17.1古典概率（1）
上海市南洋模范中学徐宁
一、教学内容分析
本节课是高中数学古典概率的第一课时，是在学生学习了排列组合情况下的教学.古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.
学好古典概率可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中常见的一些问题.
二、教学目标设计
1．理解随机事件和古典概率的概念 .
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
三、教学重点及难点
重点是求随机事件的概率，难点是如何判断一个随机事件是否是古典概型，搞清随机事件所包含的基本事件的个数及其总数.
四、教学用具准备
多媒体设备
六、教学过程设计
一、课前准备
在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验，
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总.
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总.
二、学习新课
1．引入：
课堂提问：
在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？
学生回答：
在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是1
.
2
在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质
. 地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等，即它们的概率都是1
6 2．引入新的概念：
基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件.
古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率.
（1）一次试验所有的基本事件只有有限个.
例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件.
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同.
随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象.
随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A、B等来表示.
必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作Ω.例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.
不可能事件：实验中不可能出现的事件叫做不可能事件，记作?.
例1：从字母a b c d
，，，中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.利用树状图可以将它们之间的关系列出来.
我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列
举.
（树状图）
解：所求的基本事件共有6个：
{,}A a b =，{,}B a c =，{,}C a d =，
{,}D b c =，{,}E b d =，{,}F c d =
例2：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概率吗?为什么？
答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概率的第一个条件.
（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什么？
答：不是古典概率，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、
命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足
古典概率的第二个条件.
3．概率公式推导：
随机事件A出现的概率记作P（A）
基本事件有如下的两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
例3：掷骰子试验中，结果为奇数的概率是多少？
问题1：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”包含哪些基本事件？
随机事件“结果是奇数”包含基本事件“1点”、“3点”、“5点”.
问题2：掷骰子试验中，所有基本事件由哪些？
所有的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”.
问题3：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”记为事件A，事件A的概率是多少？
P（A）=31
62
例4：同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
分析：我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的
结果：
（1，1）、（1、2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、 （2，1）、（2、2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、 （3，1）、（3、2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、 （4，1）、（4、2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、 （5，1）、（5、2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、 （6，1）、（6、2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）， 共包含了36件基本事件.
解答：（1）有36种不同结果.
（2）点数之和为5可以记作随机事件A ，它所包含的基本事件有：（1，4）、(2、3)、（3，2）、（4，1），故共有4种结果.
（3）随即事件A 的概率是：41P A 369
==（） 学生思考并推导概率计算公式：
A P A =事件所包含的基本事件数（）试验中所有的基本事件数
用集合语言表示：设12n ωωω ，，，表示所有的基本事件，基本事件的
集合就是必然事件，记为12n {}ωωωΩ= ，，，，
所以随机事件A 看作Ω的某个子集，则
A P A ωω=Ω所包含的的个数（）中元素的总个数
三、巩固练习
例5：一个袋中装有6只球，其中4只是白球,2只是红球.求下列事件的概率：
（1）摸出的两球都是白球；
（2）摸出的两球1只是白球、另1只是红球.
解：设4只白球的编号为1，2，3，4，两只红球的编号为5，6.从袋中的6只球中任意摸出两只，可能的结果（记“摸出1，2号球”为（1，2））有:
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个结果，即共有15个基本事件.
（1）从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种基本事件满足“两球都是白球”的条件，记随机事件“两球都是白球”为字母A，故62
P(A)=
=.
155
（2）从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）， （3，5） ，（3，6），（4，5），（4，6），共8种可能的结果满足“1只是白球、1只是红球”的条件，记随机事件“1只是白球、一只是红球”为字母B，它包含8个基本事件，故8
=.
P(B)
15
例6：( 涂漆问题)把一个体积为64cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成64个体积均为1cm3的小正方体，并从中任取一块，试求：
（1）这一块没有涂红漆的概率；
（2）这一块恰有一面涂红漆的概率；
（3）这一块恰有两面涂红漆的概率；
（4）这一块恰有三面涂红漆的概率；
（5）这一块恰有四面涂红漆的概率.
