长方体和正方体综合知识点自编版September 12, 2014
前言
唠叨说教
上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。
这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在——探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块—计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、
行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。
第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形→平行四边形→梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：
动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真—其实你很2. 长方体、正方体 空间构造认识
★长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长 和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长×宽×2；长方体前、后两面的面积和=长×高×2；长方体左、右面两的面积和=宽×高×2；最后易记忆并合成为，S 长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐
标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。
★三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面—正、侧、俯视三取其一；两面—正、侧、俯视三取其二；三面—正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return?——推荐聆听2014春晚歌曲《时间都去哪儿了》。
★长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用◆【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】◆ 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。
上下2相对 前后2相对 左右2相对 其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后
4环形等长方 4环形等长方 4环形等长方
相． 对． 2． 正． 方．，．其． 余． 环． 形． 4． 个． 等． 长． 方． 形．
★长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；
有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。
【管中窥豹之你的前世今生变形记】
一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
【解法1】根据题意可以知道：
①长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】, 4cm
②把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为
（4＋2）cm，面积是120cm2的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形
（长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】
③正方体的棱长：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【红色线均为5cm】
④原长方体的体积：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米）
【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积，
②长方体底面周长：120÷6=20厘米，【侧面积÷底面周长=高】2cm
③因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为20÷4=5厘米，
那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)，
所以原长方体体积：5×5×11=275立方厘米。
【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米，4cm
【依然是利用半特殊长方体的相对两正方这一特性】
高就是x+2+4厘米。
根据题意：原来长方体的表面积-正方体的表面积=120
2x2+4x(x+2+4)-6x2=120
2x2+4x2+24x-6x2=120
24x=120
x=5 2cm
那么长方体的长和宽都是5cm，高是5+2+4=11cm。
体积V=长×宽×高V=5×5×11=275立方厘米
★最后一点强调：由一维空间的点、线，到二维空间的平面图形：长方形，正方形，再到立体几何图形的学习。图形的日趋复杂的变化演绎过程，可以说：点动成线，线动成面，面动则成体。
不管是曾经的平面图形周长，面积的题目，还是现在立体几何中的棱长和、表面积、体积、容积、容积中的排水法、挖一块或若干块、切一刀或几刀、若干块拼成一大块、棱的几倍变形引起表面积体积的变化，涂色问题，这些所有的所有，根本都要围绕变化的和不变化的，从棱变则全变这一点去探究！最后的最后，请你画画图，讲讲道理，带入公式的数字含义对吗？另外数学一些题目是需要你联系生活实际的，例如：在现实生活中，不是所有长方体都要求六个面的面积，要根据实际情况，有的是求六个面的面积，有的是求五个面的面积，有的是求四个面的面积。做个画家和导演，讲讲道理，学校那点简单题目没有你不会做的！
公式
棱长类：
长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4 C=4（a＋b＋h）
长方体的棱长和=长×4＋宽×4＋高×4 C=4a＋4b＋4h
长方体的高=棱长和÷4－长－宽
正方体的棱长和=棱长×12 C=12a
正方体的棱长=棱长和÷12
棱长和的变形：包扎用绳总长度=2个长+2个宽+4个高+打结用绳长度
长方体、正方体的表面积和体积类：
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示S=2(ab＋ac＋bc)
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2 用字母表示S=2ab＋2ac＋2bc
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示S=6a2
长方体的体积=长×宽×高用字母表示V=abc
正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示V= a3
上述公式变形很无聊：长方体的长=体积÷宽÷高长方体（或正方体）的体积=底面积×高长方体的高=体积÷底面积长方体的体积=横截面积×长长方体的长=体积÷横截面积
★侧面积÷底面周长=高【这是个好公式】
★解决有关长方体和正方体表面积的实际问题时，有时只求长方体、正方体的4个面（如：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；）或5个面（无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，还需要扣除不需要刷涂涂料的门、窗的面积）
★在计算时，请注意首先进行单位换算统一后再进行。
一、长方体和正方体的认识
【知识点1】关于点、线、面
如图所示为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样的方法，截去原长方体的八个角，则新的立体图形的顶点有个；棱有条，面有个，
【思路分析】一个长方体有4+4+4=12条棱，一个角上裁出3条棱，
即8个角共3×8=24条棱，相加即可．
原有棱的条数12+八个顶角裁出的24条棱=36条棱。
顶点的变化为：原有一个顶点因裁去而损失，但是增加的一个面，
或者说增加的3条棱于其它棱交点为3个，3-1=2个。
【思路点拨】每切去一个角，多出3条棱，多1个面，多2个顶点；依此类推，切
去长方体的八个角，多出24条棱，8个面，16个顶点加上原来的12
条棱,6个面,8个顶点一共36条棱，14个面,16个顶点。
【举一反三】
如果把一个长方体截去一个角后,新的立体图形有（）个顶点，有（）条棱、有（）个面
图1 图2 图3 图4
解答：图1、新的几何体有（10 ）个顶点，有（15 ）条棱、有（7 ）个面
图2、新的几何体有（9 ）个顶点，有（14 ）条棱、有（7 ）个面
图3、新的几何体有（8 ）个顶点，有（13 ）条棱、有（7 ）个面
图4、新的几何体有（7 ）个顶点，有（12 ）条棱、有（7 ）个面
判断并改正：
1、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。( )
2、长方体的六个面一定是长方形；( )
3、正方体的六个面面积一定相等；( )
4、一个长方体最多有四个面面积相等；( )
5、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( )
6、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( )
7、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ）
8、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ）
9、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ）
10、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ）
11、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（ ）
12、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）
【知识点2】关于棱长
棱长和的变形：
①例如：一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定
每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前
面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带
长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。
解答：需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm
②图2这款IPAD 的外包装长a 厘米，宽b 厘米，高c 厘米，商
店为了顾客方便，用丝带进行捆扎，结头处长d 厘米，
这个包装盒至少要准备 米彩带？ 图2
③图3有5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？
A ．①号2张，③号4张
B ．②号2张，③号2张，①号2张
C ．①号2张，③号2张，④号2张
D ．①号2张，⑤号4张
E. ①号2张，②号4张 图3
F. ④号4张，⑤号两张
练习：
1．有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处， 需要（ ）米的铝合金。
2．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。
3．一个长方体长12厘米 宽8厘米 高7是（ ）。
4．一个长方体的礼堂如右图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，
每串彩灯长2m ，一共需要多少串彩灯？ 【右图礼堂】
5．一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，
右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
6．正方体的六个面中，选出3个面，其中有两个面不相邻的排法有多少种方案？
本题为和计数体系排列组合的结合
解答：①两个面不相邻那就是对面！正方体共3组对面，假定选组对面，还有一面从其他4面中任意选，就有4种情况！所以共有3×4=12种
②先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。正方体共有6个面，因此共有4×6＝24种选法。但是不相邻便是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2. 所以最终共有选法为24/2＝12种。
③从正方体的六个面中任意选三个面共有20（6+5+4+3+2=20）种。其中过同一顶点的三个面相邻的只有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种。
7.小明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
A. 9a+6b
B. 8a+4b
C.6(a+b)
D.12a+12b
E. 6a+9b
F. 4a+8b
举一反三：
①小明有59根a厘米长的小棒和56根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个长方体框架．长
方体框架的棱长和是多少？
②小明有49根a厘米长的小棒和46根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个正方体框架．正
方体框架的棱长和是多少？
③小明有29根a厘米长的小棒和16根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了两个正方体框架．正
