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第二章 函 数
第1讲 函数与映射的概念
1．(2012年江西)下列函数中，与函数y 3x
( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x
x
2．(2012年安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域．则A ∩B ＝( )
A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[1,2)
D ．(1,2] 3．(2014年广东广州一模)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－2,2)
B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2,2]
4．给定集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是映射的是( )
A ．f ：x →y ＝2x
B ．f ：x →y ＝x 2
C ．f ：x →y ＝5
2
x D ．f ：x →y ＝2x
5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )
x －1
的定义域是( )
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1)
6．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，?x 1∈[－2,2]，总?x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______________________．
7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：
x 1 2 3 f (x ) 1 3 1
x 1 2 3 g (x ) 3 2 1
则f [g (1)]的值为________满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．
8．已知函数f (x )＝?
????
1，x ∈Q ，
0，x ∈?R Q ，则f [f (x )]＝________；
下面三个命题中，所有真命题的序号是__________． ①函数f (x )是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立；
③存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形．
9．(1)求函数f (x )＝lg (x 2
－2x )
9－x 2
的定义域；
(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．
10．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．
(1)若x ＝7
16
，分别求f 1(x )和f 2(x )；
(2)求x 的取值范围，使它同时满足f 1(x )＝1，f 2(x )＝3.
第2讲 函数的表示法
1．已知f (x )＝x ＋1
x －1
(x ≠±1)，则( )
A ．f (x )·f (－x )＝1
B ．f (－x )＋f (x )＝0
C ．f (x )·f (－x )＝－1
D ．f (－x )＋f (x )＝1
2．(2012年广东广州调研)已知函数f (x )＝?
????
1－x ，x ≤0，
a x ，x >0.若f (1)＝f (－1)，则实数a 的
值等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．(2012年福建)设f (x )＝????
?
1 (x >0)，0 (x ＝0)，
－1(x <0)，
g (x )＝?
????
1 (x 为有理数)，
0 (x 为无理数)，则f [g (π)]的值为
( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π 4．如图K2-2-1(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边
运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图K2-2-1(2)，
则△ABC 的面积为( )
(1)
(2)
图K2-2-1
A ．10
B ．32
C ．18
D ．16
5．设集合A ＝????0，12，B ＝????12，1，函数f (x )＝?????
x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .
若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )
A.????0，14
B.????14，12
C.????14，12
D.???
?0，38 6．具有性质：f ????
1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y ＝log a
x ；②y ＝ax ＋b
x (其中a ＋b ＝0)；③y ＝?????
x ，0＜x ＜1，
0，x ＝1，－1
x ，x ＞1.
其中满足“倒负”变换的函数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
7．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝?
????
－x 2＋2x ，x ≤0，
ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围
是( )
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
8．(2013年安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时．f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.
9．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋3，且f (0)＝2. (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－3,4]上的值域；
(3)若函数f (x ＋m )为偶函数，求f [f (m )]的值； (4)求f (x )在[m ，m ＋2]上的最小值．
10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4 是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点． (1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由； (2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围． 第3讲 函数的奇偶性与周期性 1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b 的值是( ) A ．0 B.1 3 C ．1 D ．－1 2．(2013年山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 3．(2011年广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 4．(2012年广东广州二模)已知函数f (x )＝e x －e － x ＋1(e 是自然对数的底数)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．－2 B ．－e C ．e D ．0 5．(2010年山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 6．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0 ?52，则( ) A ．a B ．b C ．c D ．c 7．(2012年福建)设函数D (x )＝? ???? 1，x 为有理数， 0，x 为无理数，则下列结论错误的是( ) A ．D (x )的值域为{0,1} B ．D (x )是偶函数 C ． D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数 8．(2014年广东汕头一模)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，f ??? ?－5 2＝________. 9．已知函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2 －2x －1. (1)若f (x )为R 上的奇函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )为R 上的偶函数，能确定f (x )的解析式吗？