频域分析法

第五章 频域分析法

时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。

本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。

5.1 频率特性

对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号

t U t u ωsin )(= (5—1)

则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即

) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2)

u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式

)

()

()

()

()

())(()

()()()(1

21s A s B p

s s B p s p s p s s B s U s Y s G n

j j

n =

+=+++==

∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；

n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)

)

)(()(22ωωω

ωωj s j s U s U s U -+=+=

（5—4）

输出信号y(t)的拉氏变换为

Y(s)＝U(s)G(s)

将式(5—3)、式（5—4)代人上式得

∏=+?

-+=

n

j j

p

s s B j s j s U s Y 1

)

()

()

)(()(ωωω

上式可改写成(利用部分分式法)

n

n p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++=

22

1121)(ωω (5-5)

上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a 1和a 2 是共扼复数。

将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得

0)(t e b e b e b e a e a t y t p n t p t p t j t j n ≥+++++=---- 212121)(ωω (5—6)

对于稳定的系统，由于极点n p p p ---,,,21 都具有负实部，所以当t→∞时，

t p t p t p n e e e ---,,,21 都将衰减到零。这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项

决定，即稳态输出y (∞)为

t j t j e a e a y ωω21)(+=∞- (5—7)

式(5—7)中的待定系数a 1和a 2可分别由留数定理求得

????

?

??

=--+=--=+-+==-=)

(2)())(()()(2)())(()

(21ωωωωωωωωωωωωj G j U j s j s j s U s G a j G j U j s j s j s U s G a j s j s （5—8）

上式中 G(j ω)和G(-j ω)都是复数，可以用极坐标形式表示为

??

?

??=-=-=∠--∠)()

()()()()()()(ωωωωωωωωj G j j G j j G j e j G e j G j G e j G j G （5—9） 将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得

[]

[])

t Ysin( )G(j t )j G U e e j )j G U e e j G j

U

e e j G j U y ))G(j t j ) G(J t j t j j G j t j j G j ?ωωωωωωωωωωωωωωω+=∠+=-=+-

=∞∠+-∠+∠--∠-sin (21()(2)(2)(()

()()( (5-10)

式中 )G(j )j G U Y ω?ω∠==,(

式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号t U t u ωsin )(=的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y 是输入信号振幅U 的)(ωj G 倍，相位移为)G(j ω?∠=，且都是角频率ω的函数。相位移?为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号)(t u 的相位；相位移?为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号)(t u 的相位。

如果改变输入信号)(t u 的频率ω，则)(ωj G 和)G(j ω∠也随之改变。线性定常系统在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入)(t u 的振幅比

)j G U

Y

ω(=和相位移)G(j ω?∠=随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用M(ω)和? (ω)表示，即

)

()(()(ωω?ωωj G )

j G M ∠==

)(ωM 和)(ω?合起来称为系统的频率特性。

由式(5-9)可知，)(ωj G 和)G(j ω∠可以由G(j ω)来统一表示，即

)()()((ω?ωωωωj j G j e M e )G(j )j G ==∠ (5-11)

)j G ω(还可以用直角坐标形式来表示

)jI()R()j G ωωω+=(

式中 )(ωR —)j G ω(的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；

)(ωI —)j G ω(的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。

从上分析可知，若将传递函数中的s 以j ω代替，就得到频率特性。即：

ωωj s s G j G ==)()(，可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立

的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j ω置换其中的s ，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。

反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。

系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。频率特性图示方法是描述频率ω从∞→0变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标系不同可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲

线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。 一、幅相频率特性(奈氏图)

由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数G(s)，那么令s j ω=，立即可得频率特性为)j G ω(。显然，)j G ω(是以频率ω为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面[s]上的一个矢量来表示。矢量的长度为)j G ω(的幅值)(ωj G ；矢量与正实轴间夹角为)j G ω(的相角)G(j ω∠。

那么当频率ω从0变化到∞时，系统或元件的频率特性的值也在不断变化，即)j G ω(这个矢量亦在[s]平面上变化，于是)j G ω(这个矢量的矢端在[s]平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。 二、对数频率特性(伯德图)

由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以ω为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。因此，在工程上，常常将)(ωM 和)(ω?分别表示在两个图上，且由于这两个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。

1．对数幅频特性

为研究问题方便起见，常常将幅频特性)(ωM 用增益()L ω来表示，其关系为：

)(lg 20)(ωωM L = (5—12)

在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率ω值，称作对数幅频特性。

2．对数相频特性

该图纵轴按均匀刻度，标以)(ω?值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，称作对数相频特性。

对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图（Bode ） 三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图)