方体框架的棱长和是多少？
★长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
一，切割对正方体、正方体棱长的影响
①切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；
（棱长增加的最长）
②将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；
（棱长增加的最短）
③将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。
二、组合对长方体、正方体棱长的影响
①将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；
（棱长减少的最多）
②将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；
③将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；
（棱长减少的最少）
④将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；
一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））
例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？
【分析】：五个正方体棱长共有12×5=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：
140÷28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。
【知识点3】长方体、正方体的侧面展开图：
长方体的展开图有几种
长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：
一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种；
三三式3种，共计54种
长方体的展开图判断：
①展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的
大小完全相同。
②在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的，
其中同样大小的两个长方形中间一定只隔一个
其他的长方形。
①把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是
（）
分析：右图中，把中间的四个正
方形围起来做“前后左右”四个
面，有“空心圆”的正方形做“上
面”，显然是正方体C的展形图，故选（C）。
②有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形，
它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的
【分析】由题意得：将侧面展开后的图形为右图所示
说明这个长方体的底面周长和高相等（半特殊化长方体）；
因为底面也是正方形，说明底面周长就是正方形的周长，
所以正方形的周长和高相等，正方形的周长是正方形边长的4倍，则长方体的高就是正方形的边长的4倍，即这个正方形的边长是长方体高的1/4
③有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度
观察的结果如图所示，那么这个立方体
1的对面是，3的对面是，
4的对面是．
④用红、黄、蓝、白、黑、绿这6种颜色分别
涂在正方体的各面上，每一个面只涂一种颜色。如图
所示，现有涂色方式完全一样的4块小正方体拼成了
一个长方体。每个小正方体中，红色面的对面涂的是
色？黄色面的对面涂的是色？黑色面的对面涂的是色？
⑤下面是一个长方体的展开图，其中错误的是（）
A. B. C. D.
⑥下图是长方体的展开图，已经给出有关数据，求出这个长方体的表面积和体积．
【分析】要会看图哎！由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、5分米和3分米，
解答：
长方体的表面积：长方体的体积：
=(8×5+5×3+3×8)×2 =8×5×3
=(40+15+24）×2，=40×3
=79×2 =120立方分米
=158（平方分米）
⑦这是一个长方体的展开图，请问此长方体的体积是多少立方厘米？
解析：观察图形可知长+宽的和是
则可得高是
则这个长方体的长是，宽是
由此利用长方体的体积公式即可解答．
解答：
⑧经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：
【知识点4】★一定要按照棱长对棱长的方式去考虑
①小正方体拼大正方体的规律
由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），
接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是
4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……
从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。
★要求能够熟记一些数的立方：
23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000
②小正方体拼大长方体的规律
规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。
练习：1、用棱长为3cm的小正方体拼棱长为9cm的大正方体需要（）个小正方体。
A、8个
B、27个
C、26个
D、64个
2、一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。
3、一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以（）块。
③从一个长方体中切出一个最大的正方体问题
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方
体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的
长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是
多少？剩余部分的表面积是多少？
二、长方体和正方体的表面积和体积
静止型
【知识点1】
①判断正误
两个棱长和相等的长方体，它们的表面积相等（）
一个长方体和一个正方体的棱长和相等，它们的表面积相等（）
两个棱长和相等的正方体，它们的表面积相等（）
表面积相等的两个长方体，它们的棱长和相等（）
表面积相等的一个长方体和一个正方体，它们的棱长和相等（）
表面积相等的两个正方体，它们的棱长和也相等（）
②下面哪些问题跟长方体表面积有关。（）
A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？
B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？
C：求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？
③一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。
【知识点2】长方体、正方体表面积求法的变形：
①一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（）个面.
②贴商标类、通风管型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？
一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮?
③游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？
做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？
一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
④抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
⑤占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地
面积多少平方米？
