结合小波理论讲授泛函分析课程
作者：石智， 王军秋， SHI Zhi， WANG Jun-qiu
作者单位：西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055
刊名：
大学数学
英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)：2009，25(4)
被引用次数：0次
参考文献(4条)
1.石智.王军秋泛函分析初步 2005
2.Daube Chies I.李建平.杨万年小波十讲 2004
3.程其襄.张奠宙.闫革兴实变函数与泛函分析基础 1983
4.龚怀云.寿纪麟.王绵森应用泛函分析 1985
相似文献(10条)
1.学位论文康风代小波在图像处理中的模型应用2009
本文对去噪模型理论进行了研究，从概率统计、小波分析和偏微分方程三个方面做了系统概述。小波分析，作为一种新的数学分析工其，足泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展。本文区分和描述了噪声的几种模型(白噪声、高斯噪声、泊松噪声)，去噪方法及其相应算法和实验分析。
2.学位论文侯霁阳快速小波变换算法及其在去噪、分频及地震属性提取中的应用2001
小波分析是在八十年代后期发展起来的一门新的数学分支。在理论上，它根植于泛函分析学，同时又丰富了这门相当抽象的理论的内容，是泛函分析的一个相当成功的“实例”。在应用上，它克服了傅立叶分析的一些弱点，是傅立叶分析的突破性进展。
近年来，小波分析已经广泛应用到各个领域。比如信号处理、图象处理、语音识别、大气湍流、地震勘探等等。而小波分析应用于地球物理勘探始终是其中最活跃的方向之一。
本文详细地讨论了小波分析中的快速小波变换算法，同时阐述了该算法的数学及物理含义。并且利用这种算法进行了去噪以及分频的试算。取得了一定的效果。在此基础上，又着重讨论了这种算法在地震属性提取中的应用，通过纵向滑动时窗实现了纵向属性提取，共提取了四类小波系数属性和三类分频属性。在分频属性中，应用了特别适合于短时窗的最大熵谱分析来提取频域属性。通过实际资料的反演处理，获得了几十种纵向地震属性曲线
，经与井旁道的岩性地质模型对比，优选出了几种与模型相关度较大的属性，制作了井附近目的层段的属性剖面，这几种属性剖面具有很好的一致性
，充分说明了这种方法的正确性与可行性．
3.期刊论文石智.王军秋.SHI Zhi.WANG Jun-qiu泛函分析课程与小波理论结合的教学方法探讨-西安工程科技学院学报2007,21(5)
探讨了泛函分析课程教学中的一些应用问题.阐述了泛函分析在小波理论中的应用.重点说明希尔伯特空间的正交性、伴随算子、投影算子以及依范数收敛、弱*收敛在小波理论中的体现.
4.学位论文刘娟关于Meyer-Konig-Zeller型算子的点态逼近性质2008
函数逼近论是一门历史悠久，内容丰富而且实践性很强的学科，是数学中最蓬勃发展的领域之一.它不仅研究简单函数(多项式函数，线性算子等)的最佳逼近问题，而且还研究其它函数系(无理函数，指数函数，逐段多项式等)的最佳逼近问题，同时，它不仅与代数、泛函分析、调和分析、小波分析等诸研究方向密切相关，而且已成为计算数学、应用数学、科学工程计算机优化理论的基本基础和方法依据.二十世纪五十年代，随着泛函分析在逼近理论研究和应用中影响的日益增大，算子逼近成为逼近论的一个重要研究方向.算子逼近论主要是研究线性算子列的收敛性和收敛速度等有关问题.一些著名的线性算子(Bernstein算子，Baskakov算子以及它们的Durrmeyer变形和Kantorovich变形)逼近的正逆定理、等价定理以及强逆不等式的研究是算子逼近论中重要研究课题，在理论和应用领域都很有意义.鉴于此，本文研究了Meyer-Konig-Zeller型算子的点态逼近性质。
5.学位论文谢异同小波分析方法在地震工程中的应用研究2002
小波分析是在Fourier分析的基础上发展起来的,是泛函分析,调和分析、时-频分析、数值分析、逼近率和广义函数等众多学科知识完美结合的结晶.小波分析方法在地震工程中的应用极大提高了地震反应分析水平.该文将小波分析方法应用于解决地震工程问题的以下三个方面：一、采用二阶和四阶基数B-样条小波模拟地震动加速度过程,并给出其解析表达式.对结构抗震研究来说,通常采用解析分析和试验分析两种手段,二者对结构的输入都需要地震动加速过程.建立地震动加速度过程的解析表达式,给解析分析和试验分析均带来很大方便.二、建立了地震动调整的小波分析方法,该方法可以对任意时段上的频率成分和振幅进行调整,以反映地震动加速度过程的频谱组成随时间的变化,对频谱和振幅进行精细描述.并通过软件实现来检验其效果.该方法为工程设计时输入地震动的选择提供了极大的方便,在一定意义来讲也可视为人造地震波的扩展.三、利用地震动加速度过程的小波模拟,建立了多自由度体系地震反应的精确解法.其解的误差仅来自于对地震动加速度过程模拟的误差,宜于控制和估计.
