高等数学下学期复习
第五章 向量代数与空间解析几何
(一)向量代数
1. 向量的概念 具有大小和方向的量称为向量，通常用希腊字母加箭头，
如,,αβγ
等，或者小写英文字母加箭头，如,,a b c
等来表示。向量α 的大小也称为
模、长度、范数等等，记为α 或者α ，本讲义约定记为α 。大小和方向是向量
的两个要素，大小为1（一个单位）的向量称为单位向量。大小为0的向量叫做
零向量，常记作0.
和α 大小相同但方向相反的向量叫做α 的负向量，记为.α- 当
0α≠
时，与α
同向的单位向量记作0.α 向量在几何上通常也称为有向线段，若知道起点A 和终点B ，该向量也常常记作AB
，其模记作AB
。
2. 向量的线性运算
（1）加法运算：向量的几何加法就是平行四边形法则或者三角形法则，见右图。
要计算a
b +
，只需把a 和b 平移后首尾相接，则以a 的
起点为起点，b
的终点为终点的向量就是向量a
b +
。它是图中平行四边形的对角
线（平行四边形法则），也是三角形的一条边（三角形法则）。 向量的加法运算满足结合律和交换律。即有
()()a b c a b c ++=++ （结合律）； a
b b a +=+
（交换律） （2）数乘运算：用一个数去乘一个向量，叫做向量的数乘。所得仍然是一
个向量。具体地说，设λ是一个数，而a 是一个向量，则数乘结果记为a λ
，它是
一个这样的向量：
《1》其大小a
a
λλ=?
；
《2》其方向如下规定：如果0λ>，则a λ 与a 同向；如果0λ<，则a λ 与a
反
向；如果0λ
=，则a λ
就是零向量，此时它的方向可以任意规定（都不会影响相
关结论的成立）。
数乘运算满足结合律和对向量加法的分配律以及对数的加法的分配律：
设,λμ是数，a
和b
是向量，则有
()()()a
a a λμμλλμ==
（结合律）；
()a
b a b λλλ+=+
（对向量加法的分配律）
()a a a λ
μλμ+=+
（对数的加法的分配律）
（3）减法：它实际上是向量加法运算与数乘运算的复合运算
(1).a
b a b -=+-
3. 向量的坐标
（1）向量在轴上的投影 设u
是一条轴，AB
是一个向量。过点,A B 分别向轴u 引垂线，垂足分别为,.A B '' 当A B ''
与轴u 同向时，规定A B ''的值为A B ''
；当A B ''
与
轴u
反向时，规定A B ''的值为A B ''
- ；当A B '' 与轴u
垂直时，规定A B ''的值为0. 称A B ''
为AB 在轴u 上的投影，记为u Prj AB ，而A B '' 则称为AB 在轴u
上的投影向量。注意，
投影是一个数，而投影向量是一个向量。一个向量在另一个向量上的投影可类
似定义，只要把u 看成一个向量就可以了。
把AB
的起点A 平移到轴u 上，此时AB
与u 所成的不大于π的角?称为AB
与u
的
夹角。类似地，两个向量的夹角也可以如此定义，向量a 和b 的夹角记作(,).a b ∧
投影定理（1）如果AB 与轴u 的夹角为?，则cos .u Prj AB AB ?= （2）设a
和b 是两个向量，则().u u
u
Prj a b Prj a Prj b +=+ （2）向量的方向角 把向量a
置于直角坐标系中（不妨把起点放在原点），a
与三条坐标轴x 轴、y 轴和z 轴的夹角分别为,αβ和γ，称它们为向量a
的方向角，
它们的余弦值称为向量a
的方向余弦。
（3）向量的坐标
设111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB
的坐标即为2
12121(,,)x x y y z z ---，常直接写成
212121(,,).AB x x y y z z =--- 通常，我们把向量a
在三条坐标轴上的投影称为该向量
的三个坐标，如果分别记为,x y a a 和z a ，则有 cos ,cos ,cos .x
y z a a a a a a αβγ===
并且还有a
=
，我们习惯上记(,,).x y z a
a a a =
向量的坐标运算：设(,,),(,,)x y z x y z a
a a a
b b b b ==
，λ为常数，则有
(,,),(,,).x x y y z z x y z a b
a b a b a b a a a a λλλλ±=±±±=
4. 向量的乘法运算——数量积、向量积、混合积 （1）数量积
①定义：向量a 和b 的数量积定义为cos a b a b ?= (,)a b ∧
由此可得两个向量夹角公式：(,)arccos .a b a
b a b
∧
?=
②运算律：数量积满足交换律，对线性运算的分配律，与数乘运算的结合律。
交换律： a
b b a ?=?
对线性运算的分配律： ()a
b c a b a c λμλμ?+=?+?
与数乘运算的结合律： ()()()a
b a b a b λλλ?=?=?
③坐标运算：设(,,),(,,)x y z x y z a
a a a
b b b b ==
，则.x x y y z z a b a b a b a b ?=++
④模公式：a
=
（2）向量积
①定义：向量a
和b
的向量积a b ?
