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传热学 第4章-导热问题的数值解法

传热学 第4章-导热问题的数值解法
传热学 第4章-导热问题的数值解法

第四章 导热问题的数值解法

1、重点内容: ① 掌握导热问题数值解法的基本思路;

② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2、掌握内容:数值解法的实质。

3、了解内容:了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述3可知,求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解,从而获得分析解。但是,对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题,从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展,对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速,并得到广泛应用,并形成为传热学的一个分支——计算传热学(数值传热学),这些数值解法主要有以下几种:

(1) 有限差分法 (2)有限元方法 (3)边界元方法

数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题,特别是分析解方法无法解决的问题。如:几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 分析解法与数值解法的异同点:

1、 相同点:根本目的是相同的,即确定① t=f(x ,y ,z);② ),,,(τz y x g Q =。

2、 不同点:数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场;分析解法求解的是连续的温度场的分布特征,而不是分散点的数值。

§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立

一、 解法的基本概念

1、 实质

对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2、基本思路:数值解法的求解过程可用框图4-1表示。 由此可见:

1)物理模型简化成数学模型是基础; 2)建立节点离散方程是关键;

3)一般情况微分方程中,某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

二、 数值求解的步骤

如图4-2(a ),二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下: 1、 建立控制方程及定解条件

控制方程:是指描写物理问题的微分方程

针对图示的导热问题,它的控制方程(即导热微分方程)为:

02222=??+??y

t

x t (a ) 边界条件:x=0时,0t t =

x=H 时,]),([22t y H t h x

t

H x -=??-=λ

当y=0时,])0,([10

f y t x t h y t

-=??-=λ

当y=W 时,]),([3f W y t W x t h y

t

-=??-=λ

2、 区域离散化(确立节点)

用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域,用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置,称为节点(结点),节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ,n 表示。

相邻两节点间的距离称步长。△x, △y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点代表的小区域称为元体(又叫控制容积),如图4-2(b)。

3、 建立节点物理量的代数方程(离散方程)

节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下:

1) 首先划分各节点的类型; 2) 其次,建立节点离散方程; 3) 最后,代数方程组的形成。 对节点(m,n)的代数方程,当△x=△y 时,有:

()1,1,,1,1,4

1

-+-++++=

n m n m n m n m n m t t t t t (b ) 4、 设立迭代初场

代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法,传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时,需对被求的温度场预先

设定一个解,这个解称为初场,并在求解过程中不断改进。 5、 求解代数方程组

求解时遇到的问题:①线性;②非线性;③收敛性等。 如图4-2(b ),除m=1的左边界上各节点的温度已知外,其余(M-1)N 个节点均需建立离散

方程,共有(M-1)N 个方程,则构成一个封闭的代数方程组。

1)线性代数方程组:代数方程一经建立,其中各项系数在整个求解过程中不再变化; 2)非线性代数方程组:代数方程一经建立,其中各项系数在整个求解过程中不断更新。 3)是否收敛判断:是指用迭代法求解代数方程是否收敛,即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。

关于变物性(物性为温度的函数)导热问题,建立的离散方程,四个邻点温度的系数不是常数,而是温度的函数。在迭代计算时,这些系数应不断更新,这是非线性问题。 6、 解的分析

通过求解代数方程,获得物体中的温度分布,根据温度场应进一步计算通过的热流量,热应力及热变形等。因此,对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析,以获得定性或定量上的结论。

三、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法

1、基本概念

1) 内节点:位于计算区域内部的节点,称内节点;

2) 差分格式:差商中的差分可以用向前、向后、中心差分表示的格式称差分格式。 2、基本方法

方法:①泰勒级数展开法;②热平衡法,以下分述之。 1)泰勒级数展开法

如图4-3所示,以节点(m,n)处的二阶偏导数为例,对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式: 对(m+1,n):

+???+???+???+???+=+444333,222,,,12462x

t

x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m (a ) 对(m-1,n ):

+???+???-???+???-=-444333,222,,,12462x

t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m (b ) (a )+(b )得:

+???+???+=+-+444,22

2,,1,1122x t x x

t x t t t n m n m n m n m 变形为

n

m x

t ,22??的表示式得:

n m x

t

,22??)(0222

,1,,1x x t t t n

m n m n m ?+?+-=-+

上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n

m x

t ,22?? 的严

格表达式,其中:

)(02x ?―― 称截断误差,误差量级为2x ?,即表示未明确写出的级数余项中 x ?的最低阶数

为2。

在数值计算时,用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可,则相应的略去)(02x ?。于是得:

n

m t x t

,2

2??2

,1,,12x

t t t n

m n m n m ?+-=

-+ (4-1a )

同理:

2

1

,,1,,2

22y

t t t y t n m n m n m n m ?+-=

??-+ (4-1b )

根据导热问题的控制方程(导热微分方程)02222=??+??y

t

x t 得:

2

,1,,12x

t t t n

m n m n m ?+--+022

1

,,1,=?+-+

-+y

t t t n m n m n m (4-2)

若△x=△y 则有:

)(4

1

1,1,,1,1,-+-++++=

n m n m n m n m n m t t t t t 2) 平衡法:

其本质是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。对每个元体,可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表达式。如图4-3所示,元体在垂直纸面方向取单位长度,通过元体界面(w,e,n,s)所传导的热流量可以对有关的两个节点根据傅里叶定律写出: 从节点(m-1,n)通过界面w 传导到节点(m,n)的热流量:

x

t t y n

m n m w ?-?=Φ-,,1λ (a )

同理:通过界面e,n,s 传导给节点(m,n )的热流量:

x

t t y

n

m n m e ?-?=Φ+,,1λ (b )

y t t x

n

m n m n ?-?=Φ+,1,λ (c )

y

t t x

n

m n m s ?-?=Φ-,1,λ (d )

对元体(m,n).根据能量守恒定律可知:

0=Φ+Φ+Φ+Φs n e w (4-3)

其中,规定:导入元体(m,n )的热流量为正;

导出元体(m,n )的热流量为负。

说明:① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的;

② 热平衡法概念清晰,过程简捷; ③ 热平衡法与§2—2建立微分方程的思路与过程一致,但不同的是前者是有限大小的元体,后者是微元体。

§4—2 稳态导热边界节点离散方程的建立及代数方程的求解

(1) 对于第一类边界条件的导热问题,所有内节点的离散方程组成一个封闭的代数方程组,

即可求解;

(2) 第二类或第三类边界条件的导热问题,所有内节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的,因未知边界温度,因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方程,才能使方程组封闭,以便求解。

一、用热平衡法导出典型边界点上的离散方程

假设物体具有内热源 ?