请说明理由． 10．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2013,2013]上的根的个数，并证明你的结论． 第4讲 函数的单调性与最值 1．(2012年陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 2．(2012年广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝????12x D ．y ＝x ＋1 x 3．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x ) x <0的解集为 ( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 4．(2012年山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”，是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知f (x )＝? ???? (3－a )x －4a (x <1)， log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，3) C.????35，3 D ．(1,3) 6．(2014年广东广州一模)已知x >－1，则函数y ＝x ＋1 x ＋1 的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 7．设f (x )＝2x 2 x ＋1 ，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)，若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使 得g (x 0)＝f (x 1)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B.??? ?0，52 C.????52，4 D.??? ?5 2，＋∞ 8．(2013年广东广州二模)记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}＝( ) A.34 B ．1 C ．3 D.72 9．在区间D 上，如果函数f (x )为增函数，而函数1 x f (x )为减函数，则称函数f (x )为“弱增” 函数．已知函数f (x )＝1－ 1 1＋x . (1)判断函数f (x )在区间(0,1]上是否为“弱增”函数； (2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，证明：|f (x 2)－f (x 1)|<1 2 |x 2－x 1|； (3)当x ∈[0,1]时，不等式1－ax ≤1 1＋x ≤1－bx 恒成立，求实数a ，b 的取值范围． 10．(2013年广东惠州调研)设函数f (x )＝a x －(k －1)a -x (a >0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值； (2)若f (1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围； (3)若f (1)＝3 2 ，且g (x )＝a 2x ＋a -2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值． 第二章 函 数 第1讲 函数与映射的概念 1．D 2.D 3.D 4．C 解析：当x ＝2时，5 2 x ＝5，集合Q 中没有元素与之对应，故不是映射． 5．B 解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对g (x )，0≤2x ≤2，但x ≠1，故x ∈[0,1)． 6.????－∞，－52∪??? ?5 2，＋∞ 解析：只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增， ∵x ∈[－2,2]， ∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需? ???? －2a －1≤0，2a －1≥4，∴a ≥5 2. (2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减． ∵x ∈[－2,2]， ∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立， 只需? ???? 2a －1≤0，－2a －1≥4，∴? ?? a ≤12，a ≤－52 . ∴a ≤－5 2. 综上所述，a 的取值范围是????－∞，－52∪??? ?5 2，＋∞. 7．1 2 解析：由表中对应值，知：f [g (1)]＝f (3)＝1.当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件；当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件；当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件，∴满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2. 8．1 ①②③ 9．解：(1)要使函数有意义，只需： ????? x 2－2x >0，9－x 2 >0，即? ???? x >2或x <0，－3 即－1≤x ≤1.∴1 2 ≤2x ≤2. ∴函数y ＝f (log 2x )中，有1 2 ≤log 2x ≤2. 即log 2 2≤log 2x ≤log 24，∴2≤x ≤4. 故函数f (log 2x )的定义域为[2，4]． 10．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝7 4 ， ∴f 1(x )＝????74＝1，g (x )＝74－????74＝3 4 . ∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1???? 34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴? ???? 1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12. 第2讲 函数的表示法 1．A 2.B 3.B 4.D 5．C 解析：观察选项，知：x 0∈A ＝????0，12，f (x 0)＝x 0＋1 2∈??? ?12，1?B ，f [f (x 0)]＝2????1－????x 0＋12＝1－2x 0∈A ＝????0，12，有14 . 6．D 解析：通过计算f ????1x ＋f (x )，都有f ??? ?1x ＋f (x )＝0. 7．D 解析：由题意可作出函数y ＝|f (x )|的图象，和函数y ＝ax 的图象(如图D61)， 图D61 由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间时符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f (x )|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2－2x ， 求其导数可得y ′＝2x －2，因为x ≤0，故y ′≤－2，故直线l 的斜率为－2， 故只需直线y ＝ax 的斜率a 介于－2与0之间即可，即a ∈[－2,0]．故选D. 8．－x (x ＋1)2 解析：当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由题意f (x )＝12f (x ＋1)＝1 2(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)2 . 9．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)－f (x ) ＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c ) ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋3. 与已知条件比较，得????? 2a ＝2，a ＋b ＝3，解得? ???? a ＝1， b ＝2. 又f (0)＝c ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋2. (2)f (x )＝(x ＋1)2＋1， 则f (x )min ＝f (－1)＝1，f (x )max ＝f (4)＝26. ∴f (x )在[－3,4]上的值域为[1,26]． (3)若函数f (x ＋m )为偶函数， 则f (x ＋m )＝(x ＋m ＋1)2＋1为偶函数， ∴m ＝－1.f [f (m )]＝f [f (－1)]＝f (1)＝5. (4)f (x )＝(x ＋1)2＋1， ①当m ＋2<－1，即m <－3时，f (x )在[m ，m ＋2]上单调递减．