将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以)(ω?（度）为线性分度的横轴，以)(lg 20)(ωωM L =（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的)(ωj G 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols ）。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。

5.2 幅相频率特性（Nyquist 图）

5.2.1 基本概念

由于频率特性G(j ω)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。当频率ω为某一定值ωl 时，频率特性G(j ωl )可以用极坐标的形式表示为相角为)(1ωj G ∠(相角)G(j ω∠的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为)(1ωj G 的矢量

，如图5—1(a)所示。与矢量对应的数学表达式为

)(111(ωωωj G j e )G(j )j G ∠=

当频率ω从零连续变化至∞(或从-∞→0→∞)时，矢量端点A 的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。如图5—1(a)中G(j ω)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为G(j ω)的幅相频率特性。 如果G(j ωl )以直角坐标形式表示，即

)jI()R()j G 111(ωωω+=

如图5—1(b)所示的矢量。同样，在直角坐标图5—1(b)上也可以作出ω从0变化到∞的G(j ω)轨迹曲线。

图5—1 频率特性G(jω)的图示法

（a ）G(jω)的极坐标图示法；（b ）G(jω)的直角坐标图示法

5.2.2 典型环节的幅相特性曲线

由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。要用频率特性的极坐标图示

法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节的幅相特性曲线。 1．比例环节

比例环节的传递函数为

G(s)＝K

所以比例环节的频率特性为

G(j ω)＝K 十j0＝0

j Ke (5—13)

其幅相频率特性曲线如图5-2所示。其中幅值M(ω) ＝K 。相位移φ(ω)＝00

。并且都与ω无关，它表示输出为输入的K 倍，且相位相同。

图5—2 比例环节幅相频率特性曲线

2．积分环节

积分环节的传递函数为

G(s)＝

s

1 所以积分环节的频率特性为

2

1101)(π

ω

ωωωj e j j j G -=-== (5—14)

其幅相频率特性曲线如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，

显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900

]，每当信号通过一个积分环节，相位

将滞后900

。

图5—3 积分环节幅相频率特性曲线

3．微分环节

微分环节的传递函数为

G(s)＝s

所以微分环节的频率特性为

2

0)(πωωωωj

e

j j j G =+== (5—15)

其幅相频率特性曲线如图5—4所示。是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。其幅值变化与ω成正比：M(ω)＝ω，当ω＝0时， M(ω)也为零，当ω→∞时，M(ω)也→

∞。微分环节是一个相位超前环节[φ(ω)＝+900

]。系统中每增加一个微分环节将使相位超

前900

。

图5-4 微分环节幅相频率特性曲线

4．一阶惯性环节

一阶惯性环节的传递函数为

1

1

)(+=

Ts s G 所以一阶惯性环节的频率特性为

2

22211111)(ω

ω

ωωωT T j T jT j G +-+=+=

（5—16） 幅频特性和相频特性为

ω

ωφωωT tg T M 122)(11

)(--=+=

由式(5—16)直接可得实频特性和虚频特性为

222

21)(11)(ωω

ωωωT T I T R +-

=+=

并满足下面的圆的方程

2

2

221)(21)(??

? ??=+??????-ωωI R 圆心为??

? ??0,21

，半径为

2

1。 当ω从0→∞时，M(ω)从l →0；φ(ω)从00

→-900

，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图5—5所示。

一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后相角为900

。一阶惯性环节可视为一个低通滤波器，因为频率ω越高，则M(ω)越小，当ω＞

T

5

时，幅值M(ω)已趋近于零。

图5—5 惯性环节幅相频率特性曲线

5．二阶振荡环节

二阶振荡环节的传递函数为

1

21

)(2

2++=

Ts s T s G ξ (o ＜ξ＜1) 二阶振荡环节的频率特性为

2

22222222222)2()1(2)2()1(11

)(2)(1

)(ωξωω

ξωξωωωξωωT T T j T T T j T j T j G +--+--=++=

(5—17)

相应的幅频特性和相频特性为

2

21

22212)(2()1(1

)(ωω

ξωφωξωωT T tg )T T M 2

--=+-=

- （5—18）

据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的幅相频率特性曲线如图5-6所示。由

式(5—18)及图5-6可知，当ω＝0时，M(ω)＝1，φ(ω)＝00

；在0＜ξ＜1的欠阻尼情况下，当ω＝

T

1

时，090)(,21)(-==ωφξωM ，频率特性曲线与负虚轴相交，相交处的频率为无阻尼自然振荡频率ω＝T

1＝n ω。当ω→∞时，M(ω)→0，φ(ω) →1800

。频率特性曲线与实轴相切。

图5—6 二阶振荡环节幅相频率特性曲线

图5—6的曲线族表明，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比ξ有关，ξ大时，幅值M(ω)变化小；ξ小时，M(ω)变化大。此外，对于不同的ξ值的特性曲线都有一个最大幅值r M 存在，这个r M 被称为谐振峰值，对应的频率ωr 称为谐振频率。