6.学位论文侯霞小波神经网络若干关键问题研究2006
基于小波神经网络的理论性分析与应用研究是本论文的主要内容。论文以小波神经网络为研究对象，提出了一类新的加权小波基，分析证明了加权小波基的诸多良好特性；对于常见小波神经网络的一致逼近特性、S型函数组合小波神经网络的鲁棒性分析、多模型小波神经网络的故障检测等问题给出了详细的论证；最后，针对歼击机的常见故障问题，分别给出了应用小波神经网络和BP神经网络的故障诊断结果，实现了小波神经网络对飞机系统的故障诊断。
首先，论文提出了一种新的小波合成方法，不是采用常见的Fourier变换，而是利用细分方案和递推平均插值方法构造了一类新的具有加权性质的小波，同时证明了它的常用性质：紧支撑性，光滑性，消失矩，正交性。表明了加权小波系数的衰减性与一般正交小波的系数衰减性相同，但计算复杂度更低。仿真结果显示，当加权函数跳跃性很大时，尺度函数和加权小波具有非常好的光滑性，而且加权小波的逼近收敛率也快于一般常见小波。并用此加权小波基和常见小波在逼近方面进行了对比分析，得到了加权小波具有更快的收敛速度和更准确的逼近能力。
其次，论文利用小波函数的紧支撑和可积性质，结合实变函数和泛函分析中Hilbert 空间，Lebesgue 划分、算子理论和相对紧集的性质特点，从理论上严格论证了小波神经网络的逼近特性，以此来扩充小波神经网络的应用范围，为其实用性提供充分的理论指导，并由仿真实例表明小波神经网络逼
接着对S型函数组合小波神经网络的扰动敏感性和鲁棒性进行了分析讨论，利用概率统计和数理分析的方法，针对弱扰动情形下S型函数组合小波神经网络的鲁棒性能给出了其保持不变的条件，而对敏感扰动下S型函数组合小波神经网络，得到了系统鲁棒度的检验公式。从理论上证明了S型函数组合小波神经网络中隐层小波元数目的增多，会降低小波神经网络系统鲁棒性的结论，以解析的方式验证了小波神经网络隐层神经元数目和网络系统鲁棒性之间很直观的看法假设。
然后讨论了小波神经网络的系统辨识特性，利用稳定性分析的基本方法证明了其逼近非线性函数的估计误差渐近收敛的性质，同时也得到了小波神经网络辨识器参数趋于理想辨识器参数的结论；并将小波神经网络作为系统辨识器，对多模型系统的故障检测问题进行了分析，得到了较好的结果。
最后，对于歼击机的常见故障，用小波神经网络和BP神经网络进行了诊断分析，多组仿真示例验证了小波神经网络进行歼击机故障诊断的可行性及有效性。
7.学位论文李春庚自适应小波的构造及其在信号处理中的应用2007
小波分析是继傅立叶变换之后出现的一种新的信号处理方法。小波变换具有良好的时频局部化性质和多分辨率特性。小波基是可以选择的，因此
，在信号处理中小波基的选择是一个重要问题。
本文介绍了小波理论的产生背景和发展过程，研究了多尺度分析理论、小波基的特性和小波基的构造方法。重点研究了在给定信号的处理中，选择和构造优化小波基的理论和方法，及其对处理结果所起的决定性作用。
现有的选择优化小波基方法是从已经构造出的小波基中，根据一定的判定准则，选出相对好的小波基。这种方法受到现有小波基的限制，是相对的优化方法，通常计算量较大。另一种方法是根据实际信号构造自适应小波基，使小波基和信号相关。
