抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。
图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为
，根据题意得
，解得
∴所求的抛物线的解析式为
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5
令，则，
解得
∴B点坐标为（5，0），OB＝5
∵，
∴顶点M的坐标为（2，9）
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON＝2，MN＝9
∴
例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数
的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为（6，0）
点M的坐标为（3，3）
∵抛物线
∴，解得
∴解析式为，
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。
①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。
②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。
例3. 二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A （1，0）和点B（0，1）。
图3
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。
（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。
解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；当时，应有，则
当代入
得，即
所以，实数a的取值范围为。
（2）此时函数，
要使
，
可求得。
例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S 与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。
解：（1）∵点A、B在一次函数的图象上，
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴
∴。
（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得
（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴
即。
二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图二 图一 图三
3、已知抛物线4 2 12 --= x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积. 4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积. 5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在， 请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
2019-2020 年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线y=ax2 +bx+c 的三角形面积的一般情况有： （1）、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为： S = |x 1-x 2 | · ||=··|| （2）、以抛物线与 x 轴、 y 轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是 抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y 轴上的截距 ( 原点与 y 轴交点构成的线段长 ) 的绝对值。其面积为： S =· |x1-x2|· |c|＝··|c| （3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵 活运用几何和代数的有关知识。 二、1．求内接于抛物线的三角形面积。 例1．已知抛物线的顶点 C（2，），它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根，求 ABC的面积。 解：由方程 x2 -4x+3=0，得 x1=1, x 2=3, ∴AB=|x 2-x 1|=|3-1|=2. ∴ S ABC × × = 2= . 例 2．已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于D点，顶点为 C，求四边形 ACBD的面积。 解：如图 1，S 四边形ACBD=S ABC+S ABD
=×× | |+ ××|2|= . 例 3．如图：已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x B，抛物线与 y 轴相交于 C 点，求ABC的面积。 相交于A、 解：由 得点 A 的坐标为（ 1，2），点 B 的坐标为（ 3，6）；抛 物线与 y 轴交点 C 的坐标为 （ 0， 3）如图 2，由 A、B、C三点的坐标可知， AB= ＝2 ， BC= ＝3 ，AC= ＝。 2 2 2 ∵ AC +BC=AB， ∴ ABC为直角三角形，并且∠BCA=90， ∴ S ABC= ·× × 3 。 AC BC= =3 2．求抛物线的解析式 例4．已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，其对称轴为直线 x=-2 ，顶点为 M，且 S AMB=8，求它的解析式。 解：∵对称轴为直线x=-2, ∴-=-2, ∴ b=4, ∴y=x 2+4x+c, ∵ S AMB ·· | |= · | |=8 ， = ∴c=0, ∴ y=x 2+4x. 例5．设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，若AC=20， ∠ACB=90°， S ACB=150，求二次函数的解析式。
抛物线与图形的面积 直角坐标系中图形面积的方法：割补法，平移等积转化法和相似法等 1.直角坐标系中有点A（-1，0）B（3，0）G（2，-3）P（m，n）（1）若四边形ABGP的面积为S，用含m、n的式子表示S 2.如果直接给出P（m，m2-2m-3），求出S与m的函数关系式，你将用 什么方法整理关系式？ （2）画出直线AG，P在AG下方，若△APG的面积为y,用含m的式子表示y. 2、如图抛物线y= x2-2x-3与x轴交于A、B两点，点G（2，n）是抛物线上点。 （1）点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当△APG的面积最大时，求点P的坐标。
（抛物线与y轴交于点C，）（3）将点P运动到与抛物线与y轴的交点时， 请在抛物线上找一点K，使△AGC的面积与△AGK的面积相等。 法1：在抛物线BG上找一点K（m，m2-2m-3），写出AG的解析式，用（2）的方法在AG上找一点D，求△AGK的面积。使△AGK的面积等于△AGC的面积（当m=0，求△AGC的面积） 法2：①将AG平移，在y轴上找C的平移点求直线解析式求交点。 ②通过将△AGC关于直线AG的轴对的图形△AGH.由45度找C的对称点H，过H作直线AG的平行线。 （4）点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当△APG的面积最大时，求点P的坐标。（通过平行移的方法） 通过平行移的方法，求出直线与抛物线有一个交点时△=0，求出直线的解析式中的b的值。 3抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B，坐标分别为A（4，0）B（-1，0）。 （1）求该抛物线的解析式。 （2）在抛物线上找一点M，使△ABC的面积等于△AGM的面积。 （3）点Q是线段AO上的动点，过点QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。
抛物线与图形面积 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素――边与角。由动点生成的面积问题，是抛物线与直线结合的常见形式。有以下方法：图形割补、等积变形、等比转化。 应当学会这样的一种对待问题的态度，即把问题看做是精密研究的对象，而把解答问题看作是设计和发明的目标。 1．已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，D，点B 是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标； （2）设点M是直线AD上一点，且S△AOM：S△OMD=1：3，求点M的坐标； （3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x 轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m； ①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
