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江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(12)(基本不等式)

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(12)(基本不等式)
江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(12)(基本不等式)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点,注意基本量及定义的使用,考查分析问题、解决问题的综合能力. 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列:a n =a 1+(n -1)d ; 等比数列:a n =a 1·q n -1 . 2.求和公式 等差数列:S n = n (a 1+a n ) 2 =na 1+ n (n -1) 2 d ; 等比数列:S n =????? a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1),na 1(q =1). 3.性质 若m +n =p +q , 在等差数列中a m +a n =a p +a q ; 在等比数列中a m ·a n =a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5等于( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4, 得3???? ??3a 1+3×(3-1)2×d =2a 1+2×(2-1)2×d +4a 1+4×(4-1)2×d ,将a 1=2代入上式,解得d =-3, 故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中,若S 4=80,S 2=8,则公比q =________,a 5=________. 答案 3 162

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=L (1)调和平均数:12111n n n H a a a = +++L (2)几何平均数:12n n n G a a a =L (3)代数平均数:12n n a a a A n +++= L (4)平方平均数:222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===L 特别的,当2n =时,22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1))2,0a b ab a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两个2x ,则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=

高三数学第二轮专题复习系列(6)——不等式 一、本章知识结构: 二、高考要求 (1)理解不等式的性质及其证明。 (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用。 (3)分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 (4)掌握某些简单不等式的解法。 (5)理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注. 2.突出重点,综合考查,在知识与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度,充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托,因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法相衔接,立意新颖,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点,考查容量之大、功能之多、能力要求之高,一直是高考的

基本不等式 基本不等式知识 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2.(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 5.若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++, 33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取等) 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x (3)(理科)已知+∈R y x ,,且满足232x y =,则x y +的最小值为( ) A .1 B .2 C .6 D .4 (4)已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ,则c b a 31211++的最小值为 (5)若b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2 ,则y x ,的大小关系是 (6)若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值 1.函数y =log 2(x +1x -1 +5)(x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-4 技巧二 凑系数 例2 当40<

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? =+((当且仅当x =1时取“=”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++) 当,即t=时,4 259y t t ≥?=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 4 y x = +的值域。 24(2)x t t +=≥,则2 24 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+

第2讲 不等式选讲 [考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点,主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想. 热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<-a . (2)|f (x )|0)?-a 1. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4-|x -4|的解集; (2)已知关于x 的不等式|f (2x +a )-2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},求a 的值. 解 (1)当a =2时,f (x )+|x -4|=|x -2|+|x -4|=????? -2x +6,x ≤2,2,2

第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >= (1)调和平均数:12 111n n n H a a a = ++ + (2 )几何平均数:n G = (3)代数平均数:12n n a a a A n ++ + = (4)平方平均数: n Q = 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a === 特别的,当2n =时,22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1)),0a b a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 3y x x =+≥,右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两 个 2x ,则22422y x x x x x =+=++≥=

② 乘积的式子→和为定值,例如3 02 x << ,求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉,所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???(3)等:若能利用均值不等式求得最值,则要保证等号成立,要注意以下两点: ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式,则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突) ② 若涉及的变量有初始范围要求,则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值,并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 (1)构造乘积与和为定值的情况,如上面所举的两个例子 (2)已知1ax by +=(a 为常数),求 m n x y +的最值, 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子(或分母)位置上,所求表达式变量的位置恰好相反,位于分母(或分子)上,则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘,从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解。 例如:已知0,0,231x y x y >>+=,求 32 x y +的最小值 解: ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= (3)运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式,通过解不等式求解: 例如:已知0,0,24x y x y xy >>++=,求2x y +的最小值 解:()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥,可解得24x y +≥,即()min 24x y +=

