高二数学1-2章节训练题(3)
[课时达标检测]
一、选择题
1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23
D ．2
解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4
D ．0或－4
解析：选C 易知?????
4－3a ＝a 2
，
－a 2
＝4a ，
解得a ＝－4.
3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1
D ．－1或2
解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.
4．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2
D ．－1
解析：选B 根据复数的分类知，需满足?????
a 2
－3a ＋2＝0，
a －1≠0，
解得?????
a ＝1或a ＝2，
a ≠1，
即a ＝2.
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选A 对①由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；
对②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i ≠0. 二、填空题
6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.
解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有???
??
x ＋y ＝－x －3，
x －2y ＝y －19，解得
?????
x ＝－4，
y ＝5，
所以x ＋y ＝1. 答案：1
7．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.
解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以????
?
log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，
所
以m ＝4.
答案：4
8．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．
解析：由z 1>z 2，
得????
?
2a 2
＋3a ＝0，a 2
＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，
即???
a ＝0或a ＝－32
，
a ＝0或a ＝－1，
a <16.
解得a ＝0. 答案：0 三、解答题
9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2
－2m )i 为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)当?????
m 2
－2m ＝0，
m ≠0，
即m ＝2时，复数z 是实数．
(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数． (3)当
??
?
m 2＋m －6
m ＝0，m 2
－2m ≠0，
即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．
10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
解：∵M ∪P ＝P ，∴M ?P ，
即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
得????? m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，
解得m ＝1；
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，
得?
????
m 2－2m ＝0，m 2
＋m －2＝4，解得m ＝2.
综上可知m ＝1或m ＝2.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈R
D ．a ＞0，b ∈R
解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|
D ．|z 1|＜|z 2|
解析：选D ∵复数不能比较大小，∴A ，B 不正确， 又|z 1|＝
52＋32＝34，|z 2|＝
52＋42＝41，
∴|z 1|＜|z 2|，故C 不正确，D 正确．
3．在复平面内，O 为原点，向量
OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x
的对称点为点B ，则向量
OB 对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点
为B (－2,1)，所以
OB 对应的复数为－2＋i.
4．当2
3＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D 由2
3
???? 3m －2>0，m －1<0， ∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限． 5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆心在原点的圆 C ．圆心不在原点的圆 D ．椭圆 解析：选C 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以? ???? a 2＋2a ＋2xy ＝0， a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆． 二、填空题 6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以1 ＜a 2＋1＜5，故1＜ a 2＋1＜ 5. 答案：(1，5) 7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：9 8．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x － x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i. 根据复数相等的条件，得????? x －x 2＋y 2＝－1， y ＝1. 解得? ???? x ＝0，y ＝1，∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ， 等式两边取模，得|z |＝ (|z |－1)2＋12. 两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1?|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i 三、解答题 9．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上． 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)． (1)由点Z 位于第二象限得? ???? a 2 ＋a －2＜0， a 2 －3a ＋2＞0，解得－2＜a ＜1.故满足条件的实数a 的取 值范围为(－2,1)． (2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1. 10．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线． 解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知 ? ???? x ＝2＋cos θ， y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆． [课时达标检测] 一、选择题 1．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 解析：选C z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限． 2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于() A．1－3i B．－2＋11i C．－2＋i D．5＋5i 解析：选D∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i， ∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i， 又∵f(z)＝z， ∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i. 3．在复平面内的平行四边形ABCD中， AC对应的复数是6＋8i， BD对应的复数是 －4＋6i，则 DA对应的复数是() A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i 解析：选D依据向量的平行四边形法则可得 DA＋ DC＝ DB， DC－ DA＝ AC， 由 AC对应的复数是6＋8i， BD对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得 DA对应的复数是－1－7i. 4．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为() A．2 B．4 C．4 2 D．16 解析：选C由|z－4i|＝|z＋2|得 |x＋(y－4)i|＝|x＋2＋y i|， ∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2， 即x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ＋2y ＝223＝42， 当且仅当x ＝2y ＝3 2 时，2x ＋4y 取得最小值4 2. 5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 解析：选A 设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心． 二、填空题 6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ， ∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴????? x ＋3＝5，2－y ＝－6，即????? x ＝2，y ＝8， ∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ， ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数， ∴????? a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0， 解得a ＝－1. 答案：－1 8．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________． 解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ，∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z |＝ (1＋cos θ)2＋sin 2θ＝ 2(1＋cos θ)≤ 2×2＝2. 答案：2 三、解答题 9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求： (1)向量 AO 对应的复数； (2)向量 CA 对应的复数； (3)向量 OB 对应的复数． 解：(1)因为 AO ＝－ OA ，所以向量 AO 对应的复数为－3－2i. (2)因为 CA ＝ OA － OC ，所以向量 CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为 OB ＝ OA ＋ OC ，所以向量 OB 对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其 中θ∈(0，π)，设 AB 对应的复数是z . (1)求复数z ； (2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝1 2x 上，求θ的值． 解：(1)∵点A ，B 对应的复数分别是 z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ， ∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)， ∴ AB ＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)． ∴ AB 对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i. (2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝1 2x ， 得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝1 4， ∴sin θ＝±1 2 . 又∵θ∈(0，π)∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π 6. [课时达标检测] 一、选择题 1．复数(3i －1)·i 的虚部是( ) A ．－1 B ．－3 C ．3 D ．1 解析：选A (3i －1)·i ＝3i 2－i ＝－3－i ，∴虚部为－1. 2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2 解析：选B 法一：因为z ＝1－i ， 所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i ＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i. 3.若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( ) A ．E B ．F C ．G D ．H 解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其 在复平面上对应的点为H (2，－1)． 4．(安徽高考)设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ， ∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i. 5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 解析：选A ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i ) (1－3i )2 ＝i 1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－ 34－i 4 ， ∴z ·z ＝1 4. 二、填空题 6．若z ＝－1－i 2 时，求z 2 012＋z 102＝________. 解析：z 2 ＝? ????－1－i 22 ＝－i. z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51 ＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3 ＝－1＋i. 答案：－1＋i 7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝5 1－3i ，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝????x 2＋y 5＋????x 2＋2y 5i ， 而5 1－3i ＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 答案：4 8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z － 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________． 解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i z － 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i ，因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.故填1. 答案：1 三、解答题 9．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ， 则有????? a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得????? a ＝－1，b ＝0，或????? a ＝－1， b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. 10．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i . (1)求复数z ； (2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i ) 5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ， 所以????? a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得????? a ＝－3， b ＝4. 阶段质量检测 数系的扩充与复数的引入 （时间90分钟 满分120分） 综合迁移—反馈所学—评估知能—查漏补缺 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(江西高考)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 解析：选C 由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i. 2．复数1－2＋i ＋1 1－2i 的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15 i D ．－15 解析：选B 因为1－2＋i ＋1 1－2i ＝－2－i 4＋1＋1＋2i 1＋4＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－1＋i 5，所以 1－2＋i ＋11－2i 的虚部是1 5. 3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋b i ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴ “ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的必要不充分条件． 4．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2 D ．1 解析：选A ∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ， ∴????? x －1＝0，x ＋1≠0， 得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2. 5．复数z ＝－3＋i 2＋i 的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i 解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ， 所以其共轭复数为z － ＝－1－i. 6．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( ) A ．－2＋3i B ．－3－2i C ．2－3i D ．3－2i 解析：选B 设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得 ????? 2＋(－2)2＝3＋x 2，3＋(－3)2＝2＋y 2， ∴????? x ＝－3， y ＝－2. ∴D (－3，－2)． ∴对应复数为－3－2i. 7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z － 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 解析：选A 因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z － 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0.故z 2＋z － 2的虚部为0. 8．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点位于第二象限，则实数m 的 取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，－2) C ．(－2,0) D ．(3,4) 解析：选D 整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应的点位于第二象限，则 ????? m 2－4m ＜0，m 2－m －6＞0， 解得3＜m ＜4. 9．定义运算??????a b c d ＝ad －bc ，则符合条件???? ? ?1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 解析：选A 由定义知????? ? 1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1 解析：选B 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．在复平面内，若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点位于第三象限，则实数k 的取值范围是________． 解析：由已知得????? －6＋k 2 <0， k 2－4>0，