本文在多尺度分析框架下，从带限正交小波的构造方法和特性出发，应用泛函分析理论，证明了带限小波在满足正交性的前提下，根据信号的功率谱可以构造出自适应的尺度函数和小波，使之成为提取该信号特征的优化基。该自适应尺度函数和小波能够自动锁定学习信号最大功率频段，且与该频段的信号具有相似的特征，从而可以高效地提取信号的主要能量成分。本文设计了尺度函数和小波的自适应匹配算法。将该算法应用到雷达信号、正常和病态脑电图信号，以及地震信号等多种实际信号的处理中。实验结果说明，自适应匹配小波信号处理算法能够根据学习信号生成优化的尺度函数和小波，对给定信号进行一次分解和重构便可提取信号中主要能量的频率成分。将自适应的匹配构造算法和二维小波理论融合，构造出了优化的二维尺度函数和小波。在海面溢油合成孔径雷达遥感图像的处理中，能够有效地提取海面溢油区域。一维信号和二维图像的处理都达到了高效实时。
8.学位论文刘生财第二类线性积分方程的Galerkin区间小波解法2008
积分方程是描述物理问题的重要数学工具。在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探等学科中，许多问题的解决可化为解对应的积分方程。常微分方程和偏微分方程的定解问题也可以化为等价的积分方程，解偏微分方程反问题的数值方法，常常导出第一类Fredholm方程。
第二类Fredholm方程是线性非齐次的积分方程。它在理论上已经非常成熟。它的理论对于泛函分析理论起了非常重要的作用。
本文应用Galerkin方法对第二类Fredholm积分方程进行讨论。用Daubechies紧支撑区间小波做基底对待求函数进行逼近。在计算到一定基础上之后，再进行迭代，得到了很好的数值效果，达到10-10以下。这样做不仅精度得到了显著的提高，并且有效地减少了计算量。
本文第一章介绍第二类线性积分方程的理论。首先简要介绍了第二类线性积分方程的基础理论，包括了收敛性和唯一性的证明和特殊的第二类线性积分方程解析解法。然后介绍了第二类线性积分方程的一些经典的数值解法，并对部分解法给出了误差估计。
第二章介绍小波分析方面的理论。先介绍了小波的发展过程，然后介绍小波定义及小波变换。在本章的第三小节介绍了多分辨分析的概念和
Mallat算法。在最后的两章分别介绍了紧支撑小波和区间小波。
第三章为硕士学位论文的主要章节。先给出了本文的基本算法，然后给出一个误差估计，得到用本文提到的方法可以达到线性收敛。最后给了数值例子说明效果非常好。
9.学位论文蔡超基于小波和偏微分方程的图像处理方法与应用2005
图像科学是一门集多学科于一体的交叉学科，与相关学科（特别是数学学科）的基础理论在该学科的成功应用密不可分。在图像处理中，无论是图像模型的建立，图像特征的描述，图像处理算子的设计，还是图像优化处理中的泛函极小化，最终都可归结为一个数学理论问题。特别是近年来，以小波分析(Waveletanalysis）和偏微分方程（Partialderivativeequation,PDE）为代表的数学工具活跃在图像处理的各个研究领域，“图像科学”正在形成，并逐步为人们所接受。该文旨在以小波分析和偏微分方程为主要工具，对底层图像处理中图像恢复、图像分割、边缘提取等问题展开研究，并探讨它们在图像处理中的联合应用问题。小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，已被广泛地应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展。特别是在图像压缩方面，以Shaprio为代表提出的嵌入式零树小波编码方法（Embeddedzerotreewavelet，EZW）获得了巨大成功。以小波变换(Wavelettransforms)为理论基础的图像（视频）压缩算法已经在多个国际图像压缩标准中采用。在图像恢复、特征提取、目标识别等领域，小波分析同样发挥了巨大作用。如何更好地利用小波的特长，发展更有效的图像处理新方法仍然是图像处理领域的一个研究热点。作为论文的一部分，该文重点探讨了小波分析在数字图像处理中的应用问题，包括基于小波分析的磁共振图像恢复；小波域图像平滑；多小波理论及图像特征提取。在磁共振图像恢复方面，利用小波分析了磁共振图像直流伪影的产生机理，提出了一种基于小波分析的伪影消除办法；在分析了小波域图像平滑现有方法基础上，提出了小波变换域双边滤波和基于相位一致性约束的多小波图像去噪新方法；针对图像复合边缘特征提取问题，该论文进一步研究了基于图像复合边缘模型的多小波构造方法。提出了基于零系统定位误差约束的多小波图像边缘特征提取方法。从理论上这种新的边缘检测算子提取复合边缘可以达到任意高的定位精度。实验表明这种新方法对于复合边缘的检测无论从定位精度还是从检测能力上来看都优于Canny算子、Prewitt算子以及Mallat-Zhong提出的单小波边缘检测算子。人们对偏微分方程的研究已经有近300年的历史。早期的偏微分方程问题产生于力学、几何、物理等理论学科和实际工程中。近年来，在生命科学、经济学中也出现了大量的偏微分方程问题。如何把偏微分方程应用到图像处理领域是该文研究的又一重点。从偏微分方程的角度研究数字图像处理的好处在于计算数学有一套丰富的数值计算方法可供使用。事实证明，偏微分方程在图像科学的发展中具有举足轻重的地位。例如，图像的全变差模型（Totalvariationmodel）能够有效地表示一大类图像；热扩散偏微分方程可以从物理现象来模拟图像退化过程，反向热扩散偏微分方程可成功地应用于图像恢复领域；利用水平集（Levelset）函数构造的水平集方程可以较好地实现对运动界面的追踪，已被成功地应用于图像分割。该论文针对图像平滑和图像分割问题进行了深入研究，提出了基于偏微分方程的形态学腐蚀新算子和基于形态学腐蚀新算子的图像边缘检测和异质扩散（Anisotropicdiffusion）新方法；在基于水平集理论的图像分割方法基础上，针对C-V方法图像分割参数难以确定问题，提出了一种基于水平集的图像分割新方法。该方法可实现完全的自动图像分割，并且分割参数易于设置。偏微分方程和小波分析在图像处理领域的结合将为图像科学体系的建立奠定良好基础。目前，偏微分方程和小波分析在理论上的联系还比较薄弱。能否像Fourier分析那样，使小波分析在偏微分方程的求解过程中同样发挥巨大作用仍然是一个有待进一步研究的问题。该论文在对基于小波分析和偏微分方程的图像处理方法分别进行深入研究的基础上，进一步讨论了小波分析和偏微分方程在图像处理中结合应用问题。通过小波分析和偏微分方程的结合，提出了一种多分辨率水平集图像分割方法；同时，进一步从理论上探讨了基于小波的偏微分方程数值均质化问题及热子（Heatlets）分解理论。论文最后给出了全文总结和下一步工作的展望。
10.期刊论文王公宝.马伟明.吴旭升连续小波变换及小波框架算子的一些性质-应用泛函分析学报2003,5(1)
以泛函分析的观点来考察连续小波变换及小波框架算子,得到了它们的一些性质,并给出了严格证明,弥补了有关文献中的不足.
本文链接：https://www.doczj.com/doc/e118784390.html,/Periodical_dxsx200904040.aspx
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下载时间：2011年1月2日