理工大学理学院2011年秋
《概率论与数理统计》试题参考答案
一、填空题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）
1．6
1 2．0。
3．25
17 4．4
5．2
1 二、选择题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）
1．(D)
2．(B)
3．(C)
4．(B)
5．(A)
三、（8分）一门大炮不断地对目标进行轰击，在各次轰击中是否击中目标是相互独立的，目标被击中3次时才被击毁。设每次轰击击中目标的概率是0.6，X 表示目标被摧毁时总共轰击的次数，求X 的分布律。
【解】{}==i X “前1-i 次中恰有两次击中目标，且第i 次击中目标”（2分）
故所求分布律为{}6.04.06.03221
???==--i i C i X P （6分） 23310.60.4,3,4,i i C i --=??= （8分）
四、（8分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程
042=++X y y 无实根的概率为2
1，求μ。
【解】因为042=++X y y 无实根，故有0416<-=?X ， （4分） 即4>X ，再由 {}2
14=>X P ， （6分） 知4=μ。 （8分）
五、（14分）一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为
()??
???≥≥+--=+---其他 ,00,0,1,)(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x 问：(1) X 和Y 是否独立？
(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。
【解】(1) 当0≥x 时，有x X e x F x F 5.01),()(--=+∞=， （2分） 当0≥y 时，有 y Y e y F y F 5.01),()(--=+∞=， （4分） 从而当0≥x 且0≥y 时，有
),(1)()()(5.05.05.0y x F e e e y F x F y x y x Y X =+--=+---， （6分）
所以X 和Y 相互独立。 （7分）
(2) 由独立性，知所求概率为
{}{}{}1.01.01.0,1.0>>=>>Y P X P Y X P （9分）
1.01.05.01.05.0)]1.0(1)][1.0(1[-?-?-=?=--=e e e F F Y X （14分）
六、（10分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求)(X E 。
【解】由题意， {}00.90.80.70.504,P X ==??=
（2分）
{}30.10.20.30.006,P X ==??=（4分）
{}20.10.20.70.10.80.30.90.20.30.092,P X ==??+??+??=（6分）
{}110.5040.0060.0920.398,P X ==---=
（8分）
从而有()0.6E X =。 （10分） 七、（10分，非2+2）设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
?
??≤>=--,,0,,2);()(2θθθθx x e x f x 其中0θ>为未知参数。又设n x x x ,,,21 是X 的一组样本观察值，求参数θ的最大似然估计值。
【解】?????=>∑===-=∏其他,0),2,1(,2);()(1221n i x e x f L i x n n n i i n
i i θθθθ （4分） 当),2,1(n i x i =>θ时，0)(>θL ，取对数得
∑=-+=n
i i x n n L 1222ln )(ln θθ。 （6分）
)(02))((ln θθθ
L n L d d ∴>=， 单增， （8分） 由于θ必须满足),2,1(n i x i =<θ，故
},,,min{21n x x x <θ， （9分）
所以θ的最大似然估计值为},,,min{?21n
x x x =θ。 （10分） 七、（10分，2+2）设X 的概率密度为
???<<+=其它,
010,)1()(x x x f θθ， 其中1->θ是未知参数，1X ,2X ,n X , 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，试求θ的最大似然估计量。
【解】设n x x x ,,,21 是相应于样本n X X X ,,,21 的样本值，则似然函数为
?????=<<+==∏∏==其他,0),2,1(10,)()1();()(1
1n i x x x f L i n i i n n i i θθθθ
（4分） 当),2,1(10n i x i =<<时，0)(>θL ，取对数得
∑=++=n
i i x n L 1
ln )1ln()(ln θθθ。 （6分）
令 0ln 1)(ln 1=++=∑=n i i x n d L d θθθ， （7分） 解得θ的最大似然估计值为 ∑=--=n i i
x
n
1ln 1?θ， （9分） 从而得θ的最大似然估计量为∑=--=n i i
X
n
1ln 1?θ。 （10分） 八、（10分）某糖厂用自动打包机装糖，其标重为50kg 。已知每袋糖的重量服从正态分布)4,(μN ，今随机地抽查了9袋，测得5.48=x ，问能否认为打包机工作正常（取显著性水平05.0=α，已知0.025 1.96z =，0.05 1.645z =）？
【解】检验假设 50:50:10≠=μμH H ， （2分） 其拒绝域为 2
50
ασz n x z ≥-=， （4分）
由 96.125.489025.0====z x n ，，，σ，得
，
96.125.29250
5.48>=-=z （8分） 故拒绝假设0H ，即在显著性水平0.05下，认为机器工作不正常。 （10分）
诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
暨 南 大 学 考 试 试 卷 答 案 一、 选择题(共１0小题,每小题２分，共2０分,请将 答案写在答题框内) 1.设A 、B 、C 为三个事件,则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为( Ｃ ). A ．AB AC BC ++； B. A B C ++; Ｃ. ABC ABC ABC ++； D. ABC 2.. 设在 Be ｒn ｏu ｌli 试验中，每次试验成功的概率为)10(<
进行3 次试验, 至少失败一次的概率为 ( B ). A. 3)1(p -; B. 31p -; C ． 3(1)p -; Ｄ. )1()1()1(223p p p p p -+-+-. ３． 设12,,,,n ηηη??????是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1n E η=，方差 存在, (1,2,),n =??? 则1lim ||3n i n i n P n η→∞=?? -<= ??? ∑( B ). A. 0; B. 1; C. 1;3 D. 1 2 . ４. 设随机变量X 的概率密度为 33,0 ()0,0 x e x x x ?-?>=?≤?, 则方差Ｄ(X)= （ D ） A ． ９; B. 3； C. 1 3 ; D ． 1 9 . 5． 设随机变量X 的概率密度函数) 1(1 )(2x x f += π，则X Y 3=的概率密度函数为 （ Ｂ )． A. )1(12y +π? Ｂ．)9(32y +π C ．) 9(9 2 y +π D ． ) 9(27 2 y +π 6. 设()~1,X N σ2,且(13)0.7P X -<<=,则()=-<1X P ( A ） A ．0．15??? Ｂ. 0.３0 C. 0.45 ? D ． ０．6 7．设)2,3(~2N X ,则=<<}51{X P （ Ｂ )( 设2 2 0()d x x x x -Φ=?）. A.00(5)(1)Φ-Φ B ．02(1)1Φ- C ．011()122Φ- Ｄ.0051 ()()44 Φ-Φ 8．设总体2~(,)X N μσ,其中μ未知，1234,,,x x x x 为来自总体X 的一个样本,则以下关于 的μ四个无偏估计:1?μ =),(4 14321x x x x +++4321252515151?x x x x +++=μ 4321361626261?x x x x +++=μ，432147 1737271?x x x x +++=μ中，哪一个最有效?（ A ） Ａ．1?μ ； B ．2?μ; C ．3?μ; D.4?μ
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
一、填空题 1．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = 0.375 ． 2．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 1 b a X Y --，且X 与Y 相互 独立，则=a 0.2 ；=b 0.3 . 3．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()] D X E X = 13 ． 4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89 ≥ . 5．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231?()4X aX X μ =++，21231?()6 bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = 2 ，b = 4 ． 二、单项选择题 1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ A ） A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.90 2．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 20.8 B. 230.80.2? C. 22 0.85 ? D. 22350.80.2C ?? 3.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ B ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X - 4．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =?，则（ B ）. A. ()()()D XY D X D Y =? B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立 5．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123 ,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ A ）.
中国石油大学概率论2011-2012期末试卷答案及评分标准 --------------------------------------------------------------------------作者: _____________
2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室基础数学系 考试日期 2012年1月3号 备注：1．本试卷正文共7页； 2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸； 3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效； 4．最后附页不得私自撕下，否则作废.
5．可能用到的数值(1.645)0.95 Φ= Φ=，(1.96)0.975
一、填空题（每空1分，共10分） 1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则 ()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B = 0.5 . 2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___. 3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 . 4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则 {max(,)2}P X Y ≤= 4/9 . 5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为 6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均 值 ，则EX = λ ，DX = n λ . 二、选择题(每题2分，共10分) 1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB 等于( B ). (A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则 对任意实数a 有( B ). (A)0()1()a F a f x dx -=-? (B)0 1()()2 a F a f x dx -=-? (C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=- 3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ). (A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 4 4.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 2 5.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).
一 填空 1．设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件，4.0)(,8.0)(==A P B A P ，则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立，则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，S 是样本标准差，则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ，从中随意取一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本，n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本，且这两种样本独立，则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ，则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13．已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===，则()P AB = ， ()P A B = 。 14．若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B ＝ 。 15．若随机变量X 服从(1,3)R -，则(11)P X -<<= 。 16．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝ 。 17．设随机变量,X Y 相互独立，且X 服从(2)P ，Y 服从(1,4)N ，则(23)D X Y -= 。
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
全国2011年7月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（ ） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3} D ．{1，2，3，4} 2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 3．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5 4．设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（ ） A ．35C B.3325(1)C p p - C ．335C p D ．32(1)p p - 5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（ ） A ．1,11,()20, ,Y y f y ?-≤≤?=???其他; B.1,11,()0,,Y y f y -≤≤?=??其他; C.1,01,()20,,Y y f y ?≤≤?=???其他 ; D.1,01,()0,,Y y f y ≤≤?=??其他 6．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ） 则c = ( ) A ．112 B ．16 C ．14 D ．13 7．已知随机变量X 的数学期望E (X )存在，则下列等式中不恒成立．．．． 的是（ ） A ．E [E (X )]=E (X ) B ．E [X +E (X )]=2E (X ) C ．E [X -E (X )]=0 D ．E (X 2)=[E (X )]2 8．设X 为随机变量2()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤（ ） A ．14 B.518 C ．34 D ．10936 9．设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P {X =1}=p ，P {X =0}=q ，其中0
任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108
求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，
北 京 交 通 大 学 2010-2011学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期终考试试卷（A ） 学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知()P A = 14，()P B A 13=，()P A B 1 3 =，求()P A B ?。 解： 由概率加法公式()P ()()()A B P A P B P AB ?=+- 由概率乘法公式()P ()()1 12 AB P A P B A == ----2分 ()()P ()P AB B P A B 1 4 = = ()P ()()()A B P A P B P AB 1115 441212 ?=+-=+-= ----4分
二. （满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少? 解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有 .6 165)(1 -? ? ? ??=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A ??? ?????+??? ??+??? ??+= 4 26565161 .11 6 )6/5(11612=-=--------4分 同样,乙胜的概率为 }{}{642 A A A P P =乙胜 +++=)()()(642A P A P A P .115656565615 3=??? ?????+??? ??+??? ??+= ．--------4分
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
全国2011年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 （课程代码：02197） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A={2，4，6，8}，B={1，2，3，4}，则A-B=（ ） A. {2，4} B. {6，8} C. {1，3} D. {1，2，3，4} 2. 已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率 为（ ） A. 15 B. 14 C. 3 1 D. 12 3. 设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（ ） A. 3 5C B. 3 3 25(1)C p p - C. 335C p D. 32 (1)p p - 5. 设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y=2X-1，则Y 的概率密度为（ ）
A. 1 ,11, ()2 0,,Y y f y ?-≤≤?=???其他 B. 1,11, ()0,,Y y f y -≤≤?=? ?其他 C. 1 ,01, ()2 0,,Y y f y ?≤≤?=???其他 D. 1,01, ()0,,Y y f y ≤≤?=? ?其他 6. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ） 则c= A. 1 12 B. 16 C. 14 D. 13 7. 已知随机变量X 的数学期望E(X)存在，则下列等式中不恒成立的是（ ） A. E[E(X)]=E(X) B. E[X+E(X)]=2E(X) C. E[X-E(X)]=0 D. E(X2)=[E(X)]2 8. 设X 为随机变量2 ()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率 P{|X-10|≥6}≤（ ） A. 14 B. 518 C. 34 D. 10936 9. 设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P{X=1}=p ，P{X=0}=q ，其中0 2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布
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