悬链线方程的推导过程
悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：
y = a*cosh(x/a)
其中 a 是一个常数。
最低点处受水平向左的拉力H ，右悬
挂点处受一个斜向上的拉力T ，设T 和水
平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,
受力分析有：
Tsin Tcos θθ=mg,=H
并且对于绳上任意一点有
tan θ=dy/dx=mg/H ，ρmg=s
其中s 是右半段绳子的长度, ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程
ρdy/dx=s/H
利用弧长公式
所以有，实际上就是弧长积分公式：
s=
所以把s 带入微分方程得
ρdy/dx=dx/H （1）
对于(1)设p =dy/dx 并做微分处理可得： ρ=dp p'=
/H 1+p^2dx
（2） 对（2）分离常量求积分 ρ=?1
/Hdx
（3）
得：ln(p x ρ=/H+C
边界条件：x=0，dy/dx=0，代入后可得C 0=，整理后为：
ln(p x ρ=/H （4）
由
))p p x
ρ==-=/H （5） 即得x x ρρ????p=e^(/H)-e^(-/H)/2=dy/dx （6）
x x ρρρ????y=p=H/2e^(/H)+e^(-/H) （7）
如果令ρa=H/的话，则有
/(2)cosh(/)x a x a a a x a =????y=p=e^(/)+e^(-/)
（8） 即为双曲函数。
悬链线方程的推导 一根无比柔软的绳子，两固定，自然静止状态下，它的形状是悬链线。其实曲线是以绳子命名的。如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢用高等数学所学的知识就够了。 第一步：背景知识 ㈠我们熟悉如何将)2sin(π α?+n 转化成余弦的形式，口诀是奇变偶不变，符号看象限。 现在扩展一下，研究正切、余切，正割、余割的转化口诀。 tanx cotx 转换：奇变号变偶不变。也就是说，n 为奇数时，要转化成相反形式，且要补一个负号，n 为偶数时就不用变了。 secx cscx 转换：奇变偶不变，符号看象限。我正弦、余弦非常相似。 ㈡不定积分 C x x C x x x x d x dx xdx C x x C x x x d x x d x x x dx x dx xdx ++=++-+=++==+-=+=====????????tan sec ln )2cot()2csc(ln )2 sin()2(cos sec cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan 2tan 22sec 2 cos 2sin 2sin csc 2 ππππ
求?+22a x dx ，令t a x tan =，2 2π π<<-t a C C C a x x C a x a a x C t t tdt a t a tdt a ln )ln(ln tan sec ln sec tan sec 11 2 22 22222-=+++=+++=++==+=?? ㈢ 双曲余弦 chx e e y x x =+=-2 双曲正弦 shx e e y x x =-=-2 反双曲余弦 x>0时，archy y y x =-+=)1ln(2； 反双曲正弦 arshy y y x =++=)1ln(2； 求导：shx chx chx shx ='=')()( 第二步：微分方程
根据流体运动方程P F dt V d ??+=ρ1 上式两端同时乘以速度矢量 ()V P V F V dt d ???+?=???? ??ρ 1 22 右端第二项展开—— () ()V P V P V F V dt d ???-???+?=???? ? ?ρρ1122 利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=??? ? ?? ρρ1 22 右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加 热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程 ()() dt dq V P div V F V T c dt d +?+?=+ ρυ12/2 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=???? ? ? ρρ122 得到 ()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d -+=++-= ρ ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d dt dq ρυ+= 这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。 由动能方程推导伯努利方程： 对于理想流体，动能方程简化为：() V div p V P div V F V dt d ρρ+?+?=??? ? ??122无热流量项。 又因为() V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -??-=??? ???++-=???????)()()(故最终理想流体的动能方 程可以写成： p V V F V dt d ??-?=???? ? ?ρ 22 【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不 发生任何转换。】 假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-?=F 考虑Φ为一定常场，则有： dt d V V F Φ- =Φ??-=?
