数学考前15、16专练1
1、 已知向量a =(sin A ,cos A ), b
=1)-，a ·b ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；
（2）若∠AEB =90°，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．
数学考前15、16专练2
ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13
A =。 (Ⅰ)求A
B A
C ?；
(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为
11AC 、11B C 的中点,
D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；
（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .
C 1
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
数学考前15、16专练3
设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值；
(Ⅱ)
若12,AB AC a ?==,b c （其中b c <）。
正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,
D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点． ⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;
⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD ．
数学考前15、16专练4
已知函数2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-上的最大值和最小值.
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，CD=13，AB=12，BC=10，AD ＝1
2 BC.
点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点.
（1）求证：AB⊥面PAD ； （2）求证：EF∥面PAD.
数学考前15、16专练5
已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,)2
π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值； （2
）若sin()2
π
θ??-=<<，求cos ?的值． 在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形， ∠BAD ＝60°，P 为AB 的中点，Q 为CD 1的中点．
（1）求证：DP ⊥平面A 1ABB 1；
（2）求证：PQ ∥平面ADD 1A 1．
B 1
A B C
D
Q P A 1
C 1
D 1
数学考前15、16专练6
已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中)2
,0(π
θ∈
（1）求θsin 和θcos 的值
（2）若??θcos 53)cos(5=-，<
π
,求?cos 的值
已知四面体ABCD 中，,AB AC BD CD ==,平面ABC ⊥平面BCD ,
E 点为棱BC 的中点．
（1）求证：AE ⊥平面BCD ；
⑵求证：AD BC ⊥；
B
C
数学考前15、16专练7
已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3
A
m x n A x x A ==>,函数()f x m n =?的最大值为6.
(Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12
π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,
]24
π
上的值域. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，
为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（2）直线1//A F 平面ADE ．
1A
1C
F
C
A E
1B
数学考前15、16专练8
在ABC ?中，已知AB AC 3BA BC ?=?. （1）求证：tan 3tan B A =； （2
）若cos C =求A 的值．
如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===
，PA PC == 求证：
（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．
P
A
B C
O
E
F
G
B
A
D
C
F
E
数学考前15、16专练9
已知向量(cos sin
,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,
设函数()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1
(,1)2
ω∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π
(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.
如图，在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，
90AEB ∠=,BE BC =,F 为CE 的中点，
求证：
（1）AE ∥平面BDF ； （2）平面BDF ⊥平面ACE ．
数学考前15、16专练10
已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ??
=∈????
，求0cos 2x 的值。
如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 交于点
O ，E 为侧棱SC 上的一点．
（1）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （2）若SA //平面BDE ，求:SE EC 的值。
数学考前15、16专练11
已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=,παβ<<<0． （1）若2||=
-b a ，求证：b a ⊥；
（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A 均为正方形，
90BAC ∠=，D 为BC 的中点．
（1）求证：11//A B ADC 平面；
（2）求证：11C A B C ⊥.
数学考前15、16专练12 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．
（1）求a·b的值；
（2）求|a+b|的值．如图，在直三棱柱
111
ABC A BC
-中，E,F分别是
11
A B,AC的中点，点D在
11
B C上，
11
A D BC
⊥
求证：（1）EF∥ABC
平面
（2）
111
AFD BBC C
⊥
平面平面
A
B
C
A
B1
C1
E
F
D
数学考前15、16专练13
已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，()1,0c =， ⑴若23a b ?=，记αβθ-=，求2sin sin 2πθθ??
-+ ???
的值； ⑵若2k πα≠，()k k Z βπ≠∈，且()
a b c +‖，求证：tan tan 2
βα=． 在如图所示的多面体中,已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,四边形ABDC 是菱形. (Ⅰ)求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B . (Ⅱ)求该多面体的体积.
B
D
A
A 1
B 1
C 1
C
数学考前15、16专练14
已知△ABC 中，||10AC =,||5AD =,DB AD 11
5=,0CD =.
（1）求AB AC -；
（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+= ，02
x π
-<<，求sin x ． 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，F 为CE 的中点，且AE BE ⊥． （1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．
F
D
C
B
A
数学考前15、16专练15
如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为
4
3π
，2=OB ,设θ=∠AOB ,)4
3,2(π
πθ∈.
(1)用θ表示;OA (2)求OB OA ?的最小值.
