混合型惩罚函数法 不等式约束部分按内点型惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 212121=1 1 [()]()p m k k k k v u v u r h X g X ?=+∑∑（X ，r ,r ）=f(X)+r 式中，惩罚因子12,k k r r 应分别为递减和递增的正值数列，为了统一用一个内点惩罚因子，可将上式写成如下形式 ()2 11 11(,)()[()]()p m k k v u v u X r f x r h X g X ?===++ ∑ 式中()k r 和内点法一样，为一个递减的正值数列，即 (1)(2)()()......0min 0 k k r r r r >>>>= 内点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与内点惩罚函数法相同。初始点(0)X 必须是严格满足诸不等式约束条件的内点，初始惩罚因子()k r 、抵减系数e 均应参照内点惩罚函数法进行选取。 （二） 外点形式的混合型惩罚函数法 不等式约束部分按外点惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 ()221 1 (,)(){[min{0,()}][()]} m P k u v u V X r f X g X h X ?===++∑∑式中，惩罚因子()k r 和外点法一样，为一个递增的正值数列，即 (1)(2)0..... min k r r r →∞ <<<<<=+∞ （k ） 外点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与外点惩罚函数法相同。初始点(0)X 可在n R 空间任选，初始惩罚因子(1)r 、递增系数c 均与参照外点惩罚函数法进行选取。 [1]胡洪涛，NGW 行星回转减速器可靠性优化设计[D].合肥：合肥工业大学，1996. [2]王述彦、马鹏飞，2K-H 型行星齿轮系传动的优化设计[J].建筑机械化，2002.5. [3]陈秀宁，机械优化设计[M].浙江：浙江大学出版社，1989. [4]陈举华、朱国强，行星齿轮传动的可靠性优化设计[M].北京：化学 [5]梁小光，行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J].山西机械，2003. [6]龚小平，行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J].行星齿轮传动 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 一 导数的定义 定义 2.1. 设函数()w f z =在区域D 上有定义，且z 及z z +?均属于D ，如果 0()()lim z f z z f z z ?→+?-? 2.1 存在，则称此极限为函数()f z 在z 点的导数，记为()df z dz 或'()f z . 这时称函数()f z 在z 点可微. 例1. ()n f z z =在复平面上每点均可微，且 1n n d z nz dz -=. 事实上，对固定的点z ，有 121100()(1)lim lim[()]2n n n n n n z z z z z n n nz z z z nz z ----?→?→+?--=+?++?=?. 例2. ()f z z =在复平面上均不可微. 事实上， z z z z z z z z z z +?-+?-?==???. 当0z ?→时，上式的极限不存在. 因为当z ?取实数而趋于0时，它趋于1，当z ?取纯虚数而趋于0时，它趋于1-. 函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数()f z z =，由000 lim ()lim ()lim ()()z z z f z z z z z z z f z ?→?→?→+?=+?=?+==，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微. 若函数(),()f z g z 在区域D 上z 点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域D 上z 点可微，且有如下的求导法则： [()()]''()'()f z g z f z g z ±=±， [()()]''()()()'()f z g z f z g z f z g z =+， 2 ()'()()()'()[]'(()0)()[()]f z f z g z f z g z g z g z g z -=≠. 二 哥西---黎曼条件 现在，我们来研究复变函数()f z 在点z 可微的必要条件和充分条件. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在一点可微，也就是说， 0()()lim '()z f z z f z f z z ?→+?-=?. 2.2 令,()()z x i y f z z f z u i v ?=?+?+?-=?+?，其中 (,)(,)u u x x y y u x y ?=+?+?-， (,)(,)v v x x y y v x y ?=+?+?-， 则前式变为 00lim '()x y u i v f z x i y ?→?→?+?=?+?. 因为z x i y ?=?+?无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让 0,0,x y ?→?=即变点z z +?沿平行于实轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为 00lim lim '()x x u v i f z x x ?→?→??+=??. 于是知道,u v x x ????必存在，且 '().u v f z i x x ??=+?? 2.3 同样，让0,0,y x ?→?=即变点z z +?沿平行于虚轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为 2013-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 一、算法理论 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种 方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + S.t. D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002) a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double( abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" const int kkg=3; double r0; double f(double x[]) {double ff; ff=pow((x[0]-8),2)+pow((x[1]-8),2); return(ff); } /*约束条件子程序*/ void strain(double x[],double g[]) {g[0]=x[0]-1; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; } /*惩罚函数子程序*/ double objf(double p[]) {int i; double ff,sg,*g; g=(double *)malloc(kkg*sizeof(double)); sg=0; strain(p,g); for(i=0;i for(i=0;i 罚函数法 本章介绍一类求解约束优化问题的方法----惩 罚函数法。这类方法是求解无约束优化问题的最 早的一类方法，也是一类比较有效的方法。 罚函数法的基本思想就是，借助罚函数把 约束问题转化为无约束问题，进而用无约束最优 根据我们利用的罚函数的类型，分为 外点罚函数法的算法思想 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l n上的连续函数。 由于上述问题存在约束，而且约束可能 是非线性的，因此在求解是必须同时照顾到 满足约束条件这两个 = 0, j=1, 2, …, l 方面。实现这一点的途径是有目标函数和约 束函数组成辅助函数，把原来的约束问题转 化为极小化辅助函数的无约束问题。 x ()(8.1) 的最优解必须使得h j (x )接近的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问题(8.2)的近似解。 (8.2) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m 不等式约束问题的辅助函数与等式约束的辅助函数情形不同，但构造辅助函数的基本思在可行点辅助函数等于原来的目标函数值，在不可行点，辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的正数。}2 ()(8.3) i g x ??? }0,.()0 i g x ?={}max 0,.()() i i g x g x ?=?的最优解必须使得g i (x )大于 的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问的近似解。 (8.4) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l 我们把上述思想加以推广，对于一般问(8.5) ()) (8.6) j h x 是满足以下条件的连续函数[设计]罚函数法MATLAB程序
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