解：把体积为64cm3的正方体木块锯成64块体积为1cm3的小正方体，其中没有涂红漆的有8块，恰有一面涂红漆的有24块（6个面，每面2?2块），恰有两面涂红漆的有24块（12条棱，每条棱2块），恰有三面涂红漆的有8块（8个顶点），恰有四面涂红漆的木块不存在，所以：
（1）“这一块没有涂红漆”记为随机事件A，则概率为81
=;
P(A)=
648（2）“这一块恰有一面涂红漆”记为随机事件B，则随机事件B的概率为243
==;
P(B)
648
（3）“这一块恰有两面涂红漆”记为随机事件C，则随机事件C的概率为243
==;
P(C)
648
（4）“这一块恰有三面涂红漆”记为随机事件D，则随机事件D的概率为81
=
P(D)=
648
（5）“这一块恰有四面涂红漆”是不可能事件，其概率为P()0
?=.
对于必然事件Ω、不可能事件?和随机事件，下面4个事实值得我们注意：
（1）不可能事件的概率为零，即P()0
?=；
（2）必然事件的概率为1，即P()1
Ω=；
（3）对任意随机事件E ，有0P(E)1≤≤；
（4）若12n {,,,}ωωωΩ= ，则12n P()P()P()1ωωω+++=
四、课堂小结
1．古典概型：
我们将具有：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
3．求某个随机事件A 发生的概率，要先求出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，注意做到不重不漏.
五、作业布置
(略)
六、教学设计说明
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生A A P 所包含的基本事件的个数
（）＝基本事件的总数
由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神.
第二课时 古典概率 2．理解古典概型； 3．了解几何概型； 4．了解互斥事件及其发生的概率。 二 复习要求 在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进而知道概率的统计定义的意义以及概率和频率的区别；了解互斥事件、对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，是否是对立事件，了解互斥事件的概率加法公式，了解两对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；理解古典概型及其计算公式，会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；体会几何概型的几何意义，理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 在复习这一部分内容时，要能把这一章中所蕴含的主要思想方法贯穿于平常的教学实践中去，如利用树形图去确定基本事件数中的数形结合思想，利用互斥事件去求概率中的分类讨论思想，把实际问题转化为几何概型去求解中的转化与化归的思想，以达到培养学生数学思维的目的。 三 重难注意点 1．概率与频率，概率的频率定义是和一定的实验相联系的，频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，频率是随机的，随着实验次数的改变而改变，而概率是确定的，是客观存在的，与实验的次数无关。概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小。 2．互斥事件与对立事件，判断事件是互斥还是对立，应主要抓住定义，不可能同时发生的事件称为互斥事件，必有一个要发生的两互斥事件称为对立事件，互斥事件是对立事件的必要而不充分条件，将所给事件转化为互斥事件和对立事件去处理，体现了化整为零，正难则反的思想。 3．古典概型，判断一个试验是否为古典概型，主要看试验结果的两个特征，一是有限 性，二是等可能性，在利用古典概型计算公式 ()n m A P =时，应首先完成古典概型的判断，而后进行相关计算，其中n 是试验所包含的所有基本事件数，m 是事件A 包含的基本事件数。 4．几何概型，判断一个概型是否为几何概型，主要看三个特征，一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形的测度的问题。在几何概型中，一个随机事件A 发生应理解为取到区域D 内的某个指定区域d 中的点，
《概率与统计》单元测试题 时量：120分钟，总分：100分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题 3分，满分36分。） 1?给出下列四对事件：①某人射击一次， “射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击一次, “甲射中7环”与“乙射中8环”;③甲、乙两人各射击一次， 有射中目标”；④甲乙两人各射击一次，“至少有一人射中目标” 目标”。其中属于互斥事件的有 A.1对 B.2对 C.3对 2. 把三枚硬币一起抛出，出现两枚正面向上和一枚反面向上的概率是 A - B.丄 C.-3 D.丄 . 8 4 8 2 3. 如图所示的电路，有 A 、 B 、 C 三个开关，每个开关开与关的概率都是 0.5, 那么用电器能正常 工作的概率是 “两人均射中目标”与“两人均没 与"甲射中目标， 但乙没有射中 D.4对 B.4 C.8 D.2 8 2 4. 甲乙两人下棋，甲获胜的概率是 A.82 % B.41 % 5. 某人罚篮的命中率为 0.6，连续进行 A.0.432 B.0.288 6. (文)一个试验仅有四个互斥的结果： 且是相互独立的, 8.（文）某班有50名同学，现在采用逐一抽取的方法从中抽取 5名同学参加夏令营，学生甲最后 个去抽，则他被选中的概率为 A.0.1 B.0.02 C.0 或 1 (理)设~B(n,p)，已知E = 3, D(2 +1) = 9,贝U n 与p 的值分别为 A.12 与 4 B.12 与三 C.24 与-1 4 4 4 D.以上都不对 D.24与弓 9.有4所学校共有20000名学生，且这4所学校的学生人数之比为 3 : 2.8 : 2.2 : 2,现用分层抽 样的方法抽取一个容量为 200的样本，则这4所学校分别应抽取的人数为： A.40、44、56、60 B.60、56、44、40 C.6000、5600、4400、400 D.50、50、50、50 10.标准正态总体在区间（一1.98,1.98）内取值的概率为 A.0.9762 B.0.9706 C.0.9412 11. 平均数为0的正态总 体的概率密度函数为 f （x ），则f （x ） 一 定是 A.奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 12. 一个电路如图所示， 关出故障的概率都是 B.偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 为六个开关，每个开 0.5，且是相互独立的，则线路正常的概率是 C.」 8 D.0.9524 E 18%，乙获胜的概率是 C.59 % 3次罚篮，则恰好有 C.0.144 23 %，则甲不输的概率是 D.77 % 2次命中的概率为 D.0.096 A 、 B 、 C 、 D ，检查下面各组概率允许的一组是 A. P (A) = 0.31 , P(B) = 0.27, P(C) = 0.28, P(D) = 0.35; B. P (A) = 0.32, P(B) = 0.27, P(C) = - 0.06, P(D) = 0.47; C. P (A) = 1 , P(B) = -1，P(C) = 1 , P(D)= 2 4 8 D. P (A) = , P(B) = 1 , P(C) = 1 , P(D) 18 6 3 (理)下面表示某个随机变量的分布列的是 丄. 16 ； 2。 