选修4—5 不等式选讲 真题试做 1.(2020·天津高考,文9)集合A ={ x ∈R |}|x -2|≤5中的最小整数为__________. 2.(2020·上海高考,文2)若集合A ={x |2x -1>0},B ={x ||x |<1},则A ∩B =__________. 3.(2020·江西高考,理15(2))在实数范围内,不等式|2x -1|+|2x +1|≤6的解集为__________. 4.(2020·课标全国高考,理24)已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|. (1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集; (2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围. 5.(2020·辽宁高考,文24)已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}. (1)求a 的值; (2)若??? ??? f (x )-2f ? ????x 2≤k 恒成立,求k 的取值范围. 考向分析 该部分主要有三个考点,一是带有绝对值的不等式的求解;二是与绝对值不等式有关的参数范围问题;三是不等式的证明与运用.对于带有绝对值不等式,主要考查形如|x |<a 或|x |>a 及|x -a |±|x -b |<c 或|x -a |±|x -b |>c 的不等式的解法,考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法.试题多以填空题或解答题的形式出现.对于与绝对值不等式有关的参数范围问题,此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合,试题以解答题为主.对于不等式的证明问题,此类问题涉及的知识点多,综合性强,方法灵活,主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用,试题多以解答题的形式出现. 预测在今后高考中,对该部分的考查如果是带有绝对值的不等式,往往在解不等式的同时考查参数的取值范围、函数与方程思想等;如果是不等式的证明与运用,往往就是平均值不等式.试题难度中等. 热点例析 热点一 绝对值不等式的解法 【例1】不等式|x +3|-|x -2|≥3的解集为__________. 规律方法 1.绝对值不等式的解法 (1)|x |<a ?-a <x <a ;|x |>a ?x >a 或x <-a ; (2)|ax +b |≤c ?-c ≤ax +b ≤c ; |ax +b |≥c ?ax +b ≤-c 或ax +b ≥c ; (3)|x -a |+|x -b |≥c 和|x -a |+|x -b |≤c 的解法有三种:一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解;二是用零点分区间去绝对值,转化为三个不等式组求解;三是构造函数利用函数图象求解. 2.绝对值三角不等式 (1)|a |-|b |≤||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |; (2)|a -c |≤|a -b |+|b -c |. 变式训练1 不等式|2x -1|<3的解集为__________. 热点二 与绝对值不等式有关的参数范围问题 【例2】不等式|2x +1|+|x +a |+|3x -3|<5的解集非空,则a 的取值范围为__________. 规律方法 解决含参数的绝对值不等式问题,往往有以下两种方法: (1)对参数分类讨论,将其转化为分类函数来处理;

第三讲不等式选讲(选修4-5) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点绝对值不等式的几何意义、绝对值三角不等式、绝对值不等式的解法、函数的最值及不等式的证明. 2.交汇点常与含参数的一元二次不等式、函数的最值、三角函数、向量等知识交汇考查. 3.常用方法利用绝对值不等式的几何意义求最值的方法,综合法、分析法. 对应学生用书P094 [重要定理] 1.绝对值不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c. ②|ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c. (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想. ②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. ③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 3.证明不等式的基本方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法.

4.二维形式的柯西不等式 若a ,b ,c ,d ∈R ,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时,等号成立 . 对应学生用书P094 热点一 绝对值不等式的解法 例1 (1)[2015·沈阳模拟]设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|. ①解不等式f (x )>2; ②求函数y =f (x )的最小值. [解] ①解法一:令2x +1=0,x -4=0分别得x =-12,x =4. 原不等式可化为: ????? x <-12,-x -5>2或????? -12≤x <4,3x -3>2或??? x ≥4,x +5>2, 所以原不等式的解集为 ? ?????x |x <-7或x >53. 解法二: f (x )=|2x +1|-|x -4|=????? -x -5,x <-12,3x -3,-12≤x <4,x +5,x ≥4. 画出f (x )的图象

均值不等式复习(学案) 基础知识回顾 1.均值不等式:ab ≤ a +b 2 (1)均值不等式成立的条件:_______________. (2)等号成立的条件:当且仅当____________时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤? ????a +b 22(a ,b ∈R ). (4) a 2+ b 22≥? ?? ??a +b 22 (a ,b ∈R ). 注意:使用均值不等式求最值,前提是“一正、二定、三相等” 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2 ,几何平均数为ab ,均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用均值不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1) 如果积xy 是定值p ,那么当且仅当________时,__________有最_____值是_____(简记:积定和 最小) (2)如果和x +y 是定值s ,那么当且仅当_____时,____有最______值是_______.(简记:和定积最大) 双基自测 1.函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2 +1x 2+1≥1.其中正确的个数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若正实数a ,b 满足a +b =1,则( ). A.1a +1 b 有最大值4 B .ab 有最小值1 4 C.a +b 有最大值 2 D .a 2 +b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是( ) A .18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ,则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1.若函数f (x )=x +1 x -2 (x >2)的最小值为____________. 2.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________.

高考:均值不等式专题 ◆知识梳理 1.常见基本不等式 2 ,0, a R a ∈≥0 a ≥222 ()22 a b a b ++≥, 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +< +; 若a,b 同号且a>b 则11 a b <。 ab b a R b a 2,,2 2≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈ 2.均值不等式: 两个正数的均值不等式:ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+,2 2a b ab +?? ≤ ???, ab b a 222≥+等。 3.最值定理:设,0,x y x y >+ ≥由 (1)如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值),则 时,x y +和有最小值 (2)如果x,y 是正数和(x y S +=是定值),则 时,22 S xy 积有最大值() 4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值、取值范围,比较大小等。 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 ◆课前热身 1. 已知,x y R + ∈,且41x y +=,则x y ?的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则 41 x y +的最小值为 . 3. 已知:0>>x y ,且1=xy ,则22 x y x y +-的最小值是 . 4. 4. 已知下列四个结论 ①当2 lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且;②02x >≥当时; ③x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2;④当x x x 1 ,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为 ◆考点剖析 一、基础题型。 1.直接利用均值不等式求解最值。 例1:(2010年高考山东文科卷第14题)已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 不等式选讲 1.(2014·广东高考)不等式|x -1|+|x +2|≥5的解集为________. 【解析】 思路一:利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号,再解不等式.思路二:借助数轴,利用绝对值的几何意义求解. 方法一:要去掉绝对值符号,需要对x 与-2和1进行大小比较,-2和1可以把数轴分成三部分.当x <-2时,不等式等价于-(x 1)-(x +2)≥5,解得x ≤-3;当-2≤x <1时,不等式等价于-(x -1)+(x +2)≥5,即3≥5,无解;当x ≥1时,不等式等价于x -1+x +2≥5,解得x ≥2.综上,不等式的解集为{x |x ≤-3或x ≥2}. 方法二:|x -1|+|x +2|表示数轴上的点x 到点1和点-2的距离的和,如图所示,数轴上到点1和点-2的距离的和为5的点有-3和2,故满足不等式|x -1|+|x +2|≥5的x 的取值为x ≤-3或x ≥2,所以不等式的解集为{x |x ≤-3或x ≥2}. 【答案】 {x |x ≤-3或x ≥2} 2.(2014·湖南高考)若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为? ?????x |-53