f (x )min ＝f (m ＋2)＝m 2＋6m ＋10. ②当m >－1时，f (x )在[m ，m ＋2]上单调递增， f (x )min ＝f (m )＝m 2＋2m ＋2. ③当m ≤－1≤m ＋2，即－3≤m ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝1. 10．解：(1)由定义可知，关于x 的方程－x 2＋4x ＝f (9)－f (0) 9－0 在(0,9)内有实数根时， 函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数． 而－x 2＋4x ＝f (9)－f (0) 9－0 ，即x 2－4x －5＝0. 解得x 1＝5或x 2＝－1. 又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1?(0,9)，故舍去]， ∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点． (2)∵f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数， ∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1) 1－(－1) 在(－1,1)内有实数根． 由－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1) 1－(－1) ，得x 2－mx ＋m －1＝0. 解得x 1＝m －1或x 2＝1. 又x 2＝1?(－1,1)， ∴x 1＝m －1必为均值点，即－1 第3讲 函数的奇偶性与周期性 1．B 2.D 3.A 4.D 5.A 6．D 解析：已知f (x )是周期为2的奇函数，当0 －45＝－f ????45，b ＝f ????32＝f ????－12＝－f ????12，c ＝f ????52＝f ??? ?12<0，∴c 8．－12 9．解：(1)当x >0时，f (x )＝x 2－2x －1. 设x <0，则－x >0， 有f (－x )＝(－x )2－2(－x )－1＝x 2＋2x －1. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (－x )＝－f (x )， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x ＋1. 当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 故f (x )＝???? ? x 2 －2x －1 (x >0)，0 (x ＝0)， －x 2－2x ＋1 (x <0). (2)若f (x )为R 上的偶函数，不能确定f (x )的解析式，因为不知f (0)的结果． 10．解：(1)方法一：若f (x )是偶函数，则 f (－x )＝f [2－(x ＋2)]＝f [2＋(x ＋2)]＝f (4＋x )＝f (x )，于是有f (7)＝f (4＋3)＝f (3)＝0，这与在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾，故f (x )不是偶函数； 若f (x )是奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)＝0，这与在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾，故f (x )不是奇函数． 所以f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． 方法二：因为在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.故f (0)≠0，即f (x )不是奇函数． 又由f (2－x )＝f (2＋x )知，f (－1)＝f (5)，而f (5)≠0，所以f (－1)≠0，又f (1)＝0. 所以f (－1)≠f (1)，可见f (x )不是偶函数， 所以f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)由????? f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )?????? f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )?f (4－x )＝f (14－x )?f (x )＝f (x ＋10)， 知f (x )是周期为10的函数， 即f (x )＝0在[0,10]上只有两个根，即x ＝1和x ＝3， 故f (x )＝0在[－10,0]上只有两个根，即x ＝－9和x ＝－7. 于是，f (x )＝0在[0,2010]内只有402个根，在[2010,2013]上仅有2个根； 在[－2010,0]内仅有402个根，在[－2013，－2010]上没有根． 所以故方程f (x )＝0在闭区间[－2013,2013]上仅有806个根． 第4讲 函数的单调性与最值 1．D 2.A 3.D 4.A 5．D 解析：方法一：∵f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增．由对数函数单调性，知：a >1 ①.又由f (x )在(－∞，1)上单调递增，∴3－a >0，∴a <3 ②.又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1)上的最大值3－5a 要小于 等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥3 5 ③. 由①②③，可得1 方法二：令a 分别等于3 5 ，0,1，即可排除A ，B ，C.故选D. 6．C 7．C 解析：对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，即函数y ＝ f (x )的值域是函数y ＝ g (x )值域的子集，f (x )＝2x 2x ＋1＝2(x 2 －1)＋2x ＋1＝2x －2＋2 x ＋1 ＝2(x ＋1)＋ 2x ＋1－4≥2 2(x ＋1)×2x ＋1 －4＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，所以f (x )∈[0,1]；y ＝g (x )单调递增，所以g (x )∈[5－2a,5－a ]；[5－2a ，5－a ]?[0,1]，即? ???? 5－2a ≤0，5－a ≥1，解得52≤a ≤4. 故选C. 8．D 解析：在同一坐标系中作出三个函数y ＝x ＋1，y ＝x 2－x ＋1与y ＝－x ＋6的图象如图D62： 由图可知，min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}为射线AM 、抛物线、线段BC 、与射线CT 的组合体，显然，在C 点时，y ＝min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}取得最大值． 解方程组? ???? y ＝－x ＋6，y ＝x ＋1，得C ???? 52，72， ∴max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}＝72 . 故答案为7 2 . 图D62 9．(1)解：显然f (x )在区间(0,1]为增函数． ∵1x f (x )＝1x ? ????1－11＋x ＝1x ·1＋x －11＋x ＝1x ·x 1＋x (1＋x ＋1)＝11＋x ＋1＋x ， ∴1 x f (x )为减函数． ∴f (x )在区间(0,1]为“弱增”函数． (2)证明：|f (x 2)－f (x 1)|＝??????11＋x 2－11＋x 1 ＝|1＋x 1－1＋x 2| 1＋x 21＋x 1 ＝ |x 2－x 1| 1＋x 21＋x 1(1＋x 2＋1＋x 1). ∵x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2， 1＋x 21＋x 1(1＋x 2＋1＋x 1)>2， ∴|f (x 2)－f (x 1)|<1 2|x 2－x 1|. (3)解：∵当x ∈[0,1]时，不等式1－ax ≤1 1＋x ≤1－bx 恒成立．当x ＝0时，不等式显然成立． 当x ∈(0,1]时．等价于：??? a ≥1 x f (x )， b ≤1 x f (x )， 由(1)，知：1x f (x )为减函数，故1－22≤1x f (x )<1 2， ∴a ≥12，b ≤1－22 . 10．解：(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0.∴k ＝2. (2)f (x )＝a x －a -x (a >0，且a ≠1)， ∵f (1)<0，∴a －1 a <0. 又a >0，且a ≠1，∴0 而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a -x 在R 上单调递增， 故判断f (x )＝a x －a -x 在R 上单调递减， 不等式化为f (x 2＋tx ) ∴x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3 (3)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝3 2 ，即2a 2－3a －2＝0. ∴a ＝2或a ＝－1 2 (舍去)． ∴g (x )＝22x ＋2-2x －2m (2x －2-x ) ＝(2x －2-x )2－2m (2x －2-x )＋2. 