第2章力系的简化
工程力学学习指导
第2章力系的简化
2.1 教学要求与学习目标
1. 正确掌握下列基本概念与定义：
1) 力系。
2) 力系的主矢与主矩。
3) 等效的概念。
2. 正确掌握下列重要定理及其应用：
1) 等效力系定理。
2) 力向一点平移定理。
3) 合力之矩定理。
3. 正确掌握并应用力系简化的基本方法。
4. 正确掌握固定端约束的性质及其约束力。
2.2 理 论 要 点
2.2.1等效的概念及有关等效的原理
等效力系定理：如果作用于刚体上的力系可以用另一个力系来代替，而不改变刚体的运动状态，则称这两个力系等效。
加减平衡力系原理：在已知力系上附加任意平衡力系，或除去任意平衡力系，则不改变原来力系对刚体的作用。这一原理又叫做“加减平衡力系原理”。它表明，加减平衡力系后，新力系与原来的力系等效。
根据这一原理，可以将已知力沿其作用线移至任意点而不改变力对物体的作用效果。这就是所谓力的可传性。
上述有关等效的概念和加减平衡力系原理以及力的可传性，都是针对运动效果而言的，因而只适用于刚体。当研究力对变形体所产生的变形效果时，这些都不适用。
2.2.2力向一点平移
将一个力分解为一个力和力偶的过程叫做“力向一点平移”。应用加减平衡
力系原理，可以证明；作用于刚体上的已知力F可以向同一刚体上的任意一点平行移动，平移时需要附加一力偶，附加力偶的力偶矩M等于已知力F对平移点之矩。
力向一点平移的结果说明：作用于刚体上A点的力F与作用另一点O的力F及力偶M等效。这也证明了力偶与力是不能等效的。
利用力向一点平移的结果不仅可以解决力系简化和平衡问题，而且在材料力学中讨论到平衡问题时，还可以将变形体视为刚体，从而可以应用上述结果，使问题简化。但必须注意，这一结果在材料力学中应用时是要受到严格限制的。
2.2.3平面力系的简化
为了得到平面力系向一点简化的结果，可以将力系中的所有力向该点平移，得到一个平面汇交力系和平面力偶系。前者可以进一步合成一合力F R，后者则合成一合力偶M。因此，平面力系向任意简化中心O简化时，得到一个力F R 和一力偶M。
为了度量这个力和力偶，需要引进“主矢”和“主矩”的概念。平面力系各个力的几何和，称为力系的主矢，它决定了力F R的大小和方向，但没有确定其作用线，因而不同于汇交力系的合力。
主矢在x、y平面座标轴上的投影为F R x、F R y。
在平面力系中，因其中各个力均在同一平面内，所以各个力对简化中心O 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，它决定了力偶M的力偶矩的大小及方向。主矩只是度量合力偶对刚体转动的物理量，而合力偶却代表一个力系。
需要指出的是，平面力系的主矢是一不变量，它不随简化中心的不同而改变。但主矩却与简化中心有关。
上述简化结果表明：平面力系对刚体的作用效果取决于它的主矢和主矩。
根据上述简化结果，得出平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢量和力系对任选点的主矩分别等于零。
2.2.4插入端约束的约束力
插入端约束力的分析可以作为平面力系简化理论应用的一个例子。在处于纸平面内的主动力作用下，插入端的约束力将是一个分布比较复杂的平面力系。但是，当研究平衡时，只需要研究这一分布力系总的作用效果，因而可以简化成一个力F和一个力偶M。工程上为进一步计算方便起见，又将力F分解为水平与垂直分量，F x、F y。
2.2.5空间力系的简化
与平面力系类似，应用力向一点平移的方法，可以将空间力系分解为两个基本力系：空间汇交力系和空间力偶系。这两个力系对刚体的作用与原空间力系等效。
所得到的空间汇交力系和空间力偶系还可以进一步简化为通过简化中心的主矢和对简化中心之矩的矢量。
2.3 学 习 建 议
1. 力系简化理论不仅是本章的重点，而且也是工程力学的重点。
为了掌握力系的简化理论，认真理解力矩的概念、力偶的概念、力偶的性质以及力向一点平移的理论，这些都是力系简化理论的基础。
2. 要通过具体问题的分析，弄清：在刚体模型上适用的力向一点平移理论与力系简化理论对弹性体模型应用的限制性。
3. 研究平衡问题时，要正确而灵活地应用力偶的概念与力偶的性质，从而使问题简化。
4. 受力分析中，要正确分析和确定固定端的约束力。
2.4 例 题 示 范
【例题2-1】图2-1a 所示等边三角形板ABC ，边长为a ，今在三角形的3个顶点沿着三角形边缘方向作用大小均为F 的三个力，方向如图中所示。
求：三力的合成结果。若将作用在A 点的力的方向改变成如图2-1b 所示，则其合成结果又将如何？
c ）
图2.-1 例题2.-1
解：对于图2－1a 所示的情形：将三个力分别向A 点简化，得到
0'R =∑=i F F
Fa a F M A 2
323=×
=（逆） 因此，这种情形下合成结果为一合力偶，其力偶矩为
Fa M 2
3