如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；
（2）SA BC ⊥．
A B
C
S
G F E
数学考前15、16专练16
设平面向量a ＝(cos ,sin )x x
，(cos )b x x =+，(sin ,cos )c αα=，x R ∈， ⑴若a c ⊥，求cos(22)x α+的值； ⑵若(0,
)2
x π
∈，证明a 和b 不可能平行；
⑶若0α=，求函数f(x)=)2(-?的最大值，并求出相应的x 值．
如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，1120,1ADC AA AB ∠=?==, 点1O 、O 分别是上、下底面菱形的对角线的交点． ⑴求证：1AO ∥平面11CB D ； ⑵求点O 到平面11CB D 的距离．
A
B
A
1
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．
N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥ α，只需证明a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=.⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内
面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离
中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -， 点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐 标系和向量 a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任 一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,) a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2 ||(AB AB = =， 或,A B d = 4、夹角：cos |||| a b a b a b ??= ?． 注：①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量）； ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>．②0a b a b ⊥??=．③2||a a a =?．
基向量法解决立体几何问题 ◆ 教学目标：能够用基向量法解决立体几何中证明求解的问题。 ◆ 教学重点：基底建模. ◆ 教学难点：基底建模. ◆ 教学过程: 问：空间向量基本定理的内容是什么？它的作用是什么？ 答：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数 组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c . 作用：能将空间中任意向量用其他不共面向量表示。 引例：已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC .M ， 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点. 求证：OG ⊥BC . 【分析】 要证OG ⊥BC ，只须证明0=?BC OG 即 可. 而要证0=?BC OG ,必须把OG 、BC 用一组 已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB =∠ BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ，因此可选 OC OB OA ,,为已知的基向量. 【过程】略 总结：基底建模法. 根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法。它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法. 例1：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两夹 角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．
练习：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、 F 分别是棱AB 、BB 1的中点，求直线EF 和BC 1所成的角是 例2：如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长 小结：在四面体、平行六面体等图形中,当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底,并用它们表示出指定的向量,再利用向量的运算证明平行和垂直,求解角和距离。“基底建模法”可作为空间直角坐标系的一个补充（尤其是在传统几何法难作辅助线，向量坐标法又难以建系时）,掌握该方法可有效地提高利用空间向量解决立体几何问题的能力 作业：P107 ：T1，T2 课后反思： B A C D α β B
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
用向量知识解决立体几何中典型问题 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题，下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用。 大家自学时注意方法的理解，黑体字内容就是一些关键的讲解。 什么是法向量？平面垂直的向量称为法向量。法向量是解决与面有关问题时必须要用到的。 一、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。 线面角： 方法点评：设n 是平面α的法向量，PM 是平面α的一条斜线，则PM 与平面α所成的角为PM 与法向量成角的余角。即PM n PM n θ??=arcsin ，如图： 所以解决问题关键就在于求出法向量n ，下例将介绍法向量求法。 例1：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅱ）设，求AC 与平面AEF 所成角的大小. （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), 11 (,,)22 F a .得 11 (0,,22 EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =. 由 11 (0,,)(2,0,0)022 EF AB a ?=?=，得E F A B ⊥，即E F A B ⊥， 同理EF PB ⊥，又AB PB B =， 所以，EF ⊥平面PAB. （注：此小问所用即向量法证明线面垂直）
专题：运用向量法证明立体几何问题 一、知识点： 1、若向量m 与直线l 平行，则向量叫做直线l 的方向向量。 2、若⊥α，则叫做平面α的法向量。 （1）要证m 为平面α的法向量，只须让m 与平面α内的两条相交直线垂直。 （2）若χ轴与平面的法向量，可设为=（1，0，0） （3）若 y 轴为平面的法向量，可设为=（0，1，0） （4）若Z 轴为平面的法向量，可设为m =（0，0，1） 3、证明线面平行与线面垂直 若为平面α的法向量，n 为直线l 的方向向量，则 （1）l ⊥α?m ∥n ?m =λn （2）l ∥α ?m ⊥n ?m ·n =0 4、运用向量求角 （1）若两条异面直线l 1，l 2所成的角为 θ，为l 1 的方向向量， n 为l 2 的方向向量，则 cos (090)m n m n θθ=<≤ ， （2）若两个平面12αα，所成的二面角的平面角为 θ，为1α的法向
量，为2α的法向量，则 cos (090)m n m n θθ=<≤ ， 当二面角为锐时为θ；当二面角为钝角时为 π-θ。 （3）直线l 与平面α所成的角为θ，n 为直线l 的方向向量，m 为平面α 的法向量，则 sin (090)m n m n θθ=<≤ ， 5、点P 到平面α的距离为d,若为平面α的法向量，A 为平面α内任 一点，则PA m d m = 例1．如图在四棱锥P-ABCD 中，底面AB 、CD 是正方形且边长为1，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，点E 是PC 的中点，且F 的坐标是（31，31，3 2 ）。 （1）求证：PA ∥平面EDB （２）求证：PB ⊥平面EFD 解：如图建立空间直角坐标系D xyz -。 设底面正方形的边长为１,则PD=1 D （0，0，0），P （0，0，1），A （1，0，0）， B （1，1，0）, C （0，1，0），E （0，21，2 1 ） （1）设(x,y,z)m = 为平面EDB 的法向量 则00m DB m DE ?=??=?? ， 而(1,1,0)11(0,,)22 DB DE ?=??=?? ∴011022 x y y z +=?? ?+=?? ， 即 x y z y =-??=-? 故m =（1，-1，1）（取Y=-1）
