【例4.10.1】设线性定常系统 u x x
??
?
?
?
?????+??????????---=01131
301100 ， []x y 21
0-=
判别可控性。若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解。
解：
（1）判别可控性
[
]
???
?
?
?????---==21
311
1012
b A Ab
b
Q c ，n rankQ c
<=2，故系统不完全可控。
（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵c R 。 []32
1
R R R R c =
??????????=0111R ，??????????=1102R ，??????????=1003R ，故而????
?
???
??=11
011
001
c R 变换后系统的动态方程为：
u B x A x
+= ，x C y = 式中： ??
?
???=c c x x x
可控子系统动态方程：
u x x x c c c ??
?
???+??????--+????
??--=012121
10
， []c x y 111-=
c
c AR R A 1
-=???
?????????????????---????
?
?????=-11
011001
31
301100
110
0110011
????
?
?????-----=10
2
21110
????
?
?????=??????????????
?
?????==--00101111
0011
001
1
1
B R B c [][]
21
111
011
00121
--=???
?
?
?????-==c CR C
不可控子系统动态方程：
c c x x
-= ， c x y 22-=
为了说明在构造变换阵c R 时，n r R R ,,1 +列是任意选取的（当然必须保证c R 为非奇异），现取[]32
1R R R R c =中的[]T
R 10
1
3=，即
????
?
???
??=11
011
101
c R u B x A x
+= ，x C y = 式中： ??
?
???=c c x x x
即有 u x x x
x
c c c c ????
?
?????+??
??????????????----=??????00110
221
010
[]??
?
???--=c c x x y 21
1
二、系统按可观测性的结构分解
设不可观测线性定常系统为Bu Ax x
+= ，Cx y =，其可观测性判别矩阵o Q 的秩为r c
c AR R A 1
-=???
?????????????????---????
?
?????=-11
011101
31
301100
110
0111011
????
?
?????----=10
2
21010
????
?
?????=??????????????
?
?????==--00101111
0011
101
1
1
B R B c [][]
21
111
011
10121
--=???
?
?
?????-==c CR C
（n r <），即n r rankQ
o
<=，则存在非奇异变换
x R x o =
将状态空间表达式变换为：u B x A x
+= ，x C y = 其中：
非奇异线性变换阵可这样构造：
?????????
???????????=+-T n T r T r
T o
R R R R R 111
1
-o R 中的前r 个向量T
r T
R R ,,1 为可观测性判别矩阵o Q 中的r 个线性无关的行。另外
)(r n -个行向量T n T r R R ,,1 +在确保1
-o R 是非奇异的条件下完全是任意选取的。
可见，经上述变换后系统的分解为可观测的r 维子系统和不可观测的)(r n -维子系统。
可观测子系统：u B x A x
o o 111+= ， o x C y 11= 不可观测子系统：u B x A x A x
o o o 22221++= ， 02=y }})
(0222111
1
r n r A A A AR R A o
o -????
????
?
?==-
r
)
(r n -}})
(r n r x x x o o -????
?
?????=
??
??
?
?????==-211
B B B R B o
r )
(r n -[
]
1
C CR C o ==r )
(r n
【例4.10.2】设线性定常系统 u x x
??
?
?
?
?????+??????????---=01131
301100 ， []x y 21
0-=
判别可观测性。若系统不可观测，将系统按可观测性进行规范分解。 解：
（1）判别可观测性 ???
?
?
??
?
??----=??????????=43
2
321
2102
cA cA c Q o ，n rankQ o
<=2，故系统不可观测。
（2）构造非奇异变换阵o R 。取
????
??????=-T T T
o R R R R 3
2
11
[]21
1-=T
R ， []32
1
2-=T
R
在保证1-o R 非奇异的条件下，任取[]10
3=T
R
∴??
?
?
?????
?--=??????????=-10
03212103
2
11
T T T o
R R R R ， ????
?
?????==--10
0201
112
)(11o o R R 按可观测性进行结构分解示意图
可观测部分
不可观测部分
于是u B x A x
+= ， x C y = 即
可观测子系统为：u x x
o o ??
?
???-+??????--=1121
10 ， []o x y 01=
不可观测子系统为：[]o o o x x x -=01
三、按可控性和可观测性分解
若线性定常系统Bu Ax x
+= ，Cx y =，其状态不完全可控、不完全可观测，则存在非奇异变换
x R x =
将原状态空间表达式变换为：u B x A x
+= ，x C y = 其中：
?
?
??
?????
???=o c o c o
c co x x x x x ， ?????
???????==-4443
3324
232221
1311
10
000000A A A A A A A A A AR R A ?????
?
??????==-002
11B B B R B ， []00
2
1
C C CR C ==
即
u B
B x x x x A A A A A A A A A x x x x o c o c o c co o c o c o c co ?????
?
??????+????????????????????????=????????????000
00000214443
33242322211311
Bu R x x AR R x x o o o o o o o 1
1--+??
????=?????? u x x o o ????
?
?????-+??
??????????????---=01110
1
021010
[]??
?
???=o o x x y 00
1
[]?????
????
???=o c o c o
c co x x x x C C y 00
2
1
可见，只要确定了变换矩阵R ，只需经过一次变换便可对系统同时按可控性和可观测性进行结构分解。但R 的构造涉及较多线性空间的概念，比较麻烦，可用如下步骤分解：
第一步：将系统∑),,(C B A 按可控性分解。 第二步：把可控子系统∑
c
按可观测性分解。 第三步：把不可控子系统∑c
按可观测性分解。
第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按可控性和可观测性进行结构分解的表达式。
课堂练习：p.94 5-1，5-2
作业：5-4（可以不交）
3、最小实现 定义4.9（最小实现定义）： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消） Cx y Bu Ax x =+= 称为最小实现。如果)(s G 中不存在其它实现 x C y u B x A x =+= 使x 的维数小于x 的维数。 定理4.11： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现∑),,(C B A Cx y Bu Ax x =+= 为最小实现的充分必要条件是∑),,(C B A 既是可控的又是可观测的。 【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现。 ?? ???? ++++=)3)(2(1 ) 2)(1(1 )(s s s s s G 解：（1） ?? ? ? ?? ++++++++=?)3)(2)(1(1 ) 3)(2)(1(3 )(21s s s s s s s s s G 说 明： 设传递函数矩阵为r m s G ?)(，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）。r 为输入变量的维数，m 为输出变量的维数。 初选规则是： （1）m r >时，先初选可观测标准型实现。 （2）m r <时，先初选可控标准型实现。
[]13) 3)(2)(1(1 +++++= s s s s s [][]{}13116 1161 2 3 ++++=s s s s 即 60=a ，111=a ，62=a []13 0=β，[]111=β，[]00 2=β 由21)()(??=s G s G r m ，2=r ，1=m ，m r >，故先选可观测标准型。 12100000=???????? ??---=m m m m m m m m m m o I a I I a I I a A ???? ? ?? ? ??---=61 01101 600 ??? ? ???? ??=??????????=00 11 13 210βββo B ，[][]10 001===m m m m o I C （2）检验可观测标准型实现∑),,(o o o C B A 是否可控。 [] ???? ? ?????------==53 1 1 11111311660013 2 o o o o o c B A B A B Q n rankQ c ==3，故∑),,(o o o C B A 可控可观测，∑),,(o o o C B A 为最小实现。 四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系 定理4.12 ： SISO 系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。 SISO 系统可控的充分必要条件是：b A sI 1 )(--不存在零极点对消。 SISO 系统可观测的充分必要条件是：1 )(--A sI c 不存在零极点对消。 【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。 （1）u x x ?? ????+???? ??-=105.15 .210 ，[]x y 15.2=