一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？
⑥一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。
一个长方体的长12厘米,高8厘米, 底面与左侧面的面积和为200平方厘米.求这个长方体的体积？⑦一个长方体的表面积是66.16分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。求长方体的体积
⑧一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如右图，从四个角上剪去
边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少
平方厘米？
【知识点3】棱长变化对棱长和、表面积、体积的影响：
必须习惯并熟悉字母替代数字后，去考虑棱长的变化对长方体、正方体棱长和、表面积、体积的影响！
①棱长变化对正方体的棱长和、表面积、体积的影响
★正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
★正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
②棱长变化对长方体的棱长和、表面积、体积的影响
★长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8；
★长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍；
★长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律。
体积扩大a×b×c倍。
★长方体长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍
★长方体宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍
★长方体长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍
练习：
①大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（）倍。
②正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（）倍．
③一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（）。
④正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（）倍。
⑤一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘米比原来扩大了（）。
⑥一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（）倍。
⑦大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（）；大正方体棱长之和是小正方体的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
⑧把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（）。
A.等于大正方体的表面积
B.等于大正方体表面积的2倍
C.等于大正方体表面积的3倍
⑨判断：
一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（）正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（）
有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（）棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（）
【知识点4】表面积、体积与数论体系的结合
★唯一的偶质数是2，是帮助我们解决质数问题的一个非常好条件，请时刻想起。以下是利用数论的特性与先天不足，一些和数论有关系的公式，我们只需要最多通过0—9这10个数字便可推导出，例：★奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数
★奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=奇数偶数×偶数=偶数
例1．一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导航】
长方体的前面与上面的面积和是长×宽+长×高=长×（高+宽），由于长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17+2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。★为什么不写成209=19×11，若是这样，11是个质数，两个质数的和是奇数，其中必有一个偶质数，唯一的偶质数是2，那么另一个数是9，不是质数，不合题意要求。
长方体的体积：209=11×19=11×（17+2）=374 （立方厘米）
表面积：（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米）
练习：
①一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
②一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。
③用2100个棱长为1cm的正方体堆成一个长方体，它的高是1dm，且长大于宽大于高，这个长方体的长为；宽为.
三、长方体和正方体的表面积
静止非穿透型—不规则型、挖N块型、置放N块型
①不规则型几何体表面积、体积的求解：
【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】
（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，
左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），
右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
练习：
1.如图是一些棱长是1厘米的小正方体搭成的立体图形，
如果要在基础上拼搭成一个长方体（不可以移动原有的小正方体），
这个长方体的体积至少是立方厘米，
还需用个这样的小正方体．
2. 将若干个完全相同的正立方体黏合而成如右的立体图形，若其表面积为270
苏教版《长方体和正方体综合练习》教学设计 ◆您现在正在阅读的苏教版《长方体和正方体综合练习》教学设计文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!苏教版《长方体和正方体综合练习》教学设计教学目标： 1．通过练习，进一步体会长方体和正方体的基本特征，进一步理解体积（容积）及其常用计量单位的意义。 2．进一步理解并掌握长方体、正方体的体积和表面积的计算方法，能正确解答有关这方面的简单实际问题。 3．进一步体会数学知识和方法的内在联系，能综合应用学过的数学知识解决问题，发展空间观念，提高解决问题的能力。 教学过程： 一、填空练习。 1．长方体有（）个顶点，有（）条棱，有（）个面。 2．7.9升=（）升（）毫升 5800立方厘米=（）立方分米=（）升 2.1立方分米=（）立方厘米 3．在括号里填上合适的单位。 一种保温瓶能装水2019() 一个梨的体积是500（） 一个仓库的容积积是2（） 一张课桌的体积大约400( ) 4．一个正方体的棱长是８分米，它的棱长总和是（）分米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方分米。 5．一个长方体的底面积是80平方厘米，高是7厘米，它的体积是（）立方厘米。学生先独立在练习纸上完成以上题目，然后指名学生回答，集体订正。 6．一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）平方分米。 7．把3个棱长是1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是（）立方分米，表面积是（）平方分米。 8．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的面积有（）平方米。 9．至少要（）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 学生先独立思考并完成以上题目，交流时重点讲评第8、9题，注重思考方法的交流。 针对学生出现问题补充：把5个棱长是1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是（）立方分米，表面积是（）平方分米。 二、选择。 1．我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（）。 A只有三个面 B只能看到三个面 C最多只能看到三个面 2．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大（）。 A．3倍B．6倍 C．9倍D．27倍 3．边长是6分米的正方体，它的表面积与体积比较（）