是一个向量，其大小为sin(,)a
b a b a b ∧?=
，
方向可以这样来确定：,,a
b a b ?
依次构成右手系。如下图所示。
注意，由定义可得向量积的几何意义：a b ?
恰好等于以向量a
和b
为相邻
两条边的平行四边形的面积。由此当然也不难得到三角形的面积公式。
②运算律：向量积满足反交换律，对线性运算的分配律，与数乘运算的结合律。
反交换律：
a b b a ?=-?
对线性运算的分配律： ()a b
c a b a c λμλμ?+=?+?
与数乘运算的结合律： ()()()a
b a b a b λλλ?=?=?
③坐标运算：设(,,),(,,)x y z x y z a
a a a
b b b b ==
，则
x
y z y z z y z x x z x y y x x
y
z
i
j k
a b a a a a b a b a b a b a b a b b b b ?==---
(,,) （3）混合积
①定义：三个向量,a
b 和c
的混合积[,,]a b c 是一个数，即[,,]().a b c a b c =??
混合积[,,]a
b c
的绝对值恰好等于以,a b
和c
为相邻三条棱的平行六面体的体积。 ②主要性质：
轮换不变性：[,,][,,][,,]a b c b c a c a b ==
反交换性质：[,,][,,]b a
c a b c =-
③坐标运算：设(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z a
a a a
b b b b
c c c c ===
，则
[,,]x
y z x
y z x y
z
a a a a
b
c b b b c c c =
5. 向量之间的重要关系
(1)平行（共线）：两个向量(,,)x y z a
a a a =
和(,,)x y z b b b b =
平行
?存在不同时为0的两个数,λμ
使得0a b
λμ+=
?对应坐标成比例，即y x z x
y
z
a a a
b b b =
=
0a b ?
?=
（2）垂直：两个向量(,,)x y z a
a a a =
和(,,)x y z b b b b =
垂直
? 0a b ?=
0x x y y z z a b a b a b ?++=
（3）三个向量(,,)x y z a
a a a =
，(,,)x y z b b b b = 和(,,)x y z c c c c =
共面
[,,]00x
y z
x
y z x
y
z
a a a a
b c b b b c c c ?=?=
?存在不同时为0的三个数,λμ和ν使得0.a b c λμν++=
（二）空间平面与直线 1．平面方程
（1）平面的点法式方程 与平面π垂直的非零向量称为平面π的法向量。过
已知点0000(,,)P x y z ，且以向量(,,)n
A B C =
为法向量的平面π
的方程为
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=
（2）平面的一般方程 一个三元一次方程表示的就是一个平面，该方程即
平面方程
π：0Ax By Cz D +
++=
此时平面的法向量就是(,,).n
A B C =
特殊情形：《1》0A x π=? 轴；
《2》0B y π=? 轴； 《3》0C z π=? 轴； 《4》0D π
=?过原点；
《5》0A
D x ==?轴在平面π
上； 0B D y ==?轴在平面π上； 0C D z ==?轴在平面π
上；
《6》0A B xoy π==? 平面（或者说π
与z 轴垂直）； 0A C zox π==? 平面（或者说π
与y 轴垂直）； 0B C yoz π==? 平面（或者说π
与x 轴垂直）；
《7》三个坐标面的方程依次为：
0z =（xoy 平面）
； 0y =（zox 平面）； 0x =（yoz 平面）； （3）平面的截距式方程 不过原点且与三条坐标轴都相交的平面有截距式方程
π： 1x
y z A B C
+
+= 此时平面的法向量就是111
(
,,).n
A B C
= 这里,,A B C 分别为π在x 轴，y 轴和z 轴上的截
距（注意，它们的值可正可负）。同时该平面与三个坐标面所围成的立体的体积为
1
.6
V
ABC =
（4）点到平面的距离 点0000(,,)P x y z 到平面π：0Ax By Cz D +++=的距离为
.d =
2. 直线方程
（1）直线的标准（对称式）方程 与直线L 平行的非零向量s
称为该直线的
方向向量，其坐标称为直线的一组方向数。过已知点0000(,,)P x y z ，且以向量
(,,)s l m n =
为方向向量的直线L 的标准（对称式）方程为
L ： 0
x x y y z z l
m
n
---=
=
（2）直线的参数方程 L ：000,x x lt
y y mt t z z nt
?=+?
=+-∞<<+∞??
=+?
从方程可知，该直线的方向向量为(,,)s
l m n =
，并且经过点0
000(,,)P x y z 。 （3）直线的一般方程 把直线看成两个平面的交线 L ：1111122222:0:0
A x
B y
C z
D A x B y C z D ππ?+++=??
+++=??
直线的方向向量为12n
n n =?