Φ (不必均匀分布),而且边界上有向该元体传递的热流密度w q :

1、位于平直边界上的节点

如图所示4-4边界节点(m,n)只能代表半个元体,若边界上有向该元体传递的热流密度为w q ,据能量守恒定律对该元体有:

y x t t n

m n m ??--,,1λ

2,1,x y t t n m n m ???-++λ2

,1,x y t t n m n m ??

?-+-λ02,=?+Φ??+?

w n m yq y x (4-4a )

若y x ?=?时,则:

)22(41

,2

,1,1,1,λ

λφw n m n m n m n m n m xq x t t t t ?+?+++=?

-+- (4-4b )

2、外部角点

如图4-5所示,二维墙角计算区域中,该节点外角点仅代表1/4个以y x ??,为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为w q ,则据能量守恒定律得其热平衡式为:

2,,1y x t t n m n m ???--λ2

,1,x y t t n m n m ??

?-+-λ024,=?+?+Φ??+?w n m q y

x y x (4-5a ) 若y x ?=?时,则:

)22(21

,2

1,,1,λ

λφw n m n m n m n m xq x t t t ?+?++=?

-- (4-5b )

3、内部角点:

如图4-5所示内部角点代表了3/4个以y x ??,为边界长的元体。 同理得:

y x

t t n

m n m ??--,,1λ

x y t t n

m n m ???-++,1,λ

2,1,x

y t t n m n m ??

?-+-λ2,,1y x t t n m n m ???-++λ02

43,=?+?+Φ??+?w n m q y

x y x (4-6a)

y x ?=?时,则:

)22322(61

,2

,11,1,,1,λ

λw n m n m n m n m n m n m xq x t t t t t ?+Φ?++++=

?

+-+- (4-6b ) 4、讨论有关w q 的三种情况: 1)若是绝热边界

则0=w q ,即令上式0=w q 即可。 2)若0≠w q 时

流入元体,w q 取正,流出元体,w q 取负使用上述公式。

3)若属对流边界

则:)(,n m f w t t h q -=,将w q 代入上式即可。

y x ?=?时,则:

对于平直边界:

f n m n m n m n m n m t x

h x t t t t x

h λ

λλ

?+Φ?+++=+??-+-22)2(

2,21,1,,1, (4-7)

对外角点:

f n m n m n m n m t x h x t t t x

h λλλ?+Φ?++=+??--22)1(2,21,,1, (4-8)

对内角点:

f n m n m n m n m n m n m t x

h x t t t t t x

h λφλλ?+?++++=+??-++-22322)3(2,21,,11,,1,(4-9)

其中,

λ

x

h ?无量纲数是以网格步长x ?为特征长度的毕渥数,即为?Bi 。

二、代数方程的求解方法

1、直接解法:通过有限次运算获得精确解的方法,如:矩阵求解,高斯消元法。

2、迭代法:先对要计算的场作出假设(设定初场),在迭代计算中不断予以改进,直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法,称迭代计算收敛。目前应用较多的是: 1)高斯——赛德尔迭代法:每次迭代计算,均是使用节点温度的最新值。 2)用雅可比迭代法:每次迭代计算,均用上一次迭代计算出的值。

设有一三元方程组:

1313212111b t a t a t a =++ 2323222121b t a t a t a =++ 3333232131b t a t a t a =++

其中j i a , (i=1,2,3;j=1,2,3)及)3,2,1(=i b i 均不为零。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤: (1)将三元方程变形为迭式方程:

)(1

313212111

1t a t a b a t --=

)(1

323121222

2t a t a b a t --=

)(1

232131333

3t a t a b a t --=

(2)假设一组解(迭代初场),记为:)

0(3

)

0(2)

0(1t t t 、、,并代入迭代方程求得第一次解

)1(3)1(2)1(1t t t 、、,同理求得改进值)(3)(2)(1k k k t t t 、、,(注:再次计算应该用新值)如:

)(1

)0(313)0(212111

)1(1t a t a b a t --= )(1

)0(323)1(121222

)1(2t a t a b a t --= )(1

)1(232)1(131333

)0(3t a t a b a t --=

(3)以新的初场)

1(3)

1(2)

1(1,,t t t 重复计算,直到相邻两次迭代值之差小于允许值,则称迭代收敛,

计算终止。

三、判断迭代收敛的准则

1、ε≤-+)1()

(max k i k i

t t

2、ε≤-+)

()

1()(max

k i k i k i t t t 3、ε≤-+)

(max

)

1()(max k k i k i t t t 其中上角标k,k+1 表示迭代次数,)

(max

k t 为第k 次迭代计算所的计算区域中的最大值。若

计算区域中有t→0时,应采用3判断之。

说明: 1)对于一个代数方程组,若选用的迭代方式不合适,有可能导致发散,即称迭代过程发散;

2)对于常物性导热问题,组成的差分方程组,迭代公式的选择应使一个迭代变量的

系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和,此时,结果一定收敛。

这一条件数学上称主对角线占优(对角占优);

111

13

12≤+a a a ,

122

23

21≤+a a a ,

133

32

31≤+a a a

3)采用热平衡法导出差分方程时,若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量,则上述条件必满足,迭代一定收敛。

§4—3 非稳态导热问题的数值解法

由前可知:非稳态导热和稳态导热二者微分方程的区别在于控制方程中多了一个非稳态项,

其中扩散项的离散方法与稳态导热一样。

本节重点讨论:(1)非稳态项离散的方法;

(2)扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响。

一、一维非稳态导热时间——空间区域的离散化

1、基本概念

如图4-8所示,x 为空间坐标,τ为时间坐标。

1)时间步长τ?:指从一个时间层到下一个时间层的间隔τ?。

2)节点(n, i )——表示空间网格线与时间网格线的交点,即表示了时间——空间区域中一个

节点的位置,相应的记为:)

(i n t 。

2、非稳态项的离散

非稳态项的离散有三种不同的格式: 1)向前差分 2)向后差分 3)中心差分 1)向前差分

将函数t 在节点(n,i+1)对点(n,i )作泰勒展开,则有:

+???+

???+=+i

n i n i n

i n

t t t

t

,2

22,)()1(2τττ

τ

)(0)()1(,ττ

τ

?+?-=

??+i n

i n i n t t t 其中0(τ?)截断误差表示余项中τ?的最低阶为一次。

由上式得:函数t 在节点(n,i+1)对点(n,i )处一阶导数的向前差分公式:

(4-10) 2)向后差分 将函数t 在节点(n,i-1)对点(n,i)作泰勒展开,可得

i

n t

??的向后差分公式:

τ

τ

?-=

??-)1()(,i n

i n i n t t t (4-11) 3)中心差分

i

n t ,τ

??的向前差分与向后差分之和,即得

i

n t ,τ

?? 的中心差分表达式:

τ

τ

?-=

??-+2)1()1(,i n

i n i n t t t (4-12) 二、一维非稳态导热微分方程的离散方法

1、泰勒级数展开法

1)一维非稳态导热微分方程中的扩散项离散与稳态导热微分方程中的方法相同,则

对一维非稳态导热微分方程中22x

t a t ??=??τ的扩散项→中心差分;

非稳态项→向前差分。 (1)非稳态项:

τ

??t

采用向前差分为: τ

τ

?-=

??+)()1(,i n

i n i n t t t (4-13) (2)稳态项:2

2x

t a

??采用中心差分则为:

(4-14) 由此可得:

2)(1)

()(1)()1(2x

t t t a t t i n i n i n i n

i n ?+-=?--++τ

变形得:

ττ?-=??+)()1(,i n i n i n t t t

2

)(1)()(1,2

22x t t t x t

i n i n i n i n ?+-=??-+

)

(2)

(1)(12

)1()21()(i n i n i n i n t x

a t t x a t ??-

++??=

-++ττ (4-15) 由此可见,只要i 时层上各节点的温度已知,那么i+1时层上各节点的温度即可算出,且不需设立方程组求解。此关系式即为显式差分格式。 2)显示差分与隐式差分格式

求解非稳态导热微分方程,是从已知的初始温度分布出发,根据边界条件依次求得以后各个时间层上的温度值。

⑴ 显示差分格式

定义:就是指若已知i 时层上各节点的温度值,根据该差分格式即可算出(i+1)时层上各内点的温度,而不必求解联立方程。即)

1(+i n t 是前一时刻(i )n 节点及相邻两节点温度的显函

数。

优点:计算工作量小;

缺点:受时间及空间步长的限制。 ⑵ 隐式差分格式

对一维非稳态导热微分方程22x

t a t ??=??τ中的扩散项在(i+1)时层上采用中心差分,非稳态项

将t 在节点(n,i+1)处对节点(n,i )采用向前差分,得:

2)1(1)1()1(1)()1(2x

t t t a t t i n i n i n i n i n ?+-=?-+-++++τ (4-16)

式中,已知的是i 时层上的值)(i n t ,而未知量有3个,无法求解)

1(+i n

t 。

定义:就是指已知i 时层上各节点的温度值)

(i n t ,根据差分格式不能直接算出(i+1)时层上各节点的温度,而必须求解(i+1)时层上的一个联立方程组,才能算出(i+1)时层各节点的温度,

此种差分格式称隐式差分格式。

优点:不受时间及空间的步长影响; 缺点:计算工作量大。

综上可知:① 非稳态导热微分方程中,扩散项采用中心差分,非稳态项采用向前差分得到显式差分格式;

②非稳态导热微分方程中,扩散项采用中心差分,非稳态项采用向后差分得到

隐式差分格式。 2、热平衡法 1)优点:(1)不受网格是否均匀限制; (2)不受物体是否为常数限制。 2)求解方法

如图4-9所示,一无限大平板,右侧面受周围流体的冷却,表面传热导数为h ,对于边界节点N 代表了宽为

2

x

?的元体。 对于该元体,根据傅立叶定律和能量守恒定律得:

()()()1()i i i N N f N t t h t t x λ--+-?=(1)2i i N N t t x c ρτ

+-??

变形为 (1)

()

()122

2222(1)i i i N

N N f

h a a h t t t t c x x x c x ττττ

ρρ+-????=-

-++???? (4-17)

其中

2

a x τ

??——是以x ?为特征长度的傅里叶数,称网络傅里叶数,记为:?Fo 。 h x

λ

?——是以x ?为特征长度的毕渥数,称网络毕渥数,记为:?Bi 。

h c x

τ

ρ??一项变形如下: 22

h h x a h x

Fo i c x c x x τλττρρλλ

???????=?=?=?B ??? 所以 )

1(+i N

t =)(i N t (-12-B ???i Fo 2?Fo )+2?Fo )

(1i N t -+2f t i Fo ?B ??? (4-18)

补充:4-17的推导过程

对于

2

x

?的元体: ⑴ 根据傅立叶定律,在i 时层上,从节点N —1传导给节点N 的热流量,即从N —1传给元体 (

)2

x

?单位面积的热流量为: ()

1i N N

q

-=,()()1i i N N

t t x λ

--? (a )

⑵ 根据牛顿冷却公式,平板右侧被冷却时,在i 时层上其单位面积损失的热流量为:

=q )

()

(i N f t t h - (b )

⑶ 在i 时层上元体(

)2

x

? 热力学能的增量: ,2

N i t

x q c ρτ

??=?

?

? 其中=

??i N t

,ττ

?-+)()1(i N i N t t ⑷ 根据能量守恒定律可知:在I 时层通过导热和对流进入元体 ()2

x

?的能量应等于元体热力学能的变化量,即

()()()1()i i i N N f N t t h t t x λ--+-?=(1)()2i i N N t t x c ρτ

+-??

变形为:)

1(+i N

t =)(i N t (-12-B ???i Fo 2?Fo )+2?Fo )(1i N t -+2f t i Fo ?B ??? (4-18)

说明:对多维非稳态导热问题应用热平衡法来建立离散方程的原则与过程与之类似。

三、讨论一维导热问题显式差分格式稳定性限制的物理意义

从离散方程的结构分析:

1、 对于一维导热显式格式的内节点方程

)()(1)(1)1()21()(i n i n i n i n t Fo t t Fo t ?-+?+-++=, 其中12.1-=N n

由方程式得知,点n 上i+1时刻的温度是在该点i 时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度

的影响后得出的。若两邻点的影响保持不变,则合理的情况是:

)(i n

t 越高,则)1(+i n t 越高;)(i n t 越低,则)1(+i n t 越低。 在上式中,满足这种合理性是有条件的,即上式中 )(i n t 前的系数必大于等于零,即

(1-2?Fo )≥0

亦即: 212

≤??=

?x

Fo τ

α

否则,将出现不合理情况。若(1-2?Fo )<0,则表明节点(n,i )在i 时刻的)(i n t 越高,经τ?时段后,)

1(+i n t 越低,这种节点温度随时间的跳跃式变化是不符合物理规律的,所以称该方程具

有不稳定性。

2、对于一维导热显示格式的对流边界节点方程:

f i i n i i N i N t B Fo t Fo Fo B Fo t t ??++-?-+??-????+22)221()(1)()1(

得出合理解的条件是:-12-B ???i Fo 2?Fo ≥0 即: ()

??B +≤

i Fo 121

由此可见:(1)对流边界节点要得到的合理的解,其限制条件比内节点更为严格,所以,当由边界条件及内节点的稳定性条件得出的?Fo 不同时,应选较小的?Fo 来确定允许采用的

?τ。

(2)对于第一、二类边界条件,其限制条件只有内节点的限制条件。

(3)内边界节点差分方程的稳定性条件不同,但在数值计算时,二节点又必须选

择相同的?x , ?τ。因此,在选择了?x 后,则?τ的选择就要受到稳定条件的限制,不能任意选择,而必须按两节点的稳定性条件分别计算?τ,取其中较小?τ作为时间步长,方能满足二者稳定性要求。