=
（逆） F F F
F F F F F A
对于图2－1b 所示的情形：将三个力分别向A 点简化，得到
i F F 2'R ?=（←）
Fa M A 2
3
=
（逆） 为了得到最后的结果，再将R
F ′和M A 向'A 点简化，如图2-1c 所示。'A 点到A 点的距离为
a F M d A 43
'
R
==
于是，这种情形下，力系的合力
i F A 2R ?=′F （←）
【例题2-2】一构件受力如图2-2a 所示，已知F P = 50 N 。其他尺寸示于图中。
求：1. 在点A 作用多大的力和力偶才能与力的作用效果相等（指运动效果）。
2. 若将作用在A 点的力偶变成作用在A 、B 两点的两个水平力，使其作
用效果仍与A 点的力偶相当，试确定两个水平力的大小，以及作用在A 点的总水平力和垂直力各为多少。
图2-2 例题2-2
F P
解：1.根据力向一点简化的原理和方法，只要将力F P 向A 平移得到一个力和一个力偶，其作用效果便与力F P 相当。为方便起见，先将力F P 分解为x 、y 方向的分力，然后再分别向A 点平移。
（1）F P 在x 、y 方向分力大小为
P P sin3050N 0525N .x F F ==×=D P P cos3050N 0.86643.3N y F F ==×=D
（2）分别将F P x 和F P y 向A 点平移，如图2-2b 所示。 F P x 平移的结果：
P 25N x F =，
125N 50mm 1250N mm M =×=?。
F P y 平移的结果：
P 43.3N y F =，
2P 100mm 43.3N 100mm 4330N mm y M F =?×=?×=??。
将1M 与2M 相加，得到
()1212504330N mm 3080N mm A M M M =+=??=??
于是，F P 力向A 点简化的结果得到F P x 、F P y 、A M 如图2.2.2 (c)所示，其中
F P x 、F P y 仍合成为P F 。于是作用A 点并与作用在C 点的力P F 相当的力和力偶分别为
P 50N F =，3080N mm A M =??。
2. 作用在A 点的力偶A M ，也可以分解为作用在A 、B 两点的水平力而不改变它的作用效果。根据力偶的定义
Q A M F d =。
现在A M 已经确定，30mm d =于是得到
Q 3080
102.7N 30
A M F d =
==。 方向如图2-2 d 所示。
作用在A 点的水平力F Q 和P F x 也可以合成一合力，即 ()P Q P 102.725N 77.7N Ax x F F F =?=?=
方向如图2-2e 所示。这样，最后作用在A 点的垂直力和水平力分别为
P 43.3N Ay F =，P 77.7N Ax F =。
【例题2-3】图2-3a 所示平板，其中作用有两个力F Q1和F Q2及F P1和F P2，这两对力各组成一力偶，现已知F P1=F P2=150㎏，F Q1=F Q2=200N 。 试证明：板是平衡的。
a ）
b ）
图2-3 例题2-3
解: 如图2-3b 所示，将F Q1和F P1沿着它们自身的作用线移至B 点，根据平行四边形法则求得其合力为
1F = P1
1Q1arctan
F F α= 同样还可以将作用在D 点的两个力F P2和F Q2合成一合力为
2F = P2
2Q2
arctan
F F α= 因为F Q1= F Q2，F P1= F P 2，所以F 1=F 2, a 1 = a 2。这表明，两个合力大小相等，并作用在同一条直线上。而且从图2-3b 还可以看出，这两个合力的方向是相反的。因此，板是平衡的。
【例题2-4】一折杆承受力和力偶的作用，如图2-4a 所示，若已知：
P130N F =,P285N F =,P325N F =,P450N F =,12000N mm M =?,
24000N mm M =?。其他尺寸均如图所示。
图2-4 例题2-4
求：1. 将所有的力向A 点简化的结果。
2. 将A 点所得之简化结果再简化成作用在AB 线上的一个力，并确定这个力的大小和作用点。
解：1.先分别将F P1、F P2、F P3、F P4和M 1、M 2向A 点简化，其结果如图2-4b 所示。图中
P130N F =，P285N F =?，P325N F =，P250N F =。 12000N mm M =??，24000N mm M =??， 3P3120251203000N mm M F =×=×=?， 4P46085605100N mm M F =×=×=?。
于是，得到
P1P480N Ax F F F =+=，
()P2P38525N 60N Ay F F F =+=?+=－。
()1234
2000400030005100N mm 2100N mm
A M M M M M =+++=??++?=?