，其中1111(,,)n A B C = ，2222(,,).n A B C =
（4）点到直线的距离 点(,,)P x y z 到过已知点0000(,,)P x y z ，且以向量(,,)s
l m n =
为
方向向量的直线L 的距离为
000sin(,).PP s d PP PP s s
∧?==
3. 直线、平面之间的相互关系
（1）平面与平面的夹角 两个平面的夹角规定为两条法线的夹角，且取不大于90
者。
平面1π：11110A x B y C z D +++=与2π：2222
0A x B y C z D +++=的夹角
12
12
arccos arccos
,0.2
n n n n π
θθ?==≤≤
其中1
111(,,)n A B C =
，2222(,,)n A B C =
分别是平面1π与2
π的法向量。于是可推出：
121212120A A B B C C ππ⊥?++=；
11112222
.A B C A B C ππ?
== （2）直线与直线的夹角 两条直线的夹角规定为不大于90
者。
设 直线1L ：过点1111(,,)P x y z ，且以向量1
111(,,)s l m n =
为方向向量； 直线2L ：过点2222(,,)P x y z ，且以向量2
222(,,)s l m n =
为方向向量。
则直线1L 与直线2L 的夹角为
1212arccos ,0.2s s s s π???==≤≤
由此推出：12121212120L L s s l l m m n n ⊥?⊥?++=
；
111
1
212222
l m n L L s s l m n ??==
；
1L 与2L 共面1212
,,s s PP ?
共面11122221
21
21
0l m n l m n x x y y z z ?=---；
1L 与2L 异面1212
,,s s PP ? 异面11122221
21
21
0.l m n l m n x x y y z z ?≠--- （3）直线与平面的夹角 直线L 与平面π的夹角规定为L 的方向向量与π的法向量所夹之角（取锐角）的余角，即直线与它在平面上投影直线的夹角。
直线L 的方向向量为s ，平面π的法向量为n
，则直线L 与平面π的夹角为 arcsin .s n
s n
??=
由此推出：L
s n π⊥? ；L s n π?⊥
（4）过直线L ：1111122222:0:0
A x
B y
C z
D A x B y C z D ππ?+++=??
+++=??的平面束为
11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D λμ+++++++=
其中,λμ是不全为零的常数。当,λμ取遍所有常数时，平面束描出了通过直线L 的所有平面。
（三）空间曲面与曲线 1. 空间曲面的方程
（1）一般方程 一个三元方程(,,)0F x y z =表示的就是一个曲面。
（2）参数方程 (,)(,)(,)x x u v y y u v z z u v ?=?=??=?
（双参数）表示的就是一张曲面。
2. 空间曲线的方程
（1）一般方程 (,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z ?=?
=?（看成两个曲面的交线） （2）参数方程 ()()()x x t y y t z z t ?=?=??=?
（单参数）
3. 常见曲面与曲线及其图形 （1）母线平行于坐标轴的柱面
二元方程(,)0f x y =表示的就是一个母线平行于z 轴的柱面，它与xoy 平面的交
线为(,)00
f x y z ?=?
=?
； 二元方程(,)0g y z =表示的就是一个母线平行于x 轴的柱面，它与yoz 平面的交
线为(,)00
g y z x ?=?
=?
； 二元方程(,)0h z x =表示的就是一个母线平行于y 轴的柱面，它与zox 平面的交
线为(,)0
h z x y ?=?
=?
。 （2）旋转曲面：
平面曲线(,)0
f y z x ?=?
=?
绕z
轴旋转一周所得曲面为()0f z =；
绕y 轴旋转
所得曲面为(,0f y =；
平面曲线(,)00
f x z y ?=?
=?
绕z
轴旋转一周所得曲面为()0f z =；
绕x 轴旋转
所得曲面为(,0f x =；
平面曲线(,)00
f x y z ?=?
=?
绕y
轴旋转一周所得曲面为()0f y =；
绕x 轴旋转
所得曲面为(,0.f x =
关键要掌握推导这些公式所使用的方法。还要懂得如何用这种方法推导出绕曲线所在平面上任意一条直线旋转所得的曲面方程。 （3）二次曲面的标准方程及其图形
椭球面标准方程：222
2221x y z a b c
++=；
球面标准方程：2222x y z R ++=；
单叶双曲面标准方程：222
2221x y z a b c +-=；
双叶双曲面标准方程：222
2221x y z a b c
+-=-；
椭圆抛物面标准方程：22
22
x y z a b =+； 双曲抛物面标准方程：22
22
x y z a b
=-
以上诸曲面的图形略去。读者可从教材上去熟悉它们。 （4）螺旋线
柱面螺旋线：cos sin x R t y R t z vt ?=?=??=?； 锥面螺旋线：cos sin x Rt t
y Rt t z vt ωω?=?
=??=?
4. 空间曲线在坐标面上的投影
设给定一条空间曲线(,,)0
:(,,)0
F x y z
G x y z ?=Γ?
=?，那么有 （1）消去z 得到(,)0f x y =，称为Γ关于xoy 平面的投影柱面，而(,)00
f x y z ?=?