当ξ＞1时，幅相频率特性将近似为一个半圆。这是因为在过阻尼系统中，特征根全部为负实数，且其中一个根比另一个根小得多。所以当ξ值足够大时，数值大的特征根对动态响应的影响很小，因此这时的二阶振荡环节可以近似为一阶惯性环节。 6．延迟环节

延迟环节的传递函数为

()s G s e τ-=

其频率特性为

τωωj e j G -=)( (5-19)

相应的幅频特性和相频特性为

ω

τωφω M -==)(1

)(

图5—7 延迟环节频率特性极坐标图

当频率ω从0→∞变化时，延迟环节频率特性极坐标图如图5-7所示，它是一个半径为1，以原点为圆心的一个圆。也即ω从0→∞变化时，幅值M(ω)总是等于l ，相角φ(ω)与ω成比例变化，当ω→∞时，φ(ω) →-∞。 5.2.3 开环系统的幅相特性曲线

在采用频域分析法分析自动控制系统时，一般有两种方法，一种是直接用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。另一种是根据开环频率特性和已有的标准线图求得闭环频率特性，再用闭环频率特性来分析闭环系统的性能。不论是前一种还是后一种方法，都必须首先绘制开环频率特性曲线。

已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，将G(s)H(s)中的s 用j ω来代替，便可求得开环频率特性G(j ω)H(j ω)，在绘制开环幅相频率特性曲线时，可将G(j ω)H(j ω)写成直角坐标形式

)jI()R(j )H j G ωωωω+=)((

或写成极坐标形式

)()()()()()((ω?ωωωωωωωj j H j G j e M e j )H G(j j )H j G ==

给出不同的ω，计算出相应的)R(ω、)I(ω或者)(ωM 和)(ωφ，当ω从0→∞变化时，即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图，简称奈氏图)，图中的特性曲线简称为奈氏曲线。

例5-1 试绘制下列开环传递函数的极坐标图示的奈氏曲线

)

1.01)(1(10

)()(s s s H s G ++=

解 由题给出的开环传递函数G(s)H(s)可以看成是由一个比例环节G l (s)＝K ＝10 ；两个一阶惯性环节s s G +=11)(2和s

s G 1.011)(3+=串联而成。这三个环节的幅相频率特性分别为

ω

ω

ωω

ω1.02

3221)1.0(11

1.011)(11

11)(10

)(11tg j tg j e s s G e j s G K s G ----+=+=+=+=

== 所以系统的开环幅频特性为

2

2)

1.0(1110

)(ωωω+?+=

M

开环相频特性为 ωωωφ1.0)(1

1

----=tg tg

当取ω为若干具体数值时，就可由上两式计算出)(ωM 和)(ωφ的值，见表5-1。

表5-1 ω为不同数值时，)(ωM 和)(ωφ的值

根据上表的数据就可绘出例5-1的奈氏图，如图5-8所示。

图5-8 例5-1的奈氏图

如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节的数目v 的不同(v ＝0，l ，2…)，控制系统可以分为0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统、Ⅲ型系统……等等。下面将分别给出0型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统的开环频率特性极坐标图。这些典型系统的奈氏图的特性将有助于以后用奈氏图方法分析和设计控制系统。 1．0型系统的开环奈氏曲线

0型系统的开环传递函数为

))

1()

1()()(1

1n (m s T s K s H s G n

k k

m

i i <++=

∏∏==τ

其频率特性为

e M T

j j K j H j G j n

k k

m

i i )(1

1

)()

1()

1()()(ωφωωωτωω=++=

∏∏== (5-20)

式中

???

?

???

?

?

-=++=∑∑∏∏==--==m i n k k i n k k m

i i T tg tg T K M 111

112

12

)()(1)(1)(ω

ωτωφωωτω (5—21) 由式(5-21)，当ω＝0时，M(0)＝K ，φ(0)＝00

。当ω→∞时，由于m ＜n ，所以M(∞)

＝0，为坐标原点，为了确定奈氏曲线以什么角度进入坐标原点，就要确定ω→∞时的相角φ(∞)，由式(5—20)、式(5-21)可知，当ω→∞时，分子、分母中每一个因子的相角都是900

，故φ(∞)为

)90)((90)(9090)(0000--=-=?-?=∞m n n m n m φ

例如，设0型系统的开环频率特性为

)