实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执行plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示范围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验内容： 一、用两种方法绘制如下系统函数的零极点分布图，并且判断系统是否稳定。
第四章 线性系统的可控性和可观性 §4-1 问题的提出 经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性 可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。 状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。 【例如】 （1）u x x ?? ? ???+??????=202001 []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：?? ? ??=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。 即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
实验三 连续时间系统的模拟 一、 实验目的 学习根据给定的连续系统的传输函数，用基本运算单元组成模拟装置。 二、 实验原理 1． 线性系统的模拟 系统的模拟就是用基本运算单元组成的模拟装置来模拟实际的系统。这些实际的系统可以是电的或非电的物理量系统，也可以是社会、经济和军事等非物理量系统。模拟装置可以与实际系统的内容完全不同，但是两者之间的微分方程完全相同，输入输出关系即传输函数也完全相同。模拟装置的激励和响应是电物理量，而实际系统的激励和响应不一定是电物理量，但它们之间的关系是一一对应的。所以，可以通过对模拟装置的研究来分析实际系统，最终达到在一定条件下确定最佳参数的目的。对于那些用数学手段较难处理的高阶系统来说，系统模拟就更为有效。 2． 传输函数的模拟 若已知实际系统的传输函数为： 10111()()()n n n n n n a s a s a Y s H s F s s b s b --+++==+++ （1） 分子、分母同乘以n s -得： 11011111() ()()()1() n n n n a a s a s P s Y s H s F s b s b s Q s ------+++=== +++ （2） 式中1()P s -和1()Q s -分别代表分子、分母的s 负幂次方多项式。因此： 111 ()()()() Y s P s F s Q s --=? （3） 令：11 ()() X F s Q s -= （4） 则111()()n n F s XQ s X b s X b s X ---==++ + （5） 1 1()n n X F s b s X b s X --??=-+ +?? (6) 1101()()n n Y s P s X a X a s X a s X ---==+++ (7) 根据式（6）可以画出如图1所示的模拟框图。在该图的基础上考虑式（7）就可以画出如图2所示系统模拟框图。在连接模拟电路时，1s -用积分器，1b -、2b -、3b -及0a 、1a 、2a 均用标量乘法器，负号可用倒相器，求和用加法器。值得注意的问题是，积分运算单元有积分 时间常数τ，即积分运算单元的实际传递函数为1/s τ-，所示标量乘法器的标量12,, ,n b b b ---应分别乘以12,, ,n τττ。同理，01,, ,n a a a 应分别乘以012,,, ,n ττττ。此外， 本实验采用的积分器是反相积分器，即传递函数为1/s τ--，所以01,,,n a a a 还应分别乘以
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
e a e a
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
1
c
u1 u2 up
e a
M
系 统
M
x1 , x2 ,L, xn
y1 y2 yq
可控 ——系统所有状态变量都可以由
输入来影响和控制？
可观 ——系统所有状态变量都可以由
输出完全反映？
t
y c
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， 奠定了现代控制理论的基础。
c
e a
t
y c
2
例：已知系统的动态方程：
& ? x1 ? ? 4 0 ? ? x1 ? ?1 ? ? x ? = ? 0 ? 5? ? x ? + ? 2 ? u ?? 2 ? ? ? ? &2 ? ? ?x ? y = [0 ? 6]? 1 ? ? x2 ?