=?
就是Γ在xoy 平面上的投影曲线；
（2）消去x 得到(,)0g y z =，称为Γ关于yoz 平面的投影柱面，而(,)00
g y z x ?=?
=?
就是Γ在yoz 平面上的投影曲线；
（3）消去y 得到(,)0h x z =，称为Γ关于zox 平面的投影柱面，而(,)00
h x z y ?=?
=?
就是Γ在zox 平面上的投影曲线。
知道如何求空间曲线在坐标面上的投影，自然也就可以求一个空间立体图形在坐标面上的投影区域，其关键在于求投影区域的边界线-----通常就是空间曲线在坐标面上的投影曲线。而求投影区域，则是计算重积分的基础。
5．如何从方程去判断空间曲线和空间曲面所具备的基本对称特征 先看简单的判断方法：
1．如果曲线或者曲面方程中的x 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于yoz 平面是对称的；如果曲线或者曲面方程中的y 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于zox 平面是对称的；如果曲线或者曲面方程中的z 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于xoy 平面是对称的。
2．如果曲线或者曲面方程中的x 和y 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于z 轴是对称的；如果曲线或者曲面方程中的y 和z 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于x 轴是对称的；如果曲线或者曲面方程中的z 和x 都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于y 轴是对称的。
3．如果曲线或者曲面方程中的x，y和z都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于原点o是对称的。
更一般地说，如果曲面∑的方程是(,,)0
F x y z=，则
（1）如果(,,)(,,)
-=，则∑关于yoz平面是对称的；
F x y z F x y z
（2）如果(,,)(,,)
-=，则∑关于zox平面是对称的；
F x y z F x y z
（3）如果(,,)(,,)
-=，则∑关于xoy平面是对称的；
F x y z F x y z
（4）如果(,,)(,,)
--=，则∑关于z轴是对称的；
F x y z F x y z
（5）如果(,,)(,,)
--=，则∑关于y轴是对称的；
F x y z F x y z
（6）如果(,,)(,,)
--=，则∑关于x轴是对称的；
F x y z F x y z
（7）如果(,,)(,,)
F x y z F x y z
---=，则∑关于原点o是对称的；
（8）如果(,,)(,,)
=是对称的；
=，则∑关于平面x y
F x y z F y x z
（9）如果(,,)(,,)
=是对称的；
F x y z F x z y
=，则∑关于平面y z
（10）如果(,,)(,,)
=是对称的；
F x y z F z y x
=，则∑关于平面z x
此外，对于曲线方程，也有类似的对称性结论，读者可自行归纳。
当你明白了曲线或者曲面的对称性，自然也就可以理解由它们所围成的几何图形的对称性。总之，对于某个给定的几何图形Γ，如果关于某个几何对象L 的每对对称点P和P'，都有P P'
∈Γ?∈Γ，则几何图形Γ必定关于L是对称的。这是我们在积分计算中运用对称性的基础。
第六章多元函数微分学
（一）多元函数的概念
1．多元函数的定义设D是n-维欧式空间n 的一个非空子集，如果有一个
对应法则f ，使得对D 中任意一个点12(,,,)n x x x ，通过法则f ，都可以找到确定的实数y 与之对应，则称y 为12,,,n x x x 的n -元函数，记为y f =12(,,,)n x x x ，D 则称
为该函数的定义域。
使一个n -元表达式所表示的函数有意义的点12(,,,)n x x x 的全体称为该函数的自然定义域。一般地，n -元初等函数（由一元基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的能够用一个式子表示的函数）的定义域都是自然定义域。
2. 二元函数的几何意义 一个二元函数(,)z
f x y =在几何上表示的是一张曲
面，其上任意一点的坐标即为(,,)(,,(,))x y z x y f x y =，它在xoy 平面上的投影区域就是该函数的定义域。 （二）多元函数的极限
1．定义 （以二元函数为例）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个去心邻域内
有定义。
A
为一常数。如果对任一给定的正数ε，都存在正数δ使得当
00(,)((,),)x y U x y δ∈
时，都有
(,)f x y A ε
-<
成立，则称(,)x y 趋于00(,)x y 时函数(,)f x y 以A 为极限，记为 00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y A →=，或者00
lim (,).x x y y f x y A →→=
如果记ρ
=0
lim
(,).f x y A ρ→=
注意，由于多元函数极限的定义本质上和一元函数极限没有什么区别，因此这种极限的性质和一元函数极限的性质基本上是一样的，像局部有界性质、局部保号性质都还成立。
2．计算 基本上和一元函数极限类似，同样有四则运算，复合运算；也可
以使用变量替换方法，等价无穷小替换等等。当然没有多元函数极限的罗比塔法则了。
3．确定某一二元函数极限不存在的方法 对于多元函数极限，由于自变量的变化路径较为复杂，因此判断极限存在与否有时较为困难。一般的说，确定某一二元函数极限不存在的方法有两种：
（1）设法找到两条不同的路径，当自变量沿着这两条路径趋于确定点时，函数有不同的极限值；
（2）设法找到一条路径，当自变量沿着这两条路径趋于确定点时，函数没有极限（比如极限为∞）。 （三）二元函数的连续性
1．定义 设函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义。如果