1)(1()()(21++=

T j T j K

j H j G ωωωω

式中：n ＝2，m ＝0，所以

00180)90)(02()(-=--=∞φ

即奈氏曲线将从-1800

进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与负实轴相切。如图5—9所示的曲线a 。又如，设0型系统的开环频率特性为

)

1)(1)(1()()(321+++=

T j T j T j K

j H j G ωωωωω

式中： n ＝3，m ＝0，所以

00270)90)(03()(-=--=∞φ

即奈氏曲线将从-2700

进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与正虚轴相切。如图5—9所示的曲线b 。

图5-9 0型系统的奈氏图

2．Ⅰ型系统的开环奈氏曲线 l 型系统的开环传递函数为

n)(m s T s s K s H s G n k k m

i i <++=

∏∏-==1

11)

1()1()()(τ

其频率特性为

e M T j j j K j H j G j n k k m

i i )(1

11

)()

1()1()()(ωφωωωωτωω=++=

∏∏-== (5—22)

式中

????

?

??

?

?

-+-=++=∑∑∏=-=--m i n k k

i k i T tg tg T K M 11

11102290)()(1)(1)(ω

ωτωφωωωτω (5—23) 由式(5—23)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝—900

，故Ⅰ型系统的奈氏曲线的

起点是在相角为—900

的无限远处。当ω→∞时，因m ＜n ，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。

由式(5—23)还可知，φ(∞)＝(n-m)(-900)，与0型系统类似。当n-m ＝2时，φ(∞)＝-1800

，

奈氏曲线从-1800

进入坐标原点，在原点处与负实轴相切，如图5—10所示曲线a 。当n-m

＝3时，φ(∞)＝—2700，奈氏曲线从-2700

进入坐标原点，在原点处与正虚轴相切，如图5-10所示曲线b 。

图5-10 Ⅰ型系统的奈氏图

3．Ⅱ型系统的开环奈氏曲线 Ⅱ型系统的开环传递函数为

n)m s T s s K s H s G n k k m

i i <++=

∏∏-==()

1()1()()(2

121τ

其频率特性为

)(21

21

)()

1()

()1()()(ωφωωωωτωωj n k k

m

i i e M T

j j j K j H j G =++=

∏∏-== (5—24)

式中

???

?

???

?

?-+-=++=∑∑∏∏=-=---==m i n k k i n k k m

i i T tg tg T K M 1211

102122

1

2

180)()(1)(1)(ω

ωτωφωωωτω （5-25） 由式(5—25)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝-1800

，故Ⅱ型系统的奈氏曲线的起

点在相角为-1800

的无限远处，如图5—11所示。当ω→∞时，因m ＜n ，所以M(∞)＝0，也

为坐标原点。由式(5—25)可知，φ(∞)也等于(n-m) (-900

)，与0型、Ⅰ型系统相类似。例如，设Ⅱ型系统的开环频率特性为

)

1()()

1()()(121++=

T j j j K j H j G ωωωτωω

上式中，m ＝1，n ＝3，所以φ(∞)＝(3—1)(-900

)＝-1800

，即奈氏曲线在原点处与负实轴相切，如图5—11所示的曲线a 。图5—11的曲线b 是Ⅱ型系统开环频率特性为

)

1()()()(12+=

T j j K

j H j G ωωωω的奈氏曲线。这时n-m ＝3-0＝3，所以φ(∞)＝（3-0）

(-900

)＝-2700

，所以奈氏曲线b 在原点处与正虚轴相切。

图5-11 Ⅱ型系统的奈氏图

5.3 对数频率特性（Bode 图）

5.3.1 基本概念

频率特性极坐标图示的奈氏曲线，计算与绘制都比较麻烦。频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。与极坐标图相比，对数坐标图更为优越，用对数坐标图不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现时间常数等参数变化对系统性能的影响。

频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性)j (H )j (G ωω写成

)()()()(ω?ωωωj e M j H j G = (5—26)

式中)(M ω——幅频特性；)(ω?——相频特性。

将幅频特性)(M ω取以10为底的对数，并乘以20得)(L ω，单位为分贝(dB)，即

)(M lg )(L ωω20= (dB) (5—27)

在对数相频特性图中，以)(ω?为纵坐标，以ω为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。将对数幅频特性)(L ω一ω和对数相频特性)(ω?一ω合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode 图)。