六年级上册第一单元单元整理与复习 第一部分：重点知识理解背诵 1、 长方体和正方体的特征 2、 表面积概念及计算 【长方体或正方体6个面的总面积，叫做 它们的表面积】 算法：长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2 （ab+ah+bh ）×2 正方体 棱长×棱长×6 a ×a ×6=62 a 注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无 盖纸盒等。 3、 体积概念及计算 手指头的体积大约是1 cm 3，粉笔盒的体积大约是1 dm 3. 表面积的变化规律：（立方体的个数－1）×2＝少几个面
4、正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。 口诀：需背诵 正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141） 中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231） 中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222) 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33） “田”“凹”应弃之 第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。 口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放） 第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。 口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的） 第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。 口诀：中间二个面，楼梯天天见 第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33） 第五：巧排除“7”、“凹”、“田” 1 2 3 4 5
长方体、正方体知识点汇总 一、长方体和正方体的各部分名称 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。 2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。 3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 4、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有有6个面，8个顶点，12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4.长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5.长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有
12条棱，每条的棱的长度都相等。 二、总棱长公式 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 棱长总和÷4=长+宽+高 正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 三、表面积 1.长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 2.长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6 四、体积 1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.长方体的体积=长×宽×高=底面积×高 V=abh=sh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 3.正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 注意：正方体的棱长扩大n倍，表面积扩大n的平方倍，体积扩大n的立方倍。 五、容积 1.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
第三单元 长方体和正方体 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做 。 两个面相交的边叫做 。三条棱相交的点叫做 。相交于一个顶点的三条 棱的长度分别叫做长方体的 、 、 。 长方体特点： （1）有 个面， 个顶点， 条棱，相对的面的面积 ，相对的棱的长度 。 （2）一个长方体最多有6个面是 ，最少有4个面是 ，最多有2个面是 。 2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做 （也叫做 ）。 正方体特点： （1）正方体有 条棱，它们的长度都 。 （2）正方体有 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都 。 （3）正方体可以说是 、 、 都相等的长方体，它是一种特殊的 。 3、长方体、正方体有关棱长计算公式： 长方体的棱长总和= ＝ L= 长= a= 宽= b= 高= h= 正方体的棱长总和= L= 正方体的棱长= a= 4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的 。 长方体的表面积= S= 无底（或无盖）长方体表面积= S= S= 无底又无盖长方体表面积= S= 贴墙纸 正方体的表面积= S= 用字母表示:S= 生活实际： 油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面 水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加 面。（表面积相应增加） 注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的 。 （如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的 倍）。 5、物体所占空间的大小叫做物体的 。 长方体的体积= V= 长= a= 宽= b= 高= h= 正方体的体积= V=a ×a ×a = a 3读作“ ”表示 ，（即a ·a ·a ） 长方体或正方体底面的面积叫做 。 长方体（或正方体）的体积= 用字母表示：V= （横截面积相当于底面积，长相当于高）。 注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。 6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的 。 固体一般就用 ，计量液体的体积，如水、油等。 常用的容积单位有 和 也可以写成L 和ml 。 1升= 立方分米 1毫升= 立方厘米 1升= 毫升 （1 L = 1 dm 3 1 ml = 1 cm 3） 长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。 但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。） 注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍，表面积会扩大平方倍。 （如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。 *形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。 排水法的公式：V 物体 = 也可以 V 物体 = V 物体 = 8、【体积单位换算】 大单位 小单位 小单位 大单位 ×进率 ÷进率