四、数值解法的求解步骤

1、首先选择空间坐标间隔x ?,即距离步长。对二维问题一般使?y=?x ;

2、对显式格式差分方程,根据方程的稳定性条件选择允许的最大时间步长 τ? ; 在稳定性条件允许范围内,?τ越大,计算工作量越小,但精度较差;对一维问题,一般取

2

1

41≤≤?Fo ,即可满足工程精度要求;对于隐式差分方程,?x ,?τ可任意选取,不必进行稳定性条件校核;

3、按题意给定的初始温度分布,确定各节点上的温度初值 0

n t ; 4、根椐建立的差分方程组,求 ?τ时刻各节点的温度 ; 5、再由)1(n t 为初值,换用 ττ?=2(即i=2),重复4计算出 )2(n t ,如此反复,最后得到i 时刻的 )(i n t 。

)1(n

t

陶文铨 数值传热学 第二版 第五章 5-2

精确解: p=[1,5,10]; x=0:1/19:1; for i=1:1:3 for j=1:1:20 y(i,j)=(exp(p(1,i)*19*x(1,j))-1)/(exp(p(1,i)*19)-1); end plot(x,y(i,:)); hold on ; end 由题对中心差分、一阶迎风、混合格式进行模块编程: 他们之间可以通用,只需更改ae 关于p 的函数即可: 程序如下: (1)中心差分 p=[1,5,10]; for i=1:1:3 ae=1-0.5*p(1,i); x/L (Φ-ΦL )/(Φ0-ΦL ) 精确解图像

aw=p(1,i)+ae; ap=ae+aw; for i=1:1:18 for j=1:1:20 a(i,j)=0; end end for i=1:1:18 j=i; a(i,j)=aw; a(i,j+1)=-ap; a(i,j+2)=ae; end for i=1:1:17 n=i+1; for m=i:-1:1 b(1,1)=a(m,n); a(m,n)=-a(i+1,n)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n); a(m,n+1)=-a(i+1,n+1)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n+1); a(m,n+2)=-a(i+1,n+2)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n+2); end end F(1)=0; F(20)=1; F(19)=(-a(1,20)*F(20)-a(1,1)*F(1))/a(1,19); for i=2:1:18 F(i)=(-a(i,20)*F(20)-a(i,19)*F(19))/a(i,i); end x=0:1/19:1; y(1,:)=F; plot(x,y); hold on end

第四章编程题

三、编程题 4.16 设计工程,已知圆的半径r,求圆面积S。 【解答】设圆半径为r,圆面积为S。根据数学知识,已知圆半径r,求圆面积S的公式为:2r Sπ =。 设计步骤如下。 (1)建立应用程序用户界面,如图4-1所示。 (2)设置对象属性: Label1的Caption属性为“已知圆半径r=”; Text1的Text属性为空; Command1的Caption属性为“圆面积为:”; Label2的Caption属性为空; Label2的BorderStyle属性为1-Fixed Single。 各控件的属性设置如图4-2所示。 图4-1 建立用户界面图4-2 设置各控件的属性(3)编写程序代码。 写出“圆面积为:”命令按钮Command1的Click事件代码为: Private Sub Command1_Click( ) Const pi = 3.14 Dim r As Single, S As Single r = V al(Text1.Text) S = pi * r ^ 2 Label2.Caption = S End Sub 运行程序时,在文本框输入圆半径的值,单击“圆面积为:”按钮后,输出结果如图4-3所示。 也可以不用文本框接收输入值,改用InputBox函数接收圆的半径r,求圆面积S,代码如下。 图4-3 程序运行结果 Private Sub Form_Load( ) Show Const pi = 3.1415926

Dim r As Single, S As Single r = V al(InputBox("输入半径:", "计算圆面积", "10")) FontSize = 18 S = pi * r ^ 2 Print "圆面积:"; S End Sub 程序运行时,首先显示如图4-4所示的对话框,在该对话框的文本框中输入数字,按Enter 键或单击“确定”按钮后,才能显示窗体。 图4-4 输入对话框 用InputBox 函数输入文本虽然很方便,但是由于输入框弹出后将暂停程序的运行,直到用户响应,因此输入框不符合VB 自由环境的精神。输入框适合于像要求用户输入口令等这样不常见的输入方式。还可以用更好的用户输入方式,如文本框、选项按钮等。 4.17 已知平面坐标系中两点的坐标,求两点间的距离。 【解答】 由数学知识可知,已知两点坐标(x A , y A )、(x B , y B ),求两点间距离的计算公式为 2 A B 2 A B )()(y y x x s -+-= 建立用户界面如图4-5所示。在该界面中用TextBox 控件输入数据,用Label 控件输出数据。为了形象地表示两点之间的距离,可用Picture 控件插入一幅图,该图用画图软件绘制。 命令按钮Command1的Click 事件代码为: Private Sub Command1_Click( ) Dim xa As Single, xb As Single Dim ya As Single, yb As Single Dim s As Single xa = Val(Text1.Text) ya = V al(Text2.Text) xb = V al(Text3.Text) yb = V al(Text4.Text) s = Sqr((xb - xa) ^ 2 + (yb - ya) ^ 2) Label6.Caption = s End Sub 程序运行结果如图4-6所示。

计算传热学中国石油大学(华东)第四章大作业

取步长δx=0.02。已知x=0,Φ=0;x=1,Φ=1.令k=ρu/Γ计算结果图表: 程序及数据结果: 追赶法: #include #include #include #define N 49 void tdma(float a[],float b[],float c[],float f[],float x[]); void main(void) { int i; float x[49]; float k; printf("请输入k值:\n",k); scanf("%f",&k); static float a[N],b[N],c[N],f[N]; a[0]=0; a[48]=2+0.02*k; b[0]=4; b[48]=4; c[0]=2-0.02*k; c[48]=0; f[0]=0; f[48]=2-0.02*k; for(i=1;i

a[i]=2+0.02*k; b[i]=4; c[i]=2-0.02*k; f[i]=0; } tdma(a,b,c,f,x); for(i=0;i=0;i--) x[i]=P[i]*x[i+1]+Q[i]; return; } 结果: (1)k=-5 请输入k值: -5 x[0]=0.095880 x[1]=0.182628 x[2]=0.261114 x[3]=0.332126 x[4]=0.396375 x[5]=0.454504 x[6]=0.507098 x[7]=0.554683 x[8]=0.597736 x[9]=0.636688 x[10]=0.671931 x[11]=0.703818 x[12]=0.732667 x[13]=0.758770