5.3.2 典型环节频率特性的伯德图

1. 比例环节 比例环节频率特性为

K j G =)(ω

显然，它与频率无关，

)(lg 20)(==ω?ωK

L

其Bode 图如图5-12所示。

2. 微分环节

ωj

微分环节ωj 的对数幅频与对数相频特性为

90

)(lg 20)(==ω?ω

ωL

对数幅频曲线在1=ω处通过dB 0线，斜率为dec dB /20；对数相频特性为

90+直线。特性曲线如图5-13①所示。

3. 积分环节ωj 1

积分环节ω

j 1

的对数幅频特性与对数相频特性为

90)(lg 20)(-=-=ω?ω

ωL

积分环节对数幅频曲线在1=ω处通过dB 0线，斜率为dec dB /20-；对数相频特性为

90-直线。特性曲线如图5-13②所示。

积分环节与微分环节成倒数关系，所以其Bode 图关于频率轴对称。 4. 惯性环节1)1(-+

ωj

图5-12 比例环节Bode 图

图5-13 微分①、积分②

惯性环节1

)1(-+T j ω的对数幅频与对数相频特性表达式为

2

11lg 20)(???

?

??+-=ωωωL （5-28a ）

1

arctan

)(ωω

ω?-= （5-28b ） 式中：1

1

;1ωω

ωω=

=

T T 。 当1ωω<<时，略去式（5-28a ）根号中的2

1)(ωω项，则有dB L 01lg 20)(=-≈ω，表明)(ωL 的低频渐

近线是dB 0水平线。

当1ωω>>时，略去式（5-28a ）根号中的1项，则有)lg(20)(1ωωω-=L ，表明)(ωL 高频部分的渐近线是斜率为dec dB /20-的直线，两条渐近线的交点频率11=ω称为转折频率。图5-14中曲线①绘出惯

性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线，以及对数相频曲线。由图可见，最大幅值误差发生在11=ω处，其值近似等于dB 3-，可用图5-15所示的误差曲线来进行修正。惯性环

节的对数相频特性从

0变化到- 90，并且关于点)45(1

-，

ω对称。

图5-15 惯性环节对数相频特性误差修正曲线

5. 一阶复合微分环节 ωj 1+

一阶复合微分环节的对数幅频与对数相频特性表达式为

2

11lg 20)(???

?

??+=ωωωL

1

arctan

)(ωωω?= 一阶复合微分环节的Bode 图如图5-14②所示，它与惯性环节的Bode 图关于频率轴对称。

图5-14 1)1( T j ω+

的Bode 图

6. 二阶振荡环节

[]

1

2)(21-++T j Tj ωωξ

振荡环节的频率特性

)(2)(

11

)(2n

n j j G ωωξωωω+-=

T

n 1

=

ω其中， 10<<ξ。 对数幅频特性

2

2

2)2()(1lg 20)(n n L ωωξωωω+?????

?--= （5-29a ）

对数相频特性

2

)(12arctan

)(n n

ωωωξωω?--= （5-29b ）

当

1<

ωωξ2项，则有 dB L 01lg 20)(=-≈ω

表明)(ωL 的低频段渐近线是一条dB 0的水平线。 当

1>>n

ωω

时，略去式(5-29a)中的1和n

ωω

ξ

2项，则有 n

n L ωωωωωlg 40)lg(

20)(2-=-= 表明)(ωL 的高频段渐近线是一条斜率为dB 40-的直线。

显然，当1=n ω

，即n ωω=是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的自然频率n

ω就是其转折频率。

振荡环节的对数幅频特性不仅与n

ωω

有关，而且与阻尼比ξ有关，因此在转折频率附

近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差，图5-16给出当ξ取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线，由图可见，在707.0<ξ时，曲线出现谐振峰值，

ξ值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。必要时，可以用图5-17所示的误

差修正曲线进行修正。

图5-16 振荡环节的Bode 图

图5-17 振荡环节的误差修正曲线

7. 二阶复合微分环节 2

)j (j 21T T ωωξ++ 二阶复合微分环节的频率特性

T

j j G n n

n 1

)(2)(

1)(2=

+-=ωωωξωωω其中， 10<<ξ 对数幅频特性： 22

2)

2()(1lg 20)(n n L ωωξωωω+?????

?-=

对数相频特性：

2

)

(12a r c t a n

)(n n

ωωωξωω?-= 二阶复合微分环节与振荡环节成倒数关系，其Bode 图与振荡环节Bode 图关于频率轴对称。

8. 延迟环节 延迟环节的频率特性

)()()(ω?τωωωj j e A e j G ==-

式中 τωω?ω-==)(,1)(A

因此 0)(lg 20)(==ωωj G L （5-30a ）

τωω?-=)( （5-30b ）

上式表明，延迟环节的对数幅频特性与dB 0线重合，对数相频特性值与ω成正比，当∞→ω时，相角迟后量也

∞→。延迟环节的Bode 图如图5-18所示。

5.3.3 开环系统Bode 图的绘制

设开环系统由n 个环节串联组成，系统频率特性为

12()()()()