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定： （1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 （2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5 导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它与
导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL
x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6 导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D 的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11）
1．查理消费苹果和香蕉。他的效用函数是2),(xy y x U =，其中 x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。 2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ?=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。 1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为： x p m x ?=31，y p m y ?=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。 设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则 20)21(1030)(),(=-?+=-'?+='y y y p p m p y m m 因此， 替代效应3 1023032120323232),(),(=?-?=?-''?=-''=?y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=?-?=''?-'?= ''-'=?y y y y m p m p m m p y m p y y 。 2．解：由效用函数为Y X U ?=，可得需求函数为： X P M X ?=21，Y P M Y ?=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021???= ?=。 希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：
Y Y P M M P '??'?=???2112110021210021 解得5.70250≈='M 因此， 希克斯替代效应 25.102 1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=?-?=-=-''=X X M P X M P X X X 希克斯收入效应 75.141 5.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=?-?=-=''-'=X X M P X M P X X X 习题：补偿变化和等价变化 卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。 由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。请计算$A 、$B 分别是多少？ 解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定： （1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 （2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它
与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11）
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。 对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2 假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0tan wL T θ=，而tan dy dx θ=，对该式取微分，则有()() 00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds =1 ）分离变量后并积分： 0 tan d w dx T =?（2） 对式（2）积分后得到： 10tan w sh x c T θ??=+ ???（3） 对式（3）再次分离变量后，得 10w dy sh x c dx T ??=+ ??? （4） 并积分， 10w y sh x c dx T ??=+ ????（5） 查积分公式可得： 0120T w y ch x c c w T ??=++ ??? （6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。
假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则 对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w =,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ??=- ??? （7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。 而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。0,0,tan wL x y T θ=== ，代入式（3）,（6）可解得： 002cosh sinh wL T a T c w ?????? ?????=（8） 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。 L 为悬链线长度，在y 已知的情况下，根据式（7）可求出x 值，并对曲线积分，即可求出悬链线长度L 。 2 带悬锤的悬链线方程 有悬锤的悬链线，受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是1c 和2c 不同而已。 从图3可以看出，以悬锤点为界，上段悬链线中的竖向力多了悬锤重C G 和2L ，水平力均相同，悬锤以下段，悬链线与一般悬链线相同。 图 3 带悬锤的悬链线受力图 悬挂点处初始值：0,0x y ==，且 ()120 tan C w L L G T θ++=（9） 式中；C G 为悬锤水下重力，实际重力应作换算。
第八节伯努利方程 ●本节教材分析 本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． ●教学目标 一、知识目标 1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动． 2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的． 二、能力目标 学会用伯努利方程来解释现象． 三、德育目标 通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想. ●教学重点 1.伯努利方程的推导. 2.用伯努利方程来解释现象． ●教学难点 用伯努利方程来解释现象． ●教学方法 实验演示法、归纳法、阅读法、电教法 ●教学用具 投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸 ●教学过程 用投影片出示本节课的学习目标： 1.知道什么是理想气体. 2.知道什么是流体的定常流动. 3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象． 学习目标完成过程： 一、导入新课 1.用多媒体介绍实验装置 把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间 2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象? 学生猜想： ①乒乓球会被吹跑； ②两张纸会被吹得分开． 3.实际演示： ①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会贴在漏斗上