数值传热学陶文铨第四章作业

4-1 解:采用区域离散方法A 时;网格划分如右图。内点采用中心差分 23278.87769.9 T T T === 22d T T=0dx - 有 i+1i 12 2+T 0i i T T T x ---=? 将2点,3点带入 32122 2+T 0T T T x --=? 即321 209T T -+= 432322+T 0T T T x --=?4321322+T 0T T T x --=? 即4 321 209 T T T -+-= 边界点4 (1)一阶截差 由x=1 1dT dx =,得 431 3 T T -= (2)二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ -=++ 所以 434111. 1. 36311 T T T =++ 即 431 22293 T T -= 采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ????--?= ? ????? 所以代入2点4点有 322121011336 T T T T T ----= 即 239 028T T -=

544431011363 T T T T T ----= 即 34599 02828T T T -+= 对3点采用中心差分有 432 32 2+T 013T T T --=?? ??? 即 23499 01919 T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =,得 541 6 T T -= (1)精确解求左端点的热流密度 由 ()2 1 x x e T e e e -= -+ 所以有 ()22 20.64806911x x x x dT e e q e e dx e e λ -====- +=-=++ (2)由A 的一阶截差公式 21 0.247730.743113 x T T dT q dx λ =-=-= =?= (3)由B 的一阶截差公式 0 0.21640 0.649213 x dT q dx λ =-=-= = (4)由区域离散方法B 中的一阶截差公式: 210.108460.6504()B B T T dT dx x δ-?? ==?= ? ?? 通过对上述计算结果进行比较可得:区域离散B 有控制容积平衡法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当! 4-3 解:将平板沿厚度方向3等分,如图

第二章 传热习题答案

【2-1】一食品冷藏室由内层为19 mm 厚的松木,中层为软木层,外层为51 mm 厚的混凝土所组成。内壁面温度为-17.8 ℃,混凝土外壁面温度为29.4 ℃。松木、软木和混凝土的平均热导率分别为, 3, W/(m ·K),要求该冷藏室的热损失为15W/m 2。求所需软木的厚度及松木和软木接触面处的温度。 解:三层平壁的导热。 1)所需软木的厚度2b 由 ∑=-=3141i i i b T T q λ 得 151 .0019.00433.0762.0051.08.174.29152+++=b 解得: m b 128.02= 2)松木和软木接触面处的温度3T 由 151 .0019 .08.17153+==T q 解得:9.153-=T ℃ 解题要点:多层平壁热传导的应用。 【2-2】为减少热损失,在外径为150 mm 的饱和蒸汽管道外加有保温层。已知保温材料的热导率λ=+ 198 T(式中T 为℃),蒸汽管外壁温度为180 ℃,要求保温层外壁温度不超过50 ℃,每米管道由于热损失而造成蒸汽冷凝的量控制在1×10-4 kg/(m ·s)以下,问保温层厚度应为多少(计算时可假定蒸汽在180 ℃下冷凝)。 解:保温层平均热导率为: )./(126.02 501801098.1103.04K m W =+??+=-λ 由于本题已知的是蒸汽管道外壁面温度,即保温层内壁面温度,故为一层导热。

由 )()(21 221r r Ln T T L Q -=λπ 得: )()(21 221r r Ln T T L Q -=πλ (1) 式中:m W L Wr L Q /9.2011 103.20191013 4=???==- 将其及其它已知数据代入式(1)得: )075 .0()50180(126.029.2012r Ln -??=π 解得:m r 125.02= mm m 5005.0075.0125.0==-=∴δ壁厚 解题要点:单层圆筒壁热传导的应用。 【2-8】烤炉内在烤一块面包。已知炉壁温度为175 ℃,面包表面的黑度为,表面温度为100 ℃,表面积为 5 m 2,炉壁表面积远远大于面包表面积。求烤炉向这块面包辐射 传递的热量。 解:两物体构成封闭空间,且21S S <<,由下式计算辐射传热量: W T T S Q 0.65)448373(0645.085.01067.5) (448424111012-=-????=-=-εσ 负号表示炉壁向面包传递热量。 解题要点:辐射传热的应用,两个灰体构成的封闭空间。 【2-10】在逆流换热器中,用初温为20 ℃的水将1.25 kg/s 的液体[比热容为 kJ/(kg ·K)、密度为850 kg/m 3 ]由80 ℃冷却到30 ℃。换热器的列管直径为Φ25 mm ×2.5 mm,水走管内。水侧和液体侧的对流传热系数分别为850 W/(m 2·K )和1 700W/(m 2·K ),污垢热阻可忽略。若水的出口温度不能高于50 ℃,求水的流量和换热器的传热面积。

数值传热学第五章作业

5-2 解:根据课本p158式(5—1a )得一维稳态无源项的对流-扩散方程如下所示: 2 2x x u ??Γ =??φ φρ (取常物性) 边界条件如下: L L x x φφφφ====,; ,00 由(5—2)得方程的精确解为: 1 1)/(00--=--?Pe L x Pe L e e φφφφ Γ=/uL Pe ρ 将L 分成15等份,有:?=P Pe 15 对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下: 1) (CD)中心差分 节点离散方程: 2 )5.01()5.01(1 1-?+?++-=i i i P P φφφ 10,2 =i 2) 一阶迎风 节点离散方程: ? -?++++=P P i i i 2)1(1 1φφφ 10,2 =i 3) 混合格式 当1=?P 时,节点离散方程:2 )5.01()5.01(1 1-?+?++-= i i i P P φφφ ,10,2 =i 当10,5=?P 时,节点离散方程: 1-=i i φφ , 10,2 =i 4) QUICK 格式,节点离散方程: ??? ???--++++++= +-?? -??+?)336(8122121 1111i i i i i i P P P P P φφφφφφ, 2=i ?? ????---++++++= +--? ? -??+?)35(8122121 12111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ, 2≠i

用matlab 编程如下:(本程序在x/L=0-1范围内取16个节点进行离散计算,假设y(1)= 0φ=0,y(16)=L φ=1,程序中Pa 为?P ,x 为题中所提的x/L 。由于本程序假设 y(1)=0φ=0,y(16)=L φ=1,所以 y y y y y y L =--=--=--0 10 )1()16()1(00φφφφ) Pa=input('请输入Pa=') x=0:1/15:1 Pe=15*Pa; y=(exp(Pe*x)-1)/(exp(Pe)-1) plot(x,y,'-*k') %精确解 hold on y(1)=0,y(16)=1; for i=2:15 y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2; end plot(x,y(1:16),'-or') %中心差分 hold on for i=2:15 y(i)=((1+Pa)*y(i-1)+y(i+1))/(2+Pa); end plot(x,y(1:16),'-.>g') %一阶迎风 hold on for i=2:15 if Pa==1 y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2; else y(i)=y(i-1) end end plot(x,y(1:16),'-+y') %混合格式 hold on for i=2:15 if i==2 y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(6*y(i)-3*y(i-1)-3*y(i+1))/8 else y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(5*y(i)-y(i-1)-y(i-2)-3*y(i+1))/8 end end plot(x, y(1:16),'-

传热学思考题参考答案(陶文铨第四版)

传热学思考题参考答案 第一章: 1、用铝制水壶烧开水时,尽管炉火很旺,但水壶仍安然无恙。而一旦壶内的水烧干后水壶很快就被烧坏。试从传热学的观点分析这一现象。 答:当壶内有水时,可以对壶底进行很好的冷却(水对壶底的对流换热系数大),壶底的热量被很快传走而不至于温度升得很高;当没有水时,和壶底发生对流换热的是气体,因为气体发生对流换热的表面换热系数小,壶底的热量不能很快被传走,故此壶底升温很快,容易被烧坏。 2、什么是串联热阻叠加原则,它在什么前提下成立?以固体中的导热为例,试讨论有哪些情况可能使热量传递方向上不同截面的热流量不相等。 答:在一个串联的热量传递过程中,如果通过每个环节的热流量都相同,则各串联环节的总热阻等于各 串联环节热阻的和。例如:三块无限大平板叠加构成的平壁。例如通过圆筒壁,对于各个传热环节的传 热面积不相等,可能造成热量传递方向上不同截面的热流量不相等。 第二章: 1、扩展表面中的导热问题可以按一维问题处理的条件是什么?有人认为,只要扩展表面细长,就可按一维问题处理,你同意这种观点吗? 答:条件:(1)材料的导热系数,表面传热系数以及沿肋高方向的横截面积均各自为常数(2)肋片温度在垂直纸面方向(即长度方向)不发生变化,因此可取一个截面(即单位长度)来分析(3)表面上的换热热阻远远大于肋片中的导热热阻,因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的(4)肋片顶端可视为绝热。并不是扩展表面细长就可以按一维问题处理,必须满足上述四个假设才可视为一维问题。 2、肋片高度增加引起两种效果:肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为随着肋片高度的增加会出现一个临界高度,超过这个高度后,肋片导热热流量会下降,试分析该观点的正确性。 答:的确肋片高度增加会导致肋效率下降及散热表面积增加,但是总的导热量是增加的,只是增加的部分的效率有所减低,所以我们要选择经济的肋片高度。 第三章: 1、由导热微分方程可知,非稳态导热只与热扩散率有关,而与导热系数无关。你认为对吗?答:错,方程的边界条件有可能与λ有关,只有当方程为拉普拉斯方程和边界条件为第一边界条件时才与λ无关。 2、对二维非稳态导热问题,能否将表面的对流换热量转换成控制方程中的内热源产生的热量? 答:不能,二维问题存在边界微元和内边界微元,内边界微元不一定与边界换热,所以不存在源项。 第四章: 1、在第一类边界条件下,稳态无内热源导热物体的温度分布与物体的导热系数是否有关?为什么? 答:无关,因为方程为拉普拉斯方程,边界为第一边界条件均与λ无关。 2、非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性,试述不稳定性的物理含义。如何防止这种不稳定性? 答:物理意义:显示格式计算温度时对时间步长和空间步长有一定的限制,否则会出现不合

数值传热学部分习题答案

习题4-2 一维稳态导热问题的控制方程: 022=+??S x T λ 依据本题给定条件,对节点2 节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式,最后得到各节点的离散方程: 节点1: 1001=T 节点2: 1505105321-=+-T T T 节点3: 75432=+-T T 求解结果: 852=T ,403=T 对整个控制容积作能量平衡,有: 02150)4020(15)(3=?--?=?+-=?+x S T T h x S q f f B 即:计算区域总体守恒要求满足 习题4-5 在4-2习题中,如果25 .03)(10f T T h -?=,则各节点离散方程如下: 节点1: 1001=T 节点2: 1505105321-=+-T T T 节点3: 25.03325.032)20(4015])20(21[-?+=-?++-T T T T 对于节点3中的相关项作局部线性化处理,然后迭代计算; 求解结果: 818.822=T ,635.353=T (迭代精度为10-4) 迭代计算的Matlab 程序如下: x=30; x1=20; while abs(x1-x)>0.0001 a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)]; b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)]; t=a^(-1)*b; x1=x; x=t(3,1);

end tcal=t 习题4-12的Matlab程序 %代数方程形式A i T i=C i T i+1+B i T i-1+D i mdim=10;%计算的节点数 x=linspace(1,3,mdim);%生成A、C、B、T数据的基数; A=cos(x);%TDMA的主对角元素 B=sin(x);%TDMA的下对角线元素 C=cos(x)+exp(x); %TDMA的上对角线元素 T=exp(x).*cos(x); %温度数据 %由A、B、C构成TDMA coematrix=eye(mdim,mdim); for n=1:mdim coematrix(n,n)=A(1,n); if n>=2 coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n); end if n

数值传热学陶文铨第四章作业(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 2T 3T 4T 4-1 解:采用区域离散方法A 时;网格划分如右图。内点采用中心差分123278.8 7769.9T T T === 22 d T T=0dx - 有 i+1i 1 2 2+T 0i i T T T x ---=? 将2点,3点带入 321222+T 0T T T x --=? 即3 21 209T T -+= 432322+T 0T T T x --=?432132 2+T 0T T T x --=? 即4321 209 T T T -+-= 边界点4 (1)一阶截差 由x=1 1dT dx =,得 431 3 T T -= (2)二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ -=++ 所以 434111. 1. 36311 T T T =++ 即 43122293 T T -= 采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ???? --?= ? ????? 所以代入2点4点有 322121011336 T T T T T ----= 即 239 028T T -= 544431011363 T T T T T ----= 即 34599 02828T T T -+=

对3点采用中心差分有 432 32 2+T 013T T T --=?? ??? 即 23499 01919 T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =,得 541 6 T T -= (1)精确解求左端点的热流密度 由 ()2 1 x x e T e e e -= -+ 所以有 ()2200 20.64806911x x x x dT e e q e e dx e e λ -====-+=-=++ (2)由A 的一阶截差公式 21 0.247730.743113x T T dT q dx λ=-=-= =?= (3)由B 的一阶截差公式 0.21640 0.649213 x dT q dx λ=-=-= = (4)由区域离散方法B 中的一阶截差公式: 210.108460.6504()B B T T dT dx x δ-??==?= ??? 通过对上述计算结果进行比较可得:区域离散B 有控制容积平衡 法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当! 4-3 解:将平板沿厚度方向3等分,如图 3 由题可知该导热过程可看作无限大平板的一维稳态有源导热问题,则控制方程为 22d T +S=0dx λ x=0, T 0=75℃ x=0.1 dT =h(T-T )dx f λ- 1点 ,2点采用中心差分有