1212()()()()()()()()n j j j j n n G j G j G j G j A e A e A e A e ?ω?ω?ω?ωωωωωωωωω==?=式中 )()()()(21ωωωωn A A A A ?= 取对数后，有

)

()()()

(lg 20)(lg 20)(lg 20)(32121ωωωωωωωL L L A A A L n +++=+++= （5-30a ）

)()()()(21ω?ω?ω?ω?n ++= （5-30b ）

),,2,1()(n i A i =ω表示各典型环节的幅频特性，)(ωi L 和)(ω?i 分别表示各典型环节

的对数幅频特性和相频特性。式（5-30）表明，只要能作出)(ωj G 所包含的各典型环节的对数幅频和相频曲线，将它们分别进行代数相加，就可以求得开环系统的Bode 图。实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，可以采用更为简捷的办法直接画出开环系统的Bode 图，具体步骤如下：

① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。

② 根据比例环节的K 值，计算K lg 20。

③ 在半对数坐标纸上，找到横坐标为ω＝1、纵坐标为K L lg 20)(1==ωω的点，过该点作斜率为—20VdB ／dec 的斜线，其中V 为积分环节的数目。

④ 计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列

图5-18 延迟环节的Bode 图

原则依次改变)(ωL 的斜率：

若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB ／dec ；

若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB ／dec ； 若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB ／dec 。

⑤ 如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。 例5—2 绘出开环传递函数为

)

105.0)(1()

2(5)(+++=

s s s s s G

的系统开环对数频率特性。

解：将)(s G 中的各因式换成典型环节的标准形式，即

)

105.0)(1()

15.0(10)(+++=

s s s s s G

如果直接绘制系统开环对数幅频特性渐近线，其步骤如下： (1)转折频率1ω＝1，2ω＝2，3ω＝20。

(2)在ω＝l 处，dB K L 2010lg 20lg 20)(1====ωω。

(3)因第一个转折频率1ω＝1，所以过(1ω＝1，dB L 20)(=ω)点向左作一20dB ／dec 斜率的直线，再向右作一40dB ／dec 斜率的直线交至频率2ω＝2时转为一20dB ／dec ，当交至3ω＝20时再转为一40dB ／dec 斜率的直线，即得开环对数幅频特性渐近线，如图5—19所示。

图5—19 例5—2系统开环对数频率特性

第5章频域分析法习题解答

第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。

实验二连续时间信的频域分析

实验二连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T 1 的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞=+ + = 1 0 0 )] sin( ) cos( [ )( k k k t k b t k a a t xω ω 2.1

或： ∑∞ =++=100)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞-∞== k t jk k e a t x 0)(ω 2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： ? --=2/2/1110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 2.4 指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度

第五章 频域分析法

第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4）

第5章频域分析法习题解答

第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。

实验二：连续时间信号的频域分析

一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、学习利用MATLAB 语言编写计算CTFS 和CTFT 的仿真程序。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、实验原理及方法 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 其中三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 9.1 或： ∑∞ =++ =1 00)cos()(k k k t k c a t x ?ω 9.2 其中1 02T π ω= ，称为信号的基本频率，k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”）， k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞ -∞ == k t jk k e a t x 0)(ω 9.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：

? --= 2 /2 /1 110)(1 T T t jk k dt e t x T a ω 9.4 假设谐波项数为N ，则上面的和成式为： ∑-== N N k t jk k e a t x 0)(ω 9.5 显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。 2、连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞ --= dt e t x j X t j ωω)()( 9.6 ? ∞ ∞ -= ωωπ ωd e j X t x t j )(21 )( 9.7 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 3、连续周期信号的傅里叶级数CTFS 的MATLAB 实现 3.1 傅里叶级数的MATLAB 计算 设周期信号x(t)的基本周期为T 1，且满足狄里克利条件，则其傅里叶级数的系数可由式9.4计算得到。式9.4重写如下： ?--= 2 /2 /1 110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 基本频率为： 1 02T πω= 对周期信号进行分析时，我们往往只需对其在一个周期内进行分析即可，通常选择主周期。假定x 1(t)是x(t)中的主周期，则

