Numerical Analysis
Answers to Test A (June 29, 2007)
1．Fill in the following blanks
(1) Suppose 2007()35f x x x =+-, then the 2008th divided difference (差商(均差))
[0,1,2,,2007,2008]f =
0 .
(2) Let * 3.200169x =，then the number 3.2001x = approximate *x with 4 significant digits.
[ 13.20010.3200110x ==?, 1m =,
*
3
3
0.0000690.06910
0.510
x x ---==?
(3) Suppose
3211
418
1
0A ??
??=--????-??
.
Then 1||||A = 12 , ||||A ∞= 9 .
(4) The Trapezoidal rule (梯形求积公式) applied to
20
()f x dx
?
gives the value 4,
and Simpson ’s rule gives the value 2. Then (1)f = 1/2 .
(5) A quadratic spline S for a function f on [0,3] is defined by
()()()22
,01,
111,1 3.2
x x s x x a x b x ?≤≤?
=?-+-+≤≤?? , Then a = 2 ， b = 1 .
2. a) Show that the sequence 11
132
2n n n x x x --=
+
is generated by Newton ’s method
for finding the root of equation 230x -=. b) The sequence {n x
} converges to
of order 2 whenever 03
[,3]2
x ∈.
c) Use 0 1.5x = to compute 2x with 6 significant digits.
Proof : a) Define 2()3,f x x =-then the sequence generated by Newton’s method for finding the root of equation ()0f x = is
1n n x x -=-
2
11111
()3()
2n n n n n f x x x f x x ------=-
'
that is
11
1322n n n x x x --=
+
.
b) Since 00x >, it is easy to get that 0n x >, and by induction it follows
11
1322n n n x x x --=
+
≥=
,
and
2
1111
1
3130222n n n n n n x x x x x x -------=
-
=>.
Therefore the sequence {}n x converges to some constant 0c >
11
13lim lim 22lim 132
2n n n n n n x x x c c c c -→∞
→∞
-→∞
=
+
=+
?=
Hence the sequence {}n x
converges to
of order 2 which follows from
2
11
1
1
(3)
2
lim lim
1
lim
2
0.
n n
n n
n
n
x
x x
x
--
→∞→∞
→∞
-
-+
-
=
=
=>
c) With
1.5
x=, from the iterative scheme, it follows
10
21
1
137
1.75,
224
13
1.73214.
22
x x
x
x x
x
=+==
=+=
3. Use the following data to construct an interpolating polynomial
4
()
P x of degree
four so that
4
()()
i i
P x f x
=for 0,1,2
i=and 4()(),0,1
j j
P x f x j
''
==
Solution: Build up the divided-difference table as follows :
i
x()
i
f x
0 0
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0 -1
2 1 0 -1 -1/2 1/4
So the polynomial
4
()
P x interpolating the given data is
2
4000000112
2
2
00110100112012
2
22
43
2
()()[,]()[,,]()[,,,]()()[,,,,]()()1(1)(1)
4
139.
42
4
P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+
--+--=--+-=-
+
4. Find the constants 1c and 0x , 1x so that the quadrature formula （求积公式）
10110
1()()()2
f x dx f x c f x ≈
+?
has the highest possible degree of precision (代数精度).
Solution : For 2()1,,f x x x =,we have by the definition of degree of precision
1
10
1
0101222
0110
1,2
1,21.2dx c xdx x c x x dx x c x ?=+??
?=+??
?=+??
???
Solving the equation systems for 1c 0x ,1x ,we get
10
11,2636c x x ?=??
?=??
?+=
??
5. The forward-difference formula can be expressed as
2
3
000001()[()()]()()().2
6
h h
f x f x h f x f x f x O h h
''''''=
+--
-
+
Use Richardson ’s extrapolation (Richardson 外推) to derive an 3()O h formula for 0().f x '
Solution : Define 1001()[()()]
N h f x h f x h
=+-. By Richa dson’s extrapolation,
substituting h by
2
h into the forward difference formula gives
2
3
01001()()()()()
2446
h
h
h
f x N f x f x O h ''''''=--+ (2)
From 2(2)(1)?-, one gets
23
011023
201()2()()()()
212
1()()()
12
h f x N N h h f x O h N h h f x O h ?
