第10课时平面直角坐标系与函数的概念
【课标要求】
1．平面直角坐标系的有关概念：平面直角坐标系的有关概念不要死记硬背，应紧密结合坐标系来认识；在坐标平面内会正确地描点，对于坐标平面内的点要借助图形正确地写出，特别注意各象限内点的坐标符号。
2．坐标平面内点的坐标特征：注意两坐标轴上点的坐标的不同，且x 轴、y 轴不属于任何一个象限。
3．不同位置点的坐标特征：对于平行于两坐标轴的直线上点的坐标特点应借助于平面直角坐标系来应用。对于对称点的坐标特征应遵循:关于x 轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标相反； 关于y 轴对称的两点，横坐标相反，纵坐标不变；关于原点对称的两点， 横纵坐标都互为相反数，或借助图形来完成，切忌死背。注意P(x ，y)到两坐标轴的距离与线段长度的区分。
【知识要点】
1. 坐标平面内的点与______________一一对应．
______坐标为0.
4. P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．
6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．
7. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . x
y 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . 【典型例题】
1．已知点M （m ,m -1）在第二象限，则m 的值是 ；
2．已知：点P 的坐标是(m ,1-)，且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3-,n 2)，则______
___,==n m ；
7．若点 ()m m P +-21， 在第一象限 ，则m 的取值范围是 ； 8．若 ），（）与，（13-m n N m M 关于原点对称 ，则 __________,==n m ；
9．已知0=mn ，则点（m ，n ）在 ；
10．等腰三角形周长为20cm ，腰长为x (cm)，底边长为y (cm)，则y 与x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范围是 ；
【例1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为A （-?2，1），B （-3，-1），
C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_______．
（2）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B?的坐标是_____．
【例2】⑴一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体
温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
⑵汽车由长沙驶往相距400km 的广州. 如果汽车的平均速度是100km/h,那么汽车距广州的路程s(km)与
行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为( )
【例3】一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题:
(1) 农民自带的零钱是多少?
(2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3) 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带
了多少千克土豆.
【课堂检测】
1．点 A 在第二象限 ，它到 x 轴 、y 轴的距离分别是 3 、2，则坐标是 ；
2．点P 在x 轴上对应的实数是3-，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 对应的实数是3
1，则点Q 的坐标是 ，3．若点R(m ，n )在第二象限，则 0_____m ，0_____n (填“>”或“<”号)；
4．点P(1-，2)关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点的坐标是 ；
5．点7-)到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 ，到原点的距离是 ；
6.（08龙岩）函数3-=x y 的自变量x 的取值范围是 .
7.（08黄冈）若点P(2，k-1)在第一象限，则k 的取值范围是 .
8.（08常州）点A(-2,1)关于y 轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称的点的坐标为________.
9. 如图，葡萄熟了，从葡萄架上落下来，下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度v 随时间变化情况是（ ）
10.（06南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 顶点A 、B 、D 的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，
3），则C 点的坐标是（ ）
A ．（3，7） B.（5，3）
C.（7，3）
D.（8，2）
【课后作业】
1．函数11
+=x y 中,自变量x 的取值范围是 .
2．（07天津）已知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为 .
3.（08乌鲁木齐）．将点(12)，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．
4.（08甘肃）点P （－2，3）关于x 轴的对称点的坐标是________．
5．(08扬州)在平面直角坐标系中，点P （－1，2）的位置在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.（06十堰）学校升旗仪式上，?徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ）
7．（07北京）点A （—3，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A.（－3，－2）
B.（3，2）
C.（3，－2）
D.（2，－3）
8．（07常州）若点P（1－m，m）在第二象限，则下列关系式正确的是（）
A. 0 B. m<0 C.m>0 D. m>l 9．下列五个命题： （1）若直角三角形的两条边长为３和４，则第三边长是５； （2）()2a＝a（a≥0）； （3）若点P（a，b）在第三象限，则点P＇（－a，－b＋1）在第一象限； （4）连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。 其中正确命题的个数是（）A . 2个B .3个C. 4个D. 5个 10．如图，已知直角坐标系中的点A，点B的坐标分别为A（2，4），B（4，0），且P为AB的中点，若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标为（） A.（3，2） B.（6，2） C.（6，4） D.（3，5） 11. (08武汉)小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长 为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围. 12．对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. 13．已知三点A（0，4），B（—3，0），C（3，0），现以A、B、C为顶点画平行四边形，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标。 14. 如图,点A坐标为(-1,1),将此小船ABCD向左平移2个单位，再向上平移3个单位得A′B′C′D′． （1）画出平面直角坐标系； （2）画出平移后的小船A′B′C′D′，写出A′，B′，C′，D′各点的坐标. 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 二次函数综合题型精讲精练 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1 C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点 (0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1 x x +≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 中考总复习函数综合 【考纲要求】 1．平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等. 2．函数的有关概念 求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法． 3．函数的图象和性质 常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置． 4．函数的解析式 求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1．相关概念 （1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标 2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点 （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离 （1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离 （2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用 （1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点进阶： 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x . 考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的自变量的取值范围 4.函数值 5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 6.函数图象 要点进阶： 由函数解析式画其图像的一般步骤： （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、一次函数 1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质 4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点进阶： 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？ 问题：这些关系式有什么共同点？ 二、合作探究 探究点一：反比例函数的定义 【类型一】反比例函数的识别 下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可． 九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4. 件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 课时21．函数的综合应用（1） 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】 例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动， 直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式； ⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？ ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求 抛物线顶点坐标、对称轴. 例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题） 菜园 墙 自学指南（9）——指数与指数函数 一、学习目标 1.掌握幂的运算，理解指数函数的概念、图像与性质，提高知识应用能力。 2.自主学习，合作交流，探究指数运算和指数函数运用的规律和方法。 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。 二、基础知识构建： 【学法指导】1.先仔细阅读教材必修一：P85-P94,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。 1.（1）正整指数幂运算法则，，，。 规定：0a=，n a-=。 （2）分数指数幂：根式的性质： ()n n a=，n n a=。 分数指数幂定义为： 1 n a=， m n a=， m n a - =。 （3）有理指数幂运算法则：， ，。 2.指数函数的图像和性质：（请填出右表） 3.请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树： 三、挑战极限： 挑战一：（参考案例） 1.下列关系中正确的是（） A 221 333 111 252 ?????? << ? ? ? ?????? B. 122 333 111 225 ?????? << ? ? ? ?????? C. 221 333 111 522 ?????? << ? ? ? ?????? D. 212 333 111 522 ?????? << ? ? ? ?????? 2.当x>0时，函数()() 21x f x a =-的值总大于1，则实数a的取值范围是（） A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>2 D.|a|<2 3.右图是指数函数①y=x a,②y=x b,③y=x c,④y=x d的图像， 则a,b,c,d与1的关系是( ) (A).a 函数及其图像 一、选择题： 1 ．函数y = 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 2．点P （－2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．（－2，－1） B ．（2，1） C ．（2，－1） D ．（－2，1） 3．二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 4．若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 5．如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b > B ．0k >，0b < C ．0k <，0b > D ．0k <，0b < 6．把二次函数2y x =-的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ） A.2(1)3y x =--- B.2(1)3y x =-+- C.2(1)3y x =--+ D.2 (1)3y x =-++ 7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） A.a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0 D.ac b 42-＞0 8．若A （1,4 13y - ），B （2,4 5y -） ，C （3,4 1y ）为二次函数2 45 y x x =+-的图象上的三点， 则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．132y y y << 9．函数y x m =+与(0)m y m x = ≠在同一坐标系内的图象可以是（ ） . . (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册） 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点：正、负数的概念 重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。 结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。 注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。 三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？ 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点：正确理解有理数的概念 重点：有理数的分类 教学过程： 一、知识回顾，导入新课 什么是正数，什么是负数？ 问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。 先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。 （1）按定义分类：（2）按性质分类： 反比例函数综合练习题 一、选择题： 1、函数()9222--+=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是（ ） （A ）24-==m m 或 （B ）4=m （C ）2-=m （D ）1-=m 2、已知k ≠0，在同一坐标系中，函数y=k （x+1）与 y=x k 的图像大致是（ ） 3、在函数y=x k （k ＞0）图象上有三点A 1（X 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）。已知x 1＜x 2＜0＜x 3，则下列各式中，正确的是（ ） A ：y 1＜y 2＜y 3 B ：y 3＜y 2＜y 1 C ：y 2＜y 1＜y 3 D ：y 3＜y 1＜y 2 4、下列说法正确的是（ ） ①反比例函数y= x k 的图象与x 轴、y 轴都没有公共点.②反比例函数y=x k 1与y=x k 2（k 1≠k 2）的图象可能有交点. ③反比例函数y=x k 与一次函数y=kx+b 的图象可能没有交点 A 、① B 、② C 、①② D 、①③ 5．如图，已知双曲线(0)k y k x =<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 6、直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 D B A y x O C 5题 7题 9题 10题 11题 7、如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、若反比例函数11k y x = 和正比例函数22y k x =的图像都经过点(1,2)A -，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A B C D E y x O M 指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化： 题组一：根式化为分数指数幂 （1）化简=________．(2) 计算=________． (3)若a＜0，则=________． (4)的值为（） 题组二：运用分数指数幂进行化简： （1）下列各式中错误的是（） 1. A. B. C. D. 2.化简（）×（-）÷（）的结果（） A. 6a B. C. D. 3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0． 题组三：指数式的条件求值问题： 1.已知，求下列各式的值(写出过程)： （1） (2) (3)= 2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ． 题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： ；； 2.已知，则a，b，c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知，b=，c=，则（） A. B. C. D. 题组五：指数函数过定点问题; 1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（） A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ． 3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______ 4.题组六：指数函数解方程（或不等式）; 1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ． 题组七：指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（） A. , B. , C. , D. , 《函数》综合提升试卷 一、单选题 1．在同一平面直角坐标系中，函数y =ax ＋b 与y =ax 2－bx 的图象可能是( ) A. B. C. D. 2．如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数y ＝k x 的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的表达式是( ) A. y ＝1x B. y ＝2x C. y ＝4x D. y ＝12x 3．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋3如图所示，那么函数y ＝x 2＋(b －1)x ＋3的图象可能是( ) A. A B. B C. C D. D 4．已知二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象如图，分析下列四个结论：①0abc <；②240b ac ->； ③30a c +>；④()22a c b +<，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．如右上图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 6．6．如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A …的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A. （﹣1，0） B. （1，﹣2） C. （1，1） D. （﹣1，﹣1） 7．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =3OA ，点A 在反比例函数1y x =- 的图象上．若点B 在反比例函数k y x =的图象上，则k 的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 9 D. －9 8．如图，抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点为B (1，3)，与x 轴的交点A 在点 (2，0)和(3，0)之间．以下结论： ①0abc >；②0a b c -+<；③20a b +=；④a b +≥2am bm +；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠， 则122x x +=.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些 初三数学函数专项练习题及答案 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．函数y ＝x ＋2中，自变量x 的取值范围是 (A ) A ．x ≥－2 B ．x <－2 C ．x ≥0 D ．x ≠－2 2．已知函数y ＝?????2x ＋1（x≥0）， 4x （x ＜0）， 当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点A (2，y 1)，B (4，y 2)都在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上，则y 1，y 2的大小关系为(B ) A ．y 1>y 2 B ．y 1 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 中考《函数》总复习检测试题含答案 时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1.点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是（3，-2），则点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标是（ ） A.(-3，-2） B. （-2，3） C. (-3，2 ) D.（3，-2） 2.若一次函数b ax y +=的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是( ) A ．ab ＞0 B ．b －a ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．a －b ＞0 3.对于二次函数44 12 -+- =x x y ，下列说法正确的是（ ） A. 当x >0时，y 随x 的增大而增大 B.图象的顶点坐标为（-2，-7） C. 图象与x 轴有两个交点 D.当x =2时，y 有最大值-3. 4.如图，一次函数243+= x y 与反比例函数)0(>=k x k y 的图象在第一象限 交于点A ，与y 轴交于点M ，与x 轴交于点N ，若AM :MN=1:2，则 k =（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5.若将抛物线122 +-=x x y 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则 得到的新抛物线的顶点坐标是( ) A ．(0，-2 ) B ．(0，2) C ．(1，2) D ．(－1，2) 6.如图，直线421-=+-=bx y a x y 与相交于点P ，已知点P 的坐标为（1，-3），则关于x 的不等式4-<+-bx a x 的解集是（ ） A. x >1 B.x <1 C.x >-3 D.x <-3 7.向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟 后停止注水1分钟，然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8.如图，将函数1)2(2 1 2+-= x y 的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. 2)2(212--=x y B. 7)2(212+-=x y C. 5)2(2 12--=x y D. 4)2(212+-=x y （第4题图） 第6题图 第8题图 最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？ 4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：指数函数经典例题(标准答案)
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