9 7.大、中、小三个盒子中分别装有同种产品 个容量为25的样本，较为恰当的抽样方法是 A.分层抽样 B.简单随机抽样 120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一 C.系统抽样 D.以上三种均可 A 」 B.戲 .64 64 二、填空题（本大题共 13.（文）若以连续掷两次骰子分别得到的点数 （m,n ）作为点P 的坐标，则P 落在圆x 2 + y 2= 16内的概 率是 4个小题，每小题 3分，满分12分。） （理）随机变量是一个用来表示 ____________ 的变量；若对随机变量可能取的一切值，我们都 可以按一定次序一一列出，则这样的随机变量叫做 ______________ ;而连续型随机变量的取值 可以是 ___________________ 。 14.某中学要向一所大学保送一批学生， 条件是在数理化三科竞赛中均获得一等奖， 已知该校学生 获数学一等奖的概率是 0.02,获物理一等奖的概率是 0.03，获化学一等奖的概率是 0.04,则该中 学某学生能够保送的概率为 ______ 。 15. 从含有503个体的总体中，按系统抽样，抽取容量为 50的样本，则间隔为 _______ 。 16. 某县农民年均 收入服从 J = 500元，二=20元的正态分布，则此县农民年均收入在 500~520元 之间的人数的百分比为 ______ 。 三、解答题（本大题共6个小题，满分52分。） 17. （本题满分8分） 有一摆地摊的非法赌主把 8个白球和8个黑球放入一个袋中，并规定，凡愿摸彩者，每人次交费 1元就可以从袋中摸出 5个球，中奖情况为：摸出 5个白的中20元，摸出4个白的中2元；摸出 3个白的中价值5角的纪念品一件，其它无任何奖励。试计算： （1）中20元彩金的概率（精确到0.0001）； ⑵中2元彩金的概率（精确到0.0001）。
统计与概率单元测试 1．将100个数据分成8个组，如下表： 则第六组的频数为（） A．12 B．13 C．14 D．15 2．10位评委给一名歌手打分如下：9.73，9.66，9.83，9.89，9.76，9.86，9.79，9.85， 9.68，9.74，若去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手的最后得分是（） A．9.79 B．9.78 C．9.77 D．9.76 3．某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布条形图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：（1）成绩在49.5分～59.5分段的人数与89.5分～100分段的人数相等；（2）成绩在79.5～89.5分段的人数占30%；（3）成绩在79.5分以上的学生有20人；（4）本次考试成绩的中位数落在69.5～79.5分段内，其中正确的判断有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 (第3题) (第4题) 4．如图是九年级（2）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频数分布条形图（次数均为整数）．已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请观察图，指出下列说法中错误的是（） A．数据75落在第2小组 B．第4小组的频率为0.1
C ．心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的 1 12 ; D ．数据75一定是中位数 5．在转盘游戏的活动中，小颖根据试验数据绘制出如图所示的扇形统计图，则每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是（ ） A ．22.5元 B ．42.5元 C ．2 56 3 元 D ．以上都不对 (第5题) (第9题) 6．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（ ） A ． 78 B ． 67 C ． 17 D ． 18 7．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学九（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下： 那么这20名男生鞋号数据的平均数是 ，中位数是 ，在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是 ． 8．某班50名学生在适应性考试中，分数段在90~100分的频率为0.1，则该班在这个分数段的学生有 人． 9．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果,标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图所示），转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 ． 10．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命跟踪调查，
12．2．2 概率的古典定义及其计算 定义 如果随机试验具有如下特征： （1）事件的全集是由有限个基本事件组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的； 则这类随机试验称为古典概型． 定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。 例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。 解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算： （1）2个都是一等品的概率； （2）1个是一等品，1个是二等品的概率。 解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。 （1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问： （1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式
《概率论与数理统计》第四单元自测题 时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分 1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数ρXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。 2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y 在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2， 则X与Y的相关系数ρXY= 。 3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。 4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为 1 2 1 0 ()2 00 x e x f x x - ? > ? =? ?≤ ? ，， ，， 如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为ρXZ= 。 5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量 -10 00 10 X Y X X > ? ? == ? ?< ? ，， ，， ，， 则方差D(Y)= 。 6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤。 二、单选题：（每题2分，共12分）得分 1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。 (A)不相关的充分条件，但不是必要条件； (B)不相关的必要条件，但不是充分条件； (C)独立的必要条件，但不是充分条件； (D)独立的充分必要条件。 2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 (A) X与Y一定相互独立；(B) X与Y一定不相关； (C) D(XY)=D(X)D(Y)；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。 (A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。 4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)≠D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)≠D(X-Y)。5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则
《数理统计B》单元自测题（五）一、填空题 1）设X i,X2, ,X n,是独立同分布的随机变量序列，且均值为，方差为2,那 么当n 充分大时，近似有X?_________ 或 n X?_____________ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n，都精确有X ?______________________________ 或存? ■ 2）设X1，X2，，X n，是独立同分布的随机变量序列且EX i , DX i 2（i 1,2,）
1 n 那么；i1 X：依概率收敛于 _________ . i 1
3）设X"2,X3,X4是来自正态总体 N（0,2 ）的样本，令丫（X i X2）2（X3 X4）2, 则当C __________________ 时CY?2（2）o 4) 设容量n = 10的样本的观察值为 7, 6，9, ，7，5，9, 6），则样本均值 _______ ，样本方差= ______________ 5）设X1,X2,…X n为来自正态总体:N（ , 2） 的一个简单随机样本，则样本均值
服从______________
二、选择题 1 )设X ?N( ,2)其中已知， 本，贝U 下列选项中不是统计量 的是 _ A )X i X 2 X 3 D ) X i 2)设X ?(1,p) ,X i ,X 2, ,X n ,是来自X 的样本，那 么下列选项中不正确的是 _ A ) 当n 充分大 时， 近似有X ?N p, p(1 p) B ) P{X k} C n k p k (1 n k P) , k 0,1,2, ,n C ) P{X k } n C p k (1 n k 1 P) , k 0,1,2, ,n D ) P{X i k} k k C n P (1 n k “ p) ,1 i n 3)若 X ? t(n) 那么 2 A ) F(1,n) B ) F(n,1) C ) 2(n) D ) t(n) 未知，X i ,X 2,X 3样 B ) max{X i ,X 2,X 3 }
古典概率中的摸球模型的解法及应用 摘要：摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。本文通过对古典概型中 两种摸球模型的探讨，提供了一些有用的解题思路和方法，并试图以明确的公式 形式表达特定问题的解。 关键词：古典概型；摸球模型；事件；概率 一、引言 摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭 配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。历史上曾有人 把浩翰繁杂的古典概率问题归纳为摸球问题、占房问题及随机取数问题，又有人 把其归纳为摸球问题、投球问题及随机取数问题。可见，“球文化”确是古典概率 中的一朵奇葩。本文通过对古典概型中摸球模型的探讨，提供了些有用的解题思 路和方法。 二、古典概率定义 若把黑球作为废品，白球作为正品，则摸球可以描述产品抽样．假如产品分 为若干等级，一等品、二等品、三等品等，则可用有多种颜色的摸球模型来描述．产品抽样检奁技术，在各个生产部门中有着广泛的应用，大型工厂每天生产 的产品数以万计，对这些产品的质量进行全面的逐件检查是不可能的．在有些情 况下，产品的检验方法带有破坏性(如灯泡寿命检验，棉纱强度试验等)，最适宜 的检验方法是采取不放回的抽样检查。当然有些产品检验无破坏可以采取有放回 的抽样检查，对此本文没有涉及，有兴趣的读者可以自行解决。 2.有放回地摸球模型 (1)摸球模型三 2.投球问题 例2.把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中 假设每个杯子可放任意多个球。 五、结束语 本文通过对古典概率中的两种摸球模型——有放回摸球、无放回摸球模型的 解题方法的探讨，并结合几种常见的实例，提供一些有用的解题思路和方法，并 试图以明确的公式形式表达特定问题的解。 参考文献： [1]梁之舜，邓集贤，杨维权，司徒荣，邓永录.概率论及数理统计[上].北京：高等教育出版社，2005. [2]刘长林.概率问题的两个摸球模型[J].数学教学研究，2003(3). [3]毛凤敏.古典概型中摸球模型的解法探讨[J].平顶山师专学报，2004(5). (作者单位：广西崇左市扶绥县龙华中学 543200)
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座20）—随机事件的概率与古典概型 一．课标要求： 1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式； 3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 二．要点精讲 1．随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 （1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； （2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2．随机事件的概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率n m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。 由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3．事件间的关系 （1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； （3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）； 4．事件间的运算 （1）并事件（和事件） 若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。 注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式： P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。 （2）交事件（积事件） 若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。 5．古典概型 （1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m 。 三．典例解析 题型1：随机事件的定义 例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”；
《概率论与数理统计》单元自测题 第一章 随机事件与概率 专业 班级 姓名 学号 一、填空题： 1．设A ，B 是随机事件，7.0)(=A P ，5.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，则 =)(AB P _____________，=)(A B P _____________； 2．设A ，B 是随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=AB P ，则=)(B A P __________； 3．在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之和小于1的概率为___________； 4．三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器发生故障的概率依次为0.1，0.2，0.3，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为_____________； 5．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于27 19，则事件A 在每次试验中出现的概率)(A P 为____________。 二、选择题： 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件A 为（ ） (A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙产品均畅销”； (C )“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； (D )“甲种产品滞销”。 2．设A ，B 为两个事件，则下面四个选项中正确的是（ ） (A ) )()()(B P A P B A P +=?； (B ))()()(B P A P AB P =； (C ))()()(A P B P A B P -=-； (D ))((1)(AB P B A P -=?。 3．对于任意两事件A 与B ，与B B A =?不等价的是（ ） (A ) B A ?； (B )A B ?； (C ) φ=B A ； (D )φ=B A 。 4．设6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则有（ ） (A ) 事件A 与B 互不相容； (B ) 事件A 与B 互逆； (C )事件A 与B 相互独立； (D )A B ?。 三、计算题： 1．已知30件产品中有3件次品，从中随机地取出2件，求其中至少有1件次品的概率。
概率论与数理统计典型题解第一章 随机事件与概率典型题解 1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 解 令{甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有这个位置，A =1,2,,n n 由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么发生当且仅A 当乙坐2号或号位置，从而n 1,2,()2, 2.1n P A n n =??=?>?-?2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷次，乙掷次，求甲掷出正面的1n +n 次数大于乙掷出正面次数的概率．解 令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，A ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，B =由硬币的均匀性知，，容易看出，，由此可知()()P A P B =,A B S AB ==? ．1()2P A =3．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，N 跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率． 解 令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}（）， i A =i 1,2,,i N = {至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，A =则111()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑ 1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- ．11111(1)2!3!!N N -=-+-+- 4．若事件与互不相容，且，证明：．A B ()0P B ≠(|)()/()P A B P A P B =设备高中资料试卷布置情况置。
第七讲概率与统计——古典概型与概率可乘 知识点汇总： 例题练习： 1、一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。 【举一反三】 一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。 2、某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少 3、某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。 【举一反三】 学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 4、A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。那么这六人被抽中的概率分别为多少？