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=
，
则称函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处连续。如果函数(,)z f x y =在区域D 的每一点都连
续，就称函数(,)z f x y =在区域D 上连续。如果函数(,)z f x y =在定义域的每个点处都连续，就称(,)z
f x y =为连续函数。
由于二元函数连续性的定义与一元函数本质上相同，因此二元函数连续性的性质以及运算关系也与一元函数情形基本相同。四则运算与复合运算都保持连续性，因此可知，多元初等函数都是其定义域内的连续函数。
2．有界闭区域上多元连续函数的性质
有界闭区域上多元连续函数的性质与闭区间上一元连续函数的性质是一样的，也是如下几条：
（1）最大值和最小值定理 有界闭区域上多元连续函数一定可以取得最大
值和最小值；
（2）有界性定理 有界闭区域上多元连续函数是有界的； （3）介值定理 如果函数(,)z
f x y =在有界闭区域D 上连续，对于任意两个不
同的点1122(,),(,)x y x y D ∈，如果1122(,)(,)f x y f x y ≠，则对介于1122(,),(,)f x y f x y 之间的任
一常数c 以及连接1122(,),(,)x y x y 且含于D 的任一连续曲线Γ，必有00(,)x y ∈Γ使得
00(,).f x y c =
由此可见，满足00(,)f x y c =的点00(,)x y 通常不止一个，而是一条曲线(,).f x y c =
（四）偏导数
1．定义（以二元函数为例） 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定
义。如果极限
00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
?→+?-?
存在，则称函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 关于x 可（偏）导，该极限值就称为函数
(,)z f x y =在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记为00(,)x f x y '，或者00(,)x
z x y '，或者00(,)
x y z
x
??，或
者00(,)
x y f
x
??等等。类似地可以定义函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 关于y 的偏导数，并分别
记为00(,)y f x y '，或者00(,)y z x y '，或者0
(,)
x y z y
??，或者00(,)
x y f
y
??等，即
0000000
(,)(,)
(,)lim
.y y f x y y f x y f x y y
?→+?-'=?
如果函数(,)z f x y =在区域D 上每个点(,)x y 处关于x 的偏导数都存在，则得到一个
偏导函数，记为(,)x f x y '，或者,,x
z f
z x x
??'??等等。它在某一点00(,)x y 的函数值就是函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处关于x 的偏导数值。类似地可定义关于y 的偏导函数，记为
(,)y f x y '，或者
z
y
??等。
从偏导数定义容易看出，偏导数本质上还是一元函数的导数。因此它的一些
基本性质和运算法则与一元函数导数的基本性质和运算法则没有本质的区别。
2．二元函数偏导数的几何意义 二元函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处关于x
的偏导数
00(,)x f x y '和关于y
的偏导数
00(,)y f x y '在几何上分别表示曲线0(,)z f x y y y ?=?
?=??和0
(,)z f x y x x ?=??
=??上点0000(,,(,))x y f x y 处的切线关于x 轴和关于y 轴的斜率。
3．高阶偏导数
0-阶偏导数就是函数本身，一阶偏导数就是通常的偏导数。归纳地，可以如
下定义高阶偏导数
2-阶：22()z x x x ???
=
???；2()z x y y x ???=????；2()z y x x y ???=????；22()z y y y ???=???； 3-阶：3232()z z
x x
x ???=
???；3222()z z y x y x ???=????；3232()z z y y y ???=???；32()z z x y x x x y ???=??????；
如果每次求导不都是关于同一变量求导，所得偏导数称为混合偏导数。求导结果一般与对各个变量的求导次序有关，但是我们有如下的定理：
定理 混合偏导数如果连续，则与对各个变量的求导次序无关，而只与关于每个变量的求导次数有关。
比如，在对应偏导数连续的情况下，有
44442332
z z z z x y x x y y x x y x ????===
??????????.
（五）全微分
1．二元函数全微分的定义 设函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义，,x y
??分别表示自变量,x y 在
点00(,)x y 处的增量。如果存在只与00,x y 有关的数A 和B 使得
00000
(,)(,)lim
f x x y y f x y A x B y
ρρ
→+?+?--?-?=
也即
0000(,)(,)()f x x y y f x y A x B y ρ+?+?-=?+?+
（其中
ρ=，则称函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处可微，并称A x B y ?+?为
函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处的全微分，记为00(,)
x y dz
，或者00(,)
.x y df
即有
00(,)
.x y dz
A x
B y =?+?