令t ＝f (x )＝2x －2-x ， 由(1)可知f (x )＝2x －2-x 为增函数， ∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝3 2 . 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 ??? ?t ≥32， 若m ≥3 2，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2； 若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝17 4－3m ＝－2. ∴m ＝2512>3 2舍去．综上可知m ＝2. 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足 i 1i z =-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3 y x π =-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移 12π 个单位（B ）向右平移 12 π 个单位（C ）向左平移 3π个单位（D ）向右平移3 π 个单位 （4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o ，则BD ?????? ·CD ????? =（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）23 2 a （5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ） （A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5) （6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件0 20x y x y y -≥?? +≤??≥? 若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2 ABC π ∠= ，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53 π （D ）2π （8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件， 其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则 ()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） （A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（ ） （A ）53-或35 - （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3 4- （10）【2015年山东，理10】设函数31,1, ()2, 1.x x x f x x - 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 2015年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2015?山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4） 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集． 解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}， 则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2015?山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 解答： 解：=i，则=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（） A． 向左平移单位B． 向右平移单位 C． 向左平移单位D． 向右平移单位 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 解答： 解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]， 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位． 故选：B． 点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 4．（5分）（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A． ﹣a2B． ﹣a2 C． a2 D． a2 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 由已知可求，，根据=（）?=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴=a2，=a×a×cos60°=， 则=（）?== 故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5．（5分）（2015?山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5） 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈?． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 6．（5分）（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则 a=（） A．3B．2C．﹣2 D．﹣3 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 第Ⅰ卷（共50分） 一、 填空题 1. 已知集合}{ 2 430A x x x =-+<，}{ 24B x x =<<，则A B ?= A. ()1,3 B. ()1,4 C. ()2,3 D. ()2,4 2. 若复数z 满足 1z i i =-，其中i 是虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 3. 要得到函数sin(4)3 y x π =- 的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 A. 向左平移 12π个单位 B. 向右平移12π 个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3 π 个单位 4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD = 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 2015年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 2．（5分）若复数z 满足z 1?i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i 3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3 ）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位． A ．向左平移π12 B ．向右平移π12 C ．向左平移π3 D ．向右平移π3 4．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →?CD →=（ ） A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2 5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5） 6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x ?y ≥0 x +y ≤2y ≥0 ，若z=ax +y 的最大值为4，则a= （ ） A ．3 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．2π3 B ．4π3 C ．5π3 D ．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）
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