二次函数专题训练——抛物线与图形面积 1、抛物线y=x 2 -4x-5交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 面积为 2、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 3、已知二次函数y=x 2 –21x-2 3与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为 . 4、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 5、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 6、已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过(-1，2 5 - )，B(0，-4)，C(4，0)三点，则二次函数解析式是_______，顶点D 的坐标是_______，对称轴方程是_______， =_______ 7、已知二次函数y=-2 1x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积 _______ 9、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-12,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）、求二次函数的解析式； （2）、P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）、P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1 ，求P 点坐标。 10、如图，抛物线8102 +-=ax ax y 经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且 AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
专题——二次函数之面积问题 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6
1、如图，已知抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)过点A (3,?3)和点B (33,0)．过点A 作直线AC //x 轴，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC =3 1S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，已知抛物线交x 轴于A. B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(?1,0)，OC=2，OB=3，点D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有且仅有三个点M 1、M 2、M 3使得△M 1BC 、△M 2BC 、△M 3BC 的面积均为定值S ，求出定值S 及M 1、M 2、M 3这三个点的坐标． 3、如图，抛物线c bx x y ++-=2 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称. （1）求抛物线的解析式； （2）点Q 在y 轴右侧抛物线上运动，当△ACQ 的面积与△ABQ 的面积相等时，请直接写出点Q 的坐标.
抛物线与三角形的面积-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
抛物线与三角形的面积 抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。 这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2y ax bx c =++上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 224 2 3 3 y x x =--+ (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为D 。 求：①△DAB 和△CAB 的面积； ②四边形ABCD 的面积； ③ △ACD 的面积 (4)求直线AC 的解析式； （5）抛物线上有一动点P 在直线AC 上方， 问：是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大，若存在，求出△PAC 的最大面积及P 点坐标； 若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. A B C
练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切 （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少 2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 图1 A B M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B M N 图 3 O
“P+S自能发展教育”数学教学课案 学科：数学年级：九年级备课人：李龙 课题：二次函数与几何综合——面积问题课型：专题课课时数：1课时 教学目标1、掌握常见的面积问题模型及处理方法 2、灵活运用数形结合思想解决相关问题 教学重难点重点：面积问题的转化方法难点：数形结合思想的运用 教学辅工具多媒体、小白板 教学流程师生活动设计意图 课前预 习 一、课前预习，自能感知 1：已知A（-1，0），B（3，0），P（4，2），求PAB S ? ． 2：已知C（1，-3），D（1，1），P（4，2），求PCD S ? ． 3：已知抛物线223 y x x =--与x轴交于A、B两点（A左B右）， P为x轴上方抛物线上一点，若6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式1：若P为抛物线上一点，6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式2：C（m，1），D（n，1）（m 重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三 ——二次函数与面积问题 班级______姓名_______等级________ 题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）． 例1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点． （1）直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标； （2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1,3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标． 图1 图2 练习1. 如图，已知抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点． （1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标，并求出S △ABD ； （2）求出直线BC 的解析式； （3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求P 点坐标． 题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大 例2.如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S△PAC＝S△EAC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式：在抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 抛物线与三角形的面积 抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。 这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2 y ax bx c =++上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 2 24 2 33 y x x =--+ (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D。