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
立体几何中的向量方法 适用学科高中数学适用年级高中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）90 知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题. 教学目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量； 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）． 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题 教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念； 空间距离问题
二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 222 123 ||a a a a a a =?=++． （4）夹角公式： 112233 2 2 2 22 2 123 123 cos |||| a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++??= = ?++++． （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2212212212 )()()(z z y y x x AB AB -+-+-== ．
向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点(),P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：
方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析
应用向量解决立体几何问题 【摘要】利用空间向量解决立体几何问题，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。 【关键词】立体几何利用向量解题提高效率 立体几何问题一直是高考和竞赛中的热点问题，解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。 设a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)为三个非零向量，则空间向量的数量积、矢量积和混合积的定义为： 1．数量积（内积）：a·b=|a||b|cos(a,b)=x1x2+y1y2+z1z2，其中(a,b) 表示向量a与向量b的夹角。 几何意义：向量a与向量b的数量积等于|a|与向量b在向量a方向上的投影|b|cos(a,b)的乘积。 2．矢量积（外积）：向量a与向量b的矢量积记为a×b，它仍是一个向量，且它的大小为|a×b|=|a||b|sin(a,b) ；它的方向由右手法则确定，即右手手掌先伸开，四个手指先指向a的方向，然后手指自然弯曲指向b的方向，则大拇指的指向就是a×b的方向（如图1所示）。 几何意义：记a=AB,b=AC ，则|a×b| 等于以AB和AC为邻边的平行四边形的面积。 坐标形式：记|abcd|=ad-bc(a,b,c,d) ，则a×b=(|y1z1y2z2|,-|x1z1x2z2|,|x1y1x2y2|) 3．混合积：对于向量a,b,c，取其中任意两个的矢量积，再和第三个作数量积，所得结果为一个数量，称为这三个向量的混合积，记为(a,b,c) 几何意义：记a=OA,b=OB ,c=OC，则以OA,OB,OC为共顶点的棱的平行六面体的体积为：V=|(a,b,c)| 1.判断线、面之间的位置关系 在立体几何问题中，考查线、面之间的位置关系主要有种，包括线与线之间的平行、相交和异面，线与面之间的平行和垂直，面与面之间的平行和垂直。
利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==
立体几何空间向量知识点总结 一、共面向量 1、定义 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理 若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使得p=xa yb +。 3、空间平面的表达式 空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在有序实数对x、y使=+或对空间任一定点O,有或MP xMA yMB =++（其中1 OP xOA yOB zOM ++=）这几个式子是M,A,B,P四点共 x y z 面的充要条件． 二、空间向量基本定理 1、定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa yb +zc + 2、注意以下问题 （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． （2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念． 由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底。a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 三、直线方向向量与平面法向量 1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2?1u //2u ， l 1⊥l 2?1u ⊥2u ． 2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β?1v //2v ，α⊥β?1v ⊥2v ． 若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α?u ⊥v ， l ⊥α?u //v 四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系， 然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =． 2、找出（求出）平面的两个不共线的向量的坐标 111222(,,),(,,)a a b c b a b c == 3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组0 0n a n b ??=?? ?=? ?
立体几何中几类典型问题的向量解法 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强 运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代 数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。 「、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 (1)求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是: (3)求点P到直线AB的距离，可在AB 上取一点Q，令AQ 的最小值求得参数■,以确定Q的位置，贝U PQ为点P到直线AB的距离。还可以在AB上 任取一点Q先求cos ：：： PQ, AB ?，再转化为sin ：：： PQ, AB ?，则点P到直线AB的距离。 (4)求两条异面直线li,l2之间距离，可设与公垂线段 例1：设A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D(-5,-4,8)，求点D 到平面ABC 的距离 例2：如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM二BN二a (0 ：：： a 2)。 求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量M P的坐标, 那么P到平面的距离d = MP ?'cosen,MP > (2)求两点P,Q之间距离，可转化求向量PQ的模。 sin ：： PQ, AB 为 AB平行的向量n , C,D分别是ht上 的任意两点，贝y h,l2之间距离AB =
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .