相似三角形解题技巧及口诀
常见相似类型: A 字形,斜A 字形,8字形、斜8字形(或称X 型),双垂直(母子型),,旋转形
【双垂直结论,即直角三角形射影定理】:
【1】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;
【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
(1)ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD
⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB
(3)CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB
结论:⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD
结论:面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式
【证明等积式(比例式)策略】:
1、直接法:找同一三角形两条边
变化:等号同侧两边同一三角形, 三点定形法
2、间接法:
对线段比例式或等积式的证明:常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”(必要时需添辅助线),使其分别构成两个相似三角形来证明.
⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换;
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比
【口诀】: 遇等积,化比例,同侧三点找相似;四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边;
彼相似,我角等,两边成比边代换。
或:
遇等积,改等比,横看竖看找关系;遇等积,化比例:横找竖找定相似;
不相似,不用急:等线等比来代替;三点定形用相似,三点共线取平截;
平行线,转比例,等线等比来代替;
?遇等积,改等比,横看竖看找关系
①△ABC 中,AB=AC ,△DEF 是等边三角形,求证:BD?CN=BM?CE .
②等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两
点。求证:BP ?PC=BM ?CN
B C A
D E
?斜边上面作高线,比例中项一大片
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC的中点,求证:AB?AF=AC?DF 分析:比例式左边AB,AC在△ABC中,右边DF、AF在△ADF中,这两个三角形不相似,因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。
?有射影,或平行,等比传递我看行
①ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线G是AD延长线上的一点,BG交AC于F,交CD于E,
②梯形ABCD中,AD//BC,作BE//CD,求证:OC2=OA·OE,
?四共线,看条件,其中一条可转换;
Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证:EF2=BE?FC
②△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA,求证:BP2=PE·PF。
。
③AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD,交BC的延长线于E,交AB于F.求证:DE2=BE·CE.
?两共线,上下比,过端平行条件边。
引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段的比的前项或后项,在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
AD 是△ABC 的角平分线.求证:AB:AC=BD:CD.
②在△ABC 中,AB>AC ,D 为AB 上一点,E 为AC 上一点,AD=AE ,直线DE 和BC 的延长线交于点P ,求证:BP:CP=BD:CE.
③在△ABC 中,BF 交AD 于E. (1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC (2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED (3)BD:CD=2:3, AE:ED=3:4 ,求AF:FC
④在△ABC 中,P 、Q 分别为BC 的三等分点,AC 边上的中线BM 交AP 于D ,交AQ 于E ,若BM=10cm ,试求BD 、DE 、EM 的长.
D
A
C
E E
A
F
321E D A