求：①△DAB和△CAB的面积； ②四边形ABCD的面积； ③△ACD的面积 (4)求直线AC的解析式； （5）抛物线上有一动点P在直线AC上方， 问：是否存在一点P，使△PAC的面积最大，若存在，求出△PAC的最大面积及P点坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线c bx x y+ + - =2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. A B C 练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 作接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 图1 A B M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B M N 图 3 O 2014年二轮复习抛物线之焦点弦面积问题 内容 明细内容 要求层次 了解 理解 掌握 圆锥曲线 椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程 √ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 北京三年高考两年模拟统计 中点弦 垂直角度 弦长面积范围 定点定值 共线比例 其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计 7 8 15 14 5 5 抛物线之对称与比例 高考大纲 自检自查必考点 抛物线2 2y px =与过焦点直线()2 p y k x =- 联立 2()22p y k x y px ? =-? ? ?=? 消去x ，得2()22y p y k p =-，整理得到2022k kp y y p --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122 1210(*)2k p y y k y y p ?=+>? ? +=?? ?=-?V 抛物线焦点弦性质总结 AB 过焦点，Q 为AB 的中点，1122(,),(,)A x y B x y 性质1：''AQ BQ ⊥?以AB 为直径的圆与准线相切于'Q 性质2：''A F B F ⊥ 性质3：'Q F AB ⊥ 性质4：'Q B 垂直平分'B F ，'Q A 垂直平分''A F AQ ?平分'A AF ∠，'BQ 平分'B BF ∠ 性质5：2 'Q F AF BF = 性质6：2 21212,4 p x x y y p ==- 性质7：2 'min Q AB S p =V 性质8：以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切 性质9：'AB 过原点O ，'A B 过原点O 性质10：过A 点作AO 并延长交准线于'B ，则'BB 平行于x 轴 自检自查必考点 B' Q' Q A' F O y x B A F' B' A' F O y B A 中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积 基本题型： AB 为()0≠+=k d kx y :l 与抛物线()02≠++=a c bx ax y 相交，点P 在抛物线上。 （1）已知ABP S ?，求点P 的坐标： 利用斜弦长公式求出 AB ，进而求出AB 边上的高AB h 。设点P 为()c bt at ,t ++2，利用点到直线的距离公式列 出点P 到直线AB 的距离AB l P d -，而AB l P h d AB =-，则可求得点P 的坐标。 （2）如图，若点P 在AB 上方的抛物线上时，求ABP S ?的最大值： 利用斜弦长公式求出AB 。作/l ∥AB l 且与抛物线相切，则切点为所求。 设/ l 为/ d kx y += ()()42---=//d c a k b ?进而可求得ABP S ? 所需知识点： （1）点到直线的距离公式： 已知点()00y ,x P 与直线()0≠+=k b kx y :l ，点P 到直线l 的距离记作l P d -，则有1 2 00++-= -k b y kx d l P 。 （2）弦长公式 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴两交点为()()0021，，， x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a c x x a b x x =?-=+2121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-??? ??-=-+= -= -=44422 212 212 2121。 （3）斜弦长公式： 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 两个交点 ()()2211y x B y x A ，，，，由于1x 、2x 是方程02 =-+-+)n c (x )k b (ax 的两个根， ()()n c a k b /---=42? ()()()()()() () 。 a k x x x x k x x k n kx n kx x x y y x x AB / 2 212 212 2 21 2 2 212212 212211411??+=-++=-+= --++-= -+-= （4）两平行线之间的距离公式： 已知两平行线11b kx y :l +=，与()21220b b ,k ,b kx y :l ≠≠+=，1l 与2l 之间的距离记作d ，则有1 2 21+-= k b b d 。 抛物线上三角形面积 1、如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)c -。 （1）求抛物线的对称轴及k 的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA ＋PC 的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限． ① 当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出 △AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ② 当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？ 求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标． 2、如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； （3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使 S △PAB =8 9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． x C O y A B D 1 3、如图，已知抛物线2 =-++与一直线 y x bx c 相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 抛物线与面积专题复习（学案） 【我的任务】 （1）熟练掌握抛物线中特殊点的坐标求法，体会数形结合、方程等数学思想。 （2）会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。 （3）培养发散思维能力，力求做到一题多解，多题归一。 【自主探究】——求抛物线中常见图形的面积 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 【反思归纳】 （1）一般取在 上的线段为底边。 （2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需将图形 ，即用割或补的 方法把它转化为若干个易于求面积的图形。 （3）解决该问题用到了 等数学思想。 图五 图四 图六 图二 图一 CE AB S ABC ?=?2 1 图三 【尝试应用】——知识整合 2、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐 标；若不存在，请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【反思归纳】——万变不离其宗 同底 高的三角形面积相等，平行线间的距离处处 ；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题. 【拓展提高】——中考真题改编 3、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于 点C.在抛物线上是否存在点N ，使得NBC ABC S S ??=. 【硕果累累】——感受收获的喜悦 通过本节课的复习，我学会了…… 体会到了 的数学思想. 专题3: 二次函数中的面积计算问题 例1. 如图，二次函数 图象与 轴交于A,B两点(A在B的左边)，与 轴交于点C，顶点为M ， 为直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，点 是抛物线上位于 两点之间的一个动点，则 的面积的最大值为（） A． B． C． D． 练习：1、如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 例2.