噪声中正弦信号的经典法频谱分析

实验报告 一、实验名称 噪声中正弦信号的经典法频谱分析 二、实验目的 通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。 三、基本原理 1．周期图法：又称直接法。把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x N 视为一能量有限信号，直接取)(n x N 的傅里叶变换，得)(jw N e X ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真 实的功率谱)(jw e P 的估计，以)(?jw PER e P 表示用周期图法估计出的功率谱，则2)(1)(?w X N w P n PER =。 2．自相关法：又称为间接法功BT 法。先由)(n x N 估计出自相关函数)(?m r ，然后对)(?m r 求傅里叶变换得到)(n x N 的功率谱，记之为)(?w P BT ，并以此作为对)(w P 的估计，即1,)(?)(?-≤=--=∑N M e m r w P jwm M M m BT 。 3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差2σ的独立随机变量1X ，2X ，…，L X ，新随机变量L X X X X L /)(21+++= 的均值也是μ，但方差是L /2σ，减小了L 倍。由此得 到改善)(?w P PER 方差特性的一个有效方法。它将采样数据)(n x N 分成L 段，每段的长度都是M ，即N=LM ，第i 段数据加矩形窗后，变为L i e n x M w x M n jwn i N I PER ≤≤=∑-=-1,)(1)(?2 10 。把)(?w P PER 对应相加，再取平均，得到平均周期图2 1110 )(1)(?1)(∑∑∑==-=-==L i L i M n jwn i N i PER PER e n x ML w P L w P 。 4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。改进之一是，在对)(n x N 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为)(2n d 。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。然后按Bartlett

实验二连续时间信号的频域分析

实验二连续时间信号的频域分析 令狐采学 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条

件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或：∑∞ =++=100)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中102T π ω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ）， k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量 幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相 位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称 为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄 里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量(Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限 多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞-∞== k t jk k e a t x 0)(ω 2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：

实验：典型信号频谱分析

实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(

实验二连续时间信号的频域分析

实验二 连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab 语言编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1 000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或： ∑∞=++=1 00)c o s ()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、 余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为：

连续信号与系统频域分析的MATLAB实现

实验十三 连续信号与系统频域分析的MATLAB 实现 一、实验目的 1. 掌握连续时间信号频谱特性的MATLAB 分析方法； 2.掌握连续系统的频率响应MATLAB 分析方法方法。 二、实验原理 1. 连续时间信号的频谱---傅里叶变换 非周期信号的频谱密度可借助傅里叶变换作分析。傅里叶正变换和逆变换分别为： Matlab 的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解傅里叶变换和逆变换的符号运算函数fourier()和ifourier()。两函数的调用格式如下。 （1）傅里叶变换 在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。fourier()有三种调用格式： ① F=fourier(f ) 求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω； ② F=fourier(f ,v ) 求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =； ③ F=fourier(f ,u ,v ) 对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。 （2）傅里叶逆变换 在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式： ① f=ifourier(F ) 求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1 ωj F x f -=F ； ② f=ifourier(F ,u ) 求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1ωj F u f -=F 。 ③ f=ifourier(F ,v ,u ) 求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1jv F u f -=F 由于fourier()和ifourier()是符号运算函数，因此，在调用fourier()和ifourier()之前，需用syms 命令对所用到的变量（如t ,u ,v ,w ）作说明。举例如下。 例13-1．求单边指数函数)()(2t e t f t ε-=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。

频域分析法

频域分析法 1、低频段通常指L(w)=20lg|G(jw)| 的渐近线在第一个转频率之前的频段，这一频段的特此哪个完全由积分环节和开环放大倍数决定。低频段的斜率越小，位置越高，对应系统积分环节的数目越多（系统型号越高），开环放大倍数K越大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动态响应的跟踪精度越高 2、中频段指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率W C附近（0dB附近）的区段（±20dB），这一频段的特性集中反应了开环系统动态响应的平稳性和快速性。 3、反应中频段形状的参数主要有：开环截止频率W C、中频段斜率、中频段宽度。W C的选择决定于系统暂态、响应速度的要求；中频段越长，相位裕量越大。 4、开环对数幅频特性中频段斜率最好为-20dB/dec，而且希望其长度尽可能长些，缓一些，以确保系统有足够的相角裕量。当中频段斜率为-40dB/dec时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相角裕量会很小，若中频段斜率更小（如-60dB/dec），系统就很难稳定。另外，截止频率W c越高，系统浮现信号能力越强，系统快速性也就越好。 5、高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始阶段。在进行分析时，可以将高频段进行近似处理，即用一个小惯性环节来等效地代替多个小惯性环节，等效的小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和。系统开环对数幅频特性在高频段的肤质，直接反应了系统对高频信号的抑制能力，高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。 6、总之，为了系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率，中频段的斜率最好为-20dB/dec，且具有足够的宽度，高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。 7、 对于自小相位系统，r>0 闭环系统稳定，当r<0 闭环系统不稳定