5、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是： ⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率； ⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率； 小试牛刀 1．阿奇一次掷出了6枚硬币，结果恰有3枚硬币正面朝上的概率是多少？ 2．三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两个人上同一节车厢的概率是多少？ 3．中关村小学五年级有6个班，每个班各有30名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取4名去取树苗。那么五年级学生中小李被抽中的概率为多少？ 4．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去” 字，即可以参加。那么这四人谁被抽中的概率最大？
2014届高一数学期末复习概率专题 、、三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产例1：一汽车厂生产A B C 量如下表(单位:辆): 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值 （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从 中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 例2：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． （1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等等码头空出的概率； （2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
一、选择题 1．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 2．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 12的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．78 3.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 4.（2012广东高考）从个位数和十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ） 4 . 9A 1.3B 2.9C 1.9 D 5.（2012湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别 以OA OB 、为直径做两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） 2 .1A π- 11.2B π- 2.C π 1.D π 6.（2012北京高考）设不等式组0202 x y ≤≤??≤≤?表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为（ ） .4A π 2.2B π- .6C π 4.4 D π- 7.（2011海南高考）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） 1.3A 1.2B 2.3 C 3.4 D 8.（09山东）在区间[,]22ππ- 上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 9.(2007湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量 (11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ??∈ ?2?? ，的概率是（ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．56
例 袋中有3只白球2只黑球,从中随意取出2个球,求事件A：“取出两球是一个白球一个黑球”的概率. 解： 方法一（有序法）：将5只球编号为1，2，3，4，5. 如果两球是依次取出，那么基本事件是一有序的结果，每两个有序数组(编号)构成一个基本事件，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45， 21，31，41，51，32，42，52，43，53，54} 由乘法原理可知：||. 5420S =×=事件A 所含的基本事件是：先从3个白球中任取一个，而后在2个黑球中取一个；和先从2个黑球中取一个，而后在3个白球中任取一个. 所以事件 A={14，15，24，25，34，35， 41，51，42，52，43，53} 由乘法原理、加法原理可知||322312A =×+×=. 由古典概率的定义可知：||123()||205 A P A S ===. 方法二(无序法)：将5只球仍编号为1，2，3，4，5. 如果两球是一次取出，那么基本事件是一个无序的结果，每两个数（两个号码）就构成一个基本事件，基本事件相当于从5个不同数中任取2个的一个组合，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45} 由组合的定义可知：2554||102 S C ×===. 事件A 包含的基本事件是：相当于有两只手同时取球（一只手在3个白球堆里取，一只手在2个黑球堆里取）放在一起的结果，所以事件 A={14，15，24，25，34，35} 由乘法原理可知. 1132||326A C C ==×=由古典概率的定义可知：||63()||105 A P A S ===. 方法三（全排列法）： 题目中所叙述的取球方法是从5个有区别的球中任取2个，考虑2个球的颜色，它等价于：将5个有区别的球随意排成一行，考虑前2个位置的颜色. 把每一个全排列结果作为一个基本事件，那么基本事件发生的可能性都一样. 此时样本空间 S={12345，13245，14235，"，54321 } 由排列的定义可知：. 55||5!S P ==