3.(2014·陕西高考)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为________. 【解析】运用柯西不等式求解. 依据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,m2+n2的最小值为 5. 【答案】 5 4.(2014·江苏高考)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 证明因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥33 xy2>0,1+x2+y≥3 3 x2y>0, 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥33 xy2·3 3 x2y=9xy. 从近三年高考来看,该部分高考命题的热点考向为: 1.不等式的性质 ①不等式的性质(特别是绝对值三角不等式性质定理)是不等式选讲的基础,主要考查学生的逻辑推理能力. ②在高考中主要以填空题或选择题的形式出现,难度中等. 2.绝对值不等式的解法 ①此考向主要考查形如|x|<a或|x|>a及|x-a|±|x-b|<c或|x-a|±|x-b|>c的不等式的解法,考查已知不等式的解集求参数的值或范围,考查绝对值的几何意义及零点分析法的应用. ②试题多以填空题或解答题的形式出现,考查学生分析问题的能力以及运算能力,难度中等.预测2014年会保持相对稳定,形式会可能更加灵活. 3.不等式的证明 ①此类问题涉及到的知识点多,综合性很强,方法比较灵活,常与函数的值域问题相结合,考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用. ②试题多以解答题形式出现,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力以及逻辑推理 能力.

高中数学必修五典题精讲 典题精讲 例1(1)已知0<x < 31,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x < 3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31[2)31(3x x -+]2=121,当且仅当3x=1-3x ,即x=6 1时,等号成立.∴x=61时,函数取得最大值12 1. 解法二:∵0<x <31,∴3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3[2 31x x -+]2=121,当且仅当x=31-x,即x=61时,等号成立. ∴x=61时,函数取得最大值121. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1?=2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+x 1=-[(-x)+) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+) (1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数.

第4讲 不等式 不等式的解法 [核心提炼] 1.一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2+bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. 2.简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); (2)f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [典型例题] (1)已知函数f (x )=(ax -1)(x +b ),若不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (- 2x )<0的解集是( ) A.????-∞,-32∪????1 2,+∞ B.??? ?-32,12 C.????-∞,-12∪????3 2,+∞ D.??? ?-12,32 (2)不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0的解集为R ,则实数a 的取值范围是________. 【解析】 (1)由f (x )>0,得ax 2+(ab -1)x -b >0,又其解集是(-1,3), 所以a <0,且???1-ab a =2,-b a =-3, 解得a =-1或1 3 (舍去), 所以a =-1,b =-3,所以f (x )=-x 2+2x +3, 所以f (-2x )=-4x 2-4x +3, 由-4x 2-4x +3<0,得4x 2+4x -3>0, 解得x >12或x <-3 2 ,故选A. (2)当a =2时,不等式化为-4<0,恒成立; 当a ≠2时,

利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=L (1)调和平均数:12111n n n H a a a = +++L (2 )几何平均数:n G = (3)代数平均数:12n n a a a A n +++= L (4 )平方平均数:n Q = 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===L 特别的,当2n =时,22G A ≤ ?2 a b +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1 )),0a b a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 3y x x =+≥,右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两个 2x ,则22422y x x x x x =+=++≥=

② 乘积的式子→和为定值,例如3 02 x << ,求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉,所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???(3)等:若能利用均值不等式求得最值,则要保证等号成立,要注意以下两点: ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式,则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突) ② 若涉及的变量有初始范围要求,则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值,并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 (1)构造乘积与和为定值的情况,如上面所举的两个例子 (2)已知1ax by +=(a 为常数),求 m n x y +的最值, 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子(或分母)位置上,所求表达式变量的位置恰好相反,位于分母(或分子)上,则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘,从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解。 例如:已知0,0,231x y x y >>+=,求 32 x y +的最小值 解: ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= (3)运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式,通过解不等式求解: 例如:已知0,0,24x y x y xy >>++=,求2x y +的最小值 解:()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥,可解得24x y +≥,即()min 24x y +=

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