第四章 频域分析

第4章频域分析 前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。 信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。 4.1概述 一、频域分析法 1.定义 所谓信号的频域分析 ．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 2.频域分析的目的 （1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； （2）分析各信号之间的相互关系； （3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 二、频谱 1.定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 2.分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 （1）周期信号：离散的 ．．．幅值谱、相位谱或功率谱 （2）非周期信号：连续的 ．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 （3）随机信号：具有统计特征 ．．．．的功率谱密度 3.功率谱 （1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； （2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱 所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。 5.相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 三、谱估计 1.定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。 2.分类

第五章 频域分析法

第五章 线性系统的频域分析法 5-2： 若系统单位阶跃响应h t e e t t t ()..=-+≥--11808049，试求系统频率特性。 解：先求到系统传递函数，再利用传递函数与频率特性的关系求得系统频率特性。 对阶跃响应取拉氏变换得：s s R s s s s s s s C 1)(,) 9)(4(3698.048.11)(= ++=+++-= 则系统传递函数： )9)(4(36)()()(++= = s s s R s C s Φ，频率特性：) 9)(4(36 )(++=Φωωωj j j 5-3： 某系统结构图如题5-1图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号 )452cos(2)30sin()(?--?+=t t t r 作用下，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s 图5-1 反馈控制系统结构图 解：利用频率特性的定义及叠加原理求解。 系统闭环传递函数为: 2 1 )(+=Φs s 频率特性: 2 244221)(ω ω ωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 2 41)(ω ω+= Φj 相频特性: )2 arctan( )(ω ω?-= 系统误差传递函数: ,2 1 )(11)(++=+= Φs s s G s e 幅频特性和相频特性： )2 arctan( arctan )(, 41)(2 2ω ωω?ω ωω-=++= Φj j e e 当 )452cos()30sin()(?--?+=t t t r 时: ?? ?====1 r r m m 2211,21,1ωω 5.26)2 1arctan()1(45.05 5 )1(-=-===Φj j ? 4.18)3 1arctan()1(63.05 10 )1(==== Φj j e e ? )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ??+-?Φ-++?Φ=

时频域分析

时频域分析有关知识 问题 1 现在咱们做的这个数字舵机需要得到的阶跃响应的参数有：超调量（%），时间常数，上升时间，调节时间，稳态误差（°），你给我详细说说那几个量怎么算， 2 数字舵机还要求有频域特性测试功能，跟用户沟通时，客户的意思是做一个扫频功能，发出频率1HZ~60HZ，每个频率求一个最大值，画出频率/幅值曲线，我不知道这个究竟有什么用。 另外幅值裕度，相位裕度如何进行测量？ 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标。上述两个问题是分析控制系统的动态性能和稳态性能的两类方法，一是时域分析法，二是频域分析法。 1 时域分析法 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式。在一般情况下，控制系统的外加信号具有随机性而无法预先确定，需要选择典型信号输入。 工程中常见信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。在实际应用中一般选取最不利的信号作为系统的典型信号。 1.1 动态性能性能指标 通常在阶跃函数作 用下，测定获计算系统 的动态性能。一般认为 阶跃输入对系统来说是 最严峻的工作状态，如 果系统在阶跃函数作用 下的动态性能满足要求， 那么系统在其他形式的 函数作用下，其动态性 能也是令人满意的。 图1单位阶跃响应曲线

以下是稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的动态性能指标，图1是单位阶跃响应曲线。 其动态性能指标通常为： 峰值时间tp，指响应超过其终值到达第一个峰值所需要的时间； 延迟时间td，指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间； 上升时间tr，指响应从终值10％上升到90％所需要的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从0第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，系统响应速度越快。 调节时间ts，指响应到达并保持在终值±5％内所需要的最短时间。有时也用终值的±2％误差范围定义调节时间。 超调量σ％，指响应的最大偏离量与终值之差的百分比，即 σ%＝h t p?h(∞) h(∞) ×100% 若h(t)＜h(∞)，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。在实际应用中，常用的动态性能指标为上升时间、调节时间和超调量。 1.2 稳态误差 稳态误差是描述系统稳态性能的一种指标，在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测量或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量的确定函数，则系统存在稳态误差，稳态误差是系统控制精度或扰动能力的一种度量。 稳态误差的计算部分参考《自动控制原理》部分。 1.3 时域动态指标的测量 一般是控制系统发出阶跃信号（一般用脉冲信号代替），同时记录被测产品的输出信号，用波形测量中的“Transition measurement .VI”其帮助如图2所示。 上升时间可以由VI直接测量出来，调节时间和超调量要根据定义进行数据出来，在带入公式计算。 2 频域分析法 频域分析法是应用频率特性研究线性控制系统的另外一种方法，频域分析法的