随机事件的概率与古典概型 1.下列事件中，不可能事件是( ) A.三角形内角和为180° B.在同一个三角形中大边对大角 C.锐角三角形中两个内角的和小于90° D.三角形中任意两边的和大于第三边 【答案】 C. 【解析】“三角形内角和为180°”、“在同一个三角形中大边对大角”、“三角形中任意两边的和大于第三边”都为为必然事件，锐角三角形中两个内角的和大于90°，小于90°为不可能事件. 2.下列说法中不正确的是（ ）． A ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 B ．某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的概率为13 C ．“直线y=k(x+1)过定点（－1，0）”是必然事件 D ．“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件 【答案】B 3. 某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( ) A.概率为53 B.频率为 5 3 C.频率为6 D.概率接近0.6 【答案】B. 4.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) (A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶 (C)两次都不中靶 (D)只有一次中靶 【答案】C 5.把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是( ) (A)互斥但非对立事件 (B)对立事件 (C)相互独立事件 (D)以上都不对 【答案】A 6.从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（ ） A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 【思路点拨】分析四组事件：①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件． 【答案】C 【解析】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
3.2.1 古典概型（第一课时） [自我认知]: 1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 6 2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50% 3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为 ( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对 5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件 次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。 8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是1 2 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 1 3 ,那么从两个 口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。 9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个 [课后练习] 10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。 ②一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取 出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 ③一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 班次姓名
12． 古 典 概 型 1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 2．有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 110 B. 310 C.12 D.25 3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D. 710 4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为 顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 6.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 7.从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有1个是黑球与都是黑球； B.至少有1个是红球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲选中的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 34 9.同时掷3枚均匀的硬币，下列互为对立事件的是（ ） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有1枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A. 23 B. 910 C. 35 D. 25
古典概型中研究的几类基本问题: 抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力. 本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用. 一、摸球问题 [例1]袋中有α个白球,β个黑球： (1)从中任取出a ＋b 个(a,b ∈N,α≤a,b ≤β,试求所取出的球恰有a 个白球和b 个黑球的概率； (2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率； (3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率. 思考方法 这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b 个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑. [解](1)设A 1表示事件“所取的a+b 个球中恰有a 个白球和b 个黑球”.从α+β个球中 任意摸出a+b 个,有???? ??++=++b a C b a βαβα种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事 件A 1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a 个,从β个黑球中任取b 个的取法种数, 共???? ?????? ??=b a C C b a βαβα种.所以 P(A 1)=??? ? ??++???? ?????? ??=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3βα+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取 得,有2 βA 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1αA 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为2 1βαA A ?.于是