所有的力和力偶向A 点的简化结果为
100N A F ===，
60
arctan
arctan
36890
.Ay Ax
F F α===D ，
2100N mm A M =?，
方向如图2-4c 所示。
2、作用在A 点的力F A 和力偶M A 又可以进一步简化为一个力。为此，可以将力F A 和力偶M A 看作是由作用在O 点的力F 0向Ａ点简化的结果，F 0与F A 大小相等、方向相反，且组成力偶M A ，如图2-4d 所示。
于是，得到
d F d F M A A ==0。
由此求得力偶臂
2100N mm
21mm 100N
A A M d F ?=
==。 于是合力F 0的作用点Ｏ至Ａ点的距离为。
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第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 用解析式表示为：()k j M +-= Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简 化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 () i M F r a F R R =?=2''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。 2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离 c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为 力螺旋？ 解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为 k j i a F c F b F M O 213++=。 当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从 0'=?O R M F 得， 0231231=++a F F c F F b F F ， 简化为 03 21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得， 2 31231aF F cF F bF F ==。 题2.2图
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
第二章 力系的简化 将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。力系简化的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。 力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。力系简化并不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化也是动力学分析的基础 本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。 §2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩 为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。 设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。记为F R ，即 ∑==n i i 1 R F F （2.1.1） 主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通常不是力。 计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。记为M O ，即 ∑=?= n i i i O 1 F r M （2.1.2） 它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。 利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。 例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A 和B 的主矩。 解：设O-xyz 坐标系如图示，k j,i,为沿坐标轴x ，y ，z 方向的单位矢量。所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力 ()()N 100,N 15021j F i F == 和力偶 ()m N 20?-=j M 根据式(2.1.1)，力系的主矢 ()N 100150R j i F += 力系中各力的作用点相对于固定点O 、A 和B 的矢径分别为 ()()m 4.0,m 4.03.021i r k j r =+=O O ()()m 4.04.0,m 3.021k i r j r -==A A 例2.1-1图
工程力学习题详细解答 （教师用书） (第2章)
第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由图(a),假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++-x F x d F ，d x =∴，F F F F =-=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN.m 、M B ＝0和M C ＝－10kN.m,求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD -== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d -=+ d d -=+93 3=d ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点； 3 4 tan = θ 8.45 46sin 6=?==θAG 8.4R R ?=?=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 3 10 ,25(R =F 作用线方程：43 4 +=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 习题2－1图 A F F 2R F C B d x （a ） 习题2－2图 y x R F O θ θ C G A D E F 4 2 3 d 5 .4- (a)
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
第2章 力系的简化 2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。 答： 45,N 66.5N 24===x R θ?，合力作用线过A 点。 题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。 答：力偶，Fl m 23=，逆时针。 2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。试将此力系简化。 答：力偶，191 ),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。 题2-3图 题2-4图
2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。 答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。 2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。 答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ?m 题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。 答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。 2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。图中每格代表1m 。 答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。 2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。力系合成结果及平行力系中心将如何变化？ 答：力偶。无平行力系中心。 2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。 答： h z y x C C C 31,0===。
1 F 2 F 3 F 0 1350 90O 第二章 力系的简化习题解 [习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC 的方向上受到三个力的作用,已知kN F 11=, kN F 41.12=,kN F 23=,试求这三个力的合力. 解: 01=x F kN F y 11-= )(145cos 41.102kN F x -=-= )(145sin 41.102kN F y == kN F x 23= 03=y F )(12103 0kN F F i xi Rx =+-==∑= 00113 =++-==∑=i yi Ry F F 12 2=+=Ry Rx R R F F 作用点在O 点,方向水平向右. [习题2-2] 计算图中已知1F ,2F ,3F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影并求合力. 已知 kN F 21=,kN F 12=,kN F 33=. 解: kN F x 21= 01=y F 01=z F )(424.053 7071.01cos 45sin 022kN F F x =??==θ)(567.05 4 7071.01sin 45sin 022kN F F y =??==θ )(707.0707.0145sin 022kN F F z =?== 03=x F 03=y F kN F z 33= )(424.20424.023 0kN F F i xi Rx =++==∑= )(567.00567.003 0kN F F i yi Ry =++==∑= )(707.33707.003 kN F F i zi Rz =++==∑= 合力的大小: )(465.4707.3567.0424.22222 22kN F F F F Rz Ry Rx R =++=++= 方向余弦: 4429.0465.4424 .2cos === R Rx F F α 1270.0465 .4567 .0cos ===R Ry F F β
第二章 力系的简化 本章要点： 一、 力系的两个基本特征量：主矢和主矩. 主矢 ∑== n i i 1 R F F ， 主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。 主矩 ∑=?= n i i i O 1 F r M ， 主矩不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。 力系的等效条件：力系的主矢以及对同一点的主矩对应相等。 二、力系的简化 1 力线平移：作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。 2 利用力线平移定理简化力系的过程和结果由如下框图表示 3平行力系的简化：若平行力系的主矢非零，则一定有合力，合力作用点称为平行力系中心. 平行力系中心、重心、质心、形心的计算公式和基本关系由如下框图表示： 均匀重力场 i F 为重力i W
由简单形体或简单图形组成的组合形体或组合图形的形心坐标用分割法或负面积法计算. 解题要领： 1 空间一般力系存在合力的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 正交，即 0=?'O R M F ； 空间一般力系存在力螺旋的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 不正交，即 0≠?'O R M F . 2 物体的形心位置要用坐标来表达，但与坐标系的选择无关。 3 组合形体和组合图形的形心通常用分割法或负面积法计算。 第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 匀质物体