不掉下来； ②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近 4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 二、新课教学 1.理想流体 (1)用投影片出示思考题： ①什么是流体? ②什么是理想流体? ③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗? (2)学生阅读课文，并解答思考题： (3)教师总结并板书 ①流体指液体和气体； ②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的． a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的． b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为气体是不可压缩的． ③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性． b:不同的流体，粘滞性不同． c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性． ④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机械能向内能的转化． 2 定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动． (4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动． (5)学生阅读课文，并回答下列思考题： ①流线是为了表示什么而引入的? ②在定常流动中，流线用来表示什么? ③通过流线图如何判断流速的大小? (6)学生答： ①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线； ②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹； ③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大． 3.伯努利方程 (1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动 方向从左向右，我们在管的a１处和a2处用横截面截出一段流 体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。 对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2 假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0 tan wL T θ=，而tan dy dx θ=，对该式取微分，则 有()() 00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds =1 ）分离变量后并积分： 0 tan d w dx T θ=?（2） 对式（2）积分后得到： ()110 tan w sh x c T θ-=+ 10tan w sh x c T θ??=+ ??? （3） 10tan dy w sh x c dx T θ??==+ ??? 对式（3）再次分离变量后，得 10w dy sh x c dx T ??=+ ??? （4） 并积分， 10w y sh x c dx T ??=+ ? ?? ?（5） 查积分公式可得：
0120T w y ch x c c w T ??=++ ??? （6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。 假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则 对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w =,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ??=- ??? （7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。 而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。0,0,tan wL x y T θ=== ，代入式（3）,（6）可解得： 001sinh wL T a T c w ?? ???= 002cosh sinh wL T a T c w ?????? ?????=（8） 0000000cosh sinh sinh wL wL T a T a T T T w y ch x w T w w ?????????????? ??? ???????????=--????????????? ??? 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。 L 为悬链线长度，在y 已知的情况下，根据式（7）可求出x 值，并对曲线积分，即可求出悬链线长度L 。 2 带悬锤的悬链线方程 有悬锤的悬链线，受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是1c 和2c 不同而已。 从图3可以看出，以悬锤点为界，上段悬链线中的竖向力多了悬锤重C G 和2L ，水平力均相同，悬锤以下段，悬链线与一般悬链线相同。 图
伯努利方程的推导及其实际应用总结 楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0 一，伯努利方程的推导 1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。 既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。 假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实： 1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2 2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知） 3：细管中相应液体的机械能发生了变化。 事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间
第二章导线应力弧垂分析 第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D 点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11） 再进行分离变量积分，有 于是，导线任一点D的纵坐标为： （2－12） 式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：x=0, dy/dx=tgα=0 代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝0 代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为： （2－13） 式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可
CH 8 斯勒茨基方程 价格变化，引起的需求变化，可分解成“替代效应”、“收入效应”。 111s n x x x =+ 11111(',')(,)s x x p m x p m ?=- 11111(',)(',')m x x p m x p m ?=- ※ 一、替代效应(substitution effect) 1．替代效应：购买力不变，相对价格变化→需求变化。 11111(',')(,)s x x p m x p m ?=- 2．替代效应的符号：除完全互补偏好，“负”（包括凹偏好） = 替代效应引起的需求变动与价格变动反向。 3．例子？：已知：牛奶主每周生产牛奶40夸脱，最初收入=120美元，p 1=3。牛奶的需求函数： 。 问：（1）求牛奶的需求。 （2）牛奶价格变为2美元，需求？ （3）牛奶价格变为2美元，维持牛奶需求量14，货币收入？ （4）替代效应？ 解：（1）收入=120美元， 牛奶主对牛奶需求：x1＝14， （2）收入=120美元， 需求＝16。 （3）⊿m=x1⊿p1=14（2-3）=-14 ∴m ’= m+⊿m=120-14=106 （4）x1（p ’1 ，m ’） =15.3 替代效应= x （2，106）- x （3，120） = 15.3 - 14=1.3 二、收入效应(income effect) 1．收入效应：新相对价格不变，实际购买力/实际收入变化→需求量变化。 11111(',)(',')m x x p m x p m ?=- 2．收入效应的符号 正常商品：收入效应为负—— 价格与收入反向，收入与需求量同向——价格与需求量反向。 低档商品：收入效应为正—— 价格与收入反向，收入与需求量反向——价格与需求量同向。 3、例子：如上例 0.7。 三、正常、※ 1、正常商品价格变动效应：111s n x x x =+ (-) (-) (-) 正常商品，需求总变动——负——价格与需求反向——正常方向。
伯努利方程 伯努利方程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。 (动能定理) 1、理想液体的运动微分方程 在微小流束上，取截面积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重力场中沿流线运动时其力的平衡关系。 微元体的所受的重力为-ρgdAds，压力作用在两端面上的力为 微元体在定常流动下的加速度为 微元体的力平衡方程为 上式简化后可得
p，z，u只是s的函数，进一步简化得 上式即为重力场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。 2、理想液体的伯努利方程 沿流线对欧拉运动方程积分得 上式两边同除以g 得 以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利方程。 伯努利方程推导简图 物理意义： 第一项为单位重量液体的压力能称为比压能（p/ρg ）； 第二项为单位重量液体的动能称为比动能（u2/2g ）；
第三项为单位重量液体的位能称为比位能（z）。 由于上述三种能量都具有长度单位，故又分别称为压力水头、速度水头和位置水头。三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总水头）为一定值。 3．实际液体流束的伯努利方程 实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻力，这必然要消耗能量，设因粘性二消耗的能量为hw'，则实际液体微小流束的伯努利方程为 4．实际液体总流的伯努利方程 将微小流束扩大到总流，由于在通流截面上速度u是一个变量，若用平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数。于是实际液体总流的伯努利方程为 式中hw---由液体粘性引起的能量损失； α1，α2---动能修正系数，一般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。 5．伯努利方程应用举例
通常任何材料包括导线在内,都具有一定的刚性,但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长,因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小,故在计算中假定: (1)导线为理想的柔索。因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 (2)作用在导线上的荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1、悬链线方程 为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上,导线悬在空中的曲线形态,从数学角度用什么方程来描述就是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态,而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示,给出了悬挂于A、B两点间的一档导线,假定为悬挂点等高的孤立档,设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面,可随导线一起摆动,显然这就是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析,可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析OD段导线的受力关系,由图2－5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σx S,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为T0=σ0S,T0为导线O点的切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外
还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x, 其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示,如图2－6所示, 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力的代数与分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数与分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力与张力,σx、T x为导线任一点的应力与张力,S、g为导线截面与比载。将上述二式相比,则可求得导线任意一点D的斜率为: (2-10) 由微分学知识可知,曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式(2－10)就是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律,还需要将不定量 L x消去,因此,将式对x微分得: (微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2)将上式移项整理后,两端进行积分 这就是个隐函数,因此,再进行分离变量积分,查积分公式有: (2－11) 再进行分离变量积分,有
悬链线科技名词定义 中文名称：悬链线 英文名称：catenary 定义：两端悬挂的理想柔性软索的曲线。工程计算中，可近似用抛物线计算。应用学科：电力（一级学科）；输电线路（二级学科） 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 目录 悬链线 等高悬链线数学表达式的证明 工程中的应用 悬链线 悬链线(Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a) 其中a 是一个常数。 等高悬链线数学表达式的证明 注释 如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T 和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB 绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx; 所以把s 带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1) 对于(1)设p=dy/dx微分处理得p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2) p'=dp/dx; 对（2）分离常量求积分∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx 得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解：（ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）；p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）；(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)；y=ch (ρx/H)* H / ρ（y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）；令a=H/ρ：y=a*cosh (x/a) (y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。 工程中的应用 悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理。在工程中有一种应用，a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：悬链线公式 悬链线图像
- 1 - 第3章 能量方程（伯努利方程）实验 3.1 实验目的 1) 掌握用测压管测量流体静压强的技能。 2) 验证不可压缩流体静力学基本方程， 通过对诸多流体静力学现象的实验分析，进一步加深对基本概念的理解，提高解决静力学实际问题的能力。 3) 掌握流速、流量等动水力学水力要素的实验量测技能。 3.2 实验装置 能量方程（伯努利方程）实验装置见图3.1。 图3.1 能量方程（伯努利方程）实验装置图 说明：本实验装置由供水水箱及恒压水箱、实验管道（共有三种不同内径的管道）、测压计、实验台等组成，流体在管道内流动时通过分布在实验管道各处的7根皮托管测压管测量总水头或12根普通测压管测量测压管水头，其中测点1、6、8、12、14、16和18均为皮托管测压管（示意图见 图3.2），用于测量皮托管探头对准点的总水头H ’（=2g u 2 ++r p Z ），其余为普通测压管（示意图 见图3.3），用于测量测压管水头。
- 2 - 图3.2 安装在管道中的皮托管测压管示意图 图3.3安装在管道中的普通测压管示意图 3.3 实验原理 当流量调节阀旋到一定位置后，实验管道内的水流以恒定流速流动，在实验管道中沿管内水流方向取n 个过水断面，从进口断面（1）至另一个断面（i ）的能量方程式为： 2g v 2111++r p Z =f i i h r p Z +++2g v 2 i =常数 （3.1） 式中：i=2，3，······ ，n ； Z ──位置水头； r p ──压强水头； 2g v 2 ──速度水头； f h ──进口断面（1）至另一个断面（i ）的损失水头。 从测压计中读出各断面的测压管水头（r p Z + ），通过体积时间法或重量时间法测出管道流量，计算不同管道内径时过水断面平均速度v 及速度水头2g v 2 ，从而得到各断面的测压管水头和总水头。 3.4 实验方法与步骤 1) 观察实验管道上分布的19根测压管，哪些是普通测压管，哪些是皮托管测压管。观察管道内径的大小，并记录各测点管径至表3.1。 2) 打开供水水箱开关，当实验管道充满水时反复开或关流量调节阀，排除管内气体或测压管内的气泡，并观察流量调节阀全部关闭时所有测压管水面是否平齐（水箱溢流时）。如不平，则用吸气球将测压管中气泡排出或检查连通管内是否有异物堵塞。确保所有测压管水面平齐后才能进行实验，否则实验数据不准确。 3) 打开流量调节阀并观察测压管液面变化，当最后一根测压管液面下降幅度超过50%时停止调节阀门。待测压管液面保持不变后，观察皮托管测点1、6、8、12、14、16和18的读数（即总水头，取标尺零点为基准面，下同）变化趋势：沿管道流动方向，总水头只降不升。而普通测压管2、3、4、5、7、9、10、11、13、15、17、19的读数（即测压管水头）沿程可升可降。观察直管均匀流同一断面上两个测点2、3测压管水头是否相同？验证均匀流断面上静水压强按动水压强规律分布。弯管急变流断面上两个测点10、11测压管水头是否相同？分析急变流断面是否满足能力方程应用条件？记录测压管液面读数，并测记实验流量至表3.2、表3.3。 4) 继续增大流量，待流量稳定后测记第二组数据（普通测压管液面读数和测记实验流量）。 5) 重复第4步骤，测记第三组数据，要求19号测压管液面接近标尺零点。 6) 实验结束。关闭水箱开关，使实验管道水流逐渐排出。 7) 根据表3.1和表3.2数据计算各管道断面速度水头2g v 2和总水头(2g v 2 ++r p Z ) （分别记录于表3.4和表3.5）。
第8章 斯勒茨基方程 某种商品价格的上升可能会产生两方面的影响：一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更了，这会导致消费者减少对该商品的消费量，而增加对该商品替代品的消费量；另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）下降，这也会导致该消费者减少（或增加）对商品的消费量。前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应。斯勒茨基方程(Slusky equation)的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中有多少是替代效应所导致，而又有多少是收入效应所导致的。 一、替代效应(substitution effect) 1．含义 在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。 2．替代效应的图示： x 2 m/p m ’/p 2 x 1 图8－1 替代效应和收入效应 一种商品的价格变动后，在新的相对价格水平下，消费者的实际收入刚好能够支付得起价格变动之前的那个均衡商品束，这种情况即为Slusky equation 中的购买力不变，即消费者购买力在价格变动前或价格变动后是一样的。 3．替代效应的计算： （1）调整货币收入以保持实际购买力不变 初始均衡点：价格水平为),(21p p ，均衡商品束为),(21x x ，支付的货币为:
价格变动后：价格水平为),(2'1p p ，均衡商品束为)','(21x x 要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为： 2111''x p x p m += （8.2） 则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为式（8.1）－式（8.2）： ⊿1211)'('x p p x m m m =-=-=⊿1p （8.3） （2）计算替代效应 ⊿),,()',,'(2112111m p p x m p p x x s -= （8.4） 二、收入效应(income effect) 1．含义 在新的相对价格水平下（21'p p ），仅仅由于实际购买力（或实际收入）的变化而导致的消费者需求量的变动量。 2．收入效应的图示（参见图8-2） 3．收入效应的计算： ⊿)',,'(),,'(2112111m p p x m p p x x n -= （8.5） 三、价格变动的总效应（需求的总变动） 1．斯勒茨基方程（斯勒茨基恒等式） ⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1 ＝),,(),,'(211211m p p x m p p x - ＝)],,()',,'([211211m p p x m p p x -－)],,'()',,'([211211m p p x m p p x -（8.6） 2. 不同类型商品的价格变动的效应分析 （1）正常商品价格变动（下降）的效应