习惯上记为00(,)
.x y dz
Adx Bdy =+
这个定义可以推广到任意多元函数形式。
2．可微的必要条件 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续，并且
函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处的两个一阶偏导数都存在，而且有
00(,)
0000(,)(,).x y x y dz
f x y dx f x y dy ''=+
这个必要条件对任意多元函数都适用。但这仅仅是必要条件，并不是充分条件。 如果函数(,)z
f x y =在区域D 的每一点都可微，则称函数(,)z f x y =在D
上可
微，此时有全微分的一般表达式.z z
dz
dx dy x y
??=
+?? 3．可微的充分条件
若多元函数的各个一阶偏导数在某一点处都连续，则该多元函数在该点处必可微。
同样地，这个条件也不是必要条件，仅仅是充分条件。 下面几个概念间的相互关系应该熟记：
函数在某一点处几个概念间的关系
一元函数情形
多元函数情形
4. 一阶微分形式不变性 如果函数
(,)z f u v =
及(,),(,)
u u x y v v x y ==都是可微函数，则复合函数
((,),(,))z f u x y v x y =也可微，并且有
.z z z z
dz du dv dx dy u v x y
????=
+=+???? 即函数的一阶微分总是等于关于各个变量的偏微分之和，不论这些变量是自变量还是中间变量。
这一点在求导时往往很有用。 （六）复合函数求导法则
基本链式法则：在同一层级上，有几个中间变量，导数就是几项之和，且每一项结构完全相同，均为函数对中间变量的（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导数。
比如：假设所涉及的函数均有连续的偏导数。
1．若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则
z f u f v x u x v x
?????=?+??????；
z f u f v
y u y v y
?????=?+?????? 2．若(,,),(,),(,),(,)z f u v w u u x y v v x y w w x y ====，则
z f u f v f w x u x v x w x ???????=?+?+????????；
z
f u f v f w y
u y v y w y ???????=?+?+????????
3．若(,,)z f u x y =，(,)u u x y =，则
0z f u f x f x u x x x y ??????=?+?+???????f u f
u x x ???=?+???；
0z f u f f y y u y x y y ??????=?+?+???????.f u f
u y y
???=?+??? 等等。求导的关键是弄清楚每次求导是关于哪个变量求导,那些变量应该看成常数，那些变量应该看成中间变量。 （七）隐函数的求导法则
1. 几个隐函数定理
一般地说，n 个未知量如果受到k 个相互独立的条件的约束（表现为k 个相互独立的方程），那么真正自由的未知量就只有n k
-个，于是这k 个相互独立的方
程在适当的条件下就可以确定k 个n k
-元函数。隐函数定理主要就是给出几个充
分条件以及相应的结论。
定理1 设二元函数(,)F x y 在区域D 内具有连续偏导函数，点00(,)x y D ∈，并且满足：0000(,)0,(,)0.y F x y F x y '=
≠则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某个邻域内确定了一个
具有连续导数的函数()y
f x =，它满足条件00()y f x =，并且有
(,).(,)
x y F x y dy
dx F x y '=-' 定理2 设三元函数(,,)F x y z 在区域Ω内具有连续偏导数，点000(,,)x y z ∈Ω，并且满足：000000(,,)0,(,,)0.z F x y z F x y z '=
≠则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 的某个邻域内
确定了一个具有连续偏导数的二元函数(,)z
f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并且
有
(,,)(,,)
x z F x y z z
x F x y z '?=-'?，
(,,).(,,)y z
F x y z z
y F x y z '?=-'?
定理 3 设三元函数(,,)F x y z ，(,,)G x y z 在区域Ω内具有连续偏导数，点
000(,,)x y z ∈Ω，并且满足：
000000000000000(,,)000000(,,)(,,)(,)
(,,)0,(,,)0,0.(,)(,,)(,,)y z x y z y
z F x y z F x y z F G F x y z G x y z y z G x y z G x y z ''?===≠?''
则方程组(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z ?=?
=?在点000(,,)x y z 的某个邻域内确定了两个具有连续导数的一元函数(),()y
y x z z x ==，它们满足条件0000(),()z z x y y x ==，并且有
(,)
(,)
(,)(,)
F G dy x z F G dx
y z ??=-??，
(,)
(,)
.(,)(,)
F G dz y x F G dx
y z ??=-??
定理 4 设四元函数(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 在区域Ω内具有连续偏导数，点
0000(,,,)x y u v ∈Ω，并且满足：
000000000000(,,,)
(,)
(,,,)0,(,,,)0,
0.(,)x y u v F G F x y u v G x y u v u v ?==≠?
则方程组(,,,)0
(,,,)0
F x y u v
G x y u v ?=?
=?在点0000(,,,)x y u v 的某个邻域内唯一确定了两个具有连续偏导数的二元函数(,),(,)u
u x y v v x y ==，它们满足条件000000(,),(,)u u x y v v x y ==，并且有
(,)
(,)(,)(,)F G u x v F G x
u v ???=-
???，
(,)
(,)
(,)(,)F G u y v F G y
u v ???=-??? ，
(,)
(,)
(,)(,)
F G v u x F G x
u v ???=-
???，
(,)
(,)
.(,)(,)
F G v u y F G y
u v ???=-???