c
L
& x1 = 4 x1 + u
& x2 = ?5 x2 + 2u
e a e a
iL
R
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！ y 无法反映 x1，
y = ?6 x2
系统不完全可观！
系统可控、不可观测！
t
y c
例：已知桥式电路
选取 x1 = iL , x2 = uC
R R
u
c
C
y = x2 = uC
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0 则 x2 (t ) ≡ 0, t ≥ t0
R
uC
u 只能控制 x1，不能控制 x2
x2 不可控！
y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化
系统不可控、不可观测！
t
x1 不可观测！
y c
3
第一题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; p=roots(den); z=roots(num); plot(real(p),imag(p),'*');hold on; plot(real(z),imag(z),'o');grid on 稳定 -30-25-20-15-10-50 2. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.53 第二题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
00.51 1.52 2.53-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2. num=[1,0]; den=[1,-1,-6]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
实验三 系统的可控性与可观测性分析 一、实验目的 1．巩固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能观测标准型等基础知识； 2．掌握使用MATLAB 判定系统可控性与可观测性的方法； 3．掌握使用MATLAB 控制系统的标准型实现； 4．通过Matlab 编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。 二、实验原理与步骤 (一)、可控性和可观测性的定义 1.可控性的定义 若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存在一个有限时刻 t1>t0 和一个容许控制 u[t0, t1]，能在t1时刻使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程 X AX BU =+ 在t0时刻是可控的。反之称为在 t0 时刻不可控。 2.可观测性的定义 定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程 X AX BU Y CX DU =+=+
在t0时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。 (二)、可控性和可观测性判据 1、可控性 构造一个相似变换矩阵 1(,,,) n c T B AB A B -= 公式中，n 是系统的阶次；矩阵c T 称为系统的可控性变换矩阵。 矩阵c T 可以由控制系统工具箱中提供的()ctrb 函数来产生。其调用格式为 (,) c T ctrb A B = 公式中，c T 的秩，即()c rank T 称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。 如果()c rank T n =，则系统是完全可控制的。 【例题1】考虑系统的状态方程模型为 01 0000101000100 0502x x u ???? ????-????=+???????? -???? 分析系统的可控性。 A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0] B=[0;1;0;-2] Tc=ctrb(A,B) rank(Tc) 结果如下： >> rank(Tc)
通信信道的随机线性控制 Sekhar Tatikonda 会员IEEE Anant Sahai, 会员IEEE Sanjoy Mitter 终身会员IEEE 摘要我们研究线性随机控制系统时，有一个通信信道连接传感器到控制器。问题由信道编码器和解码器以及控制器满足某些给定的控制目标的设计。特别是，我们检查的作用传播对经典的线性二次高斯问题。我们给的条件下，估计和控制之间的持有和确定性等价控制律优化经典的分离性能。然后我们提出了连续的率失真框架。我们目前所能达到的性能界限和显示控制和通信成本之间固有的权衡。特别是，我们证明了最优二次型成本分解为两个方面：一个完整的知识成本与顺序的率失真成本。 指数条款确定性等价控制，通信约束的网络控制，顺序，分离，率失真，线性随机系统。 一、引言 最近的技术进步已经引导网络控制系统的设计活动的增加。在本文中，我们研究一个随机控制问题，那里是一个通信信道连接传感器到控制器。这个问题出现时，控制器和设备，在地理位置上是分离的，有一个带限和可能是嘈杂的通信信道连接。此外，出现时，控制器和设备之间没有大的地理分离的通信约束，但有一个共享的通信介质，被用在在同一地区的其他用户，或作为更大的系统的一部分。虽然我们不明确地检查每一本文的网络问题，我们认为，通信约束的作用，一个基本的了解，将是一个更完整的网络控制理论的本质。 我们考虑的系统是由一个设备，一个编码器，信道，解码器，和一个控制器。设备和信道是直接给我们的。我们的任务是设计的编码器，解码器，控制器，以满足某些给定的控制目标。因为我们有一个分布式信息系统模式的选择，[ 26 ]，可以有显着的影响控制性能是可以实现的。我们讨论了在编码器的信息模式的选择上需要实现控制目标的通信要求的影响。尤其是，我们研究的对象，传播对经典的线性二次高斯（LQG）问题。为此我们提出的顺序的率失真（SRD）框架。我们得到的边界上所能达到的性能和显示控制和通信成本之间固有的权衡。特别是，我们将最优LQG成本分解为两个方面：一个完整的知识成本与顺序的率失真成本。 手稿收到2003年6月4日；2003年12月19日修订。由客座编辑P. antsaklis和J. Baillieul推荐。这项工作是由美国陆军研究办公室在穆里格兰特：传感器数据融合在大的daad19-00-1-0466阵列，并由国防部在穆里格兰特：协同控制subaward复杂自适应网络03-132。 S. Tatikonda，美国耶鲁大学，纽黑文，CT 06520 USA（电子邮件：ekhar.tatikonda@https://www.doczj.com/doc/f5668481.html,）。 A. Sahai ，加利福尼亚大学伯克利分校，CA 94720 USA。 S. Mitter，美国麻省理工大学，剑桥，MA 02139 USA。 数字对象标识符10.1109/tac.2004.834430。 有两个经典的概念，在本文中我们研究的分离。第一个概念是状态估计和控制之间的控制理论的分离。我们目前的条件下，确保确定性等价控制律的最优性。这些工作是建立在Bar-Shalom and Tse [3]的基础上。第二个是信源编码和信道编码之间的信息理论的分离。特别是，在长时间的延迟的限制下，它是已知的可以不失一般性的，设计的信源编码器和信道编码器分别[ 11 ]。这种分离是众所周知的应用广泛，[ 25 ]，但是，在一般情况下，失败的短期延迟和不稳定的过程。在大量的延迟限制下，[ 18 ]表明不稳定过程的估计可以适当修改分离定理，但这个信息理论的结果并不延伸到有限的延迟的情况下。由于延迟是一个重要的问题，在控制中的应用我们不能用信息理论的分离效果，去解决我们的问题。处理这种延迟的问题，我们提出了连续的率失真框架首先介绍[ 13 ]和进一步发展[ 19] ，[ 20 ]，和[ 23 ]。
第二章 连续时间系统的时域分析 §2-1 引 言 线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。 一、建立数学模型 主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。 线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为： )()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 二、求解（时域解） 1、时域法 将响应分为通解和特解两部分： 1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得 到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）； 2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；
3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。 经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。 2、卷积法（或近代时域法，算子法） 这种方法将响应分为两个部分，分别求解： 1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 r )(t ； zi 2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应 r )(t 。 zs ●系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中 只有自然响应部分； ●系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是 用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。 ●卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=110154 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+??????--=1131 12 ，x y ?? ? ???-=0101 （3）u x x ?? ????+???? ??=1110 01 ，[]x y 11= 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
解：（1）?? ? ???--=???? ??=5511 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=1212 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ???=??????=1111 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。 定理4.8：（可观测性判别准则 Ⅲ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有重特征值，且每一个特征值只对
实验三 连续时间系统的时域分析 一 实验目的： 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB 函数； 2、掌握如何利用Matlab 软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态 响 应、冲激响应和阶跃响应。 二 实验原理： 在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。在Matlab 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim ，其调用形式为： ),,(t f sys lsim y = 式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量（即激励），sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助Matlab 中的tf 函数来获得，其调用形式为： ),(a b tf sys = 式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。例如对于三阶微分方程： )()()()()()()()(01230123t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y a +'+''+'''=+'+''+''' 可以用以下命令： b=[b3,b2,b1,b0]; a=[a3,a2,a1,a0]; sys=tf(b, a); 来获得LTI 模型。 系统的LTI 模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。在连续时 间LTI 中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。输入为单位冲击函数)(t δ所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(t h 表示；输入为单位阶跃函数)(t ε所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t u 表示。求解系统的冲激响应的函数是impulse ，求解系统的阶跃响应可以利用函数
现代控制理论试题 一、 名词解释（15分） 1、 能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、 简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵 的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、 计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量 , 两端的电压为状态变量 ,电压 为为系统的输出 y 。 2、计算下列状态空间描述的传递函数 g(s) 3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解 和 图1：RC 无源网络
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近 稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？
第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性 定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1） 其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵； 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。 定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵： 的秩等于n，即：
……………………………………（5－2） 【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3） 因为X(n)＝0，所以： 写成矢量形式： …………………………………（5－4） 从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵 满秩，即
【例5－1】设离散系统状态方程为： 判断系统的可控性。 解： M是一方阵，其行列式为： 所以系统能控判别阵满秩，系统可控。 定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5） 其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵 的秩等于n。 （证略）。
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=1101 54 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+???? ??--=113112 ，x y ?? ? ???-=0101 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x ?? ? ???+??????=1110 01 ，[]x y 11= 解：（1）?? ? ? ??--=??????=55 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=12 12 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ? ??=??????=11 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。
8.4线性系统的可控性和可观测性 8.4.1可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现 代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系 统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而 外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是 状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 (a) (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。系统输出量丫=捲，但X!是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。图 （c）中的X i、X2均受u的控制，且在y中均能观测到X i、X2，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
实验六--连续时间系统的零极点分析
实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执行plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示范围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验内容： 一、用两种方法绘制如下系统函数的零极点分布图，并且判断系统是否稳定。
第三章：连续时间线性定常系统时域分析 §3.1 系统的数学模型 LTI 系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。 R 、L 、C 上的电压与电流关系——()()~e t i t 关系模型 ? 电阻： ()()1 i t e t R = （3-1） 或 ()()e t Ri t = （3-2） 图3-1 电阻 图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压 ? 电感： ()()()11 d p t i t e e t L L ττ-∞= =? （3-3） 或： ()()()d p d e t L i t L i t t == （3-4） 图3-4 电感上的直流不产生电压
图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流 ? 电容： ()()()d p d i t C e t C e t t == （3-5） 或： ()()()11 d p t e t i i t C C ττ-∞= =? （3-6） 图3-7 电容上的恒压不产生电流 图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压 ? 求和（相加）： ()()()12y t f t f t =± （3-7） 图3-10 信号汇聚流图 ? 分支： ()()()123f t f t f t == （3-8） i(t)e(t)Cp i(t)e(t)Cp e(t)i(t)1Cp e(t)i(t)1Cp
图3-11 信号分支流图 须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。 LTI 连续时间系统的状态空间模型： 例1：如图3-12电路 求：（1）()()y t v t :，（2）()()()12:x t x t v t 、 解：列回路电流、电压方程： ()()()()()()()()()()()()()()()()()12122231221233421 220 302v t i t i t x t i t x t i t i t x t x t i t i t x t i t y t i t =-? ? =? ?=-?? ?++-=? -=? ?=? && 消去i 1、i 2、i 3，得下列方程： ()()()()()()()()()11221211122203200 3x t x t v t x t x t x t y t v t x t ?--?????????????=+?????????-????????????????????=+????????????? &L L &L L L L 状态方程观测方程 图3-12 例1电路图 ? 定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 ? 物理上，状态的维数dim (t ) = 系统中独立储能元件的个数 ? 状态的选取可以不唯一 ? 状态空间模型：
对于由A，B，C，D定义的系统，MATLAB使用命令ctrb计算可控性矩阵，使用obsv计算可观性矩阵。定义 CONT=ctrb(A,B) OBSER=obsv(A,C) 则矩阵CONT和OBSER的秩分别决定了系统的可控性和可观性。如果rank(CONT)或rank(OBSER)小于n，其中n为系统阶数，那么系统就分别为不可控的或不可观的。在借助传递函数表示时，如果CONT和OBSER的秩小于n，就说明传递函数的分子与分母之间存在对消项，可以使用minreal(sys)来观测能否得到一个简化后的传递函数 >> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; >> B=[0;0;1]; >> C=[5 6 1]; >> D=[0]; >> CONT=ctrb(A,B) CONT = 0 0 1 0 1 -6 1 -6 25 >> rank(CONT)
ans = 3 >> OBSER=obsv(A,C) OBSER = 5 6 1 -6 -6 0 0 -6 -6 >> rank(OBSER) ans = 2 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> sys=tf(num,den)
sys = s^2 + 6 s + 5 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 Continuous-time transfer function. >>sys_min=minreal(sys) sys_min = s + 5 ------------- s^2 + 5 s + 6 Continuous-time transfer function.
第四章 线性控制系统的能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。 能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。 所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。 4-1 线性连续定常系统的能控性 定义 对于单输入n 阶线性定常连续系统 bu Ax x += 若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 [] f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每一个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。 对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别 4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输入系统 具有约旦标准型系统 bu x x +Λ= ????? ?? ?????????=Λn λλλλ 0000000 00 00003 2 1 n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x += ??????? ????? ???????? ??????=++n m m J λλλλλλ 0000000000000 0010000 00000121 1 11 m 个重根1λ n-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性 （1）u b x x ??????+??????=221 00 0λλ []x c c y 21 = 解：?=111x x λ 1x 与u 无关，即不受u 控制