第四章导热题的数值解法

第四章导热问题的数值解法 1 、重点内容:①掌握导热问题数值解法的基本思路; ②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容:数值解法的实质。 3 、了解内容:了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 §4—1导热问题数值求解的基本思想及内节点方程的建立由前述 3 可知,求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解,从而获得分析解。但是,对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题,从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展,对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速,并得到广泛应用,并形成为传热学的一个分支——计算传热学(数值传热学),这些数值解法主要有以下几种: (1)有限差分法( 2 )有限元方法( 3 )边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题,特别是分析解方法无法解决的问题。如:几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 一.分析解法与数值解法的异同点: ?相同点:根本目的是相同的,即确定① t=f(x , y , z) ;② 。 ?不同点:数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场;分析解法求解的是连续的温度场的分布特征,而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 二.解法的基本概念 ?实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 2 、基本思路:数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。 由此可见: 1 )物理模型简化成数学模型是基础; 2 )建立节点离散方程是关键; 3 )一般情况微分方程中,某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。 ?数值求解的步骤 如图 4-2 ( a ),二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下:(1)建立控制方程及定解条件 控制方程:是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题,它的控制方程(即导热微分方程)为:( a ) 边界条件: x=0 时, x=H 时, 当 y=0 时,

数值传热学报告

数 值 传 热 学 近代发展及数值方法 建环:屈锐 2011年10月5日

数值传热学的发展史及数值方法 一、计算传热学的发展史 首先,计算传热学(Numerical Heat Transfer)与计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics)之间的关系密切,可以认为,他们的主要研究内容是一致的,因此,计算传热学的发展史很大程度上也就是计算流体动力学的发展史,但他们之间还有不少区别,流体动力学的一个主要研究内容是讨论无粘流动及跨、超音速流动数值计算中的一些特殊问题。应用计算机和数值方法求解流动及传热问题在全世界范围内逐渐形成规模而且得出有益的结果,大致始于60年代,故从60年代起,可以把数值传热学的发展过程分为3个阶段: 1、萌芽初创阶段 主要有以下重大事件: (1)交错网格的提出。初期的数值传热学出现的两大困难之一是,网格设置不当时会得出具有不合理的压力场的解。1965年美国科学家首先提出了交错网格的思想,有效解决了这一难题,促使了求解NS 方程的原始变量法的发展。 (2)对流项差分迎风格式的再次确认。初期发展遇到的另一难题是

对流项采用中心差分时,对流速较高的情况的计算会得出振荡的解,1966年,科学家撰稿介绍了迎风格式在求解可压缩流体及非稳态层流流动中的作用,使流动与对流换热问题的求解建立在一个健壮的数值方法上发展。 (3)世界上第一本介绍流体及计算传热学的杂志于1966年创刊。(4)求解抛物型流动的P-S方法出现。由于受到计算机资源的限制,边界层类型问题的数值计算得到更多的关注,如何把有限个节点数目都充分利用起来成为了一个重要的问题。 (5)1969年Spalding在英国帝国理工学院创建了CHAM,旨在把他们研究组的成果推广应用到工业界。 (6)1972年SIMPLE算法问世。所谓分离式的求解方法应运而生,这个算法的基本思路是,在流场迭代求解的任何一个层次上,速度场都必须满足质量守恒方程,这一思想被以后的大量数值计算实例证明,是保证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。 1974年美国学者提出了采用微分方程来生成适体坐标的方法。由于有限元法对不规则区域有很强的适应性,有限差分法与有限容积法则对复杂区域的适应能力很差,但对于流动问题的数值处理则要比有限元法容易得多。TTM方法的提出,为有限差分法与有限容积法处理不规则边界问题提出了一条崭新的道路。 2、开始走向工业应用阶段

数值传热学习题集

简答题集锦 1.流动与传热数值模拟的基本任务是什么? (把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场,如速度场和压力场,用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替,通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组,然后求解代数方程组获得场变量的近似值CFD可以看做是在流动基本方程(质量守恒方程飞动量守恒方程、能量守恒方程)控制下对流动的数值模拟。通过这种数值模拟,我们可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量(如速度、压力、温度、浓度等)的分布,以及这些物理量随时间的变化情况,确定旋涡分布特性、空化特性及脱流区等。) 2.数值模拟过程如何实现,主要步骤是那些? (建模、网格划分、坐标系、数学方程、求解、后处理) a.建立反映工程问题或物理过程本质的数学模型; b.选择与计算区域的边界相适应的坐标系; c.建立网格; d.建立离散方程; e.求解代数方程组; f.后处理,显示计算结果

3.建立离散方程有哪些主要方法?比较说明各种方法的优缺点?(有限差分、有限体积、有限元、有限分析等)

4什么叫控制方程?常见的控制方程有哪几个?各用在什么场合? 5试写出控制方程的通用形式,并说明通用形式中各项的意义?(写明通式,以及各个方程中通式的表达形式)

6推导x 方向的动量控制方程中的源项u S 的表达式。由此证明当密度和黏度为常数时,u S 变为0。 X 方向N-S 方程: Mx S x w z u z x v y u y divu x u x x p Dt Du +??+ ????+ ??+ ????+ +????+??- =)][()]( [)2(μ μλμ ρ )()())()())())()()()()()][()]( [)2(gradu div divu x z w y v x u x gradu div S divu x z w y v x u x S S divu x z w y v x u x gradu div S x w z x v y x u x z u z y u y x u x S x w z u z x v y u y divu x u x Mx u Mx Mx Mx μλμ μλμλμμμμμμμμμ μλμ +??+??+??+????=++?? +??+??+????=+?? +??+??+????+=+????+????+????+????+????+????= +??+ ????+ ??+ ????++????((()()( 因为0 =??+ ??+ ??z w y v x u ρρρ 推 得: =??+??+??z w y v x u 所以:Su= 0)()=?? +??+??+????divu x z w y v x u x λμ ( 7区域离散为分几种,说明各自的特点。 (内节点法、外节点法) 先节点后界面

传热学_杨茉_部分习题与解答

第一章: 1-1 对于附图所示的两种水平夹层,试分析冷、热表面 间热量交换的方式有何不同?如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数,应采用哪一种布置? 解:(a )中热量交换的方式主要有热传导和热辐射。 (b )热量交换的方式主要有热传导,自然对流和热辐射。 所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数,应采用( a )布置。 1-2 一炉子的炉墙厚13cm ,总面积为20m 2 ,平均导热系数为 1.04w/m 〃k ,内外壁温分别是520 ℃及50 ℃。试计算通过炉墙的热损失。如果所燃用的煤的发热量是 2.09 ×10 4 kJ/kg ,问每天因热损失要用掉多少千克煤? 解:根据傅利叶公式 每天用煤 1-3 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中,得到下列数据:管壁平均温度t w = 69 ℃,空气温度t f = 20 ℃,管子外径d= 14mm ,加热段长80mm ,输入加热段的功率8.5w ,如果全部热量通过对流换热传给空气,试问此时的对流换热表面传热系数多大? 解:根据牛顿冷却公式