长方体和正方体的表面积 我们已经学习过了长方体和正方体的表面积计算公式 长方体的表面积： 若长方体的长、宽、高分别用字母a、b、c表示，则长方体的表面积可表示为： 正方体的表面积： 若正方体的棱长用字母a表示，则正方体的表面积可表示为： 我们必须熟悉长方体和正方体的特点 1、长方体有（）个顶点，有（）条棱，有（）个面。 2、相交于长方体一个顶点的三条棱分别叫做长方体的（）、（）和（），它们各有（）条。那么长方体的棱长和可表示为（） 3、长方体的相对的两个面都（）；若长方体有一个面是正方形，则长方体有（）个面是一样的长方形。把一个长方体平均分开，正好成为两个相等的正方体（长比宽长），想一想这样的长方体的长是宽的（）倍，长是高的（）倍。 1、正方体有（）顶点，有（）条棱，有（）面；（）都相等的长方体叫正方体，正方体是（）长方体，6个面都是（），6个面的面积（），12条棱的长度都（）。 （1）长方体的体积=（），用字母表示为（） 正方体的体积=（），用字母表示为（） 思考下列问题 ①若已知长方体的体积为V，长为a，宽为b，则如何表示高c：（） ②若已知长方体的体积为V，长为a，高为c，则如何表示宽b：（） ③若已知长方体的体积为V，宽为b，高为c，则如何表示长a：（） ④若已知正方体的棱长和为L，则正方体棱长为（），则体积表示为： （2）单位换算 54厘米=（）分米 3.6平方米=（）平方分米 3.083 cm dm=（）3 4600平方厘米=（）平方分米 2.5L=（）3 cm=（）mL cm 36003 （3）判断正误 ①体积单位比面积单位要大（） ②体积单位之间的进率都是1000 （） ③一个长方体底面积不变，高越大，体积越大（） ④油箱的体积就是油箱的容积；（） ⑤计算容积，只能用升和毫升作单位。（） 例1、做一种横截面是边长为4分米的正方形，高是2.5米的长方体烟囱管，20节这样的烟囱管至少要用铁皮多少平方米？ 例2、一个长方体的表面积是40平方厘米，把它平均分开，正好成为两个相等的正方体，每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 例3、用一根长84厘米的铁丝做成一个长为9厘米、宽为6厘米的长方体框架，然后糊上一层彩纸，彩纸的面积至少有多大？ 例4、一个正方体木块，表面积是50平方米，如果把它截成8个体积相等的正方体小木块,每个小木块的表面积是多少？
第一单元 一、单元教材分析： 本单元是在学生已经探索并掌握长方形、正方形以及其他一些常见多边形的特征，并直观认识长方形和正方形的基础上进行教学的。从研究平面图形到研究立体图形，是学生空间观念发展的一次飞跃。 二、单元教学目标： 1、认识长方体和正方体，掌握长方体和正方体的特征。知道正方体是特殊的长方体。 2、知道长方体和正方体表面积、体积、容积的意义。 3、理解长方体和正方体的体积计算公式的推导过程，掌握长方体和正方体体积计算公式。 4、会求长方体和正方体的表面积，体积（容积）。 5、认识常用的体积单位。对常用的体积单位的形状，大小有较明确的观念。知道体积单位与长度单位、面积单位的联系与区别，掌握体积单位间的进率与化、聚。 6、掌握容积单位间的进率与化、聚，及容积单位与体积单位间的关系。 7、通过长方体和正方体有关知识的学习，进一步形成空间观念，并能运用已学知识解决一些实际问题。 8、结合长方体和正方体的教学，受到“实践第一”观点的教育，养成仔细计算，认真检验的良好学习习惯。 三、单元教学重、难点： 1、掌握长方体和正方体的特征，会计算它们的表面积和体积。 2、掌握体积单位、容积单位及体积和容积单位间的进率和互化。 3、运用所学知识解决实际问题。 长方体和正方体的认识（1） 教学内容：第1-2页的例1、例2，练一练，练习一的第1—5题 教学目标： 1、使学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体的面、棱、顶点以及长宽高（棱长）的含义，掌握长方体和正方体的特征。 2、使学生进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。
教学重难点：认识长方体、正方体的面、棱、顶点以及长宽高（棱长）的含义，掌握长方体和正方体的特征。 教学准备：实物投影、长方体模型、框架，课件、长方体形状的纸盒等 教学过程： 一、导入新课： 我们已经学习了一些平面图形、长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形，都是平面图形。 今天我们学习立体图形。 像墨水瓶、罐头盒、魔方玩具、牙膏盒、排球、肥皂盒、台灯罩，这些物体的形状都是立体图形，（出示这组物体的课件）今天我们就来研究这里面的——长方体和正方体。 二、探究新知： 1、说说你见过的哪些物体的形状是长方体？ 2、出示例1： 拿一个长方体的纸盒来观察： ⑴长方体有几个面？每个面是什么形状？哪些面完全相同？从不同角度看一个长方体,最多能同时看到几个面? 指导学生观察学具，直观地回答上面的问题。 得出：长方体是由6个长方形（也可能有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 在一个长方体中，相对的面完全相同。 ⑵两个面相交的边叫做棱。长方体有多少条棱？量出每条棱的长度，哪些棱的长度相等？ 指导学生观察、测量。 得出：相对的棱的长度相等 ⑶三条棱相交的点叫做顶点，长方体有多少个顶点？ 学生在小组里观察交流，指名回答。 师：因为最多可以看到三个面，所以我们可以这样来画长方体。教师板演画法。 3、请学生对照着长方体说说长方体的特征。 4、出示用细木条（或铁丝）做棱，用橡皮泥粘成的长方体框架，观察一下： ⑴它的12条棱可以分成几组？怎样分？ ⑵相交于同一顶点的三条棱长度相等吗？
100 叫 做它的表面积。 长 方体或正方体 个面的总 面 积 ， 100 形体 相同点 不同点 棱长和 C 关系 长 方 体 面 棱 顶点 面的形状 棱长 面 C 长方体 =（长+宽+高）×4 C 长方体 =4（a+b+h ） 逆运算：（方程法）设长X （X+宽+高）×4 = C 长 X+宽+高 =棱长和÷4 （算术法） 长=棱长和÷4-长-高 正方体是长宽高都相等的特殊长方体。 6个 12 条 8 个 有6个面，都是长方形。（有时，最多有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形） 有3组棱（长、宽、高）每组4条。相对的4条棱相等。最多8条棱长度相等。 相对的2个面 完全相同。 （上 下） （前 后） （左 右） 正 方 体 6个 12条 8 个 6个面都是 正方形。 12条棱长 度都相等。 6个面完全 相同。 C 正 = 棱长×12 C 正 = a ×12= 12a 逆运算： 棱长和÷ 12 = 棱长 正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍；表面积扩大n 2倍；体积扩大n 3倍。 长方体的长、宽、高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍；表面积扩大n 2倍；体积扩大n 3倍。 形 体 S 表面积（6个面） V 体积（容积） 计算公式 单位 定义 计算公式 常用单位 定义 长 方 体 S 表=（长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2 S 表 =（ab + ah + bh ）×2 S 表=长×宽×2 + 长×高×2 +宽×高×2 （上和下）（前和后） （左和右） S 表 = 2ab + 2ah +2bh 逆运算： (长×宽+长×高+宽×高)×2=表面 积x ×宽+x ×高+宽×高 =表面积 ÷2 每相邻两个常用面积单位间 进率为 100 平方米 m 2 平方分米 dm 2 平方厘米 cm 2 V 长 = 长×宽×高 =abh V 长= 底面积×高 =Sh 或V 长=横截面积×长=Sa 逆运算：① 设长X X ×宽×高 =长方体体积 ②长方体体积÷宽÷高=长 ③长方体体积÷底面积=高 体积单位，每相邻两个单位间 进率为1000 立方米m 3 立方分米 （升） 1dm 3 =1L 立方厘米（毫 升） 1cm 3 =1mL 体积 容积 （箱子、油桶、仓库、水池等）容器所能容纳物体的体 积，通常叫做他们的容积。（从里面量长、宽、高。） 正 方 体 S 正= 棱长×棱长×6 S 正=任意一个面的面积×6 = a ×a ×6 =6a 2 逆运算： 一个面的面积= 表面积 ÷ 6 V 正 = 棱长×棱长×棱长 V 正 =a ×a ×a =a 3 m 2 100 dm 2 100 cm 2 m 3 1000 dm 3 cm 3 进率： L 1000 mL 解决思路 题型 物 体所占空间的大小叫做物体的体 积。 （从外面量长、宽、高。） 6