如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S△PAB＝ S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 练习：2、如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 抛物线与图形面积专题精编 【例1】、已知直线42+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线c bx x y ++=22 1-进过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标； （2）设点M 是直线AD 上一点，且3:1:=ΔΔOMD AOM S S ，求点M 的坐标； （3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 点拨： 对于（2），将面积比转化为线段比，因点M 在直线AD 上，等腰△BCP 的底腰不定，故应全面讨论． 【例2】 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 点拨： 对于（2），Q 点必在平行于BC 的直线上，从等积变形切入． 归纳总结： “等（同）底、等（同）高、等面积”这三个论断，以其中任意两个为条件，可推得第三个结论．灵活运用这些关系式，常与中点、平行线、梯形、平行四边形相关联． 面积比转化为线段比，常与相似三角形联系在一起． 【例4】 如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1Δ=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解决下列问题： 如图②，已知抛物线经过A （-4,0）、B （0，-4）、C （2,0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． 图① 图② 点拨与解析： 对于（2），分割图形，或作MD ⊥x 轴交AB 于D ，直接运用抛物线上计算三角形面积的公式． （1）2142 y x x =+-； （2）直线AB 的解析式为：4y x =--， ()()2 242440S m m m m =--=-++-<<，∴当2m =-时，max 4S =． 总结： 例3通过阅读理解创造一类求图形面积的新方法，铅垂高可用动点的横坐标表示，从而把三角形面积与动点的横坐标联系起来．类比迁移，我们可用例3的模型贯通这一类问题． 2012年中考数学抛物线与几何问题 经典集锦 1、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点， 与轴交于点，抛物线经过三点． （1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C(1，)，与x轴交于A、B两点，． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M， PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成 立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． C O x A D P M E B N y 3、(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数 的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO= ，求抛物线F 4、(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱ =a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442 -） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21= ?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 C B A O y x D B A O y x P 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 〖典型例题〗 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??= 2 1，求P 点坐标。 全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；２、顶点式:y =a(x —h ） ２+ｋ;3、交点式:y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ,这里x 1、ｘ ２是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两个 实根。 解函数与几何的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素，数形互动,把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例１】 （浙江杭州）在直角坐标系x Ｏy 中,设点A(0,t ），点Q(ｔ,b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Ｑ;②与ｘ轴相交于B,Ｃ两点（∣O Ｂ∣<∣OC ∣)，连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线Ｆ， OC OB OA ?=2 ?请你作出判断，并说明理由; （2）如果AQ ∥ＢC,且t ａn ∠ＡBO=2 3 ,求抛物线Ｆ 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1)由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、ｂ的方程；(2）讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图，抛物线2 4y x x =+与ｘ轴分别相交于点Ｂ、O,它的顶点为 A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标； (2）以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为ｘ,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】(3)可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时,x<0、 ②当点P 在第四象限是，x ＞0这二种情况。 【例３】(浙江丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（２,4），直线2=x 与x 轴相交于点B ,连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ,顶点M 到A 点时停止移动. (1)求线段OA 所在直线的函数解析式； （2)设抛物线顶点M 的横坐标为m ， ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； (3）当线段PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点Q ,使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐 标；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】(２)构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值;（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市)如图１，在平面直角坐标系中,二次函数 y B O A P M x 2x = 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 解：由题意可知，C （0，-3） ∴OC=3 OA/OC=1/3 ∴OA=1 ∴A （-1，0） 将A 、B 、C 三点坐标代入 G A B C D O x y 图 10 2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA 3、（2010年云南玉溪）如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3） ，△AOB 的面积是3. （1）求点B 的坐标； （2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （4）在（2）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x y A 0 B二次函数与面积专题
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