1-4宇宙空间可近似的看作0K 的真空空间。一航天器在太空中飞行,其外表面平均温度为250K ,表面发射率为0.7 ,试计算航天器单位表面上的换热量? 解:航天器单位表面上的换热量 1-5附图所示的空腔由两个平行黑体表面组成,孔腔内抽成真空,且空腔的厚度远小于其高度与宽度。其余已知条件如图。表面 2 是厚δ= 0.1m 的平板的一侧面,其另一侧表面 3 被高温流体加热,平板的平均导热系数λ=17.5w/m ? K ,试问在稳态工况下表面3 的t w3 温度为多少? 解: 表面1 到表面2 的辐射换热量= 表面2 到表面3 的导热量 第二章:

【免费下载】数值传热学第五章作业

5-2解:根据课本p158式(5—1a )得一维稳态无源项的对流-扩散方程如下所示: (取常物性)22x x u ??Γ=??φφρ边界条件如下:L L x x φφφφ====,;,00由(5—2)得方程的精确解为: 11)/(00--=--?Pe L x Pe L e e φφφφΓ=/uL Pe ρ将分成15等份,有:L ?=P Pe 15对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下:1)(CD)中心差分节点离散方程: 2)5.01()5.01(11-?+?++-=i i i P P φφφ10,2 =i 2) 一阶迎风节点离散方程: ?-?++++=P P i i i 2)1(11φφφ10,2 =i 3)混合格式当时,节点离散方程:,1=?P 2)5.01()5.01(11-?+?++-=i i i P P φφφ10,2 =i 当时,节点离散方程: , 10,5=?P 1-=i i φφ10,2 =i 4)QUICK 格式,节点离散方程: , ??????--++++++=+-??-??+?)336(81221211111i i i i i i P P P P P φφφφφφ2=i , ?? ????---++++++=+--?? -??+?)35(812212112111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ2≠i 、管路敷设过程中,要加强交底。管线敷设技术中敷设原则:在分线盒处,、电气课件其在正常工况下与过度写重要设备高中资料试试卷技术指导。对于调试、电气设备调试高中资组高中资料试卷安全,并试卷保护装置动作,并且做到准确灵活。对于差

数值传热学陶文铨第四章作业

4-1 解:采用区域离散方法A 时;网格划分如右图。内点采用中心差分123278.8 77 69.9 T T T === 22d T T=0dx - 有 i+1i 122+T 0i i T T T x ---=? 将2点,3点带入 321222+T 0T T T x --=? 即321209 T T -+= 432322+T 0T T T x --=?4321322+T 0T T T x --=? 即4321209T T T -+-= 边界点4 (1)一阶截差 由x=1 1dT dx =,得 4313 T T -= (2)二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ -=++V 所以 434111. 1.36311 T T T =++ 即 43122293 T T -= 采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ????--?= ? ????? 所以代入2点4点有 322121011336 T T T T T ----= 即 239028 T T -= 544431011363T T T T T ----= 即 34599 02828 T T T -+=

对3点采用中心差分有 432 322+T 013T T T --=?? ??? 即 2349901919 T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =,得 5416 T T -= (1)精确解求左端点的热流密度 由 ()21 x x e T e e e -=-+ 所以有 ()2200 20.64806911x x x x dT e e q e e dx e e λ-====- +=-=++ (2)由A 的一阶截差公式 (3)由B 的一阶截差公式 (4)由区域离散方法B 中的一阶截差公式: 通过对上述计算结果进行比较可得:区域离散B 有控制容积平衡法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当! 4-3 解:将平板沿厚度方向3等分,如图 由题可知该导热过程可看作无限大平板的一维稳态有源导热问题,则控制方程为 x=0, T 0=75℃ x=0.1 dT =h(T-T )dx f λ- 1点 ,2点采用中心差分有 21022+T 0T T S x λ -+=? (1) 3 2122+T 0T T S x λ-+=? (2) 右端点采用一阶截差的离散

热物理过程的数值模拟-计算传热学1

热物理过程的数值模拟Numerical Simulation of Thermophysics Process 讲稿 主讲:李隆键

第一章概论 1.1流动与传热过程的予测方法及特点 流动、传热、燃烧问题是热工类各专业和机械类动力机械专业所研究和解决的主要问题之一,燃烧问题实际上是有化学反应的流动与传热问题,推而广之,在所有热物理过程中,几乎都涉及到流动、传热问题。 预测的重要性: ①在规定设计参数的相应的结构下,热物理过程是否满足要求,达到预定的指 标?要预测; ②优化设计,不同方案的比较,要预测; ③减少设计、生产、再设计和再生产的费用; ④减少设计更改; ⑤减少试验和测量次数。 问题的核心:速度场、温度场(传热量)、浓度场等。 一、热物理问题的予测方法:理论分析法、实验测定、数值模拟 1、理论分析 以数学分析为基础,求解描述热物理过程的定解问题,获得函数形式的解,表示求解区域内物理量连续分布的场(速度场、温度场、浓度场……)。 控制方程+单值条件(数学模型)→理论解(分析解,解析解) 根据解的准确程度,又可再分为: (1)精确分析解(严格解) 特点:函数形式的解;它在求解区域精确地满足定解问题。 具体解法:直接积分法、分离变量法、积分变换法、热源法、映射法。 (2)近似分析解法 特点:函数形式的解,在求解区域上近似地满足定解问题(但在总量上满足相应的守恒原理,动量守恒、动量守恒、能量守恒、质量守恒)。 具体解法:积分法(从积分方程出发) 变分近似解法 摄动法(从微分方程出发) 2、实验测定 (1)纯实验法 (2)相似理论实验法:同类相似,减少变量数目→减少工作量,得到规律性结

数值传热学第四章编程题

4-5迭代法求解节点温度。 说明:此处给出的是C++程序代码,使用牛顿迭代法,迭代收敛精度1.0e-6;程序运行结果附后。 /*NHT 4-5 newton *created on 2012-10-19 by Sanye */ #include #include #include using namespace std; int main() { double funT=1.0,dfunT=1.0,temp1=1.0,temp2=1.0; double T=20.0;//primary value int i=0; //for TEST! cout<<"primary T= "<=1.0e-6) { i++; if(i==1&&(T<=20.0))T=100.0;//in case unreasonable T; temp1=pow(T-20.0,0.25);temp2=pow(T-20.0,-0.75); funT=0.5*T-80+2*T*temp1-40*temp1; dfunT=0.5+2*temp1+0.5*T*temp2-10*temp2; T=T-funT/dfunT; cout<<" step "<

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