''''=-++'''=+
+ (3)
Similarly, changing h by
2
h into (3), we have
2
3
0201
()()()()
2124
h
h
f x N f x O h ''''=+?+ (4)
From 4(4)(3)?-, we have
22303
3
00004()()
2()()
3
1
[8()6()()]()3421[32()12()()21()]().
34
2
h
N N h f x O h h h N N N h O h h h f x f x f x h f x O h h
-'=+=-++=+
-+
++-+
6. Use Euler ’s method and the Modified Euler method to approximate the solution for the initial-value problem
2
1(),23,
(2)1,dy t y t y dt
=+-≤≤= with 0.5h =
Solution Define
2
00(,)1(),
1,2,
0.5f t y t y y t h =+-===,
then 122.5,3t t ==. By the Modified Euler method, we get the iterative scheme
11110(,),[(,)(,)],21.
i i i i i i
i i i i y y h f t y h y y f t y f t y y ++++=+???
?
=++??
=?? or
110(,),
(,),1
(),
21.
p i i i c i i p i p c y y h f t y y y h f t y y y y y ++=+???
=+???
?=+??
=?? Therefore
1
1
100.5[]1[2 1.625] 1.8125,2
2
p c h y y y y =++=+
+= 2
2
210.5[] 1.8125[2.54883 2.41428] 2.48155.2
2
p c h y y y y =+
+=+
+≈
7. Establish the convergent (收敛的) Jacobi iterative scheme (迭代格式) and Gauss-Seidel iterative scheme for the following linear system
1231231
2310811,104313,41025.
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? and explain why these schemes are convergent? Solution Rearrange the linear system as follows
1231231
23104313,
1081,
41025.
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? The corresponding coefficient matrix
10431
10841
10A ?? ?= ? ?-?
?
is a strictly diagonal dominant matrix, so the Jacobi iterative scheme and Gauss-Seidel iterative scheme from the new linear system are convergent. Jacobi iterative scheme :
(1)()()
1
23(1)()()2
13(1)()()
3
121(4313),10
1(811),101(425).10k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--+??
?=--+??
?=-++??
Gauss-Seidel iterative scheme:
(1)()()
123(1)(1)()
2
13(1)(1)(1)
3121(4313),101(811),101(425).10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--+??
?=--+??
?=-++?
?
8. Find the fifth Maclaurin polynomial for sin x , and use Chebyshev economization to obtain a lesser-degree polynomial approximation while keeping the error less than 0.01 on [1,1]-.
Solution The fifth Maclaurin polynomial for sin x is
3
5
5113!5!
P x x x
=-
+
and the error is
(7)
7
55sin
()
1()()(),
[1,1].7!
7!
x R x f x P x x
x =-=
≤
∈-
Using Chebyshev economization, the less degree polynomial approximation is
3
53
355554
160383()()()()(16205)25!
384
x x
P x P x a T x P x x x x -+=-=-
-+=
?,
which generates the error approximating sin x by 3()P x
34
11()()0.017!25!
f x P x -≤
+
≤?.
In similar way,
3
133********()()()()(43)964
192
x P x P x a T x P x x x =-=-
?-=
,
and
1331()()()()()()0.01P x f x f x P x P x P x -≤-+->.
Therefore the lesser-degree polynomial approximation keeping the error less than 0.01 on [1,1]- is
3
3
36038315383()384
96
384
x x
P x x x -+=
=-
+
.
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析试卷及答案
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。 2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031?? ? ?-?? ,则1 A = ； A ∞ = ； 2 A = 2()cond A = 。 4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x =的相对误差限为 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范 围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分） （二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分）
（三）利用复化梯形公式计算2 1 x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1] 等份。（8分） （四）设A= 1001005a b b a ?????????? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()dx A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１） 用数值积分法推导如下数值算法： 1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+ ++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２） 试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使 差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分） （考试时间2小时30分钟）
合肥工业大学07级硕士研究生数理统计课程考试试卷（闭卷） 姓名： 学号： 班级： 分数： 一、选择题：（以下的四个选择中仅有一个正确，每题3分，共15分） 1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足： {}P X a α<=的常数a =（ ） A. u α B. 1u α- C. 1 (1) 2 u α- D. 1 12 u α- 2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ） A. 1H 为真时，接受1H . B. 1H 不真时，接受1H . C. 1H 为真时，拒绝1H . D. 1H 不真时，拒绝1H . 3. 设15,,X X 为总体X σ2 ～N(0,)的样本，则统计量22 12323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及 常数应该为（ ） A. a=-1, b=3, ~(2)t θ B. a=5, b=11 2~(2)θχ C. a= 2 15σ , b= 2 111σ 2~(2)θχ D. a= 2 15σ , b= 2 111σ ~(1,2)F θ 4. 设?θ是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22?θθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确. 5. 方差分析的基础是________ A ． 离差平方和分解公式. B. 自由度分解公式. C. 假设检验. D. A 和B 同时成立. 二、填空题：（在以下的空中填入正确的结果，每题3分，共15分） 1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是： * ()n F x =??????? . 2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估 计值为_______________.
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.
1．设随机变量 ~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足： {}P X a α<=的常数a =（ ） A. u α B. 1u α- C. 1 (1) 2u α- D. 112 u α- 2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ） A. 1H 为真时，接受1H . B. 1H 不真时，接受1H . C. 1H 为真时，拒绝1H . D. 1H 不真时，拒绝1H . 3. 设 15,,X X 为总体X σ2～N(0,)的样本， 则统计量22 12323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及常数应该为（ ） A. a=-1, b=3, ~(2)t θ B. a=5, b=11 2~(2)θχ C. a= 2 15σ, b= 2111σ 2 ~(2)θχ D. a=2 15σ, b= 2 1 11σ ~(1,2)F θ 4. 设?θ 是θ的无偏估计，且()0,D θ>则2 2?θθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确. 1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是： * ()n F x =? ??? ??? . 2. 设 1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估计值为 _______________. 3. 设* ()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容 量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数b x ae y - +=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为________________________. 5. 设 12,,,n X X X 是X 的样本，当方差2 σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设： 0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
函授站名：专业年级 13会计学层次专升本学号学生姓名成绩 一、单项选择（每小题2分，合计20分。将正确答案的代号填入题后的括号中） 1、指出下列品质标志（） A.、工人工龄B、教师职称C、男生人数D、工人工资 2、指出下列质量指标（） A、工业产值 B、国民生产总值 C、GDP D、劳动生产率 3、指出下列连续变量（） A、企业设备数 B、在校学生数 C、化肥产量 D、汽车产量 4、某企业劳动生产率计划要求提高10%，实际提高了20%。则劳动生产率计划完成百分比为（） A、200% B、50% C、110% D、109.09% 5、调查大庆、胜利等几个主要油田来了解中国石油生产的基本情况，这种调查方式属于（） A、重点调查 B、普查 C、抽样调查 D、典型调查 6、在全距一定的条件下，组距大小与组数多少（） A、成正比例关系 B、成反比例关系 C、不成比例关系 D、以上都不对 7、某企业三种产品报告期与基期比较，价格上涨了2%，销售量增长了5%，则销售额增加了（） A、7.1% B、7% C、10% D、3% 8、在总体方差一定的条件下，要使抽样平均误差减少一半，则样本单位数（） A、减少一半 B、是原来的1倍 C、是原来的2倍 D、是原来的4倍 9、对某市100个工业企业全部职工的工资状况进行调查，则调查单位是（） A、每个企业 B、每个职工 C、每个企业的工资总额 D、每个职工的工资水平 10、在用按季平均法测定季节比率时，各季的季节比率之和应等于（） A、100% B、120% C、400% D、1200% 二、简答题（18分） 1、什么是质量指标？并举例说明（10个）。（6分） 2、什么抽样误差？影响抽样误差的因素有哪些？（6分） 3、什么是变异指标？变异指标有什么作用？（6分） 三、多项选择（每小题3分，合计12分） 1、统计的基本涵义是（） A、统计资料 B、统计学 C、统计调查 D、统计整理 E、统计活动 F、统计分析 2、GDP是（） A、质量指标 B、数量指标 C、总量指标 D、平均指标 E、时期指标 F、时点指标 3、指出下列时点指标（） A、工业产值 B、存款余额 C、人口数 D、生猪存栏数 E、工资总额 F、土地面积 4、指出下列平均指标（） A、人均国民收入 B、居民人均收入 C、劳动生产率 D、商品价格 E、职工平均工资 F、单位成本 四、填空题（每空1分，合计10分） 1、数量指标的表现形式为（）。 2、重复抽样误差（）不重复抽样误差 3、完全相关相关系数=（），r>0, b ( ) 4、编制数量指标综合指数，以（）指标为同度量因素；编制质量指标综合指数，以（）指标为同度量因素。 5、由平均数计算平均数时，已知基本公式分子资料，用（）；已知基本公式分母资料，用（） 6、划分连续变量组限时，相邻组组限须（），且遵循（）的原则
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649
三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o
X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1
合肥工业大学概率论与数理统计专业学术型硕士研究生培养方案 1. 所属学院：数学学院学科、专业代码：概率论与数理统计、070103 获得授权时间：2011年 2．学科、专业简介（400字以内） 概率论与数理统计是数学一级学科下的一个二级学科，本学科是2011年获批数学一级学科硕士学位授予权后，即获概率论与数理统计二级学科硕士学位授予权，2012年开始招收、培养本学科硕士研究生。概率论与数理统计学科研究各种随机现象的本质与内在规律性以及在自然科学、社会科学、工程技术等领域中，如何有效地收集、分析、解释数据，以提取信息、建立模型并进行统计推断和预测，为寻求规律和做出决策提供科学依据。通过多年的研究积累，本学科形成了目前的统计建模与数据分析、随机动力系统、风险决策等特色方向，承担多项省部级以上的科研项目, 包括国家自然科学基金项目、国家社会科学基金重点项目、教育部人文社科基金项目、国家统计局科研项目及安徽省自然科学基金项目等，取得了一批富有特色的研究成果。 3.培养目标（150字以内） (1).热爱祖国、遵纪守法，拥护党的各项路线、方针、政策, 牢固树立社会主义核心价值观，具有良好的道德品质，团结协作、学风严谨、品行端正。 (2).掌握概率论与数理统计的基本思想、理论与方法，了解所研究的学科（方向）领域国内外最新的发展现状和趋势，能够运用所学的知识和技能分析和解决实际问题，使学生毕业后具有在科研机构、高等学校、企事业单位从事科研、教学、数据分析等工作的能力。 (3).具有健康的体魄和和良好的心理素质。 4. 主要研究方向（3-5个） （1）统计建模与数据分析 （2）随机动力系统 （3）风险决策 5. 学制及学分 硕士研究生学制2.5年；课程规定总学分为28-32学分，学位课程学分为16-18学分。跨专业及同等学力研究生需补修本科阶段至少两门主干课程，所修学分不计入课程总学分。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为
1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足： {}P X a α<=的常数a =（ ） A. u α B. 1u α- C. 1 (1) 2u α- D. 1 12 u α- 2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ） A. 1H 为真时，接受1H . B. 1H 不真时，接受1H . C. 1H 为真时，拒绝1H . D. 1H 不真时，拒绝1H . 3. 设15,,X X L 为总体X σ2 ～N(0,)的样本，则统计量2212323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及 常数应该为（ ） A. a=-1, b=3, ~(2)t θ B. a=5, b=11 2 ~(2)θχ C. a= 2 15σ, b= 2111σ 2 ~(2)θχ D. a=2 15σ , b=2111σ ~(1,2)F θ 4. 设?θ 是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22?θθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确. 1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是： * ()n F x =??????? . 2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估 计值为_______________. 3. 设* ()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X L 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数b x ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为 ________________________. 5. 设12,,,n X X X L 是X 的样本，当方差2 σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设： 0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是： 6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。则其经验分布函数 ___________________. ()n F x = 7.如随机变量~(,)X F n n ，则(1)P X >=—————。