三长方体和正方体6个面，8个顶点，12条棱 【概念】 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。 一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、正方体是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 注意：①两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ ②表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ ③长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 长=棱长总和÷4－宽－高宽=棱长总和÷4－长－高 高=棱长总和÷4－长－宽 ④正方体的棱长总和=棱长×12 棱长=棱长总和÷12 5、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 ①长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） ②无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 ③无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 ④正方体的表面积=棱长×棱长×6 【知识点2】长方体表面求法的变形： ①贴商标类型：只求四周面积。 例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ ②游泳池类型：只求四周和底面。 例如：一座游泳池，长宽高分别为、10m，4m， 1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？ ③抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
长方体和正方体 一、长方体和正方体的认识 面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 13、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 14、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 15、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ） （2）填空： 1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。 3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。 4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带， 一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前和后面的彩带长度=高的长度；左和右面的彩带长度=高的长度；上和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm
三长方体和正方体 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的 边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 长方体特点： （1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 正方体特点： （1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。 （2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 （3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 3、长方体、正方体有关棱长计算公式： 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽－高 a=L÷4－b－h 宽=棱长总和÷4－长－高 b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）贴墙纸 正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a2 生活实际： 油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面 水管、烟囱等都只有4个面。 注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加） 注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。 （如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
苏教版数学六年级上册《长方体和正方体的认识》教学设计 [教学内容] 六年级数学上册教科书第10-11页的例1、例2，以及随后的“练一练”和练习三第1～5题。 [教学目标] 1、通过观察、操作等活动认识长方体、正方体，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体和正方体的基本特征。 2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 3、进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。 [教学重难点] 教学重点：认识长方体、正方体的面、棱、顶点以及长宽高（棱长）的含义，掌握长方体和正方体的特征。 教学难点：理解长方体直观图；理解长方体和正方体之间关系。 [教学准备] 教师准备：长方体框架一个、长方体两个（一个有一组相对的面为正方形）、正方体一个、实物展台、多媒体计算机（ppt课件）等。 学生准备：长方体和正方体学具，墨水盒、牙膏盒、魔方、乒乓球等实物。 ［教学过程］ 一、观察与操作，认识长方体的特征 1、教学例1 （1）出示画面：有一些长方体的实物和正方体的实物。（如电冰箱、饼干盒、魔方等） 谈话：同学们，这些是我们生活中常见的一些物体，你能说说哪些物体的形状是长方体，哪些物体的形状是正方体？ 学生回答，并举例再说说生活中还有哪些物体的形状是长方体和正方体。 师：判断一个物体是不是长方体或正方体，应该用长方体和正方体的特征来分析，那么长方体和正方体都有哪些特征呢？这节课，我们就一起来认识长方体和正方体。（板书课题：长方体和正方体的认识） ［设计意图：用学生熟悉的墨水盒、牙膏盒、魔方等实物引入长方体和正方体，充分说明长方体和正方体是现实世界中客观存在的。为了帮助学生更好地认识现实世界，解决日常生活中所遇到的问题。通过观察激活学生已有的关于长方体的直观经验，通过交流不断积累长方体表象。］ （2）出示长方体模型，谈话：长方体有几个面？从不同的角度观察一个长方体，你觉得最多能同时看到几个面？ 学生说一说自己的猜想。
长方体和正方体知识点整理 一、正方体部分 ①最小要八块相同．．．． 的正方体才能拼成一个较大的正方体。 ②正方体有十一种展开图。 ③正方形涂色B ：把一个正方体的表面都涂满颜色，然后切成棱长为1的小正方体。（长方体同） 三面有颜色：有8个，在顶点上 二面有颜色：有(棱长－2)×12 在棱长上 实际上求棱长减去2以后正方体的棱长和 一面有颜色：有(棱长－2)2 ×6在表面上 实际上求棱长减去2以后正方体的表面积 没有颜色：(棱长－2)3 在正方体的内部 实际是求棱长减去2以后正方体的体积。 ④正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，增加了．．． 原来的3倍，面积是原来的平方倍；正方体的棱长扩大到原来的2倍体积扩大到8倍，增加了．．． 原来的7倍。正方体体积是原来的立方倍。 ⑤设一个正方体的棱长为a ，则它的棱长和=12a ，表面积S ：S=6×a×a =6a 2 体积V= a×a×a = a 3 ⑥体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米 1立方分米=1000立方厘米1立方米=1000立方分米 容积单位有：立方米、升、 毫升 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 二、长方体 ①长方体有六个面，12条棱，8个顶点，最多可以看到3个面，最少看到一个面，长方体不包括正方体，最多有两个面是正方形，最多有四个面相等，最多有8条棱相等。 ②长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种；三三式3种，共计54种。 ③物体的面的个数：两个面：一级台阶（一个前面，一个上面） 四个面：火柴盒外壳、漏水管、通风管、柱子、饼干盒的四测包装纸 五个面：鱼缸、游泳池、抽屉、火柴盒内盒、粉刷教室的墙壁（有一个顶面，不含地面） 六个面：油箱、油桶、空调的包装盒。 ④长方体的表面积=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2 长方体的侧面积=底面周长×高 底面周长=(长＋宽)×2 ⑤一个或几个物体叠加在另一个物体上：这些物体的表面积=下面物体的表面积+上面所有物体的侧面积 长方体的的体积= 长×宽×高 ⑥一个长方形沿着高增加或减少一段长度，表面积增加或减少的是那段高所对应的侧面积。 底面周长 =长方体的侧面积÷高 三、物体浸入水中有关的计算（②竞赛中会出现） ①重物完全浸入水中：物体的体积=水面上升的体积=容器底面积×水面上升的高度； 水面上升的高度=物体的体积÷容器的底面积 ②重物部分浸入水中：水面现在的高度=水的体积÷（容器的底面积－重物的底面积） 四、捆扎物品 ①两个面（通常上下面）十字捆扎一道，绳长=两个交叉十字的周长+接头长=2长+2宽+4高+接头长 ②六个面十字捆扎一道，绳长=长方体棱长总和+接头长=4长+4宽+4高+接头长 五、饼干盒四周商标面积=（底面周长+接头长）×高 物体的占地面积即底面积，所占空间即体积 六、楼梯铺地毯或地砖面积=（每级楼梯的高+每级楼梯的宽）每节楼梯的长度×楼梯级数 （一四一） （二三一） （二二） 二） （三三）
第三单元《长方体和正方体的认识》知识点及练习题 发表时间：2011-5-31 18:45:56来源：访问次数：6690 第三单元《长方体和正方体的认识》知识点 1、两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。 2、 形体 相同点不同点 关系面棱顶点面的形状面的大小棱长 长方体 6 12 8 一般都是长方形，有时也 有两个相对的面是正方 形。 相对的面的面积 相等 平行的四条棱 长度 相等 正方体是特 殊的长 方体 正方体 6 12 8 六个面都是正方形六个面的面积相 等 六条棱长都相 等 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。 长方体的12条棱有3组，每组的四条棱长度相等。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4 长方体放桌面上，最多只能看到3个面。 3、正方体的展开 1）．“141型”，中间一行4个图：作侧面，上下两个各作为上下底面，?共有6种基本图形。 2）．“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。见上图 3）．“222”型，两行只能有1个正方形相连。 4）．“33”型，两行只能有1个正方形相连。 4、长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面三个面的面积，再乘以2，就可以求出表面积了。 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的六个面完全相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘6就可以了。 正方体的表面积=棱长×棱长×6 5、在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。 一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。
长方体正方体专题练习
芸桥培训学校 Eva 2018年5月18日 2 长方体和正方体专题练习 第一部分：重点知识理解背诵 1、 长方体和正方体的特征 形体 面 顶点 棱 关系 长方体 6个 至少4个面 是长方形 相对面 完全相同 8个 12 条 相对的棱 长度相等 正方体 是特殊 的长方 体 正方体 6个 正方形 6个面 完全相同 8个 12 条 12条长度 都相等 2、表面积概念及计算 【长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积】 算法：长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2 （ab+ah+bh ）×2 正方体 棱长×棱长×6 a ×a ×6=62 a 注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸 盒等。 3、体积概念及计算 体积（容积） 定义 形体 体积（容积） 计算方法 体积单位 进率 物体所占空间的 大小叫做它们的 体积；容器所能 容纳其它物体的 体积叫做它的容 积。 长方 体 V=ab h V=S h 立方米 立方分米 立方厘米 13m =10003 dm 13 dm =1000 3 cm =1L=1000mL 正方 体 V= 3 a 手指头的体积大约是1 cm 3，粉笔盒的体积大约是1 dm 3. 表面积的变化规律：（立方体的个数－1）×2＝少几个面 4、正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。 口诀：需背诵 正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141） 中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132、231） 中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222) 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33） “田”“凹”应弃之 第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二讲 长方体和正方体 一、长方体和正方体的认识 个、5个面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ） （2）填空： 1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ） 形。 3、 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等 的（ ）形。 4、 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ） 个面。 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和=下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4
棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆 扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长 度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度 20×4+30×2+10=150cm 练习： （1）看图2-6，并填空 单位：厘米 这个长方体长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是( )厘米。棱长总和是( )厘米。上下两个面是 ( )形。 （2）看图2-7并填空单位：厘米 这是一个( )体，正方体的棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的面积是( )平方厘米。 （3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。 （4） 把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 （7）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。 （7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m ，一共需要多少串彩灯 （8） 一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，右面周长为40cm ，前面周长为50cm ，鱼缸的长、宽、高各是多少 【知识点3】 确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。 长方体一共有（ ）个面，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相30㎝ 20cm 20cm 30m 6m 50m