当然，这样的定理我们可以写出无数个，它们形式上是相仿的。实际上后面的求导公式也没有很大必要去记忆。但是应该知道它们是如何推导出来的。
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
大一下学期表演总结 我们每个人经过一个阶段，都要总结一下，才能在下一个阶段做得更好，下面是关于大一下学期期末总结。希望对大家有用。 大一下学期期末总结 ————成长就是不断进步 日月如梭，时不我待，转眼大一就这样匆匆而过，在这一学期里我们有成绩也有失意，有开心也有烦恼。 这一年里，离开家乡来到咸阳，我尽力克服了自己在生活上的不便与不习惯——不论是潮湿炎热的气候还是对于一个城市的陌生。下面我将从我这学期的生活、学习、思想等几个方面来进行总结。 生活方面，我的自理能力比起上一学期明显有了很大的提高，而且体现在了生活中大大小小各个方面，由于在上大学之前从来没离开过父母，在家里大部分的日常生活问题都靠父母，但现在，不管吃饭、穿衣、整理内务或是其他的事，我都尽自己最大的努力独立完成并做到最好，而且不比宿舍里其他几个以前住过校的同学差，在放假回家以后，我会在学习的课余时间也帮父母做更多的家务，让他们见证我在生活上的不断成长。我一直自信于自己的交往能力，从小到大，由于性格开朗、幽默，喜欢交朋友，所以人际关系一直很不错。在大学的这一年里，我更是交到了很多朋友，可以十分
自信的说，不论是什么性格的人，用不了多长时间，我都能和他们打成一片，所以在人际关系方面不管是宿舍的小集体，还是班级的大集体中，我自我感觉还是不错的。 接下来，是学习方面。我们都知道在镐京学院里，学习就是重中之重，只要你学习好，什么都可以优先。但是由于大一上学期我对学校各方面的不适应，加上本来基础不太好，甚至出现过两次挂科现象，一学期下来排名也十分靠后，每次看到黑框框里自己的名字都会感觉十分惭愧，觉得对不起父母，所以这学期来了我下定决心要尽自己最大的努力把成绩提上去。我知道高数是我的最弱项，而且也容易提成绩，所以这学期在高数这门学科上我也下了一番功夫，虽然上学期基础没打好，但这学期的每节高数课我都尽自己最大的努力去听，虽然有时候会遇到听不懂的地方，但我仍会做好笔记课后问学习好的同学，每次考高数前我也会突击几天，让学习好的同学帮我划重点，我自己依次看过去，又不会的题再请教他们，所以这学期的三次高数考试我都顺利过关了，说到这里我要特别感谢我们宿舍的陈艳同学和我的“天后”同桌王菲同学了，她们两个在我的高数和线性代数这两门学科上帮了我不少忙，每次考前不仅给我划重点而且每次我遇到不会的题他们都给我耐心的讲解，我发自内心的感谢她们。再说英语方面吧，特别要说的是翻译课，这学期我要比上学期在听课时认真的多，记得上学期还因为上课笔记做的不好
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
河北科技大学2003级 高等数学（下）期末考试试题1 一、填空题（共15分） 1. (5分) 微分方程023=+'+''y y y 的通解为 . 2. (5分) 设D 是平面区域,1||,2||≤≤y x 则=+??D y x x σd )( . 3. (5分) 设),(xy e f z =其中f 可微,则=z d . 二、选择题（共15分） 1. (5分) 若∑∞ =1n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1=x 处( ). (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C) 发散; (D)收敛性不确定. 2. (5分) 0lim =∞→n n u 是级数∑∞ =1n n u 收敛的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件. 3. (5分) 已知y x e x ay x x y d )2(d )sin (2 2++-在xoy 坐标面上是某个二元 函数的全微分,则a = ( ). (A) 0; (B) 2; (C) 1- ; (D) 2-; 三、解答题（共56分） 1.（7分）已知曲线32,,t z t y t x ===上P 点处的切线平行于 平面,42=++z y x 求P 点的坐标. 2.（7分）设, ) , (x y xy f z = f 具有二阶连续的偏导数,求.2y x z ??? 3.（7分）计算曲线积分?-+-=L x x y y e x y y e I d )1cos (d )sin (其中L 为 由点)0 , (a A 至点)0 , 0(O 的上半圆周2x ax y -=)0(>a .
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求．
5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月
大一高数知识点总结 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法解析法 即用解析式表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg,y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x
?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F=0给出的，如2x+y-3=0，e 可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮叫做y=f的反函数，记作x=fˉ1或y= fˉ1. 二、函数常见的性质 1、单调性 2、奇偶性=f；奇：关于y轴对称，f=-f.） 3、周期性
《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3. 设有直线1158 :121x y z L --+== -和26:23 x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ） 6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2 π . 4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（ ）. A.0=?b a B.0 =?b a C.0 =-b a D.0 =+b a 5.函数xy y x z 33 3 -+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则 ?? ? ????4,1πy z ＝（ ）. A. 2 2 B.22- C.2 D.2- 7. 级数 1 (1)(1cos ) (0)n n n α α∞ =-->∑是（ ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）
1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：22 1x y +=，则曲线积分 2(22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ____________. 5. .级数1 (2)n n x n ∞ =-∑的收敛区间为____________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4. ．计算1 d d y x y x x ? . 试卷6参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞ =+-0 1 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .
2016年下半年《高等数学（下）》期末考试试卷及答案 (河南工程学院） 1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导且，则曲线 y=f(x) 在 点（ x 0, f(x0) ）处的法线的斜率等于（）(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 2. ( 单选题) 无穷小量是(本题 3.0分) A、比0稍大一点的一个数 B、一个很小很小的数 C、以0为极限的一个变量 D、数0 3. ( 单选题) 设函数，则其间断点的个数是（）。 (本题3.0分) A、0 B、 1
C、 2 D、 3 4. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 5. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 6. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 7. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题3.0分)
A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 8. ( 单选题) 若，则f(x）=（）。(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 9. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题3.0分) A、正确 B、错误 10. ( 单选题) 曲线在点处的切线方程为(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 11. ( 单选题) 极限(本题3.0分)
A、 1 B、-1 C、0 D、不存在 12. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 13. ( 单选题) 设，则( )。 (本题3.0分) A、 B、６x C、 6 D、0 14. ( 单选题) 极限 (本题3.0分)
河北科技大学 高等数学（下）考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分)
1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.
高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有
d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；
大一下学期学业总结由于大一上学期我对学校各方面的不适应，加上本来基础不太好，甚至出现过两次挂科现象。以下内容是品才网小编为您精心整理的，欢迎参考！ 大一下学期学业总结一学期的时间如流水逝去，那么的迅捷无情，过去的成绩，过去的遗憾只有在面对未来时才有执着的意义。这个学期我深有体会：班级的荣誉是要靠全体成员共同努力的” ，但我也知道做好一个尽职尽责的班委也是至关重要的；“一个没有领导的集体是散乱的” ，同样，一个好的决策会增强集体的凝聚力，从而使班级有更强的创造力！吸取了教训和经验后我相信下期的工作可以做的更好 回顾大一上学期的班委竞选，自己之所以能当上收发员这个职务，不仅仅是因为班上同学对我的支持，更是对我的信任。因此，从那时起，我的身上就肩负着一个担子，那就是不让支持我的人失望，我应当尽我所能，为这个班、这个集体、这个集体中的每一个人服务，从而不辜负他们对我的信任与期望 一个学期又结束了，作为一名班委来说，有着很多感慨。新的一年，在学习和生活上都有了新的体会和目标，在班级工作和与同学们相处之间，也显得更加成熟，想问题也更加全面。在上一个学期中，我们 08 商英一班的学习和活动都取得了可喜的成绩。每个同学都表现出了积极向上的态度。 班委们对此感到很开心，很快乐。作为其中的一员，我仔细分析和总结了自己这一学期的工作，找出自己的不足和值得发扬的地方。并和其它同学进行了沟通，力争得到更好的改善。
一：在学习上，比起上学期又有了相对的进步，各次测验的成绩也明显比以前有所提高。在做作业上，我每次都是自己的作业就自己做，不抄袭不作弊，至于写论文的作业就借助课外资料，希望以此可以提高自己的写作能力。在课余时间，我还充分利用学校的图书馆资源，抓紧时间阅读各方面的书本知识，以求提高自己的知识面，拓宽自己思考问题的角度，从而多方面的考虑问题，避免片面看问题，养成不好的思考习惯。 二：在生活上，我可以和同学们友好相处，和睦共处，互帮互爱，自己的事情自己做，形成独立自理自立的良好品德。宿舍是一个大集体四人生活在同一个空间里面，但是各自的生活习性都不相，这就需要大家互相理解和迁就，只有这样才能和好相处，为我们的学习创造一个良好的学习和休息环境。我们宿舍的融洽和谐关系还很大归属于我们每一个宿友 三：在工作上，这学期一直秉承着我学校优良的传统，在各位班委和同学的积极配合下有了一定的进步。同时也大力配合个同学的工作，把我们商英一班个方面的成绩都提高! 总之，我要发扬优点，改正缺点，不能再浪费一分一秒，特别是在星期天的时间里，要及时总结归纳一周里学的东西，作好笔记。针对自己的专业，多到图书馆看专业书和案例，拓宽自己的知识面和增加看问题的深度，同时还要多跟任课老师沟通，不懂就问，戒除害羞的习惯。大学生活是很宝贵的，我不愿意平平淡淡地过这几年，我要好好珍惜这难得的读书机会，努力读书，为自己的大学生活增添更多的光辉色彩。 在这个学期的工作中，我也学会了很多。以前的自己，过于理想化，只是知道自己觉得应该的，有时会忽略其他人的想法。而现在的我更懂得换