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含参数的一元二次不等式的分类讨论

复习引入：

一元一次的分类讨论：

2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、

含参数的一元二次不等式——分类讨论

1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212

,,x x x x x x >=<三种情况．

2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式?的正负分类，即分

0,0,0?>?=?<三种情况，结合图像法求解。

3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的

系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况．

2(1)0x a x a -++< 2.

22560x ax a -+> 3.

223()0x a a x a -++> 4.

2(1)0x a x a -++< 5.

2(2)20x a x a +--< 6.

21()10 x a x a -++< 7.

22210 x x a -+-≥

2210x mx m -++> 2.

220x kx k +-≤ 3.

240x ax ++> 4.

2(2)0x a x a +-+>

2560()x ax ax a a R -+>∈解关于的不等式

2210ax x ++< 2.

210.ax ax +-< 3.

220ax x a -+<

21)10ax a x -++<（ 2.

21)10ax a x +-->（ 3.

22(1)40 mx m x -++< 4.

2(32)60 ax a x -++< 5.

22(1)40 ax a x -++<

综合提高题

1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ?，求a 的

范围

2. 集合{}

(){}22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ?，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}

22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ?，

求a 的范围

4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ?，求a 的

范围

含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1.

220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2.

220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3.

210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4.

()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围

2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 6.

210ax ax -+>恒成立，求a 范围 7.

23208kx kx ++<恒成立，求k 范围 8.

22(2)0ax ax a +-+<恒成立，求k 范围 9. 2(3)10mx m x -+-<恒成立，求m 范围

10. 2(2)(2)10a x a x -+-+≥恒成立，求a 范围

11. 2(2)2(2)-40a x a x -+-<恒成立，求a 范围

12. 22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，求a 范围

13. 22(1)(1)10t x t x -+-->恒成立，求t 范围

14. 22(23)(3)10m m x m x -----<恒成立，求m 范围

15. 2(1)1mx m x m x m --+-函数的图像在轴下方，求实数的取值范围。

16. 2(1)10ax a x a +-+-<的解集为?，求a 范围

17. 2

(1)10ax a x +++<的解集为?，求a 范围

18. 220mx x m -+>的解集为?，求m 范围

变式题

19. 210ax bx ++>的解集为{}2x x ≠，求,a b 的值

20. 已知函数212y x x c =

++的自变量x 的取值范围是所有实数，求c 的取值范围

21. 已知函数y =

x 的取值范围是所有实数，求c 的取值范围

一元二次不等式的解法教学反思

初学一元二次不等式的解法时，就按照“三个二次”（即二次函数，二次方程和一元二次不等式）之间的联系，通过数形结合建立一个非常清晰的结构网络，总结出层次分明的解题步骤，像程序一样，就能达到只要按照这个流程做就能够解出来题这样一个目的。

当大家对解一般的一元二次不等式打下良好基础后，就进入了这节课的重点及难点部分即含参数的一元二次不等式的解法，这个点要做为一个专题进行讲解至少要用专门一节课。对于这个专题我总结了解此类题的一个程序，第一步，先看二次项系数，看是否含参数。如果含参就要对参数进行分类讨论，无非是>0,<0,=0三类。第二步，看看能不能因式分解，能因式分解的看两根大小是否确定，不确定的要

讨论两根大小。第三步，不能因式分解的去计算对应方程的判别式，判别式含参的要对其讨论，还是>0,<0,=0三类。就给学生树立这样一个解题模式。经过这几步以后，至少给学生了一个解题的方向，只要细心认真的走下去做对题应该没什么问题。

还有一个点也需要作为一个专题去讲，也得单独的一节课。就是恒成立问题，对于这类题大致分三类，第一类是关于一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，对于这一类我总结也是分两步解，第一步讨论二次项系数为零的情况是否恒成立（当然系数是定值就不用麻烦了）。第二步，数形结合。一般就两种情形：开口向上<0和开口向下<0。两步就能解决问题。第二类是在某个区间上恒成立问题，此类问题解决方法就是数形结合。第三类就是利用极值的，大于什么恒成立只要大于它的最大值，小于什么恒成立只要小于它的最小值。

按照上述方法我们只要抓住主干链条捋顺思路，按照我们总结好的步骤程序，认真解题，相信就会收到一个不错的效果。

含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。（1）当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>--ax x ； 2、(1－ax )2 <1. } 2,2 |{,1)5(} 2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22 | {,0)1(><>≠=><<<<=<<0，即x (x －2 a )<0. ∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a