第二讲长方体和正方体 一、长方体和正方体的认识 个、5个面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形；( ) - 2、正方体的六个面面积一定相等；( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等；( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（） 11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（） ' 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（） 14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（） 15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（） 16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（） （2）填空： 1、一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（）形。 3、' 4、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（），它的六个面都是相等的（）形。
5、 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和=下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4 。 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆 扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长 度=高的长度； … 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度 20×4+30×2+10=150cm 练习： （1）看图2-6，并填空 单位：厘米 这个长方体长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是( )厘米。棱长总和是( )厘米。上下两个面是( )形。 】 （2）看图2-7并填空单位：厘米 、 这是一个( )体，正方体的棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的面积是( )平方厘米。 （3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。 （4） （5） 把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 （7）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正 30㎝ 20cm 20cm
长方体和正方体 练习一 一、填空 1、长方体有（）个面，它们一般都是（）形，也可能有（）个面是正方形． 2、长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都叫做（），它们的面积（）． 3、长方体的12条棱，每相对的（）条棱算作一组，12条棱可以分成（）组． 4、正方体有（）个面，每个面都是（）形，面积都（）． 5、一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长总和是（）． 6、一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（）分米． 7、一个长方体的棱长总和是80厘米，其中长是10厘米，宽是7厘米，高是（）厘米． 8、把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（）厘米． 二、判断题 1、长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．（） 2、长方体的6个面不可能有正方形．（） 3、长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条．（） 4、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等．（） 5、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等．（） 6、一个长方体长12厘米，宽8厘米，高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米．（） 三、选择题 1、下列物体中，形状不是长方体的是（） ①火柴盒②红砖③茶杯④木箱 2、长方体的12条棱中，高有（）条． ①4 ②6 ③8 ④12 3、下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ） 4、把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的 长方体，增加的两个面的总面积是（）平方分 米． ①18 ②9 ③36 ④以上答案都不对 练习二 1、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一 个长6厘米，宽4厘米，高多少厘米的长方体？ 2、一个长方体的水池，长20厘米，宽10厘米， 深2米，占地多少平方米？ 3、用96厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架， 然后用纸给它的表面包裹起来，至少需要多少平 方厘米的纸？ 4、一个长方体，长12厘米，宽和高都是8厘米， 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 5、用两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方 体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 6、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等， 已知长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4 厘米，求正方体的棱长。 7、一个教室的长是8米，宽是6米，高是4米， 要粉刷教室的四壁和平顶，除去门窗和黑板面积 24平方米，粉刷的面积是多少平方米？
五年级知识点汇总第三单元长方体和正方体 一、长方体和正方体 1、长方体与正方体的相同点和不同点 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。 2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5、长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽－高 a=L÷4－b－h 宽=棱长总和÷4－长－高 b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh） 正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 7、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 8、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 9、a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a） 体积单位：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升 相同点 不同点 面棱 长方体都有6个 面，12条 棱，8个顶 点。6个面都是长方形。（有可 能有两个相对的面是正 方形）。 相对的棱的长度都相等 正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。